Analiza zespolona
Lista 5
Zad 1.
Dla jakich
c∈C
funkcje
f1(z) = (Rez
z, z 6= 0
c, z = 0 , f2(z) = (Imz 2
z2z6= 0
c, z = 0
s¡ ci¡gªe w zerze.
Zad 2.
Wyznaczy¢ z denicji pochodn¡ funkcji
f(z) = zn
,
n∈N
, oraz
f(z) = 1
z
.
Zad 3.
Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ w sensie zespolonym funkcji
z
,
|z|
,
|z|2
.
Zad 4.
Zbada¢ holomorczno±¢ funkcji
a)f(z) =
Re
z·z, b)f(z) = z2, c)f(z) = 1
z, d)f(z) = xy +iy,
e)f(z) = excos y+iexsin y, f )f(z) = sin xcosh y+icos xsinh y.
Zad 5.
Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ funkcji
f(z) = z·sin |z|
.
Zad 6.
Znale¹¢ jawn¡ posta¢
f
wiedz¡c, »e funkcja
f
jest holomorczna oraz
a)
Re
f(z) =
Re
z+ 1, f(0) = 1 + i, b)
Re
f(z) =
Re
z·
Im
z, f (0) = 0.
Zad 7.
Czy istnieje funkcja holomorczna
f=u+iv
, taka, »e
a)u=v, b)u=x2+y2, c)v= sin x, d)u=ex−ey.
Zad 8.
Wykaza¢, »e je±li funkcja holomorczna przyjmuje tylko warto±ci rzeczywiste, to
jest staªa.
Zad 9.
Wykaza¢, »e je±li funkcja
f
i funkcja do niej sprz¦»ona
f
s¡ ró»niczkowalne w
sensie zespolonym w punkcie
z0∈C
, to
f0(z0) = 0
.
Zad 10.
Je±li
f=u+iv
oraz
z=r(cos ϕ+isin ϕ)
, to
u
i
v
mo»na traktowa¢ jako
funkcje zmiennych
r
,
ϕ
. Pokaza¢, »e
u
i
v
speªniaj¡ warunki Cauchy-Riemmana wtedy i
tylko wtedy, gdy
∂u
∂r =1
r
∂v
∂ϕ ,∂ v
∂r =−1
r
∂u
∂ϕ .
Zad 11.
Niech
f
b¦dzie jedn¡ z gaª¦zi
√z
okre±lon¡ dla
0<
arg
z < 2π
,
z6= 0
. Wykaza¢,
»e
f
jest funkcj¡ analityczn¡ i wyznaczy¢
f0(z)
.
Zad 12.
Wykaza¢, »e je±li
u
jest cz¦±ci¡ rzeczywist¡ pewnej funkcji holomorcznej, to
u
jest funkcj¡ harmoniczn¡, czyli speªnia równanie Laplace'a
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 0.
Na odwrót pokaza¢, »e ka»da funkcja harmoniczna jest cz¦±ci¡ rzeczywist¡ pewnej funkcji
holomorcznej. Jak rzecz ma si¦ dla cz¦±ci urojonej funkcji holomorcznej?
Zad 13.
Sprawdzi¢, »e podane funkcje s¡ harmoniczne oraz znale¹¢ funkcje harmoniczne
z nimi sprz¦»one:
a)u=1
2ln(x2+y2), b)u= 2x−x3+ 3xy2, c)u= cos cos y, d)u=y
x2+y2
docsity.com