Pobierz Ruch drgajacy - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 13
13. Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okre- sowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu ob- serwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
13.1 Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem
F = – k x (13.1)
gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywiera- ną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a. Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) zna- lazła się w położeniu x = A , a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x = A cos ω t
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założe- niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
- kx = ma czyli - kx = m (d v /d t ) wreszcie
- kx = m (d^2 x /d t^2 ) (13.2)
Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x ( t ), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, że może to być funkcja x = A cos ω t i sprawdzamy
d x /d t = v = – A ωsin ω t (13.3)
d^2 x /d t^2 = a = – A ω^2 cos ω t (13.4)
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(– kA cos ω t ) = m (– A ω^2 cos ω t )
i otrzymujemy
ω^2 = k / m (13.5)
Widzimy, że x = A cos ω t jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy ω = k / m.
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = A sin ω t jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A ). Najogólniejszym rozwiązaniem jest
x = A sin( ω t + ϕ) (13.6)
gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe. Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
- dla wychylenia A
- dla prędkości ω A ( występuje gdy x = 0 )
- dla przyspieszenia ω^2 A ( występuje gdy x = A )
13.2 Okres drgań
Funkcja cos ω t lub sin ω t powtarza się po czasie T dla którego ω T = 2 π. Ta szczegól- na wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T
T = 2 π/ ω (13.7)
Liczba drgań w czasie t jest równa
n = t / T
Gdy podzielimy obie strony przez t , otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
t T
n 1
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f
T
f
Dla ruchu harmonicznego ω = k / mwięc otrzymujemy
k
T = 2 π m (13.8)
13.3 Wahadła
13.3.1 Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to za- czyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.
l
N
mg
mgcosθ
mgsinθ
θ^ x=lθ
m
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m , odchylone o kąt θ od pionu. Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mg sin θ
Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sin θ , a nie do θ , więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10 °) to sin θ jest bardzo bliski θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = l θ. Przyjmując zatem, że sin θ ≅ θ otrzymujemy
x l
mg l
x F =− mg θ=− mg =−
F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru- chu harmonicznego. Stała mg / l określa stałą k w równaniu F = – kx. Przy małej ampli- tudzie okres wahadła prostego wynosi więc
g
l k
m T = 2 π = 2 π (13.9)
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
13.3.2 Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi prze- chodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
l
mg
P
S
θ
P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S , znajdujący się w odległości l od punkt P , jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi
τ = – mgl sin θ
Korzystając ze związku
τ = I α =I (d^2 θ /d t^2 )
otrzymujemy
2
2
d
sin d t
− mgl θ = I^ θ
Dla małych wychyleń, dla których sin θ ≅ θ dostajemy równanie
θ (^) θ
I
mgl t^2
2
d
d
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
I
ω = mgl
lub
mgl
I
T = 2 π (13.10)
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I = ml^2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego
Wartość średnia sin 2 ω t jest taka sama jak cos 2 ω t i wynosi 1/2. Oba wykresy są takie same (tylko przesunięte). Poza tym sin^2 ω t + cos^2 ω t = 1 i średnia każdego składnika jest taka sama. Widać, że
E (^) p = E k
(Ważne gdy będziemy omawiać ciepło właściwe.) Przykład 2 Obliczmy jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia ki- netyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początko- wym, a położeniem równowagi?
x = A / więc
Ep = kx^2 /2 = kA^2 /
Ponieważ energia całkowita E = kA^2 /
więc Ep/E = 1/
Ponieważ E = Ep + Ek
więc Ek/E = 3/
13.5 Oscylator harmoniczny tłumiony
Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora tzn. strat energii układu oscylatora. W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu Fop ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości Fop ≈ v czyli
Fop = γ d x /d t (13.13)
Gdy działa tylko siła tłumienia to
t
x t
M x d
d d
d 2
2 =− γ
lub
v
v =− γ t
M
d
d
Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu)
τ = M / γ to otrzymamy równanie d v /d t = – (1/ τ) v
co można przepisać w postaci d v / v = – d t / τ
Całkujemy to równanie obustronnie
∫ =− ∫
v t
v
t 0
d
d 1
0 v^ τ
v
Skąd otrzymujemy
ln v - ln v 0 = – ( t / τ) lub
ln( v / v 0 ) = – ( t / τ)
a po przekształceniu
v ( t ) = v 0 e − t /^ τ (13.14)
Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową τ (rysunek).
v
t
Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie po- stać
t
kx x t
M x d
d d
d 2
2 =− − γ
Wprowadzając τ = M / γ oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych ω 02 = ( k / M ) otrzymujemy
chylenia od czasu dla ruchu tłumionego krytycznie ( β = ω 0 ) i ruchu pełzającego ( β > ω 0 ) są pokazane na wykresie poniżej.
t
X
13.5.1 Straty mocy, współczynnik dobroci
Współczynnik dobroci Q jest definiowany jako
ω
π π / /
1 P
E
P v
E
E
E
Q
straconawokresie
= zmagazynowana^ = = (13.18)
gdzie P jest średnią stratą mocy, a v częstotliwością. Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego ( β << ω 0 ) współczynnik Q ma w przybliżeniu wartość ω 0 / 2 β. Kilka typowych wartości Q podano w tabeli
Oscylator Q Ziemia dla fali sejsmicznej Struna fortepianu lub skrzypiec Atom wzbudzony Jądro wzbudzone
13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F ( t ) (która ma za zadanie podtrzymywać gasnące drgania) przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać
d
d d
d 2
2 kx F t t
x t
x M +γ + = (13.19)
albo po podstawieniu
τ = M / γ oraz ω 02 = k / M
otrzymujemy
M
x F t t
x t
x () d
1 d d
d (^2) 2 0
2
Ponownie ω 0 jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a τ stałą czasową związa- ną ze współczynnikiem tłumienia β relacją β = 1/2 τ. Zauważmy ponadto, że układ jest zasilany z częstością ω różną od częstości własnej ω 0. Gdy układ jest zasilany częstością ω różną od ω 0 wówczas drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wy- muszającą. Załóżmy, że siła wymuszająca ma postać
t M
F t M
F ( t ) sinω^ α sin ω 0
gdzie α 0 = F 0 / M. Mamy teraz w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne położenie x oraz siłę wymuszającą F. W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okreso- wych daje w wyniku też funkcję okresową (rysunek).
A 1 cosω t + A 2 sinω t
A 1 cosω t A 2 sinω t
A 1 cos ω t + A 2 sin ω t = A sin( ω t + ϕ)
Szukamy więc rozwiązania postaci A sin( ω t + ϕ). Musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe ϕ. Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe ϕ. Zarówno siła wymuszająca jak i wychylenie zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum do maksimum obejmuje 360° czyli 2π. Przesunięcie fazowe ϕ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza mak- simum siły (o ile przesunięte są wykresy x ( t ) i F ( t )). Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kie- runku dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem siły o π/2. Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych
A
β (^4)
β (^3)
β (^2)
β (^1)
Częstość rezonansową ωr i amplitudę rezonansową A r możemy obliczyć z warunku na maksimum amplitudy drgań danej wzorem (13.23). Funkcja A ( ω) osiąga maksimum
2 2 0
0 2 β ω β
α −
A =
dla częstości rezonansowej
2 2 ω (^) r = ω 0 − 2 β
Widać, że im mniejsze tłumienie β (dłuższy czas τ) tym większa amplituda A. Jeżeli tłumienie jest słabe ( β << ω 0 ) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości drgań własnych ω r = ω 0. Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazowemu ϕ = π/2 pomiędzy siłą a wychyleniem. Siła nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Za- uważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zale- ży od prędkości P = Fv
Trzeba więc, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to ozna- cza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o π/2. Gdy x = 0 to v = vmax i wtedy siła też ma być maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie prędkość zmienia swój kierunek, siła też musi zmienić swój kierunek (siła działa cały czas to nie są impulsy tak jak np. przy popychaniu huśtawki). Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań np. z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest
możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do czę- stości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.
13.6.2 Moc absorbowana
Średnia moc absorbowana jest dana wyrażeniem
t
x P F F d
d = v =
Korzystając ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy
2 2 2 2 0
2 2 (^0) ( ) ( 2 )
ω ω βω
α βω − +
P = M (13.25)
Zależność mocy absorbowanej od częstości drgań wymuszających jest przedstawiona na rysunku poniżej.
0.0 0 1 2 3 4 5 6
ω/ω 0
P/P
max
Dla rezonansu P = (1/2) M α 02 τ. Natomiast dobroć Q = ω 0 /2 β jest miarą dostrojenia układu do częstości wymuszającej.
