Pobierz Środki ciężkości - Notatki - Mechanika i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 4.1. Środek ciężkości i środek masy Rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które działają siły ciężkości Gk (rys. 4.1). Niech położenie tych punktów względem punktu odniesienia O określają wektory wodzące rk, jak na rysunku. Wiadomo, że siły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przez przyśpieszenie ziemskie, Gk = mk g, i są skierowane do środka kuli ziemskiej. Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siły ciężkości możemy uważać za siły równoległe. Punkt C położenia wypadkowej sił ciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego. Punkt ten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego. Skoro siły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środka ciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na środek układu sił równoległych. Wektor wodzący rC środka ciężkości C układu punktów materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek: r r C k k k n G G = = ∑ 1 . (4.1) Współrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnych otrzymamy ze wzorów (3.55): x x G G y y G G z z G GC k k k n C k k k n C k k k n = = == = ∑ ∑ ∑ 1 1, , =1 . (4.2) We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego: G G k k n = = ∑ 1 . W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jest bryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆mk i ciężarach ∆Gk (rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆Gk zamiast Gk otrzymamy wzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły: r r C k k k n G G = = ∑ ∆ 1 , (4.3) docsity.com x x G G y y G G z z G GC k k k n C k k k n C k k k n = = == = = ∑ ∑ ∑∆ ∆ 1 1, , ∆ 1 . (4.4) m1 Gn GkG2 G1 rn O rC y x m2 r2 rk mk z mn Cr1 G Rys. 4.1. Siły ciężkości jako siły równoległe z y x O ∆mk rk C G ∆Gk rC Rys. 4.2. Wyznaczanie środka ciężkości dowolnej bryły Dokładny wzór na promień wodzący rC środka ciężkości C otrzymamy, biorąc granicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej do nieskończoności i ich wymiarach dążących do zera. Wtedy w miejsce sumy otrzymamy całkę rozciągniętą na całą bryłę. Zatem wektor wodzący środka ciężkości C r r r C n k k k n G lim G G dG G = = →∞ = ∑ ∫∆ 1 . (4.5) Z kolei współrzędne prostokątne środka ciężkości bryły są określone wzorami: x xdG G ydG G z zdG GC G G C G= = = ∫ ∫ , y ,C ∫ . (4.6) Załóżmy obecnie, że pole sił ciężkości jest polem jednorodnym, czyli przyśpieszenie ziemskie nie ulega zmianie, tzn. g = const w całym rozpatrywanym układzie materialnym. Możemy wtedy zapisać: G g m i dG g dm= = , gdzie m jest masą całego układu lub ciała materialnego. Po podstawieniu tych zależności do wzorów (4.5) i (4.6) i po skróceniu przez g otrzymamy wzory: docsity.com dz z b bz b z y x h O C Rys. 4.3. Wyznaczanie środka ciężkości ostrosłupa z zdV VC V= ∫ . (a) W mianowniku tego wzoru występuje objętość ostrosłupa: V b h= 2 3 . (b) W celu wyznaczenia całki występującej w liczniku wzoru (a) ostrosłup podzielimy na elementy dV w postaci cienkich płytek kwadratowych, równoległych do podstawy xy, o boku bz i grubości dz. Objętość tak przyjętego elementu dV b dzz= 2 . Bok krawędzi elementu znajdziemy z proporcji wynikającej z rysunku: b b h z h z = − , stąd ( )b b h h zz = − . docsity.com Mamy więc: ( ) dzzh h bdV 22 2 −= . (c) Po podstawieniu wzorów (c) i (b) do (a) i wykonaniu całkowania otrzymamy szukaną współrzędną środka ciężkości: ( ) z b h h z z dz b h h C h = − = ∫ 2 2 2 0 2 3 4 . docsity.com 4.2.2. Środek ciężkości powierzchni jednorodnej Takie bryły, jak cienkie płyty, blachy, powłoki itp., których grubość jest znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami, będziemy nazywali powierzchniami materialnymi. Jeżeli ciężar jednostki powierzchni jest stały, to powierzchnię taką nazywamy powierzchnią jednorodną. Gdy ciężar jednostki powierzchni oznaczymy przez , powierzchnię całkowitą przez F, a powierzchnię elementarną przez dF (rys. 4.4), to możemy napisać: γ F G F,F dF= γ γdG = F . Po i cię W na to cię C z y x O G dG dFF Rys. 4.4. Wyznaczanie położenia środka ciężkości powierzchni podstawieniu tych zależności do wzorów (4.6) i po skróceniu licznika mianownika przez otrzymamy wzory na współrzędne środka żkości powierzchni jednorodnej: γ F const= . F zdF z, F ydF y, F xdF x FC F C F C ∫∫∫ === (4.13) ystępujące w tych wzorach całki są całkami powierzchniowymi rozciągniętymi całą powierzchnię F. Jeżeli powierzchnia jednorodna jest figurą płaską i leży na płaszczyźnie np. xy, współrzędna oraz zC = 0 x xdF F ydF FC F= = ∫ ∫ , yC F . (4.14) Punkt C o współrzędnych określonych wzorami (4.14) nazywamy środkiem żkości figury płaskiej. docsity.com Przykład 4.2. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego łuku ćwiartki koła przedstawionego na rys. 4.6. xC x y C O r yC Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości łuku kołowego Rozwiązanie. Z uwagi na to, że przedstawiony łuk ma oś symetrii, jego środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Ponieważ oś symetrii jest dwusieczną kąta prostego zawartego między osią x i y, współrzędne środka ciężkości C będą równe: . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną z nich. Wyznaczymy współrzędną , korzystając z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy obrocie łuku wokół osi y otrzymamy powierzchnię w postaci połowy kuli o powierzchni x i yC C Cx yC = xC F r= 2 2π . Długość łuku L r= π 2 . Po podstawieniu tych wartości do wzoru (4.16) otrzymamy równanie: 2 2 2 2π π πr x rC= , stąd π == r2yx CC . docsity.com Przykład 4.3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rys. 4.7. x y O r r/2 Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do wyznaczenia środka ciężkości figury płaskiej Rozwiązanie. Do wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości przedstawionej na rysunku figury płaskiej zastosujemy drugie twierdzenie Pappusa--Guldina. Współrzędną wyznaczymy przez obrócenie figury wokół osi x, a współrzędną przez obrót wokół osi y. Przy obrocie figury wokół osi x otrzymamy bryłę o objętości równej różnicy półkuli o promieniu r i kuli o promie- niu 0,5r. x i yC C yC xC V r r r= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 2 3 4 3 2 2 3 3 3 π π π . Pole figury F r r= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = π π π2 2 2 4 2 2 8 r . Po podstawieniu obliczonych wartości V i F do wzoru (4.17) otrzymamy: π π πr y rC 3 2 2 2 8 = , stąd y rC = 2 π . Przy obrocie figury wokół osi y otrzymamy bryłę o objętości docsity.com ′ =V xC2 Fπ . (a) Wielkość jest różnicą objętości V′V 1 półkuli o promieniu r i połowy torusa o objętości V2, powstałego z obrotu półkuli o promieniu 0,5r wokół osi y: ′ = −V V V1 2 . Do obliczenia objętości V2 połowy torusa również zastosujemy drugie twierdzenie Pappusa-Guldina. Do wzoru (4.17) zamiast hC wstawimy 0,5r. V r r2 2 2 3 2 2 2 2 8 = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =π π π r . Zatem ( )′ = − = −V r r2 3 8 16 3 24 3 2 3π π π π r3 . Po podstawieniu tej wartości oraz wyliczonej uprzednio powierzchni F do wzoru (a) otrzymamy równanie: ( )16 3 24 2 8 3 2 − =π π π πr x rC , a stąd ( )x rC = −16 3 6π π . docsity.com