Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo, Ćwiczenia z Algebra

Zdarzenie losowe – dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. ... Definicja 1 Sumą (alternatywą) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające.

Typologia: Ćwiczenia

2022/2023

Załadowany 23.02.2023

Filip_B
Filip_B 🇵🇱

4.5

(39)

330 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo i więcej Ćwiczenia w PDF z Algebra tylko na Docsity! Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne – pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpo- wiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne możemy utożsamiać z wyni- kiem doświadczenia. Oznaczane jest ono najczęściej przez ω. Przykład 1 Zdarzeniem elementarnym przy jednokrotnym rzucie monetą jest np. wy- rzucenie orła; w przypadku jednokrotnego rzutu kostką – otrzymanie ścianki z sześcioma oczkami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Nazywamy ją również zdarzeniem pewnym. Oznaczana jest ona najczęściej przez Ω. Przykład 2 W przypadku jednokrotnego rzutu monetą Ω = {O,R}, przy jednokrotnym rzucie kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zdarzenie losowe – dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe oznaczamy najczęściej dużymi literami A,B,C itp. Przykład 3 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką niech A oznacza zdarzenie, że wy- padła ścianka z parzystą liczbą oczek, natomiast zdarzenie B, że wypadła ścianka z liczbą oczek większą od 3. Wówczas A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. 1 1.2 Algebra zdarzeń Definicja 1 Sumą (alternatywą) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A lub należą do zdarzenia B. Sumę zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A ∪B. Definicja 2 Iloczynem (koniunkcją) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A i należą do zdarzenia B. Iloczyn zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A ∩B. Definicja 3 Różnicą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A i nie należą do zdarzenia B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A \B lub A−B. Definicja 4 Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A lub dopełnieniem zdarzenia A nazy- wamy różnicę Ω \A i oznaczamy przez A′. Dopełnienie Ω oznaczamy przez ∅ i nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Przykład 4 Niech A i B oznaczają zdarzenia z przykładu 3. Wówczas A∪B = {2, 4, 5, 6}, A ∩B = {4, 6}, A−B = {2}, A′ = {1, 3, 5}, B′ = {1, 2, 3}. Definicja 5 Mówimy, że zdarzenie A pociąga zdarzenie B (albo, że zdarzenie B jest następstwem zdarzenia A), co zapisujemy A ⊂ B, jeśli każde zdarzenie elementarne ω należące do zdarzenia A należy również do zdarzenia B. Przykład 5 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką, niech C oznacza zdarzenie wypa- dła ścianka z liczbą oczek mniejszą od 3, D – nie wypadła ścianka z sześcioma oczkami. Wówczas zdarzenie C pociąga za sobą zdarzenie D. Definicja 6 Zdarzenia A i B są równe, co zapisujemy A = B, jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A. Definicja 7 Zdarzenia A i B wykluczają się lub wyłączają się, jeśli nie mają wspólnych zdarzeń elementarnych, tj., gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym. Definicja 8 Zdarzenia A1, A2, . . . , An, . . . wykluczają się parami, jeśli każde dwa spośród nich wykluczają się, czyli Ai ∩ Aj = ∅, gdy i ̸= j. Fakt 1 Działania na zdarzeniach podlegają następującym prawom (analogicznym do praw rachunku zbiorów): 2 Wniosek 4. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe od jedności, czyli jeżeli A jest dowolnym zdarzeniem, to P (A) ¬ 1. Wniosek 5. Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to P (B \ A) = P (B)− P (A). Wniosek 6. Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń jest równe sumie praw- dopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodbieństwo ich iloczynu, czyli P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). 1.4 Niezależność zdarzeń Definicja 11 Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P (A ∩B) = P (A)P (B). Definicja 12 Zdarzenia B1, B2, . . . , Bn nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeżeli dla do- wolnego wyboru wskaźników 1 ¬ i1 < i2 < . . . < ir ¬ n, r = 2, 3, . . . n, P ( r∩ k=1 Bik) = r∏ k=1 P (Bik). Uwaga 1 Niezależność parami zdarzeń nie wystarcza dla wzajemnej niezależności n zda- rzeń. I tak na przykład trzy zdarzenia B1, B2, B3 są wzajemnie niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy P (B1 ∩B2) = P (B1)P (B2), P (B1 ∩B3) = P (B1)P (B3), P (B2 ∩B3) = P (B2)P (B3), P (B1 ∩B2 ∩B3) = P (B1)P (B2)P (B3). Przykład 6 Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy zdarze- nia: A – wylosowano liczbę parzystą, B – wylosowano liczbę podzielną przez 3, C – wylo- sowano liczbę podzielną przez 5. Czy te zdarzenia są parami niezależne? Czy są wzajemnie niezależne? 5 1.5 Prawdopodobieństwo warunkowe Definicja 13 Niech B będzie zdarzeniem takim, że P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A przy warunku B nazywamy liczbę P (A | B) = P (A ∩B) P (B) . Przykład 7 Niech A i B oznaczają zdarzenia z przykładu 3. Wówczas P (A | B) = 2/6 3/6 = 2 3 . 1.6 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Twierdzenie 1 Jeżeli zdarzenia B1, B2, . . . , Bn są parami rozłączne (tzn. Bi ∩ Bj = ∅, gdy i ̸= j) oraz ∪n i=1Bi = Ω, P (Bi) > 0, dla i = 1, 2, . . . , n, to dla każdego zdarzenia A P (A) = n∑ i=1 P (A | Bi)P (Bi). Twierdzenie to jest również prawdziwe, gdy mamy do czynienia z ciągiem zdarzeń {Bi}, i = 1, 2, . . . , gdzie zbiory te mają dodatnie prawdopodobieństwo, są parami rozłączne, a ich suma jest równa Ω. Przykład 8 Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w po- łowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0, 98 i nega- tywny z prawdopodobieństwem 0, 02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w orga- nizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0, 07. Zakłada się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej populacji test da wynik pozytywny. 1.7 Wzór Bayesa Twierdzenie 2 Jeżeli zdarzenia B1, B2, . . . , Bn spełniają założenia twierdzenia o praw- dopodobieństwie całkowitym oraz P (A) > 0, to P (Bk | A) = P (Bk)P (A | Bk) n∑ i=1 P (A | Bi)P (Bi) , k = 1, 2, . . . , n. 6 Przykład 9 (kontynuacja poprzedniego przykładu) Jakie jest prawdopodobieństwo, że lo- sowo wybrana osoba jest rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik pozytywny. 7