Pobierz Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo i więcej Ćwiczenia w PDF z Algebra tylko na Docsity! Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne – pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpo- wiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne możemy utożsamiać z wyni- kiem doświadczenia. Oznaczane jest ono najczęściej przez ω. Przykład 1 Zdarzeniem elementarnym przy jednokrotnym rzucie monetą jest np. wy- rzucenie orła; w przypadku jednokrotnego rzutu kostką – otrzymanie ścianki z sześcioma oczkami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Nazywamy ją również zdarzeniem pewnym. Oznaczana jest ona najczęściej przez Ω. Przykład 2 W przypadku jednokrotnego rzutu monetą Ω = {O,R}, przy jednokrotnym rzucie kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zdarzenie losowe – dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. Zdarzenia losowe oznaczamy najczęściej dużymi literami A,B,C itp. Przykład 3 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką niech A oznacza zdarzenie, że wy- padła ścianka z parzystą liczbą oczek, natomiast zdarzenie B, że wypadła ścianka z liczbą oczek większą od 3. Wówczas A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. 1 1.2 Algebra zdarzeń Definicja 1 Sumą (alternatywą) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A lub należą do zdarzenia B. Sumę zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A ∪B. Definicja 2 Iloczynem (koniunkcją) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A i należą do zdarzenia B. Iloczyn zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A ∩B. Definicja 3 Różnicą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie składające się z tych zdarzeń elementarnych ω, które należą do zdarzenia A i nie należą do zdarzenia B. Różnicę zdarzeń A i B oznaczamy symbolem A \B lub A−B. Definicja 4 Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A lub dopełnieniem zdarzenia A nazy- wamy różnicę Ω \A i oznaczamy przez A′. Dopełnienie Ω oznaczamy przez ∅ i nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Przykład 4 Niech A i B oznaczają zdarzenia z przykładu 3. Wówczas A∪B = {2, 4, 5, 6}, A ∩B = {4, 6}, A−B = {2}, A′ = {1, 3, 5}, B′ = {1, 2, 3}. Definicja 5 Mówimy, że zdarzenie A pociąga zdarzenie B (albo, że zdarzenie B jest następstwem zdarzenia A), co zapisujemy A ⊂ B, jeśli każde zdarzenie elementarne ω należące do zdarzenia A należy również do zdarzenia B. Przykład 5 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką, niech C oznacza zdarzenie wypa- dła ścianka z liczbą oczek mniejszą od 3, D – nie wypadła ścianka z sześcioma oczkami. Wówczas zdarzenie C pociąga za sobą zdarzenie D. Definicja 6 Zdarzenia A i B są równe, co zapisujemy A = B, jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A. Definicja 7 Zdarzenia A i B wykluczają się lub wyłączają się, jeśli nie mają wspólnych zdarzeń elementarnych, tj., gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym. Definicja 8 Zdarzenia A1, A2, . . . , An, . . . wykluczają się parami, jeśli każde dwa spośród nich wykluczają się, czyli Ai ∩ Aj = ∅, gdy i ̸= j. Fakt 1 Działania na zdarzeniach podlegają następującym prawom (analogicznym do praw rachunku zbiorów): 2 Wniosek 4. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe od jedności, czyli jeżeli A jest dowolnym zdarzeniem, to P (A) ¬ 1. Wniosek 5. Jeżeli zdarzenie A pociąga zdarzenie B, to P (B \ A) = P (B)− P (A). Wniosek 6. Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń jest równe sumie praw- dopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodbieństwo ich iloczynu, czyli P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). 1.4 Niezależność zdarzeń Definicja 11 Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P (A ∩B) = P (A)P (B). Definicja 12 Zdarzenia B1, B2, . . . , Bn nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeżeli dla do- wolnego wyboru wskaźników 1 ¬ i1 < i2 < . . . < ir ¬ n, r = 2, 3, . . . n, P ( r∩ k=1 Bik) = r∏ k=1 P (Bik). Uwaga 1 Niezależność parami zdarzeń nie wystarcza dla wzajemnej niezależności n zda- rzeń. I tak na przykład trzy zdarzenia B1, B2, B3 są wzajemnie niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy P (B1 ∩B2) = P (B1)P (B2), P (B1 ∩B3) = P (B1)P (B3), P (B2 ∩B3) = P (B2)P (B3), P (B1 ∩B2 ∩B3) = P (B1)P (B2)P (B3). Przykład 6 Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy zdarze- nia: A – wylosowano liczbę parzystą, B – wylosowano liczbę podzielną przez 3, C – wylo- sowano liczbę podzielną przez 5. Czy te zdarzenia są parami niezależne? Czy są wzajemnie niezależne? 5 1.5 Prawdopodobieństwo warunkowe Definicja 13 Niech B będzie zdarzeniem takim, że P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A przy warunku B nazywamy liczbę P (A | B) = P (A ∩B) P (B) . Przykład 7 Niech A i B oznaczają zdarzenia z przykładu 3. Wówczas P (A | B) = 2/6 3/6 = 2 3 . 1.6 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Twierdzenie 1 Jeżeli zdarzenia B1, B2, . . . , Bn są parami rozłączne (tzn. Bi ∩ Bj = ∅, gdy i ̸= j) oraz ∪n i=1Bi = Ω, P (Bi) > 0, dla i = 1, 2, . . . , n, to dla każdego zdarzenia A P (A) = n∑ i=1 P (A | Bi)P (Bi). Twierdzenie to jest również prawdziwe, gdy mamy do czynienia z ciągiem zdarzeń {Bi}, i = 1, 2, . . . , gdzie zbiory te mają dodatnie prawdopodobieństwo, są parami rozłączne, a ich suma jest równa Ω. Przykład 8 Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w po- łowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0, 98 i nega- tywny z prawdopodobieństwem 0, 02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w orga- nizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0, 07. Zakłada się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej populacji test da wynik pozytywny. 1.7 Wzór Bayesa Twierdzenie 2 Jeżeli zdarzenia B1, B2, . . . , Bn spełniają założenia twierdzenia o praw- dopodobieństwie całkowitym oraz P (A) > 0, to P (Bk | A) = P (Bk)P (A | Bk) n∑ i=1 P (A | Bi)P (Bi) , k = 1, 2, . . . , n. 6 Przykład 9 (kontynuacja poprzedniego przykładu) Jakie jest prawdopodobieństwo, że lo- sowo wybrana osoba jest rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik pozytywny. 7