Różne rozkłady - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne

Pobierz Różne rozkłady - Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień lista 5 1. W 10-cio elementowej partii pewnego towaru są 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych wśród 2 wylosowanych sztuk, zaś Y przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, oraz 0, jeśli nie jest wadliwa. Obliczyć P (X + Y = 2) oraz E(X + Y ). 2. Niech X ∼ Poisson(λ1), Y ∼ Poisson(λ2) będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X + Y . Rozwiązanie uogólnić na dowolną sumę rozkładów Poissona. 3. Niech X1, X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio N(m1, σ1), N(m2, σ2). Znaleźć gęstość zmiennej losowej X1 +X2. 4. Niech zmienne losowe X,Y będą niezależne i mają jadnakowe rozkłady Exp(1), i niech U = X + Y, V = XX+Y . Znaleźć • gęstość zmiennej losowej U ; • gęstość zmiennej losowej V ; • czy zmienne U, V są niezależne ? 5. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio Exp(λ) oraz U [0, 1]. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z = X + Y . 6. Niech zmienna losowa X ma rozkład równomierny dwupunktowy i WX = {0, 1}, natomiast zmienna losowa Y ma rozkład U [0, 1]. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z = X + Y . Zakładamy niezależność zmiennych losowych X,Y . 7. Każdy z dwóch odcinków o długości a podzielono losowo wybranym punktem na 2 części. Zakładając, że długości krótszych odcinków są zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym, obliczyć prawdopodobieństwo, że suma długości krótszych odcinków spełnia nierówność 14a ≤ S ≤ 3 4a. 8. Zakładając, że zmienne losowe X i Y są niezależne i mają te same rozkłady geometryczne z parametrem p, wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z = X + Y . 9. X i Y są niezależnymi, stadnaryzowanymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z = X2 + Y 2. 10. Wykazać, że kompozycja niezależnych rozkładów gamma jest również rozkładem gamma. 11. Znaleźć kompozycję dwóch niezależnych rozkładów jednostajnych na odcinku [0, 1]. 12. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład o gęstości f(x, y) = √ 5 2π exp[−1 2 (x2 + 2xy + 5y2)]. Wyznaczyć łączny rozkład układu zmiennych losowych (U, V ), gdzie U = X + Y i V = X − Y . 13. X,Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym. Wykazać, że zmienneX+Y, XY są niezależnymi zmiennymi losowymi. 14. Niech niezależne zmienne losowe X,Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznaczyć E(X + Y ) oraz E(X − Y ). 15. [E.A. 5.10.2009] Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 1. Niech U = 2X + Y i V = X − Y . Wtedy prawdopodobieństwo P (U ∈ (0, 6) ∧ V ∈ (0, 6)) jest równe: a) 1− 2e−1 b) 12 (4e −3 − 3e−4) c) 12 (1− 4e −3 + 3e−4) d) 1− e−3 docsity.com