Równania ró»niczkowe
Lista 7
Zad 1.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (niezawieraj¡ce szukanej funkcji):
1
równanie równanie równanie
a)
(1 + x2)y00 +y02+ 1 = 0
c)
xy00 =y0
e)
xy00 =y0ln y0
x
b)
y00 + 2xy0= 0
d)
y0(1 + y02) = ay00
f)
x(ln x)·y00 =y0
Zad 2.
Rozwi¡za¢ zagadnienie Cauchy'ego dla nast¦puj¡cych równa« oraz warunków pocz¡t-
kowych, zbada¢ uprzednio zagadnienie istnienia i jednoznaczno±ci poszukiwanych rozwi¡za«:
równanie
x0y0y0
0
równanie
x0y0y0
0y00
0
a)
y00 = (1 + y02)3
2
0 1 0 c)
4y0+y002= 4xy00
0 0 -1 ...
b)
y002=y0
0 0 1 d)
2xy00 +y000 = 0 0 1 1 1
Zad 3.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania (niezawieraj¡ce zmiennej niezale»nej):
równanie równanie równanie
a)
yy00 =y03
c)
1 + y02= 2yy00
e)
y00 =1
8√y
b)
yy002= 1
d)
2yy00 +y02+y04= 0
f)
y00 =−y02+ 2e−y
Zad 4.
Znale¹¢ rozwi¡zanie równania speªniaj¡cego warunki pocz¡tkowe wykazuj¡c uprzednio,
»e poszukiwane rozwi¡zanie istnieje i jest jednoznaczne:
a) 2yy00 −3y02= 4y2, y = 1, y0= 0, x = 0; b) 3y0y00 =ey, y = 0, y0= 1, x =−3.
Zad 5.
Znale¹¢ krzyw¡ caªkow¡ równania
y00 +y02= 1
, przechodz¡c¡ przez punkt
(0,1)
i b¦d¡c¡
styczn¡ w tym punkcie do prostej
x+y= 1
.
Zad 6.
Znale¹¢ krzyw¡ caªkow¡ równania
yy0y00 =y03+y002
styczn¡ w pocz¡tku ukªadu do
prostej
x+y= 0
.
Zad 7.
Znale¹¢ krzywe pªaskie, których promie« krzywizny jest proporcjonalny do dªugo±ci
odcinka normalnej. Rozpatrzy¢ przypadek, gdy wspóªczynnik proporcjonalno±ci
k
jest równy
liczbom
±1
i
±2
.
2
Zad 8.
Scaªkowa¢ nast¦puj¡ce równania liniowe jednorodne
równanie równanie równanie
a)
y00 −6y0+ 8y= 0
i)
y00 + 4y= 0
r)
y000 −7y00 + 16y0−12y= 0
b)
y00 + 3y0+ 2y= 0
j)
y000 =y
s)
y(4) + 2y00 −8y0+ 5y= 0
c)
y00 + 3y0= 0
k)
y000 −2y00 + 9y0= 18y
t)
y(4) −2y000 + 2y00 −2y0+y= 0
d)
y00 −y0−2y= 0
l)
y(4) −y= 0
u)
y(4) −4y000 + 8y00 −16y0+ 16y= 0
e)
y00 −2y0= 0
m)
y(4) + 10y00 + 9y= 0
w)
y(4) + 8y00 + 16y= 0
f)
y000 + 2y= 2y00 +y0
n)
y(4) +y= 0
x)
y(4) + 2y000 + 3y00 + 2y0+y= 0
g)
y(4) + 4y= 5y00
o)
y(6) −y= 0
y)
y(5) + 8y000 + 16y0= 0
h)
y(5) + 9y0= 10y000
p)
y000 −6y00 + 12y0= 8y
z)
y(5) +y(4) + 2y000 + 2y00 +y0+y= 0
1
a) jednym z rozwi¡za« jest
y= ln |x|
.
2
zastosowa¢ wzór na promie« krzywizny
R=(1+y
02)3
2
y00
.
docsity.com