Pobierz Skąd się bierze tarcie i więcej Publikacje w PDF z Teoria maszyn tylko na Docsity!
Skąd się bierze tarcie?
Przemysław Borys Katedra Fizykochemii i Technologii Polimerów, Wydział Chemiczny, Politechnika Śląska
1. Wprowadzenie Już w szkole podstawowej każdy uczeń słyszy o tarciu. Przekazywana teoria spro- wadza się zwykle do następujących praw tarcia Amontonsa i Coulomba [1, 2, 7]: Pierwsze prawo tarcia (Amontonsa): wartość siły tarcia jest proporcjo- nalna do wartości siły normalnej; Drugie prawo tarcia (Amontonsa): tarcie nie zależy od wielkości po- wierzchni stykających się ciał^1 ; Trzecie prawo tarcia (Coulomba): tarcie kinetyczne nie zależy od prędko- ści ślizgania. Te opisowe prawa tarcia uzupełniane są w typowych podręcznikach fizyki co najwyżej informacją o tym, że w skali mikroskopowej trące powierzchnie nie są idealnie gładkie [1]. W ogólności ten punkt widzenia jest prawdziwy, ale brakuje mu precyzji. W ten sposób stawiamy się w pozycji XVII-wiecznych uczonych (wśród nich Amontonsa), którzy nie wiedzieli nic o kluczowym dla tarcia znaczeniu adhezji, odkrytym na początku XX wieku przez Franka Philipa Bowdena i Davida Tabora. Współczesna teoria tarcia badana jest w ramach nauki zwanej trybologią^2. Fragmentami tej teorii zamierzam się w następujących paragrafach podzielić z czytelnikami. Przedmiotem rozważań będzie tarcie suche (bez stosowania sma- rów) zewnętrzne (występujące pomiędzy powierzchniami, a nie wewnątrz mate- riału). O tarciu wewnętrznym napomknę tylko trochę omawiając tarcie gumy. Ponieważ przedstawiany materiał nie jest łatwy, w pierwszym czytaniu proponuję pominąć treść ramek, aby nie stracić z oczu myśli przewodniej tekstu^3. 2. Historyczne poglądy na tarcie Pierwszym badaczem praw tarcia był Leonardo da Vinci pod koniec XV wieku. Badał on tarcie statyczne (rys. 1c, po lewej). Zaobserwował proporcjonalność tarcia statycznego do siły nacisku („tarcie wywołuje dwukrotne zwiększenie
(^1) Drugie prawo tarcia było tak niezgodne z intuicją, że francuska Academie Royale, której Amontos je przedstawił, wydelegowała swojego eksperta (De la Hire) w celu jego zweryfikowa- nia [2]. (^2) Z greki: tribos ( τρiβoσ ) – pocierać. Obecnie polscy trybolodzy (PAN) proponują nazwę „tri- bologia” [3], aby uniknąć skojarzeń z kołami zębatymi (nazwa tryby pochodzi bowiem z nie- mieckiego treiben – napędzać, a nie z greki [4]). (^3) Uczniom proponuję na początek nie wnikać w matematykę modeli Belidora, Bowdena-Ta- bora i Greenwooda-Williamsona, a skoncentrować się na ich opisie jakościowym.
oporu, gdy ciężar ulegnie powiększeniu dwa razy” [2] i dalej, „każde ciało sta- nowi opór ruchowi z siłą równą jednej czwartej swego ciężaru”^4 [5]). Zauważył też niezależność tarcia od pola powierzchni (rys. 1b po lewej). Choć da Vinci nie rozróżniał tarcia statycznego i kinetycznego, jego odkrycia są szokująco precyzyjne zważywszy, że w jego czasach nie istniała nawet definicja siły (Ne- wton opracował ją dopiero 200 lat później [6]).
Rys. 1. Po lewej: rysunki Leonarda da Vinci dotyczące tarcia – a) badania na równi pochyłej, b) badania niezależności tarcia od pola powierzchni (klocek ułożony w różnych pozycjach), c) przyrząd pomiarowy, w którym po płaskiej powierzchni ciało było przesuwane za pomocą cię- żarka na sznurku. Po prawej: rysunek układu pomiarowego Amontonsa (1699). Sprężyna D mierzy siłę tarcia pomiędzy materiałami A i B. Sprężyna C reguluje nacisk (www.nano-world.org)
Przez kolejne 200 lat, notatki Leonarda leżały w zapomnieniu [7]. W tej sy- tuacji prawa tarcia zostały odkryte ponownie przez Guillaume Amontonsa (1663–1705), który złożył pracę o tarciu Francuskiej Królewskiej Akademii Nauk w 1699 r. i to jemu przysługuje chwała odkrywcy [2, 7]. Układ pomiaro- wy Amontonsa pokazany jest po prawej stronie na rys. 1 – badał on rozciągnię- cie sprężyny podczas przesuwania przedmiotu, a więc studiował tarcie kine- tyczne [5, 8]. Doszedł do tych samych wniosków co Leonardo, znanych obecnie jako dwa prawa Amontonsa, podane we wstępie artykułu. Amontons, podobnie jak da Vinci, uważał, że współczynnik tarcia jest wielkością uniwersalną. Jego
wyniki wskazywały na 3
^1 [5].
Opory ruchu w rozumieniu Amontonsa mogły być wynikiem dwóch efektów związanych z zazębianiem się powierzchni: wspinania się na nierówności i ela- stycznego pochylania nierówności. Sam Amontons ograniczył się jedynie do jakościowego opisu mechanizmu tarcia [9, 10, 11], ale późniejsi badacze zapro- ponowali bardziej szczegółowe modele. Pierwszy model przedstawił Belidor w 1737 roku – wspinanie się po sobie nierówności kulistych (rys. 2). W tym modelu powierzchnia przybliżona jest przez rzędy jednakowych kul. W spo- czynku górna kula znajduje się między trzema kulami u dołu, tworząc pomię-
(^4) Co oznacza, że współczynnik tarcia ma wartość 1/4 i jest wielkością uniwersalną.
Stąd, (^412)
12 x rd^2^ h R. Podstawiając wszystko do wzoru na y ', uzyskamy
y ' ^1 ^9 , co jest (uniwersalnym!) współczynnikiem tarcia teorii Belido-
ra. Jest to wynik bardzo zbliżony do współcześnie mierzonego współczynnika tarcia!
Kolejny model zaproponowany został przez Eulera w 1748 roku – wspina- nie się jednej piłokształtnej powierzchni na drugą (rys. 3). Euler zaproponował prostszy, bardziej czytelny model tarcia niż Belidor. Na rysunku widać, że pod-
czas przykładania siły F
r do ciała górnego, pojawia się pewna składowa, wcią- gająca to ciało na nierówność. Jest ona równa F // = F cos Θ.
Rys. 3. Schemat powstawania tarcia podczas unoszenia jednej powierzchni nad nierównościami drugiej
Działaniu tej siły przeciwdziała siła ciężkości Q
r (ogólniej, siła nacisku na
powierzchnię, N
r ), poprzez składową równoległą do zbocza nierówności, tj. N // = N sin Θ. Porównując siły, warunek ruchu zapisujemy jako F = N tg Θ. W modelu
tym, tg N
F pełni rolę współczynnika tarcia. Siła tarcia zależy więc je-
dynie od ciężaru i średniego nachylenia nierówności, a nie od wielkości po- wierzchni. Model ten doprowadził Eulera do rozważań nad tym, co stanie się po poko- naniu nierówności [13, 14]. Po pokonaniu drogi „pod górę”, ciało zaczyna opa- dać w dół. Jeśli opadając w dół jest w kontakcie z powierzchnią opadającego zbocza, dozna (dodatkowego) przyspieszenia w kierunku ruchu. Jeśli nie, dozna jedynie przyspieszającego działania siły przyłożonej. Jeśli opadając w dół spad- nie na zbocze narastające w środku jego długości, droga działania siły oporów przy wciąganiu na nierówność staje się mniejsza.
(^9) Rachunki odtworzone przez autora, niedostępne w cytowanej literaturze.
W konsekwencji, średnia siła tarcia, wyznaczana z pracy wykonanej przeciw
siłom tarcia wyniesie^0 , 1 2
1 2 1 2 l l
Fl l l l
F W S
gdzie FS – siła tarcia statyczne-
go, l 1 – horyzontalna droga wspinania się po nierówności, l 2 – droga swobodne- go opadania. W ten sposób, Euler przewidział, że tarcie kinetyczne powinno być mniejsze niż statyczne, co następnie sprawdził (rys. 4) i opisał w swojej pracy z 1750 roku [15, 16].
Rys. 4. Tarcie kinetyczne w modelu Eulera. Rysunek Eulera z jego pracy z 1750 (według dostęp- nego w Internecie rozdziału [15]). Do oryginalnego rysunku dorysowany został górny przedmiot uniesiony na szczyt nierówności i strzałeczka pokazująca kierunek opadania (rys. a)
Ostatni z omawianych modeli historycznych przedstawił Coulomb w 1781 roku. Było to elastyczne odginanie nierówności połączone z koncepcją piło- kształtnych nierówności Eulera. Coulomb poświęcił wiele czasu doświadczeniom i zweryfikował model Eu- lera w odniesieniu do różnych materiałów. Uzyskiwał rozmaite wartości tarcia kinetycznego, ale co ważniejsze odkrył, że tarcie statyczne nie jest stałe! [14, 17, 18, 19]. Okazało się, że im dłużej zostawić metal na drewnie, tym większa siła tarcia. Inne materiały wykazywały podobne zachowania, choć wartość siły tarcia statycznego stabilizowała się znacznie szybciej i można było przeoczyć ten efekt. Model tarcia, mający odzwierciedlić to zjawisko ukazuje rys. 5. Początkowo nierówności obydwu powierzchni zazębiają się, uniemożliwiając ruch. Po przy- łożeniu siły poziomej, nierówności elastycznie się pochylają, a ciało górne wspina się na ich szczyt. Następnie, po uwolnieniu ze szczeliny, ciało „płynie” nad sprasowanymi nierównościami [2, 7]. Kluczem do modelowania zmiennego w czasie tarcia statycznego było stwierdzenie, że nierównościom jednej po- wierzchni nie jest łatwo wpasować się w doliny powierzchni drugiej. Potrzeba czasu, aby zaszły odpowiednie odkształcenia, aby wyprzeć wodę (smar) z dolin, itd. Oczywiście im większe obciążenie tym łatwiej te zmiany zachodzą, tym
mocno, że tarcie pomiędzy nimi zaczyna wzrastać. To paradoks mechaniczny: powód jego pojawienia wynika z uwzględnienia przyciągania kohezji pomiędzy metalami, gdy zbliżamy je do siebie w ich połączeniu” [2, 16]. Desaguliers używając słowa „kohezja”, miał na myśli to samo, co Bowden i Tabor mówiąc o adhezji [2]. Prace nad adhezją zostały, niestety, wstrzymane na 100 lat przez Coulomba w 1781. Rozważając jej wpływ na tarcie uznał, że przeczy prawom Amontonsa (adhezja jest tym silniejsza im większa po- wierzchnia styku, a tarcie jest niezależne od tej powierzchni) [2, 24, 25]^10. Rozwiązanie tej trudności nastąpiło dopiero w 1939 przez Bowdena i Ta- bora [2, 5, 7, 13, 24, 26, 27]. Teoria ta jest do dziś aktualna i odwołują się do niej nawet współcześni badacze z zakresu „nano”, określając granice jej sto- sowalności. Autorzy spostrzegli, że dwa ciała stykają się nie na całej pozornej po- wierzchni kontaktu A , lecz tylko na pewnym jej podzbiorze Ar , gdzie nierówno- ści zachodzą na siebie. Ponieważ Ar jest stosunkowo małe, ciśnienie wywierane
na nierówności Ar
P N jest bardzo duże i prowadzi do plastycznych odkształ-
ceń materiału. Odkształcanie następuje tak długo, aż sumaryczna powierzchnia A r ' po odkształceniu zmniejszy ciśnienie na nierównościach do wartości kry- tycznej (zwanej twardością H = 3 Y , gdzie Y – granica plastyczności, por. rys. 6 oraz ew. ramki 1 i 2, gdzie szczegółowo objaśniono pojęcie twardości).
Rys. 6. Efekt plastycznego płynięcia kontaktów pod obciążeniem. Kontakty przestają być punk- towe, a ich powierzchnia zmniejsza naprężenie kontaktowe poniżej granicy plastyczności
Ostatecznie, sumaryczna powierzchnia kontaktów okazuje się stała^11 , nieza-
leżnie od pozornej powierzchni stykających się ciał i wynosi. H
A N (^) r Wpro-
wadzamy więc adhezję bez pogwałcenia drugiego prawa Amontonsa.
(^10) Co ciekawe, ten sam Coulomb dwa lata wcześniej, w 1779 wprowadził swój słynny wzór [3, 22] 11 F = fN + A z członem adhezyjnym A. Bowden i Tabor potwierdzili to pomiarami prądu elektrycznego płynącego przez takie mi- krokontakty. Opór elektryczny kontaktu jest odwrotnie proporcjonalny do jego powierzchni [2, 23].
Ramka 1
Żeby zrozumieć prawa plastyczności, trzeba mieć wyobrażenie o tym jak zachodzą odkształcenia plastyczne. W próbie rozciągającej cylindra (gdzie wyznaczamy Y ) odkształcenie wcale nie następuje dzięki naprężeniom normalnym. Naprężeniaa^ nor- malne jedynie indukują naprężenia ścinające, umożliwiające poślizgi płaszczyzn kry- stalicznych materiałub. Ilustruje to rysunek A poniżej (według [7]):
Widać tu, jak ukośne poślizgi powodują efektywne wydłużenie próbki i przewężenie w środku. Nietrudno domyślić się, że na ścinanie ukośnych płaszczyzn kryształu przeznaczana jest tylko część naprężenia normalnego. Wobec tego próg plastyczno- ści dla naprężeń ścinających powinien być mniejszy niż dla naprężeń rozciągających. Rzeczywiście, Yt = 0,5 Y , gdzie Yt to próg naprężeń ścinających. Relację tę łatwo wyprowadzić z rysunku B): Siła normalna, działająca na próbkę roz- chodzi się na elementy ukośne jak pokazano na rysunku. Jeśli siła normalna ma war- tość odpowiadającą progowi plastyczności, F = AY , gdzie A – przekrój próbki, to
składowe ukośne w próbce będą miały wartość 2
F^ F (^) t (wyliczone np. ze wzoru
na przekątną kwadratu). Siła ta działa na nowej powierzchni wewnętrznego sześcia-
nu, której bok ma wartość. 2
At ^ A W związku z tym, naprężenie ścinające, dzia-
łające stycznie do powierzchni At wyniesie Y A
F A
F Y t
t t 2
1 2
^1 c^ [28].
a (^) Pojęcie naprężenia σ określa siłę F , działającą na zadaną powierzchnię A ( σ = F / A ). Wyróż-
niamy naprężenia normalne, gdy siła działa prostopadle do powierzchni i ścinające, gdy siła jest równoległa do powierzchni. b (^) Pod warunkiem, że rozpatrujemy kryształ, ale nie będziemy komplikować i tak złożonego
obrazu szczegółami, które niewiele wnoszą do zrozumienia. c (^) Ostatnia równość na mocy założenia, że F / A = Y , tj. dostarczono siłę wystarczającą do od-
kształcenia rozważanego sześcianu.
co jest wynikiem trochę mniejszym niż uzyskany przez Amontonsa i Leonarda, ale rozsądnym w pierwszym przybliżeniu (Problem pojawia się, gdy rozpatru- jemy tarcie metali w próżni. Tam, po oczyszczeniu powierzchni metalu z tlen- ków i zanieczyszczeń, osiągane są współczynniki tarcia nawet na poziomie μ = 40. Co na to poradzić? Jak rozciągnąć teorię na zakres takich wartości?). Istnieje kilka możliwości. Po pierwsze, Bowden i Tabor wprowadzili pojęcie żłobienia [3, 7], tzn. wydzierania twardymi nierównościami jednego materiału rowków na drugim materiale. Do wykonania tej czynności potrzebne jest do- prowadzenie kontaktu z miękkim materiałem do granicy plastyczności, a więc nierówność musi wywrzeć na nim naprężenie 3 Y (rys. 7). Przekrój czołowy rowka jest trójkątny, więc jego pole powierzchni Arr = ax = a^2 ctg φ. Dla takiej powierzchni, siła tarcia równa jest Fr = ArrH = H a^2 ctg φ.
Rys. 7. Wydrapywanie rowka twardą nierównością w miękkiej powierzchni
Aby wyznaczyć współczynnik tarcia, musimy wiedzieć, jaka jest siła naci- sku na powierzchnię. W górnej części stożka mamy powierzchnię kołową
a^2
Aup , skąd nacisk obciążonej połowy stożka L =
a^2 H
HAup
. Dys-
ponując naciskiem L i siłą tarcia Fr
r , obliczamy współczynnik tarcia jako:
^2 ctg
L
Fr (2)
dla typowych nierówności spotykanych w pomiarach mamy φ > 80°, więc μ ~ 0,1. Wciąż za mało!!! Co tu zrobić? Są jeszcze dwie odpowiedzi na to pytanie. Po pierwsze, pomiędzy stykającymi się powierzchniami zachodzi efekt umoc- nienia (ang. work hardening ) [3, 7]. Najbardziej narażona na odkształcenia jest warstwa powierzchniowa metalu i dość szybko wyczerpuje ona możliwości korzystania z ułatwień w poślizgu płaszczyzn materiału. Takimi ułatwieniami są dyslokacje, zanieczyszczenia powodujące wewnętrzne naprężenia materiału. Po ich usunięciu, pozostaje samodzielnie włożyć ciężką pracę w wywołanie pełnych naprężeń ścinających.
Można powiedzieć: co z tego? Materiał jest twardszy, ale maleje powierzch- nia kontaktu i efekt się kasuje, dając znów uniwersalną wartość współczynnika tarcia. Ale nie do końca! Powierzchnia kontaktu wciąż może się powiększać przez płynięcie głębszych warstw materiału. Natomiast odporność na ścinanie złącz adhezyjnych jest silnie zależna od właściwości powierzchniowych. Tak więc czynnik 0,5 Y z równania ( 1 ) zastępujemy nowym, 0,5 Y 1 , Y 1 > Y. To gene- ruje wzrost siły tarcia. Nie jest to jedyna możliwość zwiększania dostępnego tarcia. Kolejną taką możliwością jest wzrost powierzchni złącza na skutek przyłożenia naprężenia ścinającego (np. podczas ślizgania czy prób rozpoczęcia ruchu w tarciu statycz- nym). W takim przypadku, początkowe naprężenie jest na granicy plastyczności σy = P 0. Po przyłożeniu naprężenia ścinającego, warunek granicy plastyczności się zmienia i wyraża za pomocą:
0
2 4 2 P
y xy (3)
(wyprowadzenie wzoru – ramka 3). Naprężenie ścinające działa na tej samej powierzchni A co naprężenie σy , więc możemy wyciągnąć A przed pierwiastek i obliczyć powierzchnię:
0
P
L F
A t
gdzie L
r to siła nacisku, a Ft
r to siła ścinająca. Widzimy znaczne możliwości
wzrostu powierzchni kontaktu, a przez to i siły tarcia.
Ramka 3 Skąd bierze się wzór na naprężenie głównea^ (wzór ( 4 )) w obecności naprężenia ści- nającego? Uzasadnimy ten wzór w przybliżeniu dla małych kątów odkształcenia, kiedy można to zrobić dość łatwob.
Na rysunku przedstawione są dwie powierzchnie w układzie kartezjańskim, poddane działaniu naprężeń σy i τxy c. Interesuje nas, jakie naprężenie normalne σ powstanie na płaszczyźnie ukośnej. W tym celu musimy najpierw obliczyć składowe x i y napręże- nia σ działającego na powierzchni ukośnej. Z trygonometrii widać, że zachodzą rela- cje między polami: Syz = Snz sin α, Sxz = Snz cos α. Zapiszmy warunek równowagi sił na trójkącie:
Teoria Hertza wyprowadzana została przez niego w wieku 22 lat „z nudów” podczas przerwy świątecznej w 1882 roku^12 [28]. Szczegóły tego wyprowadze- nia są dość złożone (szkic w ramce 4), ale najważniejszy wniosek teorii jest następujący:
3
1
4
E
a RL (5)
gdzie: a – promień kontaktu między powierzchniami, L – nacisk na powierzch- nię, E – moduł Younga. Z równania płynie niezwykle ważny wniosek: dla od- kształceń sprężystych, powierzchnia styku skaluje się z obciążeniem jak
~ 3! 2 2 A a L To zupełnie inaczej niż w teorii plastycznej, gdzie A ~ L.
Ramka 4 Aby wyprowadzić relację Hertza, potrzebujemy informacji o deformacji dwóch sty- kających się powierzchni sferycznych. Ilustracji tego problemu służy rys. poniżej z lewej strony.
Jeśli dwie elastyczne kule, spoczywające początkowo na sobie, zostaną ściśnięte to utworzy się kontakt. Jak mocno trzeba odgiąć wierzchołek kuli, aby utworzyć kon- takt o promieniu r? Jaka jest spoczynkowa odległość punktów A i B z rysunku? Od- ległość można wyznaczyć z tw. Pitagorasa (trójkąt zaznaczony na dolnej półkuli):
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 R 2 (^) r ( R d ) r R 2 Rd d r R 2 Rd (4.1)
ostatnie przybliżenie można zrobić gdyż d 2 << R 2. Stąd,. (^2 )
2 (^2) R d r Podobnie, dla
górnej półkuli, , (^2 )
2 d (^) 1 rR , a ( ) 2 ,
2 d r d 1 d 2 rR gdzie promień zastępczy
(^111). R R 1 R 2
(^12) Warto zwrócić uwagę, że Coulomb nie mógł mieć o niej pojęcia formułując swój model sprężysty.
Interesuje nas następnie, jaki rozkład odkształcenia sprężystego powierzchni jest ko- nieczny aby zbliżyć półkule do siebie o δ? Odpowiedź to w ( r ) = δ – d ( r ) =. 2
2 R
r To ważny rezultat, gdyż w teorii sprężystości możemy powiązać rozkład odkształce- nia z rozkładem ciśnienia na powierzchni kontaktu. Z kolei dysponując ciśnieniem, możemy wyznaczyć relację Hertza między powierzchnią kontaktu a obciążeniem. Aby znaleźć związek ciśnienia z odkształceniem, musimy spojrzeć na rys. po prawej. Pokazany tam jest schematycznie gwóźdź wbity w sprężystą powierzchnię. Widać, że odkształcenie pojawia się również poza obszarem oddziaływania ciśnienia (naci- sku gwoździa) i ma kształt, na oko, hiperboliczny! Teoretycznie można wykazać (teoria Boussinesq), że istotnie, rozkład odkształcenia przyjmuje postać:
r
L
E
wr
( )^1 (4.2)
gdzie E – moduł Younga, L – obciążenie w punkcie. Jeśli obciążenie L wyrazić za
pomocą ciśnienia na powierzchni dxdy , uzyskamy.
x y
pxydxdy E
w r
Można zatem odgadnąć, że gdy mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ciśnienia na danej powierzchni, to odkształcenie w punkcie ( x , y ) będzie sumą odkształceń, generowanych przez ciśnienia każdego punktu powierzchni. Napiszemy:
(^) (^) S (^) x x y y
px y dxdy E
w r ( ')^2 ( ')^2
(4.3)
„można łatwo pokazać”, że dla naszego w ( r ) a, że rozwiązaniem tego równania jest
2
2 p ( r ) p 0 1 ar (4.4)
gdzie a to promień kontaktu , a 0 2. R
p Ea
Jeśli scałkować to ciśnienie po całym kontakcie, to dostaniemy obciążenie normalne,
R
L a^ pr rdr p a^2 Ea^3 (^0 )
( ) 2 ^2
^ ^ (4.5)
skąd już prosta droga do relacji Hertza. Omówienie teorii Hertza wypada jeszcze za- kończyć typowym pytaniem: a co wy porabiacie w święta? _____________________ a Koszmarne rachunki (wersja skrócona, bez szczegółów obliczania całek) dostępne online przez Google Books w monografii Johnsona, s. 59.
Jest to duży kłopot, gdyż w modelu adhezyjnym siła tarcia jest proporcjo- nalna do powierzchni. Znaczyłoby to, że w kontakcie sprężystym, siła tarcia nie
obciążenie, niesione przez wszystkie N wierzchołków stykających się z górną powierzchnią ( z > d ) wyrażamy średnią po rozkładzie ψ :
exp () exp [ ]
1 3 /^2 0 1 3 /^2
0 1 3 /^213 /^2
NC d t tdt NC d E t
L NC d z d z dz NC t t ddt
(7)
W drugiej linijce wykorzystaliśmy fakt, że ψ ( t ) jest funkcją wykładniczą i można rozbić exp[–( t + d )/ σ ] = exp(– t / σ ) exp(– d / σ ). W ten sprytny sposób powodujemy, że całka nie jest zależna od d (stopnia zbliżenia powierzchni, wyrażającego zależność od L , tym większego im większe L ). Zależność od d można wyjąć przed nawias. Sama całka natomiast, nie będąc zależną od żadne- go parametru, staje się zwyczajną liczbą (pewną stałą, momentem E [·]^14 rozkła- du chropowatości). W podobny sposób można policzyć sumaryczną powierzchnię kontaktu przy zadanym „ściśnięciu” d. Pole pojedynczego kontaktu to πa^2 = 2 πRd 2 = C 2 d 2 (znów, C 2 to stała wprowadzona by nie pisać wciąż 2 πR ). Sumaryczny kontakt obliczamy jako:
exp () exp []
2 0 2
(^220)
NC d t t dt NC d E t
A NC d z d zdz NC t t ddt
Dzieląc L przez A , uzyskujemy średnie ciśnienie kontaktów
const []
[ ]
2
1 3 /^2 CEt
CEt P (9)
A więc dostajemy proporcjonalną do obciążenia zależność powierzchni sty- ku. Uratowaliśmy teorię adhezyjną! Siła tarcia adhezyjnego jest przecież pro- porcjonalna do tej powierzchni i wobec tego jest proporcjonalna do obciążenia, zgodnie z prawami Amontonsa.
5. Tarcie gumy Guma jest materiałem, który łączy w sobie przewidywania modelu Hertza i Bowdena Tabora [30]. Siła tarcia w przypadku tego materiału zależy bowiem od nacisku jak F ~ N 2/3. Jeśli zapisać równanie na siłę tarcia z użyciem współ- czynnika μ , dostaniemy F = μN , μ = μ 0 N – 1/3, tj. współczynnik tarcia dla gumy maleje ze wzrostem obciążenia. Dlatego samochody wyścigowe używają szero- kich opon.
(^14) n -tym momentem rozkładu nazywamy całkę xn (^) ( x ) dx
(^) .
Tarcie adhezyjne w przypadku gumy nie wyczerpuje jednak wszystkich możliwości. Drugim istotnym wkładem do siły tarcia, szczególnie w przypadku opon, jest mechanizm deformacyjny. Guma, napotykając na drodze na nierów- ności, odkształca się na nich sprężyście, lecz z uwagi na duże tarcie wewnętrz- ne^15 [2], powrót ze stanu odkształcenia nie jest natychmiastowy. Z powodu tej bezwładności odkształceń, na gumę trzeba podziałać siłą przy „nacieraniu” na nierówność, ale po jej minięciu, guma nie potrafi sprężyście od niej odskoczyć i „odzyskać” energii (rys. 9).
Rys. 9. Ilustracja tarcia deformacyjnego dla gumowej opony, mijającej nierówność. W przypadku A , pojawia się siła hamująca, a po minięciu nierówności (B) przeszkoda na drodze przyspiesza ruch pod warunkiem, że opona elastycznie powraca do stanu wyjściowego. Jeśli ten proces jest utrudniony, pojawia się tarcie
Warto zauważyć, że w przypadku obecności smaru między gumą a na- wierzchnią, mechanizm deformacyjny tarcia daje główny wkład do siły tarcia gumy. Takim smarem w przypadku opon samochodowych może być np. wilgoć na drodze.
6. Ruch przerywany ( stick-slip ) Jeżeli tarcie kinetyczne jest mniejsze od tarcia statycznego, w ruchu ciał można oczekiwać tzw. ruchu przerywanego ( stick-slip motion ) [2, 7]. Istnieje kilka wariantów tego ruchu [7], np. poślizg sterowany prędkością, czasem, prze- mieszczeniem. Różnią się one sposobem modelowania przejścia od tarcia przy prędkości zerowej do tarcia kinetycznego przy niezerowej prędkości v. Podstawowy model ruchu przerywanego pokazuje rys.10 po lewej [2]. W tym modelu zakładamy, że ciało pociągane jest za pomocą sprężyny, przeno- szącej z zewnątrz siłę F
r
- Do momentu osiągnięcia przez F
r wartości siły tarcia statycznego, ciało A pozostaje w bezruchu. Po przekroczeniu tej bariery, ciało A zaczyna gwałtownie przyspieszać. Jeśli przyspieszając ciało zmniejsza naprężenie sprężyny (np. gdy prawy koniec sprężyny porusza się ze stałą pręd- kością), to naprężenie może opaść poniżej wartości siły tarcia kinetycznego,
(^15) Tarcie pomiędzy cząsteczkami polimeru tworzącego gumę. (^16) Ponieważ nie ma w rzeczywistości ciał doskonale sztywnych, model ten jest jak najbardziej realistyczny.
7. Atomowe modele tarcia – wprowadzenie Rozważania prowadzone do tej pory uwzględniały wiele różnych aspektów tarcia, ale były to raczej teorie ciągłe, nie zakładające atomowej struktury mate- rii. W takiej ciągłej teorii możliwe jest wyobrażenie sobie sytuacji, w której mamy do czynienia z dwiema idealnie wypolerowanymi powierzchniami. Jeśli przemieścimy je względem siebie, ich stan energetyczny nie ulega żadnym chwilowym zmianom i nie potrzeba wykonać pracy przeciw żadnym siłom [7]. Tymczasem jeśli uwzględnić atomową strukturę materii okazuje się, że po- wierzchnie muszą poruszać się w periodycznym potencjale sił związanym z siecią atomową. Potrzeba więc włożyć pewną pracę, by wspiąć się na zbocze potencjału, a następnie przy zejściu z takiego zbocza część uzyskanej energii tracimy. Z tej przyczyny obecnie postuluje się, że ciągłe modele tarcia załamują się w skali atomowej [20, 33]. W skali atomowej koncepcja odkształcania nierówności traci swój zasadni- czy sens i, co już sygnalizowaliśmy we wstępie historycznym, bardziej ade- kwatne stają się modele wyjaśniające tarcie na gruncie teorii chropowatości. Jednym z pierwszych takich modeli jest model kostki brukowej (ang. cobble- stone model [7]), będący ukłonem w kierunku pracy Belidora z 1737. Deriagin [22] zaproponował w ramach tego podejścia model tarcia pokazany na rys. 11.
Rys. 11. Atomowy model tarcia Deriagina
Siła tarcia równa jest tu F = f 0 ( N + N 0 ). N to nacisk wynikający z obciążenia, a N 0 to dodatkowa siła wynikająca z oddziaływania molekularnego. f 0 wyraża tangens największego kąta znajdującego się na trajektorii środka ciężkości po- ruszającej się powierzchni.
Co ciekawe widać stąd, że amontonsowski współczynnik tarcia N
F nie
jest stały, ale rośnie^18 gdy N → 0. Rozważając model Deriagina, nietrudno przypomnieć sobie argumentację Lesliego [2] odnośnie konieczności wytracania energii podczas ruchu po nie- równościach. Skoro w skali atomowej trudno niekiedy mówić o plastycznym
(^18) Do nieskończoności!
odkształcaniu (np. w ruchu po gładkiej w skali atomowej powierzchni rozłupa- nej miki), to czym wyjaśnić straty energii? Odpowiedzią są fonony [23, 33]. Powierzchnie opadając w doliny nierówności wzbudzają atomy do drgań me- chanicznych, generujących fale dźwiękowe, zamieniane ostatecznie na ciepło.
8. Model Frenkel-Kontorova-Tomlinsona W 1929 roku G.A. Tomlinson w Wielkiej Brytanii, a w 1930 Y. Frenkel w Ro- sji, prowadzili badania nad ruchem atomów jednej powierzchni w potencjale generowanym przez drugą powierzchnię. Stworzyli oni dwa modele, operujące w podobnym formalizmie. Prezentowany tutaj – skonstruowany został przez Frenkela^19 (rys. 12A) [7].
Rys. 12. Atomowy model tarcia Frenkela-Kontorova
Na rysunku w dolnej części pokazano potencjał dolnej powierzchni, nato- miast u góry znajdują się atomy górnej powierzchni. Atomy górnej powierzchni połączone są między sobą sprężynkami, które odzwierciedlają siły przyciąga- nia-odpychania^20 występujące pomiędzy nimi. Aby górną powierzchnię wprawić w ruch, należy przyłożyć do niej siłę F
r . Spowoduje ona kompresję pierwszej sprężynki i przeskok atomu do drugiej studni potencjału. Teraz dwa atomy będą rozpychać się w obrębie jednej studni potencjału (rys. 12B). Efektywnie obniża to barierę potencjału, którą musi po- konać atom-sąsiad by z niej wyskoczyć. W ten sposób następuje szybka propa- gacja zaburzenia na drugi koniec styku i znów każdy atom leży w jednej studni potencjału. Co dzieje się, jeśli stykają się materiały o niejednakowej sieci krystalicznej? Wówczas może się zdarzyć, że na skutek niedopasowania wymiarów prze- strzennych sieci krystalicznej, w niektórych studniach z konieczności będą znajdowały się po dwa atomy (jak na rys. 12B, lecz bez przyłożenia zewnętrz- nej siły). W takim przypadku, wewnątrz podwójnie obsadzonych studni poten-
(^19) Model Tomlinsona jest podobny, jednak atomy nie są połączone sprężynkami między sobą. Sprężynki atomowe są podłączone do sztywnej zewnętrznej prowadnicy [7]. Właśnie sposób połączenia sprężynek różnicuje te dwa modele. 20 Np. potencjał typu Lennarda-Jonesa.
