Rozkłady zmiennych wielowymiarowych - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne

Pobierz Rozkłady zmiennych wielowymiarowych - Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień lista 2 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość f(x, y) = { cx(x− y) dla 0 < x < 2,−x < y < x 0 w.p.p a) obliczyć stałą c; b) obliczyć P ((X,Y ) ∈ A), gdzie A = {(x, y) : 0 < x < 2, 0 < y < x}; c) znaleźć rozkłady brzegowe. 2. Dana jest funkcja f(x, y) = { 1 8 (x 2 − y2)e−x dla |y| ≤ x 0 w.p.p Zbadać czy tak określona funkcja jest gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y ). 3. Niech f(x, y) = { c(x2 + y2) dla (x, y) ∈ K 0 w.p.p gdzie K = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x− 1 ≤ y ≤ 1− x} a) wyznaczyć stałą c tak, aby funkcja f(x, y) była gęstością pewnej zmiennej losowej (X,Y ); b) obliczyć P (X2 + Y 2 ≤ 0, 5). 4. Niech (X,Y, Z) będzie trzywymiarową zmienną losową o gęstości f(x, y, z) = cg(x, y, z). Wyznaczyć stałą c, jeżeli: a) g(x, y, z) = 1 dla 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3, 4 ≤ z ≤ 5 i g(x, y, z) = 0 w pozostałej części R3; b) g(x, y, z) = 1 dla x2 + y2 + z2 ≤ 1 i g(x, y, z) = 0 w pozostałej części R3; c) g(x, y, z) = xl−1ym−1zn−1 dla x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 i g(x, y, z) = 0 w pozostałej części R3 gdzie l ≥ 1,m ≥ 1, n ≥ 1. 5. Zmienna losowa (X,Y ) ma gęstość f(x, y) = a π2(16 + x2)(25 + y2) , a) wyznaczyć parametr a; b) znaleźć dystrybuantę F (x, y); c) znaleźć rozkłady brzegowe. 6. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa trzywymiarowej zmiennej losowej (X,Y, Z) mając daną dystrybbuantę F (x, y, z) = (1− e−ax)(1− e−by)(1− e−cz) dla x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. 7. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia punktu o współrzędnych (X,Y ) w obszar określony nierównościami 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2 , jeżeli współrzędne punktu (X,Y ) mają następującą dystrybuantę F (x, y) = { 1− a−x2 − a−y2 + a−x2−2y2 dla x ≥ 0 y ≥ 0, 0 w.p.p 8. Współrzędne punktu losowego (X,Y) mają rozkład jednostajny wewnątrz prostokąta ograniczonego odciętymi 0 i a oraz rzędnymi 0 i b. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia punktu losowego w koło o promieniu R, jeżeli a > b, a środek koła pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. docsity.com