Pobierz Rozwiązania - Notatki - Badania operacyjne i więcej Notatki w PDF z Badania operacyjne tylko na Docsity!
Zad.1. Model programowania liniowego jest to analityczna (matematyczna) postać abstrakcji rzeczywistego zjawiska, czy procesu cechującego się ściśle, bądź też częściej aproksymacją (przybliżeniem) liniowego charakteru zmian tego procesu. W postaci standardowej (w notacji macierzowej) model programowania liniowego przyjmuje postać następującą:
Funkcja celu (uwzględniająca kryterium efektywności):
Z= cTx → max , min
Oraz liniowe warunki uboczne (warunki ograniczające):
Ax = b^1
i warunki brzegowe (warunki nieujemności):
x≥ 0
gdzie: Z – funkcja celu ; x - wektor zmiennych decyzyjnych (zmiennych kontrolowanych procesu) ; c – wektor parametrów funkcji celu ; A – macierz parametrów stojących po lewej stronie równań warunków brzegowych ; b – wektor ograniczeń równań warunków brzegowych.
Aby sytuacja decyzyjna mogła zostać zaklasyfikowana do zadań modeli liniowych musi cechować się
następującymi właściwościami:
Proporcjonalność – zmian wartości kryterium efektywności oraz wartości parametrów ograniczających
względem zmian decyzyjnych;
Addytywność – nakładów i efektów; Podzielność (nieskończona) – wartości zmiennych decyzyjnych; Determinizm – sytuacji decyzyjnej (ścisłe zdefiniowanie problemu).
Algorytm budowania modelu liniowego jest następujący: (1) Zdefiniowanie problemu decyzyjnego (2) Analiza jakościowa problemu – sprawdzenie czy dany problem należy do klasy modeli
decyzyjnych: aby tak było sytuacja decyzyjna musi spełnić warunki posiadania decydenta (czyli osoby
podejmującej decyzję) oraz pole decyzyjne (przynajmniej muszą istnieć 2 alternatywne względem siebie decyzje,
które są powiązane ze sobą relacją preferencji/obojętności);
(3) Analiza ilościowa (konstrukcja modelu) : określenie funkcji celu, kryterium efektywności,
zmiennych decyzyjnych, zmiennych obojętnych określających warunki brzegowe modelu. W tej części ustalana
jest również postać analityczna modelu (liniowa/nieliniowa) przy uwzględnieniu rozpatrywanego horyzontu
1 Zapis ten odpowiada modelowi w postaci kanonicznej. Dla modelu w postaci niezbilansowanej w przypadku szukania maksimum funkcji w warunkach ubocznych stosowany jest znak ≤. Natomiast przy poszukiwaniu minimum funkcji wstawiamy znak ≥.
czasowego;
(4) Walidacja poprawności stworzonej abstrakcji matematycznej – tzn. sprawdzeniu czy model
w konfrontacji z zastosowaniu zdanymi statystycznymi dobrze odzwierciedla rzeczywistość;
(5) Implementacja modelu – Prezentacja modelu → Uzyskanie wyniku → Podjęcie decyzji w
oparciu o zastosowany model;
(6) Analiza pooptymalizacyjna – analiza RHS i OFC.
Klasy zadań PL, to np.: zagadnienia przydziału (w szczególności możemy wyróżnić
zagadnienia transportowe), zadania optymalizacji dyskretnej (w tym: zagadnienia
całkowitoliczbowego PCL, zadania programowania binarnego PBL, zadania programowania
mieszanego liniowego PML), problem komiwojażera.
Zad. xij – zmienna decyzyjna oznaczająca liczbę ton i– tego surowca zaangażowanego w produkcję j- tej mieszaniny. cij – jednostkowy zysk z zaangażowania i- tego surowca w j- tą mieszankę. Funkcja kryterium:
F ( x )= ∑
i = 1
2
j = 1
3 cij ⋅ xij = 3x 11 + 6x 12 + 9x 13 + 4x 21 + 7x 22 + 11x 23 →max
Warunki podażowe (posiadane zasoby surowców): x 11 + x 12 + x 13 ≤ 28 x 11 + x 12 + x 13 ≤ 25 Warunki popytowe (zapotrzebowanie zgłaszane przez odbiorcę): x 11 + x 21 ≥ 20 x 12 + x 22 ≥ 10 x 13 + x 23 ≥ 4 Warunki technologiczne:
Warunki brzegowe: xij ≥ 0
Zad.3. Ad. a) Aby produkt P2 pozostał w optymalnym planie produkcji jednostkowy koszt wytworzenia tegoż produktu może wzrosnąć co najwyżej o 8,5 zł, gdyż tyle wynosi dopuszczalny spadek marży.
A więc optymalna partia zakupu Q* jest wielkością dla której dystrybuanta popytu przyjmuje wartość
(b-p)/(b+h).
Do rozwiązania tego typu zadania niezbędna jest znajomość następujących zmiennych:
d – w rozpatrywanym horyzoncie decyzyjnym stałe zapotrzebowanie na obuwie; K – stały (niezależny od wielkości zamówienia i czasu) koszt odnowienia; h – stały w czasie koszt jednostkowy koszt magazynowania. p – cena jednostkowa b - koszt jednostkowy niezaspokojonego popytu b
Zad.5.
Funkcja celu (maksymalizacja użyteczności pakietu medycznego ):
∑ u𝑖𝑥𝑖 → 𝑚𝑎𝑥
20
𝑖=
Warunki ograniczające (maksymalizacja użyteczności pakietu medycznego ):
wi < W
∑ 𝑤𝑖
20
𝑖=
20
𝑖=
Warunki brzegowe:
𝑥𝑖 ≥ 0 𝑥 ∈ 𝐶
Zad.6.
Dla klasycznego zagadnienia transportowego model wygląda następująco:
Funkcja kryterium:
5
𝑗=
3
𝑖=
Warunki podażowe:
5
𝑗=
≤ 𝑎𝑖 dla i = 1,2,
Warunki popytowe:
∑ 𝑥𝑖
3
𝑖=
= 𝑏𝑗 dla j = 1, … ,
Warunki brzegowe:
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 dla i = 1,2,3 oraz j = 1, … ,
Ażeby istniało rozwiązanie musi zostać spełniony następujący warunek:
3
𝑖=
5
𝑖=
