Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Statyka - Notatki - Mechanika - Część 3, Notatki z Mechanika

Notatki dotyczące tematów z mechaniki: statyka; szczególne przypadki płaskiego układu sił

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

dlugie_nogi
dlugie_nogi 🇵🇱

4.5

(16)

80 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Statyka - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! znakiem), czyli moment p askiego uk adu si mo!na traktowa" podobnie jak skalar. W tej sytuacji mówi#c o momencie g ównym w p askim uk adzie si , b$dziemy mie" na my%li tylko jego warto%" algebraiczn#. docsity.com 3.8.2. Szczególne przypadki p askiego uk adu si Uk ad równowa!ny wypadkowej W punkcie 3.7.4 udowodnili my, !e je!eli moment g"ówny MO jest prostopad"y do wektora g"ównego W (3.42), to uk"ad si" mo!na zredukowa# do jednej si"y wypadkowej dzia"aj$cej wzd"u! osi centralnej. W poprzednim punkcie wykazali my, !e warunek ten jest zawsze spe"niony. Wynika z tego, !e je!eli wektor g"ówny p"askiego uk"adu si" jest ró!ny od zera, W 0 , to uk"ad ten mo!na zast$pi# wypadkow$. W celu wyznaczenia linii dzia"ania wypadkowej za"ó!my, !e p"aski uk"ad si" Pk (k = 1, 2, . . . , n) zosta" zredukowany do pocz$tku O uk"adu wspó"rz%dnych x, y (rys. 3.26) do wektora g"ównego W i momentu g"ównego MO o warto ci MO: W P! ! ! ! " "k k n kO k n M 1 1 , MO . (3.45) Moment MO mo!na zast$pi# par$ si" –W i W przy"o!onych odpowiednio w punktach O i A. W wyniku takiego dzia"ania otrzymali my dwie si"y –W i W przy"o!one w punkcie O oraz jedn$ si"% przy"o!on$ w punkcie A i dzia"aj$c$ wzd"u! prostej l. Si"y –W i W przy"o!one w punkcie O tworz$ uk"ad zerowy, zatem uk"ad si" zosta" sprowadzony do jednej si"y W przy"o!onej w punkcie A. Si"% t%, dzia"aj$c$ wzd"u! prostej l, nazywamy wypadkow p!askiego uk!adu si!. W MO A O y x W # Wx Wy l Rys. 3.26. Redukcja p"askiego uk"adu si" do wypadkowej Po uwzgl%dnieniu, !e moment wypadkowej W wzgl%dem dowolnego punktu jest równy sumie momentów wszystkich si" wzgl%dem tego samego punktu, oraz oznaczeniu wspó"rz%dnych punktu A przy"o!enia wypadkowej W przez x i y, otrzymamy na podstawie trzeciego wzoru (3.44) zale!no # na moment wypadkowej wzgl%dem pocz$tku O uk"adu wspó"rz%dnych: M xW yWO y x! $ . Wyst%puj$ce w tym wzorze wielko ci Wx, Wy i MO s$ wielko ciami znanymi, okre lonymi wzorami (3.44), przeto jest to równanie prostej l, wzd"u! której dzia"a wypadkowa W. Równanie to przedstawimy w postaci kierunkowej: docsity.com Otrzymana prosta l jest nakre lona na rys. 3.27. Odcina ona na osi odci%tych odcinek OB , a na osi rz%dnych odcinek ! 0,51m OC ! 1,05m / docsity.com 3.8.3. Warunki równowagi p askiego uk adu si Na ko cu poprzedniego punktu powiedziano, !e je!eli wektor g"ówny W i moment g"ówny dowolnego p"askiego uk"adu si" s# równocze$nie równe zeru, to uk"ad si" jest w równowadze. Zatem wektorowe warunki równowagi mo!emy zapisa% nast&puj#co: MO W M 0, O 0 ! 0 0 . (3.50) Po przyrównaniu do zera wspó"rz&dnych wektora g"ównego (3.44) otrzymamy trzy równania równowagi: .!!! n 1k kO n 1k ky n 1k kx M,0P,0P (3.51) Nale!y tutaj zaznaczy%, !e punkt O, wzgl&dem którego obliczamy sum& momentów danych si", nie musi by% pocz#tkiem przyj&tego uk"adu wspó"rz&dnych, lecz mo!e by% punktem obranym ca"kowicie dowolnie. Po uwzgl&dnieniu powy!szej uwagi równaniom równowagi (3.51) mo!na nada% tak# tre$%: Aby p aski dowolny uk ad si by w równowadze, sumy rzutów wszystkich si na dwie osie uk adu wspó rz!dnych i suma momentów tych si wzgl!dem dowolnego punktu p aszczyzny dzia ania si musz" by# równe zeru. Mo!na udowodni% [7, 11], !e zamiast równa równowagi w postaci dwóch równa rzutów i jednego równania momentów (3.51) mo!na zastosowa% albo dwa równania momentów wzgl&dem dwóch punktów A i B oraz jedno równanie rzutów, albo trzy równania momentów wzgl&dem trzech punktów A, B i C. Wymienione warunki równowagi podamy bez dowodu. Pierwszy sposób: M kA k n k ! !0 0 1 1 , M , PkB kx k=1 nn . (3.52) P aski uk ad si jest w równowadze, je$eli sumy momentów wszystkich si wzgl!dem dwóch punktów s" równe zeru i suma rzutów tych si na dowoln" o% nieprostopad " do prostej "cz"cej te dwa punkty jest równa zeru. Drugi sposób: M kA k n k k ! ! !0 0 1 1 1 , M , MkB n kC n . (3.53) docsity.com P aski uk ad si jest w równowadze, je$eli sumy momentów wszystkich si wzgl!dem trzech punktów nie le$"cych na jednej prostej s" równe zeru. Udowodnienie warunków równowagi w postaci (3.52) i (3.53) pozostawiamy Czytelnikowi. Wybieraj#c równania równowagi do rozwi#zania zagadnie praktycznych, nale!y kierowa% si& tym, aby w ka!dym równaniu wyst&powa"a jak najmniejsza liczba niewiadomych. Upraszcza to znacznie obliczenia rachunkowe. Przyk ad 3.4. Belka AB o ci&!arze G = 10 kN jest utwierdzona na ko cu A i obci#!ona momentem M = 20 kN m i obci#!eniem ci#g"ym q = 1 kN/m (rys. 3.28a). Do ko ca B jest przymocowana wiotka linka, która jest przerzucona przez idealny kr#!ek (bez tarcia) i obci#!ona ci&!arem P = 5 kN. Obliczy% reakcje w podporze A, je!eli b = 2 m i ! = 30o. b/2b/2 M " Q G " P P bb A MA R RAy RAx y x q G M B A b B b) a) Rys. 3.28. Rozk"ad si" w belce wspornikowej Rozwi"zanie. Poniewa! koniec A jest utwierdzony, podpora – zgodnie z omówionymi w p. 3.2.2 rodzajami wi&zów # wnosi do zadania trzy niewiadome: dwie wspó"rz&dne oraz moment utwierdzenia . Ze wzgl&du na to, !e linka jest wiotka i !e pomijamy tarcie w kr#!ku, na koniec B b&dzie dzia"a% si"a P. Zatem po uwolnieniu od wi&zów na belk& b&d# dzia"a% si"y przedstawione na rys. 3.28b. Obci#!enie ci#g"e zast#piono si"# skupion# R i RAx Ay MA Q qb kN 2 . Trzy niewiadome docsity.com .kN5,2P5,0R,kN5,2P5,0RR,0R ,kN62,19 b M P5,1+sinP5,0R ,kN13,4 b M P50sinP5,0RkN,4,24=cosPR 2D2CyCCx 21B 21Ay1Ax %%#%#%%% %' ( ) * + , "$% #%' ( ) * + , ##$%$% , Warto"# reakcji ! ! .kN92513,4244RRR 222Ay2AxA ,, %#"%"% Znak minus przy reakcjach RAy i RCy oznacza, !e maj% one zwroty przeciwne do za o!onych na rys. 3.29b. Przyk ad 3.6. Uk ad przedstawiony na rys. 3.30a sk ada si$ z dwóch belek AB i BC po %czonych ze sob% przegubem B. Belka AB jest utwierdzona w punkcie A, a belka BC jest podparta podpor% przesuwn% w punkcie D. Na ko&cu C belki BC b) a) P D Q $ B d M cb A C x y N T P Q $ RAx y RAy RBy A B MA b RBx x T x N DB dc C RBy RBx y RD Rys. 3.30. Rozk ad si w belce przegubowej spoczywa klocek o ci$!arze P. Do klocka jest przymocowana wiotka linka, przerzucona przez idealny kr%!ek i obci%!ona ci$!arem Q. Linka tworzy z docsity.com poziomem k%t $, a wspó czynnik tarcia mi$dzy klockiem i belk% wynosi -. Wyznaczy# minimaln% warto"# ci$!aru klocka P P% min , aby by a zachowana równowaga (aby klocek nie zsun% si$ z belki), a nast$pnie dla tego przypadku wyznaczy# reakcje w podporach A i D oraz oddzia ywanie w przegubie B. Wymiary belki wnosz% b, c i d. Pomin%# ci$!ary w asne belek, tarcie w przegubach oraz wysoko"# klocka. Rozwi zanie. W celu rozwi%zania powy!szego zadania rozdzielimy uk ad przedstawiony na rys. 3.30a na trzy poduk ady: klocek, belk$ AB oraz belk$ BC, a nast$pnie rozpatrzymy równowag$ ka!dego z nich. Na rysunku 3.30b przedstawiono wymienione poduk ady uwolnione od wi$zów i zaznaczono si y dzia aj%ce na te poduk ady. Na klocek dzia aj% si y czynne P i Q oraz reakcja belki, któr% roz o!ono na si $ tarcia T i si $ normaln% N. Po zaniedbaniu wymiarów klocka uk ad si na niego dzia aj%cy mo!emy uwa!a# za zbie!ny. Na belk$ AB w ko&cu A dzia a reakcja RA, któr% roz o!ono na dwie sk adowe RAx i RAy, oraz moment utwierdzenia MA. Oddzia ywanie belki BC na belk$ AB za po"rednictwem przegubu B równie! roz o!ono na sk adowe RBx i RBy. Na belk$ BC dzia a si a w przegubie B roz o!ona, podobnie jak w przypadku belki AB, na sk adowe RBx i RBy. W podporze D dzia a na t$ belk$ reakcja RD o znanym kierunku. Dzia anie klocka na koniec C belki BC zast%piono si % tarcia T i reakcj% normaln% N. W pierwszej kolejno"ci, zgodnie z tre"ci% zadania, musimy wyznaczy# minimaln% warto"# ci$!aru klocka P P% min zapewniaj%c% jego równowag$. Równania równowagi klocka w postaci rzutów si na osie x i y s% nast$puj%ce: (a) ./ . 0 1 #$"% %#$% & & 0.=PsinQNP ,0TcosQP ky kx Minimaln% warto"# si y P otrzymamy, przyj%wszy, !e si a tarcia ma warto"# ma- ksymaln%, czyli: NT -% . Po uwzgl$dnieniu wzoru z pierwszego równania (a) mamy: T Q N Q% %cos , 1 cos$ - $ . (b) Po podstawieniu wzoru na N do drugiego równania (a) otrzymamy szukan% warto"# si y ci$!aru P: Qsincos 1 PP min '' ( ) ** + , $"$ - %% . (c) docsity.com Równania równowagi dla belki AB maj% posta#: . . / .. 0 1 "% "% %#% & & & 0,=bRMM 0,=RRP ,0RRP ByAkA ByAyky AxBxkx (d) a równania równowagi dla belki BC s% nast$puj%ce: ! ../ .. 0 1 "#% ##% %#% & & & 0.=dcNcRM 0,=NRRP 0RTP DkB ByDky Bxkx , (e) Poniewa! T i N s% ju! znanymi wielko"ciami okre"lonymi wzorami (b), w równaniach (d) i (e) mamy sze"# niewiadomych. Zatem po rozwi%zaniu tego uk adu równa& otrzymamy: ! .cosQ c db M,cosQ c dc R ,cosQ c d RR,cosQRR AD ByAyBxAx $ - #%$ - " % $ - #%#%$%% Warto"ci reakcji RA i si y oddzia ywania RB w przegubie B obliczymy z poni!szych wzorów: ! ! .cosQ c dc cosQ c d cosQRRR ,cosQ c dc cosQ c d cosQRRR 2222 22 By 2 BxB 2222 22 Ay 2 AxA $ - "- %'' ( ) ** + , $ - "$%"% $ - "- %'' ( ) ** + , $ - #"$%"% docsity.com Wyprowadzone wy!ej wzory na $rodek uk adu si równoleg ych wykorzystamy do okre$lenia wspó rz"dnych $rodków ci"!ko$ci cia materialnych, albowiem najcz"stszym przyk adem si równoleg ych s% si y ci"!ko$ci. docsity.com 3.9.2. Warunki równowagi uk adu si równoleg ych Uk ad si równoleg ych jest szczególnym przypadkiem dowolnego uk adu si . Z tego wzgl!du warunki równowagi przestrzennego uk adu si równoleg ych wyznaczymy na podstawie warunków równowagi dowolnego uk adu si (3.33). W tym celu za o"ymy, "e si y s# równoleg e do osi z prostok#tnego uk adu wspó rz!dnych x, y, z. W tej sytuacji rzuty wszystkich si na osie x i y b!d# to"samo$ciowo równe zeru. Analogicznie momenty wszystkich si wzgl!dem osi z, jako osi równoleg ej do wszystkich si , b!d# równie" równe zeru. Wówczas sze$% równa& równowagi upraszcza si! do trzech, tzn. równania rzutów na o$ z oraz równa& momentów wzgl!dem osi x i y: P M Mkz n kx k n ky k n = 0, , k=1 ! ! ! 1 1 0 0! M . (3.56) Z otrzymanych równa& równowagi wynika, "e zagadnienie dotycz#ce równowagi przestrzennego uk adu si równoleg ych b!dzie statycznie wyznaczalne, je"eli b!d# w nim trzy niewiadome. W przypadku uk adu si równoleg ych le"#cych w jednej p aszczy'nie, np. xy, i równoleg ych do osi y sumy rzutów wszystkich si na o$ x b!d# to"samo$ciowo równe zeru. Zatem trzy równania równowagi p askiego dowolnego uk adu si (3.51) redukuj# si! do równania rzutów si na o$ y i równania momentów wzgl!dem dowolnego punktu O: Pky k n kO k n ! ! ! 1 1 0, . (3.57) Równania równowagi w postaci jednego równania rzutów i jednego równania momentów (3.57) mo"na zast#pi% dwoma równaniami momentów wzgl!dem dwóch punktów A i B nie le"#cych na prostej równoleg ej do linii dzia ania si : M MkA k n kB k n = 0, = 0 ! ! 1 1 . (3.58) docsity.com 4.1. rodek ci !ko"ci i "rodek masy Rozpatrzmy uk ad n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które dzia aj! si y ci"#ko$ci Gk (rys. 4.1). Niech po o#enie tych punktów wzgl"dem punktu odniesienia O okre$laj! wektory wodz!ce rk, jak na rysunku. Wiadomo, #e si y ci"#ko$ci poszczególnych punktów s! równe iloczynowi masy przez przy$pieszenie ziemskie, Gk = mk g, i s! skierowane do $rodka kuli ziemskiej. Poniewa# wymiary uk adów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych s! pomijalnie ma e w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, si y ci"#ko$ci mo#emy uwa#a% za si y równoleg e. Punkt C po o#enia wypadkowej si ci"#ko$ci G nazywamy rodkiem ci!"ko ci uk adu lub cia a materialnego. Punkt ten nie zale#y od obrotu uk adu lub cia a materialnego. Skoro si y ci"#ko$ci s! si ami równoleg ymi, to do okre$lenia po o#enia $rodka ci"#ko$ci C mo#emy wykorzysta% wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na $rodek uk adu si równoleg ych. Wektor wodz!cy rC $rodka ci"#ko$ci C uk adu punktów materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) b"dzie wyra#a zwi!zek: r r C k k k n G G ! 1 . (4.1) Wspó rz"dne $rodka ci"#ko$ci C w prostok!tnym uk adzie wspó rz"dnych otrzymamy ze wzorów (3.55): x x G G y y G G z z G G C k k k n C k k k n C k k k n ! ! ! 1 1, , 1 . (4.2) We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ci"#arem ca kowitym uk adu materialnego: G G k k n ! 1 . W przypadku cia a materialnego o ci!g ym rozmieszczeniu masy, jakim jest bry a, dzielimy je my$lowo na n ma ych elementów o masach "mk i ci"#arach "Gk (rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) "Gk zamiast Gk otrzymamy wzory na przybli#one po o#enie $rodka ci"#ko$ci bry y: r r C k k k n G G ! " 1 , (4.3) docsity.com