Pobierz Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta, gęstość - Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień lista 3 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład prawdopodobieńśtwa określony następująco: P (X = 1, Y = 1) = 0, 2, P (X = 1, Y = 2) = 0, 3, P (X = 3, Y = 1) = 0, 4, P (X = 3, Y = 2) = 0, 1. • Zapisać ten rozkład w tabeli, • zbadać czy zmienne losowe X i Y są niezależne, • wyznaczyć dystrybuantę i wartość przeciętną zmiennej losowej X, • obliczyć wartość dystrubuanty dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ) w punkcie (2, 2). 2. W 10-cio elementowej partii pewnego towaru są 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych wśród 2 wylosowanych sztuk, zaś Y przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, oraz 0, jeśli nie jest wadliwa. • Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ), • zbadać czy zmiene losowe X i Y są niezależne, • obliczyć współczynnik korelacji zmiennych X i Y . 3. Rzucamy kolejno 5 razy monetą. Oznaczmy przez X liczbę wyrzuconych orłów, przez Y liczbę serii orłów, a przez Z długość najdłuższej serii. • Wyznaczyć rozłady dwuwymiarowych zmiennych losowych (X,Y ) , (X,Z) oraz (Y,Z), • wyznaczyć rozkłady brzegowe poszczególnych zmiennych losowych, • obliczyć P (X = 3, Z ≤ 2), • wyznaczyć rozkład trzywymiarowej zmiennej losowej (X,Y, Z). 4. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny odpowiednio na przedziałach (0, a) i (0, 12π). Znaleźć P (X < b cosY ), gdzie 0 < b < a. 5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie x2 − 2Bx+C = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jeśli B i C są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Exp(λ)? 6. Momenty przybycia autobusów A i B są niezależnymi zmiennennymi losowymi X,Y o rozkładzie wykładniczym z parametrami α i µ a) znaleźć rozkład momentu przybycia pierwszego autobusu; b) obliczyć prawdopodobieństwo, że autobus A przyjedzie pierwszy. 7. Dana jest funkcja f(x, y) = ce− 1 2 (x 2+2xy+5y2) • wyznaczyć stałą c tak, aby dana funkcja byłą gęstością zmienenj losowej (X,Y ), • wyznaczyć rozkłady brzegowe, • czy zmienne losowe X i Y są niezależne? 8. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa układu zmiennych losowych (X,Y ) f(x, y) = { 1 2 sin(x+ y) dla 0 < x < π 2 , 0 < y < π 2 0 w.p.p., • wyznaczyć dystrybuantę układu, • wyznaczyć rozkłady brzegowe, • zbadać czy zmienne losowe są niezależne. 9. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład jednostajny naK, gdzieK = {(x, y) ∈ R2 : |x|+|y| ≤ a}. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne? docsity.com