Równania ró»niczkowe
Lista 4
Zad 1.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania liniowe (pierwszego rz¦du).
równanie równanie równanie
a)
y0−ysin x= sin xcos x
c)
y0+ay =emx
e)
ydx + 2(x+y)dy = 0
b)
(1 + x2)y0−2xy = (1 + x2)2
d)
xy0=ax +by
f)
(x−2xy −y2)y0+y2= 0
Zad 2.
Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne za pomoc¡ czynnika caªkuj¡cego:
a)
y0−1
xy=x,
b)
y0−2
xy=x3,
c)
y0=y
√x.
Zad 3.
Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne, odgaduj¡c uprzednio jedno rozwi¡zanie szczególne:
a)
y0−y=x+ 1,
b)
y0+y= 2ex,
c)
y0+xy =x2+ 1,
d)
y0+y=1
x−1
x2.
Zad 4.
Dokona¢ analizy równa«:
a)
y0−2xy = 0,
b)
y0−xy = 1,
c)
y0−1
xy=x.
Zad 5.
Scaªkowa¢ równanie ró»niczkowe Bernoulliego i wydzieli¢ krzyw¡ przechodz¡c¡ przez
punkt
M(x0, y0)
.
równanie punkty równanie punkty
a)
y0+ 2xy = 2x3y3M(0,1)
e)
y0−y=xy2M(0,0)
b)
xy0+y=y2ln x M (1,1)
f)
xy0−y=y2M(0,0)
c)
3y2y0+y3+x= 0 M(1,1)
g)
xy0−y=xy2M(0,0)
d)
y0−9x2y= (x5+x2)y2
3M(0,0)
h)
dy
dx =2x
x2cos y−1
2sin 2yM(1,0)
Zad 6.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe Riccatiego wiedz¡c, »e ma ono rozwi¡zanie szcze-
gólne danej postaci
y1
równanie
y1
równanie
y1
a)
y0=y2−xy −x y1=ax +b
e)
y0=xy−2x2+1
xy+x2+1
xy1=a
b)
xy0=y2−(2x+ 1)y+x2+ 2x y1=ax +b
f)
x2y0=x2y2+xy + 1 y1=a
x
c)
y0=1
2y2+1
2x2y1=a
x
g)
x2y0+ (xy −2)2= 0 y1=a
x
d)
y0=−y2−
y
x+4
x2y1=a
x
h)
y0+y=e−xy2+exy1=eax
Zad 7.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe zupeªne:
równanie równanie równanie
a)
ydx +xdy = 0
e)
(x+y)dx + (x−y)dy = 0
i)
2x(1−ey)
(1+x2)2dx +ey
1+x2dy = 0
b)
1
xdy −
y
x2dx = 0
f)
xdx +ydy +ydx−xdy
x2+y2= 0
j)
2x
y3dx +y2−3x2
y4dy = 0
c)
1
ydx −x
y2dy = 0
g)
xdx+ydy
√1+x2+y2+xdy−ydx
x2+y2= 0
k)
(1 + ex
y)dx =ex
y(x
y−1)dy
d)
xdy−ydx
x2+y2= 0
h)
x
√x2−y2−1dx =ydy
√x2−y2
l)
(x+2y)dx+ydy
(x+y)2= 0
Zad 8.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania za pomoc¡ czynnika caªkuj¡cego postaci
µ=µ(x)
lub
µ=µ(y)
:
równanie równanie
a)
(x
y+ 1)dx + (x
y−1)dy = 0
d)
(ex−sin y)dx + cos ydy = 0
b)
(x2+y)dx −xdy = 0
e)
(2xy2−y)dx + (y2+x+y)dy = 0
c)
(xy2+y)dx −xdy = 0
f)
(xcos y−ysin y)dy + (xsin y+ycos y)dx = 0
docsity.com