Statyczna próba skręcania metali, Laboratoria z Materiałoznawstwo

Pobierz Statyczna próba skręcania metali i więcej Laboratoria w PDF z Materiałoznawstwo tylko na Docsity! Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Statyczna próba skręcania metali (wyznaczanie modułu sprężystości poprzecznej) STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 2 CEL ĆWICZENIA  Zaznajomienie się z próbą statycznego skręcania i maszynami skręcającymi.  Pokazanie zachowania się materiału podczas próby.  Wyznaczenie pewnych wielkości charakteryzujących własności materiału (w tym przy- padku w zakresie odkształceń sprężystych).  Sprawdzenie liniowej zależności kąta skręcenia  od momentu skręcającego M s .  Wyznaczenie modułu sprężystości poprzecznej G (określenie materiału, z jakiego wy- konana jest badana próbka).  Statystyczne opracowanie wyników. WPROWADZENIE Próbę skręcania przeprowadza się zwykle na prętach o stałym przekroju kołowym, dla któ- rych proste jest określenie stanu naprężenia. Próbki o innym niż kołowy przekroju stosowane są w szczególnych przypadkach. Rys. 1 Próbki stosowane do prób skręcania Wymiary próbek zwykle wynoszą:  d = 1030 mm;  L 0 = (520)d, (najczęściej L 0 = 10d) W przypadku prętów cienkich i drutów można je mocować bezpośrednio w odpowiednich uchwytach. Typowe próbki mają głowy o przekroju kołowym, kwadratowym, n-krotnym i in- nych, mogą również posiadać nacięcia. Jednakże bez względu na kształt, muszą one spełniać wymóg osiowego ustawienia próbki i uniemożliwić obrót głowy wewnątrz uchwytów. Naj- częściej w związku z tym stosuje się próbki z głowami o przekroju kwadratowym. L t L 0 L c d D m n n n - n D R STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 5 W celu dokładniejszego określenia wartości G należy do obliczeń zastosować jedną z me- tod statystycznych, np. metodę najmniejszych kwadratów (metoda ta została omówiona w dodatku na końcu niniejszej instrukcji). b. Określenie i sposób wyznaczania R pr , R sp i R e przy skręcaniu Przyjmuje się, że umowna granica proporcjonalności R prs jest to naprężenie, przy którym stosunek naprężenia do odpowiadającego mu odkształcenia stanowi 2 /3 modułu sprężystości poprzecznej. Zakres sprężysty w praktyce ogranicza się od góry umowną granicą sprężystości (punkt B na rys. 2.3): 0 sps sps M R W  (8) Natomiast za podstawę do określenia umownej granicy proporcjonalności R prs i plastycz- ności R es przyjmuje się umowną wartość trwałego odkształcenia postaciowego  dla włókien skrajnych. W celu wyznaczenia wymienionych wielkości porównywalnych z podobnymi wielkościa- mi wyznaczanymi w próbie rozciągania umowną wartość  wylicza się z odpowiednich zależ- ności między odkształceniem postaciowym a wydłużeniem jednostkowym. Dla małych od- kształceń w przypadku rozciągania zachodzi zależność: max 11.5  (9) Wartość 1 dla wyznaczania umownej granicy sprężystości wynosi 0.05%, zaś dla umow- nej granicy plastyczności 0.2% długości pomiarowej. Tak więc (przy pewnym uproszczeniu) przyjmuje się: - dla umownej granicy sprężystości przy skręcaniu: 11 5 1.5 0.05 0.075. %     (10) - dla umownej granicy plastyczności: 11 5 1.5 0.2 0.3. %     (11) Odpowiednikami R 0.05 i R0.2 przy rozciąganiu będą więc R0.075 i R0.3 przy skręcaniu. Kątowi skręcenia  (rys. 2.2) odpowiada kąt   taki, że: 0 tg l     (12) Stąd: 0 arc tg l     (13) Oczywiście, na powierzchni próbki (gdy  = r,   =): 0 arc tg r l     (14) Dla niewielkich kątów skręcenia wzór (14) można przybliżyć zależnością: 0 r l    (15) Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na dopuszczalny kąt skręcenia w postaci: 0 1 0 1 5 r l . l r r     (16) STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 6 Jest to wartość kąta skręcenia odpowiadającego umownej granicy wartości , którą można zaznaczyć na wykresie (rys. 4). Odczytując z wykresu M 0.075 i M0.3 wylicza się Rsps i Res ze wzorów: 0 0750 075 0 . sp . M R W  , (17) 0 30 3 0 . e . M R W  (18) Rys. 4. Wykreślny sposób określania M0.3 c. Rozkład naprężeń po przekroczeniu granicy proporcjonalności Rpr Wzory (1-3) są prawdziwe jedynie w zakresie własności sprężystych materiału, czyli do takiej wartości  s , przy którym na konturze przekroju wystąpią naprężenia ’ odpowiadające granicy plastyczności przy czystym ścinaniu. Dla materiałów sprężysto - plastycznych przy ścinaniu (stan naprężenia w przypadku skrę- cania jest ścinaniem) pomiędzy odkształceniem a naprężeniem zachodzi związek jak na rys. 5. Rys. 5. Zależność między odkształceniem i naprężeniem przy ścinaniu dla materiałów idealnie sprężysto - plastycznych (bez wzmocnienia) Wzrostowi  s odpowiada wzrost posunięcia  (a więc zgodnie z prawem Hooke'a wzrost naprężeń). Po osiągnięciu wartości naprężeń ’ (punkt A) dalsze skręcanie i zwiększanie się przemieszczeń następuje przy stałej wartości naprężeń ’ (odcinek AB). Na rys. 2.6 przedstawiono rozkłady naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym pręta wykonanego z materiału sprężysto - plastycznego dla wzrastającej wielkości  s . 0  s  r =0.003l 0 /r  0.3    ' O A B  STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 7 a) b) c) Rys. 6. Rozkład naprężeń stycznych w obszarach: a) sprężystym, b) sprężysto-plastycznym, c) plastycznym Rysunek 6a odpowiada skręcaniu wyłącznie sprężystemu. Wykres naprężeń na rys. 6b od- powiada skręcaniu w przypadku, gdy w części przekroju (tj. w zewnętrznej warstwie przekro- ju) zostaje przekroczona granica plastyczności. Przy dalszym wzroście  s rozkład naprężeń coraz bardziej zbliża się do rozkładu przedstawionego na rys. 6c, tj. do stanu, jaki wytworzy się przy skręcaniu idealnie plastycznym, w którym naprężenia w całym przekroju osiągnęłyby stałą wartość równą ’ – w praktyce wcześniej następuje zerwanie próbki. PRZEBIEG ĆWICZENIA Rysunek 7 przedstawia schemat skręcarki firmy Amsler o zakresie  s do 1500 Nm. Ma ona możliwość nastawienia na cztery zakresy: 300, 500, 1000 oraz 1500 Nm. Może służyć do skręcania próbek płaskich i okrągłych, jak również do skręcania gotowych części konstruk- cyjnych (wały, sprzęgła, itp.). a Rys.7. Schemat skręcarki firmy Amsler  ’ Ms1 Ms2 Ms3 ’ 6 1 5 2 4 3 8 7 11 2 1 12 13 10 9 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 10 Z równania (20) należy wyliczyć moduł sprężystości poprzecznej wyznaczony metodą statystyczną G stat oraz wartość odchylenia standardowego S. IV. Określenie, z jakiego materiału wykonano próbkę (podać najbardziej zbliżoną wartość tablicową oraz źródło, z którego korzystano) V. Wykres skręcania w układzie  s [Nm] -  [rad] VI. Wnioski z ćwiczenia PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE 1. Podać podstawowe założenia i zależności teorii skręcania prętów kołowych. 2. Narysować i omówić wykres skręcania dla materiału sprężysto - plastycznego. 3. Jak wyznaczamy umowną granicę sprężystości i plastyczności? Przedstawić na wykresie. 4. Narysować i omówić rozkład naprężeń stycznych w kołowym pręcie skręcanym w obsza- rze sprężystym, sprężysto - plastycznym i plastycznym. 5. Podać sposób wyznaczania modułu sprężystości poprzecznej. Omówić dwie metody opracowania wyników. 6. Jak zależy kąt skręcenia od momentu skręcającego w zakresie sprężystym? 7. Od czego zależy moduł sprężystości poprzecznej? LITERATURA 1. Beluch W., Burczyński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002. 1. Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001. 2. Benjamin J.R., Cornel C.A.: Rachunek prawdopodobieństwa statystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów, WNT, Warszawa 1977. 3. Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów, t. I-II, WNT, Warszawa 1996-97. 4. Fisz M.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969. 5. Ćwiczenia z wytrzymałości materiałów. Laboratorium, Praca zbiorowa pod red. Lambera T., Skrypty uczelniane Pol. Śl., nr 1527, Gliwice 1990. DODATEK 1 METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW  Sformułowanie zadania aproksymacyjnego Niech f będzie funkcją ciągłą, którą należy przybliżyć w przedziale (a, b) za pomocą kom- binacji liniowej k +1 danych funkcji 0 , 1 , ..., k : * 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )k kf x c x c x c x      (D1) Należy określić współczynniki c 0 , c 1 , ..., c k tak, by jak najmniejsze było wyrażenie: a) w przypadku ciągłym (aproksymacja integralna): 2 2 * *( ) ( ) ( ) b a f f f x f x w x dx   (D2) b) w przypadku dyskretnym (aproksymacja punktowa): 2 2 * * 0 ( ) ( ) n i i i i f f f x f x w     (D3) Oznacza to wymaganie, by norma euklidesowa ważona lub seminorma ważona funkcji błę- du f * – f była jak najmniejsza, inaczej, by funkcja f * (x) możliwie dokładnie odtwarzała prze- bieg funkcji f (x). Tak formułowane zadanie nazywa się zadaniem aproksymacji średniokwadratowej, zaś najczęściej stosowaną metodę rozwiązania tego zadania nazywa się metodą najmniejszych kwadratów.  Rozwiązanie zadania aproksymacyjnego dla funkcji jednej zmiennej Niech dana będzie funkcja (ciągła bądź dyskretna) jednej zmiennej: ( ), [ , ]y f x x a b  (D4) W dalszym ciągu zajmiemy się głównie zagadnieniem aproksymacji punktowej. Poszukuje się funkcji aproksymacyjnej w postaci (D1). Zależność ta dla funkcji jednej zmiennej może być przedstawiona jako: * * 0( ) ( , ,.... )kf x f x c c (D5) W metodzie najmniejszych kwadratów doboru współczynników funkcji f * (x) dokonuje się tak, by zminimalizować poniższe wyrażenie: 2 * 0 1 ( , ,.... ) ( ) min n n i f x c c f x      (D6) Kryterium to należy do warunków „mocnych”, gdyż zawiera sumę kwadratów odchyłek, a więc liczb nieujemnych. W przypadku gdy rozwiązania poszukujemy w klasie wielomianów uogólnionych (D1), obliczenia minimum funkcji (D6) nie nastręczają trudności. Rozpatrujemy zbiór punktów (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ..., (x n , y n ), którego aproksymacją ma być funkcja liniowa w postaci: * 0 1( )f x c c x  (D7) Kryterium najmniejszych kwadratów przyjmuje postać:   2 0 1 1 1 min n i i c c x y     (D8) DODATEK 2 Korzystając z warunku konieczności istnienia ekstremum funkcji dwu zmiennych otrzy- mujemy:     0 1 1 10 0 1 1 11 2 0 2 0 n i i n i i i S c c x y c S c c x y x c                 (D9) Powyższy układ równań można zapisać w postaci dogodnej do obliczenia współczynników c 0 oraz c 1 : 0 1 2 0 1 i i i i i i i i i i i c n c x y c x c x x y          (D10) Wprowadzając oznaczenia: 1 , 1 , i i i i x x n y y n     (D11) otrzymujemy: 1 2 0 1 ( )( ) ` ( ) i i i i i x x y y c x x c y c x         (D12) W celu określenia dokładności pomiarów należy wyznaczyć wartość odchylenia standard- owego:   2 1 1 n i i S y y n m      , (D13) gdzie: n – liczba pomiarów; m – liczba parametrów (tu: m = 2). Literatura 1. Dahlquist G., Björck Å.: Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1983. 2. Fisz M.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969. 3. Majchrzak E., Mochnacki B.: Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty prak- tyczne i algorytmy, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998.