Pobierz Średnia odległość planety od Słońca i III prawo Keplera ( ) ( ) i więcej Egzaminy w PDF z Historia tylko na Docsity! FOTON 128, Wiosna 2015 22 Johannes Kepler (1571–1630) Średnia odległość planety od Słońca i III prawo Keplera Andrzej Majhofer Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego Studiowanie podręczników jest bardzo pouczające, a cza- sami może nawet zainspirować do własnych badań. Weźmy na przykład prawa Keplera. Co do dwóch pierwszych pod- ręczniki są zgodne – planety obiegają Słońce po torach elip- tycznych (I prawo), przy czym odcinek łączący planetę ze Słońcem w równych odcinkach czasu zakreśla równe pola – inaczej mówiąc prędkość polowa jest w tym ruchu stała (II prawo). Kłopoty zaczynają się, gdy czytamy o III prawie Keplera. Co do pierwszej części sformułowania panuje zgoda: dla wszystkich planet stosunek 3 2 D T ma tę samą wartość, przy czym T oznacza okres, w jakim Planeta obiega Słoń- ce. Co do D, to zdania są już jednak podzielone: w części podręczników D to średnia odległość Planety od Słońca, a w pozostałych D oznacza długość więk- szej półosi eliptycznej orbity. Kto ma rację? A może oba określenia są równo- ważne? To trzeba wyjaśnić. Zacznijmy od zapisania I prawa Keplera we współ- czesnym języku: Planeta obiega Słońce po orbicie eliptycznej – to znaczy, że odległość r Planeta–Słońce, jako funkcja kąta φ między promieniem wodzącym planety i kierunkiem Słońce–peryhelium planety, dana jest równaniem = 1 cos p r φ + e φ , w którym p i e są dodatnimi stałymi oraz 0 < e < 1. Stała e nazywana jest mi- mośrodem orbity. Maksymalna odległość od Słońca (aphelium) wynosi więc max 1 p r e , a minimalna (peryhelium): min 1 p r e . Pisząc „Planeta” dużą literą Autor ma na myśli którąś z planet Układu Słonecznego. FOTON 128, Wiosna 2015 23 Równanie opisuje elipsę o półosiach: dłuższej min max2 1 = + 21 p a = r r e oraz krótszej 21b = a e . Sprawdźmy, ile wynosi średnia odległość Planeta–Słońce. Tu musimy zde- cydować, jaka średnia nas interesuje: względem kąta, czy względem czasu. Te dwie wydają się jedynymi sensownymi, bo dostępnymi obserwacji. Obliczmy obie. Zacznijmy od średniej względem kąta: 2π 2 0 1 = = = 2π 1 φ p r r φ dφ b e . Niedobrze – otrzymaliśmy długość krótszej półosi elipsy. Może lepiej nam pójdzie z uśrednieniem względem czasu? Musimy w tym celu zmienić zmienną całkowania i dodatkowo wyznaczyć okres obiegu. Bo poszukiwana średnia to: 0 1 = T t r r t dt T .
