Pobierz Statyka i dynamika płynów - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 14
14. Statyka i dynamika płynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy ciecze i ga- zy. Dla ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, sformułowaliśmy mecha- nikę ciał sztywnych. Do rozwiązywania zagadnień z mechaniki płynów musimy wpro- wadzić nowy formalizm ponieważ płyny łatwo zmieniają kształt, a w przypadku gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia. Wygodnym jest w związku z tym sformu- łowanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisującymi siły w szczególny spo- sób.
14.1 Ciśnienie i gęstość
Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym, że dla cieczy siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć. Wygodnie jest więc opisywać siłę działającą na płyn za po- mocą ciśnienia p zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na jednost- kę powierzchni. Ciśnienie jest przekazywane na sztywne ścianki naczynia, a także na dowolne przekroje płynów prostopadle do tych ścianek i przekrojów w każdym punk- cie. Ciśnienie jest wielkością skalarną. W układzie SI jednostką jest ( pascal ), 1 Pa = 1 N/m^2. Innymi jednostkami są bar (1 bar = 10^5 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm). Płyn znajdujący się pod ciśnieniem wywiera siłę na każdą powierzchnię będącą z nim w kontakcie. Rozważmy zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (rysunek).
S
S
Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor S (długość równa po- wierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na zewnątrz). Wtedy siła F wywierana przez płyn na ten element powierzchni wynosi
F = p S (14.1a)
Ponieważ F i S mają ten sam kierunek więc ciśnienie p można zapisać
p = F / S (14.1b)
Do opisu płynów stosujemy pojęcie gęstości ρ:
ρ = m / V (14.2)
Gęstość zależy od wielu czynników takich jak temperatura, ciśnienie. W tabeli przed- stawiony jest zakres wartości gęstości spotykanych w przyrodzie.
Materiał ρ (kg/m^3 ) przestrzeń międzygwiezdna najlepsza próżnia laboratoryjna powietrze (1 atm 0 °C) powietrze (50 atm 0 °C) Ziemia: wartość średnia rdzeń skorupa Białe karły jądro uranu
10 -18^ - 10-
5.52·10^3
9.5·10^3
2.8·10^3
108 - 10^15
14.2 Zmiany ciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu
Gdy płyn znajduje się w równowadze to jego każda część jest w równowadze. Roz- patrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajdującego się w odległości y od po- ziomu odniesienia. Grubość dysku wynosi d y , a powierzchnia każdej strony wynosi S. Masa takiego elementu wynosi ρ S d y , a jego ciężar ρ gS d y. Przypominam, że siły działa- jące na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).
(p+dp)S
pS
poziom odniesienia y=
y
Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Element płynu nie jest przyspieszany więc wypadkowa siła działająca nań musi być zerem. Dla zacho- wania równowagi w pionie trzeba więc by:
14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa
Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy dzia- łać ciśnieniem zewnętrznym p 0.
A
h
p (^0)
W każdym punkcie A znajdującym się na głębokości h od górnej powierzchni cieczy, ciśnienie jest dane wyrażeniem
p = p 0 + ρ gh
Możemy powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość ∆ p 0. Po
p = p 0 +∆ p 0 + ρ gh
ynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa się prawem Pascala.
o Archimedesa.
nieważ ciecze są nieści- śliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ciśnienie teraz wynosi
W
Prawo to formułuje się następująco: ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przeka- zywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia. Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak praw Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie (cieczy lub gazie) to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część po- wierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się siłą wyporu.
P onieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego zrobiono cia- ło więc zastąpmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten sam płyn co płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało, które zastąpił.
Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie równa ciężarowi pły- nu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć. Otrzymujemy prawo Ar- chimedesa: ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu. Tak więc
Fwyporu = mwypartego płynu g = ρ Vg (14.4)
gdzie ρ jest gęstością płynu, a V objętością części zanurzonej ciała.
14.4 Pomiar ciśnienia (barometr)
Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rtęciowy i tym samym podał spo- sób pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Barometr Torricellego składa się z rurki wy- pełnionej rtęcią ( ρ = 13.6·10 3 kg/m^3 ), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak na rysunku.
p =
A B
h
Ciśnienia w punktach A i B muszą być jednakowe bo punkty te są na jednakowej wy
p (^) A = ρ gh podczas gdy pB = patm
onieważ pA = pB więc
ρ gh = patm
sokości. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami
P
g
h atm ρ
p = 0.76 m
Mierząc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego. Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).
A 1
P, v 1
A 2
Q, v 2
Na rysunku obok prędkość cząstek w punkcie P wynosi v 1 a pole przekroju strugi A 1. W punkcie Q odpowiednio v 2 i A 2. W czasie ∆ t element płynu prze-bywa odległość v ∆ t. Masa płynu przechodzącego przez A 1 w czasie ∆ t wynosi
∆ m 1 = ρ 1 A 1 v 1 ∆ t
bo A 1 v 1 ∆ t stanowi objętość elementu płynu. Wprowadzamy strumień masy jako ∆ m /∆ t. Wtedy otrzymujemy dla punktów P i Q odpowiednio
∆ m 1 /∆ t = ρ 1 A 1 v 1 oraz ∆ m 2 /∆ t = ρ 2 A 2 v 2
Ponieważ nie ma po drodze (między P i Q ) żadnych "źródeł" ani "ścieków" więc strumienie mas muszą być sobie równe.
ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to ρ 1 = ρ 2 i wtedy
A 1 v 1 = A 2 v 2 czyli Av = const.
Z równania powyższego wynika, że prędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym prze- pływie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju. Linie prądu muszą się zagęsz- czać w węższej części, a rozrzedzać w szerszej. Tzn. rzadko rozmieszczone linie ozna- czają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości. Ponadto warto zauważyć, że skoro cząstki zwalniają przepływając z P do Q ( v 1 > v 2 ) to
tam gdzie prędkość najmniejsza (w przepływie ustalonym).
poruszają się ruchem jednostajnie opóźnionym. Opóźnienie to może być wywołane grawitacją lub różnicą ciśnień, ale wystarczy wziąć jako przykład strugę poziomą, w której grawitacja się nie zmienia, aby dojść do wniosku, że ciśnienie jest największe
14.6 Równanie Bernoulliego
Rozważmy nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu przez rurę (rysunek poni- ronę prawą. W czasie ∆ t powierzchnia S 1 przemiesz- cza się o odcinek v 1 ∆ t do położenia S 1 '. Analogicznie powierzchnia S 2 przemieszcza się o o
żej). Ciecz na rysunku płynie w st
dcinek v 2 ∆ t do położenia S 2 '. Na powierzchnię S 1 działa siła F 1 = p 1 S 1 a na po- wierzchnię S 2 siła F 2 = p 2 S 2. Zwróćmy uwagę, że efekt sumaryczny przepływu płynu przez rurkę polega na przeniesieniu pewnej objętości V płynu ograniczonej powierzch- niami S 1 S 1 ' do położenia S 2 S 2 '.
Twierdzenie o pracy i energii mówi, że praca wykonana przez wypadkową ianie energii układu. Siłami, które wykonują pracę są F 1 i F 2. Obliczam
siłę jest równa zm y więc racę
ianę
p W = F 2 v 2 ∆ t − F 1 v 1 ∆ t = p 2 S 2 v 2 ∆ t − p 1 S 1 v 1 ∆ t =( p 2 − p 1 ) V
oraz zm energii strugi
2 1 2
2 2 2 2
mgh
m mgh
m v v
Ponieważ
to przy założeniu nieściśliwości płynu ( )
∆ E
W = ∆ E
ρ = const
1
2 1
2 − =^2 + (^2) − 2
mgh
m v mv
Związek ten moż
( p 2 p 1 ) V 2 mgh
na przekształcić do postaci
