Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Środki ciężkości - Notatki - Mechanika, Notatki z Mechanika

Notatki dotyczące tematów z mechaniki: środki ciężkości i środek masy.

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

dlugie_nogi
dlugie_nogi 🇵🇱

4.5

(16)

80 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Środki ciężkości - Notatki - Mechanika i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 4.1. Środek ciężkości i środek masy Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które działają siły ciężkości Gk (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem punktu odniesienia O określają wektory wodzące rk, jak na rysunku. Wiadomo, że siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez przyśpieszenie ziemskie, Gk = mk g, i są skierowane do środka kuli ziemskiej. Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego. Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek układu sił równoległych. Wektor wodzący rC środka ciężkości C układu punktów materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek: r r C k k k n G G = = ∑ 1 . (4.1) Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych otrzymamy ze wzorów (3.55): x x G G y y G G z z G GC k k k n C k k k n C k k k n = = == = ∑ ∑ ∑ 1 1, , =1 . (4.2) We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego: G G k k n = = ∑ 1 . W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆mk i ciężarach ∆Gk (rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆Gk zamiast Gk otrzymamy wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły: r r C k k k n G G = = ∑ ∆ 1 , (4.3) docsity.com x x G G y y G G z z G GC k k k n C k k k n C k k k n = = == = = ∑ ∑ ∑∆ ∆ 1 1, , ∆ 1 . (4.4) m1 Gn GkG2 G1 rn O rC y x m2 r2 rk mk z mn Cr1 G Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe z y x O ∆mk rk C G ∆Gk rC Rys. 4.2. Wyznaczanie środka ciężkości dowolnej bryły Dokładny wzór na promień wodzący rC środka ciężkości C otrzymamy, biorąc granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka ciężkości C r r r C n k k k n G lim G G dG G = = →∞ = ∑ ∫∆ 1 . (4.5) Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami: x xdG G ydG G z zdG GC G G C G= = = ∫ ∫ , y ,C ∫ . (4.6) Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać: G g m i dG g dm= = , gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory: docsity.com dz z b bz b z y x h O C Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa z zdV VC V= ∫ . (a) W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa: V b h= 2 3 . (b) W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do podstawy xy, o boku bz i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu dV b dzz= 2 . Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku: b b h z h z = − , stąd ( )b b h h zz = − . docsity.com Mamy więc: ( ) dzzh h bdV 22 2 −= . (c) Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu całkowania otrzymamy szukaną współrzędną środka ciężkości: ( ) z b h h z z dz b h h C h = − = ∫ 2 2 2 0 2 3 4 . docsity.com 4.2.2. Środek ciężkości powierzchni jednorodnej Takie bryły, jak cienkie płyty, blachy, powłoki itp., których grubość jest znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami, będziemy nazywali powierzchniami materialnymi. Jeżeli ciężar jednostki powierzchni jest stały, to powierzchnię taką nazywamy powierzchnią jednorodną. Gdy ciężar jednostki powierzchni oznaczymy przez , powierzchnię całkowitą przez F, a powierzchnię elementarną przez dF (rys. 4.4), to możemy napisać: γ F G F,F dF= γ γdG = F . Po i cię W na to cię C z y x O G dG dFF Rys. 4.4. Wyznaczanie położenia środka ciężkości powierzchni podstawieniu tych zależności do wzorów (4.6) i po skróceniu licznika mianownika przez otrzymamy wzory na współrzędne środka żkości powierzchni jednorodnej: γ F const= . F zdF z, F ydF y, F xdF x FC F C F C ∫∫∫ === (4.13) ystępujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi całą powierzchnię F. Jeżeli powierzchnia jednorodna jest figurą płaską i leży na płaszczyźnie np. xy, współrzędna oraz zC = 0 x xdF F ydF FC F= = ∫ ∫ , yC F . (4.14) Punkt C o współrzędnych określonych wzorami (4.14) nazywamy środkiem żkości figury płaskiej. docsity.com Przykład 4.2. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego łuku ćwiartki koła przedstawionego na rys. 4.6. xC x y C O r yC Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości łuku kołowego Rozwiązanie. Z uwagi na to, że przedstawiony łuk ma oś symetrii, jego środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Ponieważ oś symetrii jest dwusieczną kąta prostego zawartego między osią x i y, współrzędne środka ciężkości C będą równe: . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną z nich. Wyznaczymy współrzędną , korzystając z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy obrocie łuku wokół osi y otrzymamy powierzchnię w postaci połowy kuli o powierzchni x i yC C Cx yC = xC F r= 2 2π . Długość łuku L r= π 2 . Po podstawieniu tych wartości do wzoru (4.16) otrzymamy równanie: 2 2 2 2π π πr x rC= , stąd π == r2yx CC . docsity.com Przykład 4.3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rys. 4.7. x y O r r/2 Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości figury płaskiej Rozwiązanie. Do wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości przedstawionej na rysunku figury płaskiej zastosujemy drugie twierdzenie Pappusa--Guldina. Współrzędną wyznaczymy przez obrócenie figury wokół osi x, a współrzędną przez obrót wokół osi y. Przy obrocie figury wokół osi x otrzymamy bryłę o objętości równej różnicy półkuli o promieniu r i kuli o promie- niu 0,5r. x i yC C yC xC V r r r= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 3 4 3 2 2 3 3 3 π π π . Pole figury F r r= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = π π π2 2 2 4 2 2 8 r . Po podstawieniu obliczonych wartości V i F do wzoru (4.17) otrzymamy: π π πr y rC 3 2 2 2 8 = , stąd y rC = 2 π . Przy obrocie figury wokół osi y otrzymamy bryłę o objętości docsity.com ′ =V xC2 Fπ . (a) Wielkość jest różnicą objętości V′V 1 półkuli o promieniu r i połowy torusa o objętości V2, powstałego z obrotu półkuli o promieniu 0,5r wokół osi y: ′ = −V V V1 2 . Do obliczenia objętości V2 połowy torusa również zastosujemy drugie twierdzenie Pappusa-Guldina. Do wzoru (4.17) zamiast hC wstawimy 0,5r. V r r2 2 2 3 2 2 2 2 8 = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =π π π r . Zatem ( )′ = − = −V r r2 3 8 16 3 24 3 2 3π π π π r3 . Po podstawieniu tej wartości oraz wyliczonej uprzednio powierzchni F do wzoru (a) otrzymamy równanie: ( )16 3 24 2 8 3 2 − =π π π πr x rC , a stąd ( )x rC = −16 3 6π π . docsity.com