Pobierz Statyka - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! znakiem), czyli moment p askiego uk adu si mo!na traktowa" podobnie jak skalar. W tej sytuacji mówi#c o momencie g ównym w p askim uk adzie si , b$dziemy mie" na my%li tylko jego warto%" algebraiczn#. docsity.com 3.8.2. Szczególne przypadki p askiego uk adu si Uk ad równowa!ny wypadkowej W punkcie 3.7.4 udowodnili my, !e je!eli moment g"ówny MO jest prostopad"y do wektora g"ównego W (3.42), to uk"ad si" mo!na zredukowa# do jednej si"y wypadkowej dzia"aj$cej wzd"u! osi centralnej. W poprzednim punkcie wykazali my, !e warunek ten jest zawsze spe"niony. Wynika z tego, !e je!eli wektor g"ówny p"askiego uk"adu si" jest ró!ny od zera, W 0 , to uk"ad ten mo!na zast$pi# wypadkow$. W celu wyznaczenia linii dzia"ania wypadkowej za"ó!my, !e p"aski uk"ad si" Pk (k = 1, 2, . . . , n) zosta" zredukowany do pocz$tku O uk"adu wspó"rz%dnych x, y (rys. 3.26) do wektora g"ównego W i momentu g"ównego MO o warto ci MO: W P! ! ! ! " "k k n kO k n M 1 1 , MO . (3.45) Moment MO mo!na zast$pi# par$ si" –W i W przy"o!onych odpowiednio w punktach O i A. W wyniku takiego dzia"ania otrzymali my dwie si"y –W i W przy"o!one w punkcie O oraz jedn$ si"% przy"o!on$ w punkcie A i dzia"aj$c$ wzd"u! prostej l. Si"y –W i W przy"o!one w punkcie O tworz$ uk"ad zerowy, zatem uk"ad si" zosta" sprowadzony do jednej si"y W przy"o!onej w punkcie A. Si"% t%, dzia"aj$c$ wzd"u! prostej l, nazywamy wypadkow p!askiego uk!adu si!. W MO A O y x W # Wx Wy l Rys. 3.26. Redukcja p"askiego uk"adu si" do wypadkowej Po uwzgl%dnieniu, !e moment wypadkowej W wzgl%dem dowolnego punktu jest równy sumie momentów wszystkich si" wzgl%dem tego samego punktu, oraz oznaczeniu wspó"rz%dnych punktu A przy"o!enia wypadkowej W przez x i y, otrzymamy na podstawie trzeciego wzoru (3.44) zale!no # na moment wypadkowej wzgl%dem pocz$tku O uk"adu wspó"rz%dnych: M xW yWO y x! $ . Wyst%puj$ce w tym wzorze wielko ci Wx, Wy i MO s$ wielko ciami znanymi, okre lonymi wzorami (3.44), przeto jest to równanie prostej l, wzd"u! której dzia"a wypadkowa W. Równanie to przedstawimy w postaci kierunkowej: docsity.com Otrzymana prosta l jest nakre lona na rys. 3.27. Odcina ona na osi odci%tych odcinek OB , a na osi rz%dnych odcinek ! 0,51m OC ! 1,05m / docsity.com 3.8.3. Warunki równowagi p askiego uk adu si Na ko cu poprzedniego punktu powiedziano, !e je!eli wektor g"ówny W i moment g"ówny dowolnego p"askiego uk"adu si" s# równocze$nie równe zeru, to uk"ad si" jest w równowadze. Zatem wektorowe warunki równowagi mo!emy zapisa% nast&puj#co: MO W M 0, O 0 ! 0 0 . (3.50) Po przyrównaniu do zera wspó"rz&dnych wektora g"ównego (3.44) otrzymamy trzy równania równowagi: .!!! n 1k kO n 1k ky n 1k kx M,0P,0P (3.51) Nale!y tutaj zaznaczy%, !e punkt O, wzgl&dem którego obliczamy sum& momentów danych si", nie musi by% pocz#tkiem przyj&tego uk"adu wspó"rz&dnych, lecz mo!e by% punktem obranym ca"kowicie dowolnie. Po uwzgl&dnieniu powy!szej uwagi równaniom równowagi (3.51) mo!na nada% tak# tre$%: Aby p aski dowolny uk ad si by w równowadze, sumy rzutów wszystkich si na dwie osie uk adu wspó rz!dnych i suma momentów tych si wzgl!dem dowolnego punktu p aszczyzny dzia ania si musz" by# równe zeru. Mo!na udowodni% [7, 11], !e zamiast równa równowagi w postaci dwóch równa rzutów i jednego równania momentów (3.51) mo!na zastosowa% albo dwa równania momentów wzgl&dem dwóch punktów A i B oraz jedno równanie rzutów, albo trzy równania momentów wzgl&dem trzech punktów A, B i C. Wymienione warunki równowagi podamy bez dowodu. Pierwszy sposób: M kA k n k ! !0 0 1 1 , M , PkB kx k=1 nn . (3.52) P aski uk ad si jest w równowadze, je$eli sumy momentów wszystkich si wzgl!dem dwóch punktów s" równe zeru i suma rzutów tych si na dowoln" o% nieprostopad " do prostej "cz"cej te dwa punkty jest równa zeru. Drugi sposób: M kA k n k k ! ! !0 0 1 1 1 , M , MkB n kC n . (3.53) docsity.com P aski uk ad si jest w równowadze, je$eli sumy momentów wszystkich si wzgl!dem trzech punktów nie le$"cych na jednej prostej s" równe zeru. Udowodnienie warunków równowagi w postaci (3.52) i (3.53) pozostawiamy Czytelnikowi. Wybieraj#c równania równowagi do rozwi#zania zagadnie praktycznych, nale!y kierowa% si& tym, aby w ka!dym równaniu wyst&powa"a jak najmniejsza liczba niewiadomych. Upraszcza to znacznie obliczenia rachunkowe. Przyk ad 3.4. Belka AB o ci&!arze G = 10 kN jest utwierdzona na ko cu A i obci#!ona momentem M = 20 kN m i obci#!eniem ci#g"ym q = 1 kN/m (rys. 3.28a). Do ko ca B jest przymocowana wiotka linka, która jest przerzucona przez idealny kr#!ek (bez tarcia) i obci#!ona ci&!arem P = 5 kN. Obliczy% reakcje w podporze A, je!eli b = 2 m i ! = 30o. b/2b/2 M " Q G " P P bb A MA R RAy RAx y x q G M B A b B b) a) Rys. 3.28. Rozk"ad si" w belce wspornikowej Rozwi"zanie. Poniewa! koniec A jest utwierdzony, podpora – zgodnie z omówionymi w p. 3.2.2 rodzajami wi&zów # wnosi do zadania trzy niewiadome: dwie wspó"rz&dne oraz moment utwierdzenia . Ze wzgl&du na to, !e linka jest wiotka i !e pomijamy tarcie w kr#!ku, na koniec B b&dzie dzia"a% si"a P. Zatem po uwolnieniu od wi&zów na belk& b&d# dzia"a% si"y przedstawione na rys. 3.28b. Obci#!enie ci#g"e zast#piono si"# skupion# R i RAx Ay MA Q qb kN 2 . Trzy niewiadome docsity.com .kN5,2P5,0R,kN5,2P5,0RR,0R ,kN62,19 b M P5,1+sinP5,0R ,kN13,4 b M P50sinP5,0RkN,4,24=cosPR 2D2CyCCx 21B 21Ay1Ax %%#%#%%% %' ( ) * + , "$% #%' ( ) * + , ##$%$% , Warto"# reakcji ! ! .kN92513,4244RRR 222Ay2AxA ,, %#"%"% Znak minus przy reakcjach RAy i RCy oznacza, !e maj% one zwroty przeciwne do za o!onych na rys. 3.29b. Przyk ad 3.6. Uk ad przedstawiony na rys. 3.30a sk ada si$ z dwóch belek AB i BC po %czonych ze sob% przegubem B. Belka AB jest utwierdzona w punkcie A, a belka BC jest podparta podpor% przesuwn% w punkcie D. Na ko&cu C belki BC b) a) P D Q $ B d M cb A C x y N T P Q $ RAx y RAy RBy A B MA b RBx x T x N DB dc C RBy RBx y RD Rys. 3.30. Rozk ad si w belce przegubowej spoczywa klocek o ci$!arze P. Do klocka jest przymocowana wiotka linka, przerzucona przez idealny kr%!ek i obci%!ona ci$!arem Q. Linka tworzy z docsity.com poziomem k%t $, a wspó czynnik tarcia mi$dzy klockiem i belk% wynosi -. Wyznaczy# minimaln% warto"# ci$!aru klocka P P% min , aby by a zachowana równowaga (aby klocek nie zsun% si$ z belki), a nast$pnie dla tego przypadku wyznaczy# reakcje w podporach A i D oraz oddzia ywanie w przegubie B. Wymiary belki wnosz% b, c i d. Pomin%# ci$!ary w asne belek, tarcie w przegubach oraz wysoko"# klocka. Rozwi zanie. W celu rozwi%zania powy!szego zadania rozdzielimy uk ad przedstawiony na rys. 3.30a na trzy poduk ady: klocek, belk$ AB oraz belk$ BC, a nast$pnie rozpatrzymy równowag$ ka!dego z nich. Na rysunku 3.30b przedstawiono wymienione poduk ady uwolnione od wi$zów i zaznaczono si y dzia aj%ce na te poduk ady. Na klocek dzia aj% si y czynne P i Q oraz reakcja belki, któr% roz o!ono na si $ tarcia T i si $ normaln% N. Po zaniedbaniu wymiarów klocka uk ad si na niego dzia aj%cy mo!emy uwa!a# za zbie!ny. Na belk$ AB w ko&cu A dzia a reakcja RA, któr% roz o!ono na dwie sk adowe RAx i RAy, oraz moment utwierdzenia MA. Oddzia ywanie belki BC na belk$ AB za po"rednictwem przegubu B równie! roz o!ono na sk adowe RBx i RBy. Na belk$ BC dzia a si a w przegubie B roz o!ona, podobnie jak w przypadku belki AB, na sk adowe RBx i RBy. W podporze D dzia a na t$ belk$ reakcja RD o znanym kierunku. Dzia anie klocka na koniec C belki BC zast%piono si % tarcia T i reakcj% normaln% N. W pierwszej kolejno"ci, zgodnie z tre"ci% zadania, musimy wyznaczy# minimaln% warto"# ci$!aru klocka P P% min zapewniaj%c% jego równowag$. Równania równowagi klocka w postaci rzutów si na osie x i y s% nast$puj%ce: (a) ./ . 0 1 #$"% %#$% & & 0.=PsinQNP ,0TcosQP ky kx Minimaln% warto"# si y P otrzymamy, przyj%wszy, !e si a tarcia ma warto"# ma- ksymaln%, czyli: NT -% . Po uwzgl$dnieniu wzoru z pierwszego równania (a) mamy: T Q N Q% %cos , 1 cos$ - $ . (b) Po podstawieniu wzoru na N do drugiego równania (a) otrzymamy szukan% warto"# si y ci$!aru P: Qsincos 1 PP min '' ( ) ** + , $"$ - %% . (c) docsity.com Równania równowagi dla belki AB maj% posta#: . . / .. 0 1 "% "% %#% & & & 0,=bRMM 0,=RRP ,0RRP ByAkA ByAyky AxBxkx (d) a równania równowagi dla belki BC s% nast$puj%ce: ! ../ .. 0 1 "#% ##% %#% & & & 0.=dcNcRM 0,=NRRP 0RTP DkB ByDky Bxkx , (e) Poniewa! T i N s% ju! znanymi wielko"ciami okre"lonymi wzorami (b), w równaniach (d) i (e) mamy sze"# niewiadomych. Zatem po rozwi%zaniu tego uk adu równa& otrzymamy: ! .cosQ c db M,cosQ c dc R ,cosQ c d RR,cosQRR AD ByAyBxAx $ - #%$ - " % $ - #%#%$%% Warto"ci reakcji RA i si y oddzia ywania RB w przegubie B obliczymy z poni!szych wzorów: ! ! .cosQ c dc cosQ c d cosQRRR ,cosQ c dc cosQ c d cosQRRR 2222 22 By 2 BxB 2222 22 Ay 2 AxA $ - "- %'' ( ) ** + , $ - "$%"% $ - "- %'' ( ) ** + , $ - #"$%"% docsity.com Wyprowadzone wy!ej wzory na $rodek uk adu si równoleg ych wykorzystamy do okre$lenia wspó rz"dnych $rodków ci"!ko$ci cia materialnych, albowiem najcz"stszym przyk adem si równoleg ych s% si y ci"!ko$ci. docsity.com 3.9.2. Warunki równowagi uk adu si równoleg ych Uk ad si równoleg ych jest szczególnym przypadkiem dowolnego uk adu si . Z tego wzgl!du warunki równowagi przestrzennego uk adu si równoleg ych wyznaczymy na podstawie warunków równowagi dowolnego uk adu si (3.33). W tym celu za o"ymy, "e si y s# równoleg e do osi z prostok#tnego uk adu wspó rz!dnych x, y, z. W tej sytuacji rzuty wszystkich si na osie x i y b!d# to"samo$ciowo równe zeru. Analogicznie momenty wszystkich si wzgl!dem osi z, jako osi równoleg ej do wszystkich si , b!d# równie" równe zeru. Wówczas sze$% równa& równowagi upraszcza si! do trzech, tzn. równania rzutów na o$ z oraz równa& momentów wzgl!dem osi x i y: P M Mkz n kx k n ky k n = 0, , k=1 ! ! ! 1 1 0 0! M . (3.56) Z otrzymanych równa& równowagi wynika, "e zagadnienie dotycz#ce równowagi przestrzennego uk adu si równoleg ych b!dzie statycznie wyznaczalne, je"eli b!d# w nim trzy niewiadome. W przypadku uk adu si równoleg ych le"#cych w jednej p aszczy'nie, np. xy, i równoleg ych do osi y sumy rzutów wszystkich si na o$ x b!d# to"samo$ciowo równe zeru. Zatem trzy równania równowagi p askiego dowolnego uk adu si (3.51) redukuj# si! do równania rzutów si na o$ y i równania momentów wzgl!dem dowolnego punktu O: Pky k n kO k n ! ! ! 1 1 0, . (3.57) Równania równowagi w postaci jednego równania rzutów i jednego równania momentów (3.57) mo"na zast#pi% dwoma równaniami momentów wzgl!dem dwóch punktów A i B nie le"#cych na prostej równoleg ej do linii dzia ania si : M MkA k n kB k n = 0, = 0 ! ! 1 1 . (3.58) docsity.com 4.1. rodek ci !ko"ci i "rodek masy Rozpatrzmy uk ad n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2, . . . , n), na które dzia aj! si y ci"#ko$ci Gk (rys. 4.1). Niech po o#enie tych punktów wzgl"dem punktu odniesienia O okre$laj! wektory wodz!ce rk, jak na rysunku. Wiadomo, #e si y ci"#ko$ci poszczególnych punktów s! równe iloczynowi masy przez przy$pieszenie ziemskie, Gk = mk g, i s! skierowane do $rodka kuli ziemskiej. Poniewa# wymiary uk adów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniach technicznych s! pomijalnie ma e w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, si y ci"#ko$ci mo#emy uwa#a% za si y równoleg e. Punkt C po o#enia wypadkowej si ci"#ko$ci G nazywamy rodkiem ci!"ko ci uk adu lub cia a materialnego. Punkt ten nie zale#y od obrotu uk adu lub cia a materialnego. Skoro si y ci"#ko$ci s! si ami równoleg ymi, to do okre$lenia po o#enia $rodka ci"#ko$ci C mo#emy wykorzysta% wzory wyprowadzone w p. 3.9.1 na $rodek uk adu si równoleg ych. Wektor wodz!cy rC $rodka ci"#ko$ci C uk adu punktów materialnych zgodnie ze wzorem (3.54) b"dzie wyra#a zwi!zek: r r C k k k n G G ! 1 . (4.1) Wspó rz"dne $rodka ci"#ko$ci C w prostok!tnym uk adzie wspó rz"dnych otrzymamy ze wzorów (3.55): x x G G y y G G z z G G C k k k n C k k k n C k k k n ! ! ! 1 1, , 1 . (4.2) We wzorach (4.1) i (4.2) G jest ci"#arem ca kowitym uk adu materialnego: G G k k n ! 1 . W przypadku cia a materialnego o ci!g ym rozmieszczeniu masy, jakim jest bry a, dzielimy je my$lowo na n ma ych elementów o masach "mk i ci"#arach "Gk (rys. 4.2). Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) "Gk zamiast Gk otrzymamy wzory na przybli#one po o#enie $rodka ci"#ko$ci bry y: r r C k k k n G G ! " 1 , (4.3) docsity.com