Pobierz Światło a fizyka kwantowa i więcej Prezentacje w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

WSTĘP DO FIZYKI KWANTOWEJ

1. Promieniowanie termiczne ciał

Z codziennego doświadczenia wiemy, że rozgrzane do wysokiej temperatury ciała są

źródłami światła widzialnego (np. włókna żarówek). Ogólnie, promieniowanie wysyłane

przez rozgrzane ciała nazywamy promieniowaniem termicznym.

Każde ciało emituje i absorbuje promieniowanie termiczne. Gdy ciało ma temperaturę

otoczenia ( Tciała = Totocz ) to szybkość absorpcji jest równa szybkości emisji. Gdy Tciała >

Totocz wtedy szybkość emisji jest większa od szybkości absorpcji, ciało będzie się

oziębiać, aż do osiągnięcia równowagi termicznej z otoczeniem.

Za pomocą siatki dyfrakcyjnej możemy zbadać skład widmowy wyemitowanego

promieniowania. Definiujemy w tym celu widmową zdolnością emisyjną R(λ) w ten

sposób, że R(λ)dλ – oznacza moc promieniowania emitowanego przez jednostkową

powierzchnię ciała w zakresie długości fal między λ , λ+dλ. Przykładowo, zdolność

emisyjna dla taśmy wolframowej w temperaturze T=2000 K ma postać pokazana na

Rys.1.

Rys. 1. Widmo promieniowania termicznego wolframu w temperaturze 2000 K (linia

cciągła). Pokazano także widmo ciała doskonale czarnego (linia przerywana).

Całkowita energia wysyłanego promieniowania w całym zakresie długości fal:

R R  d 



=

0

Wielkość ta jest po prostu polem powierzchni zawartym pod wykresem R(λ).

Rys 2. Całkowita energia wysyłanego promieniowania termicznego powierzchnia

ppod krzywą)

Widmo emitowane przez ciało stałe ma charakter ciągły, silnie zależy od temperatury,

szczegóły widma są prawie niezależna od rodzaju substancji.

Aby uniezależnić się od szczegółów dotyczących różnych ciał definiujemy modelowe

ciało doskonale czarne. Wyobraźmy sobie, że w litym kawałku materiału wydrążyliśmy

wnękę, do której światło może wejść (lub z niej wyjść) przez mały otworek. W ten

sposób światło, które wchodzi przez otworek jest praktycznie w 100% pochłonięte prze

ciało doskonale czarne.

Rys. 3. Model ciała doskonale czarnego

Z obserwacji wynika, że :

• Promieniowanie wychodzące z wnętrza ma zawsze większe natężenie niż

promieniowanie ze ścian bocznych,

• Dla danej temperatury widmo promieniowania wychodzące z otworu jest

identyczne dla wszystkich ciał,

• Emisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego spełnia

zależność zwaną prawem Stefana- Boltzmana:

R=σT 4 (2)

gdzie: σ – stała Stefana-Boltzmana (σ = 5.67 * 10

• 8 W/(m

2 K

4 )).

Natomiast widmowa zdolność emisyjna R(λ) zmienia się z temperaturą jak pokazano

poniżej:

4

T

R

która pokazana jest na Rys. 5. Widzimy, że zależność ta całkowicie zawodzi w

zakresie małych długości fali („katastrofa krótkofalowa”).

Teoria Wiena (1896). Dała ona zależność w pierwszym przybliżeniu zgodną z

doświadczeniem. Oparta była również na teorii klasycznej; założono, że rozkład

częstotliwości promieniowania jest analogiczny do rozkładu Maxwella prędkości cząstek

w gazie.

Teoria Plancka. Prowadzi ona do zależności doskonale zgodnej z doświadczeniem:

(^52)

1

 T

C

e

C

R



gdzie C 1 i C 2 są stałymi.

Planck przyjął następujące założenia :

• prawdopodobieństwo wystąpienia drgań o energii E jest opisane rozkładem

Boltzmana:

( )~exp( ) kT

E

 E −

• drgające atomy, które promieniują światło to oscylatory (tzw. oscylatory

kwantowe),

• każdy oscylator nie może mieć dowolnej energii, lecz tylko ściśle określone:

E = nhν (8)

gdzie n jest liczbą kwantową energii (n=1,2,3...), ν – częstotliwością oscylatora, h –

stałą Plancka (h= 6,63 * 10

• 34 Js),
• oscylator nie wypromieniowuje energii w sposób ciągły lecz skokowo,

przechodząc z jednego stanu energetycznego do drugiego:

ΔE = hν (9)

(odpowiada to sytuacji: n=1).

Atomy zachowują się jak oscylatory kwantowe. Dopóki oscylator pozostaje w jednym

ze swoich stanów kwantowych, dopóty ani nie absorbuje ani nie emituje energii

(mówimy, że oscylator znajduje się w stanie stacjonarnym). Natomiast atom przechodząc

z wyższego do niższego stanu energetycznego emituje porcję energii (kwant) o wartości

h. Ilość atomów emitujących kwanty promieniowania jest ogromna i w efekcie

wysyłane promieniowanie możemy opisać jako strumień kwantów.

Na podstawie swojej teorii Planck wykazał, że :

k

hc

C 1 = 8  ch; C 2 =

Teoria Plancka (Równ. 6) prowadzi do bardzo dobrej zgodności z doświadczalnie

wyznaczoną widmową zdolnością emisyjna.

2. Zjawisko fotoelektryczne.

Rys. 6. Schemat doświadczenia do badania zjawiska fotoelektrycznego

Istota zjawiska fotoelektrycznego polega na tym, iż promieniowanie krótkofalowe

padając na powierzchnię metalu wybija z niej elektrony (wykrył to Hertz w 1887).

Schemat aparatury do badania tego zjawiska przedstawiono na Rys. 6. W próżniowej

bańce szklanej są umieszczone dwie płytki metalowe (anoda i`katoda) między którymi

jest napięcie U (mierzymy je woltomierzem). Równocześnie prąd wybijanych

fotoelektronów mierzymy mili-amperomierzem.

Stwierdzono, że dla danego metalu zjawisko fotoelektryczne zachodzi tylko dla światła

o częstotliwości wyższej od pewnej wartości progowej: ν≥ν 0. Jeśli warunek ten jest

spełniony, to zależność mierzonego prądu fotoelektronów od przyłożonego napięcia

(między anodą i katodą) ma charakterystyczny kształt pokazany poniżej:

Rys. 7. Zależność prądu fotoelektronów od przyłożonego napięcia.

Zauważmy, że:

a) natężenie prądu fotoelektronów jest proporcjonalne do natężenia padającego światła

(czyli do ilości padających kwantów światła): I~J ,

b) istnieje ujemne napięcie ( - U 0 ) zatrzymujące wszystkie fotoelektrony; stwierdzono, że

spełnia ono zależność:

2 max 0

m 

U e =

potas sód (^) cynk

 01  02  03 

U 0 e

Rys. 10. Praca wyhamowania najszybszych fotoelektronów w funkcji częstotliwości

padającego światła dla potasu, sodu i cynku.

Wszystkie te obserwacje wyjaśnia przyjęcie hipotezy, że padające światło składa się z

elementarnych porcji energii - zwanych fotonami, każdy o energii: h. Energia fotonu

jest pochłaniana przez elektron metalu i jest ona zużywana na dwa cele: a) pokonanie

bariery potencjału przy opuszczeniu metalu prze elektron (praca wyjścia) i b) uzyskanie

przez elektron energii kinetycznej.

Zjawisko fotoelektryczne zinterpretował po raz pierwszy w ten sposób Albert Einstein.

Zauważmy, że wykres z Rys. 10 możemy zinterpretować jako:

( ) 2

0

2 max 0 hv v

m U e = = −



lub też:

m hv W 2

 max = −

gdzie W=h  o jest tzw. pracą wyjścia, czyli energią jaką trzeba dostarczyć elektronowi,

aby mógł uwolnić się z metalu.

Zauważmy, że częstotliwość padającego światła decyduje o progu zajścia zjawiska

fotoelektrycznego: padający kwant światła musi mieć energię wystarczającą do

pokonania pracy wyjścia ( h  o=W ). Jeśli światło będzie miało niższą częstotliwość to

zjawisko fotoelektryczne nie wystąpi. Jeśli światło będzie miało częstotliwość większą

niż o, to wybity elektron będzie dysponował jeszcze energią kinetyczna.

Natomiast natężenie światła J (będące proporcjonalne do ilości kwantów na jednostkę

czasu i powierzchni), decyduje o ilości wybijanych fotoelektronów, czyli o natężeniu

prądu fotoelektronów (jeśli oczywiście, spełniony jest warunek:  >  o ).

Należy podkreślić, że przedstawione wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego jest

potwierdzeniem kwantowej natury światła i tylko w ramach tej teorii może być

wytłumaczone.

Za wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego Albert Einstein otrzymał nagrodę Nobla w

roku 1921.

3. Efekt Comptona.

Efekt Comptona był kolejnym zjawiskiem, które zmusiło fizyków do zaakceptowania

kwantowej natury promieniowania. Zjawisko to polega na rozpraszania promieni X lub

γ na zewnętrznych (słabo związanych) elektronach atomu, któremu towarzyszy zmiana

długości fali.

Rys. 11. Geometria rozproszenia fotonu na elektronie w efekcie Comptona

Przeprowadzimy teraz ilościową analizę tego procesu.

Z zasady zachowania energii:

hv mc hv' E

2

• o = +

gdzie moc

2 jest energią spoczynkową elektronu (zgodnie z STW), E – jego końcową

energią całkowita, zaś h  ’ jest energia rozproszonego kwantu.

Z zasady zachowania pędu (rozpisanej oddzielnie dla składowych wzdłuż osi x i y):

cos cos

p c

hv

c

hv = +

oraz

sin sin

0 p c

hv = −

gdzie p jest końcowym pędem elektronu.

Możemy przepisać dwa ostatnie równania jako :

cos cos

p c

hv

c

hv

− = , sin sin

p c

hv

Podnosimy je do kwadratu i dodajemy:

2 2

2 2

2

2

2

2 2

p c

h v' cos c

2 hvv'

c

h v − + =

lub: 2 2 2 2 2

h ( − ') + 2 hvv'( 1 − cos  ) = pc^ (17)

Z kolei przekształcając i podnosząc do kwadratu równanie (1 4 ):

Rys. 12. Widmo rozproszonych kwantów promieniowania rentgenowskiego przy danym

kącie  - rysunek dolny. U góry pokazano widmo padających kwantów

promieniowania.

4. Model atomu Bohra

Kolejnym zagadnieniem, które doprowadziło do przyjęcia kwantowej koncepcji

budowy materii był problem wyjaśnienia częstotliwości promieniowania emitowanego

przez atomy. Najprostszym atomem jest atom wodoru i na nim się najpierw skupiono.

Obserwacje doświadczalne potwierdziły istnienie tzw. serie widmowych dla atomu

wodoru. Wprowadzając liczbę falową



c

v v , obserwowane częstotliwości

emitowanego promieniowania można wyrazić jako:

Serie Lymanna (ultra fiolet) :  

2 2

n

v RH , n=2,3,4,...

Seria Balmera (zakres widzialny):  

2 2

n

v RH , n=3,4,5,...

i kolejne .....

Ogólnie obserwowane serie częstotliwości można wyrazić jednym wzorem:

2 2

k n

v RH

gdzie: RH jest stałą Rydberga , RH = 1,09678* 7 m

• 1 , zaś k – numeruje serie oraz n>k ;

i tak :

k = 1 – seria Lymanna ( ultrafiolet)

k = 2 – seria Balmera (zakres widzialny)

k = 3 – seria Paschena (podczerwień)

k = 4 – seria Bracketta

k = 5 – seria Pfunda

k = 6 – seria Humphreysa.

Teoria Bohra atomu wodoru oraz atomu wodoro-podobnego

Rozważymy najprostszy możliwy atom, czyli atom wodoru lub atom wodoro-podobny

(ten ostatni jest wielokrotnie zjonizowanym dowolnym atomem, tak, że pozostał tylko

jeden elektron).

Przeprowadzimy teraz pół-klasyczne obliczenie, które doprowadzi nas do wyrażenia na

promienie orbit i energie elektronu. Załóżmy, że atom wodoro-podobny zawiera Z

protonów (lecz tylko jeden elektron).

Wyobrazmy sobie, że elektron krąży wokół jądra, analogicznie jak Ziemia krąży wokół

Słońca. Rolę siły dośrodkowej pełni przyciąganie elektrostatyczne między jądrem i

elektronem, a zatem:

r

mv

4 r

Ze e

2

2 0

^ (21)

Wyliczmy z powyższego energię kinetyczną elektronu:

8 r

Ze

4 r

Ze

mv 2

E

0

2

0

2 2 k 

Jądro o ładunku +Ze wytwarza potencjał :

r

Ze V

Zatem elektron (o ładunku – e) ma energię potencjalną Ep :

r

Ze

r

Ze e E (^) p 0

2

Energia całkowita elektronu :

r

Ze

r

Ze

r

Ze E Ek Ep

0

2

0

2

0

2

Według elektrodynamiki klasycznej atom wodoru, składający się z jądra oraz

krążącego wokół niego elektronu, powinien wypromieniowywać energię w sposób ciągły

(jako falę elektromagnetyczną) i częstotliwość promieniowania powinna być taka sama

jak mechaniczna częstotliwość

v = ruchu elektronu wokół jądra. W miarę jak atom

promieniowałby, jego energia malałaby, a zatem promień orbity malałby, rosłaby

częstotliwość wysyłanego promieniowania i w końcu elektron spadłby na jądro.

Doświadczenia tego wszystkiego nie potwierdzają.

Aby wyjść z tej trudności Bohr wprowadził dwa postulaty, które doprowadziły model

do zgodności z doświadczeniem:

co też możemy wyrazić:

2

1

n

E

En =

gdzie 2 2 0

4 2

01

2

1 8 8 h

meZ

r

Ze E

Widzimy, że energie elektronu na kolejnych orbitach są ujemne. Po podstawieniu

wartości stałych otrzymujemy na energię na pierwszej orbicie: E 1 = - 13,3 eV. Pozostaje

ona w bardzo dobrej zgodności z doświadczeniem. Wartość |E 1 | jest energią jonizacji

atomu wodoru.

A teraz wróćmy do problemu serii widmowych atomu wodoru. Widzieliśmy, że

energie emitowanych kwantów promieniowania:

hv = En − Ek

czyli:

2 3 2 2 0

4 2

(^122122)

hc k n

meZ

k n

E

n k hc

E

hc hc

E E

c

v v

n k

co możemy przepisać jako:

2 2

k n

v Z RH

gdzie: 8 hc

me R 2 3 0

4

H

Jest to wynik w pełni potwierdzający dane doświadczalne. Oczywiście dla atomu wodoru

trzeba podstawić: Z=1.

Doświadczenie Francka-Hertza

Doświadczenie to potwierdziło dyskretne wartości energii elektronów w atomach.

Rys. 13. Schemat doświadczenia Francka-Hertza

W szklanej bańce, wypełnionej parami rtęci, znajdują się trzy elektrody: żarzona

katoda, anoda oraz siatka. Elektrony wylatujące z rozżarzonej katody są przyspieszane

napięciem U 1 między katoda i siatką, następnie są hamowane napięciem U 2 między

anodą i siatką. W ten sposób jedynie elektrony, których energia (w miejscu gdzie

znajduje się siatka) jest większa od energii eU 2 zostają zebrane przez anodę i dają

przyczynek do prądu mierzonego przez amperomierz. W układzie tym możliwa jest

zatem analiza energii elektronów przepływających przez bańkę.

A zatem elektrony są przyśpieszane między katodą i siatką; jeśli akurat uzyskają energię

równą energii wzbudzenia atomów par rtęci (E 2 - E 1 ) to oddają praktycznie całą swoją

energię atomom rtęci (zachodzi to przy napięciu U 1 = 4. 86 V – początek opadania

pierwszego maksimum na Rys. 14). Po utracie swej energii kinetycznej elektrony są

łatwo zawrócone między siatką i anodą i w efekcie obserwujemy duży spadek natężenia

prądu. Przy kolejnym wzroście napięcia przyspieszającego, elektrony osiągną większą

energie i każdy z nich będzie mógł wzbudzić dwa atomy rtęci (U 1 =9.72 V).

Obserwowana charakterystyka prądu zbieranego na anodzie wykazuje kolejne maksima i

minima w funkcji napięcia przyspieszającego.

Rys. 14. Zależność prądu anodowego od napięcia przyspieszającego

Stwierdzono, że minimalna energia elektronów, konieczna do wzbudzenia linii λ =

2536Å rtęci wynosi 4,86eV (tzn. U 1 = 4,86V), co równa się właśnie energii hν tych

kwantów (U 1 *e = hν). Doświadczenie to potwierdza dyskretny charakter energii

wzbudzeń elektronów w atomach.

5. Promieniowanie rentgenowskie

Wytwarza się je najczęściej w lampie rentgenowskiej, przedstawionej poniżej:

Rys. 1 5. Schemat lampy rentgenowskiej

Rys. 18. Schemat emisji linii charakterystycznych przy przejściach elektronów między

poziomami energetycznymi

Okazuje się, że częstotliwości promieniowania emitowanego przez dowolny atom (a nie

tylko przez atom wodoru), można także w przybliżeniu opisać używając modelu Bohra.

Przypomnijmy, jakie częstotliwości emitowane przez atom wodoru przewiduje model

Bohra (Równ. 31):

2 2

k n

R Z

c

v v (^) H

Okazuje się, że w przypadku atomów wieloelektrodowych wzór ten także może być

przydatny, jeśli tylko uwzględnimy częściowe „ekranowanie” jądra przez elektrony,

które są pomiędzy jądrem a danym elektronem. W tym celu w powyższym wyrażeniu

wprowadza się fenomenologiczną stałą ekranowania a , która opisuje efektywny ubytek

ładunku dodatniego jądra:

( )  

2 2

k n

v vc RHcZ a (32)

6. Generacja i anihilacja par e - i e

+ .

Foton może przy oddziaływaniu z polem elektrycznym jądra zniknąć i dać początek

parze elektron – pozyton: e

• i e + . Zjawisko to zachodzi dla fotonów o energii:

hν > 2m 0 c 2 =1,02MeV.

Może też zajść zjawisko odwrotne : anihilacja pary e

i e

• :

e

• e

• → 2 hν’ (hν’=0,511 MeV)

Efekty te obserwujemy w reakcjach jądrowych. Zwróćmy uwagę na to, że pozyton (e

)

jest przykładem cząstki antymaterii (oprócz tego, że ma przeciwny ładunek niż elektron,

zbudowany jest z tzw. antymaterii). Gdy antymateria zetknie się ze zwykłą materią –

znikają obie i pojawia się równoważna ilość energii (zgodnie z relacją E=mc 2 ).

7. Dwoisty charakter promieniowania elektromagnetycznego oraz

materii

Widzieliśmy już, że wiele zjawisk potwierdza także cząsteczkową (korpuskularną)

naturę promieniowania elektromagnetycznego. Są to, np. zjawisko fotoelektryczne czy

efekt Comptona, które można wyjaśnić przyjmując, że światło składa się z kwantów o

energii E=h. Z drugiej strony, optyka falowa dostarczyła nam argumentów, że światło

posiada także naturę falową. Ogólnie, stwierdza się, że to, który z aspektów

promieniowania dominuje w danej sytuacji zależy od jego długości fali (λ). I tak gdy:

λ duże – ujawnia się głównie natura falowa (np., zjawisko interferencji),

λ małe – ujawnia się natura kwantowa (efekt Comptona , zjawisko fotoelektryczne i inne)

Znajdźmy teraz relację między pędem fotonu a długością fali. STW przewiduje, że pęd

cząstek nieposiadających masy spoczynkowej (a do takich należy foton) wynosi:

c

E

p =

a zatem:

h

c

hv

c

E

p = = = czyli:



h p = (33)

A zatem długość fali i pęd kwantów promieniowania są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Hipotezę że podobna relacja obowiązuje także dla cząstek postawił Louis de Broglie.

Zapostulował on, cząstce o pędzie p można przypisać długość fali:

p

h  =

Zauważmy, że jest to taka sama relacja jak dla promieniowania elektromagnetycznego

(Równ.33).

Louis de Broglie za odkrycie falowej natury cząstek uzyskał w roku 1929 nagrodę Nobla.

Doświadczenie Davissona i Germera nad dyfrakcją elektronów

Przekonywującym potwierdzeniem falowej natury cząstek jest ich dyfrakcja i

interferencja. Pierwsze doświadczenie pokazujące tą własność dla elektronów

przeprowadzili Davisson i Germer (1927) oraz Thomson (1928).

Zwróćmy uwagę, że w istocie analiza dyfrakcji jest taka sama, niezależnie od tego czy

użyjemy promieniowania rentgenowskiego czy tez strumienia cząstek. Podstawą

analizy jest równanie Bragg’ów (Równ. 35), natomiast musimy użyć odpowiedniej

długości fali. I tak:

• dla promieniowania elektromagnetycznego (np. rentgenowskiego): v

c

• dla strumienia cząstek (np. elektronów, neutronów, jonów): p

h

W szczególności, elektrony w mikroskopie elektronowym przyspieszamy polem

elektrycznym o różnicy potencjałów U. Uzyskują one energię kinetyczną

Ue

mv Ek = = 2

2

; stąd: m 2 mUe

2 2  = oraz:

mUe

h

p

h

A atem w mikroskopie elektronowym, zmieniając U „regulujemy” λ.

8. Dwa istotne fakty dla fizyki mikroświata (mechaniki kwantowej)

a) "Wielki paradoks"

Przeprowadźmy doświadczenie dyfrakcji cząstek, np. elektronów, na jednej oraz na

dwóch szczelinach. Na początku rozważmy strumień elektronów padających.

Rys. 22. Rozkład natężenia ugiętej wiązki elektronów na jednej i na

dwóch szczelinach.

Jak już widzieliśmy, cząstki posiadają własności falowe, a zatem otrzymamy

typowe dla jednej i dwóch szczelin rozkłady natężenia ugiętych wiązek na

ekranie - identyczne jak dla dyfrakcji wiązki światła (Rys. 23)

A teraz przepuszczamy przez jedną i dwie szczeliny wile elektronów, ale

pojedynczo, tzn. jeden po drugim, i sumujemy wypadkowy rozkład natężenia

na ekranie (Rys. 23).

Rys. 23. Rozkłady natężeń od sumy pojedynczych elektronów przechodzących

przez jedną i dwie szczeliny. Rysunek górny i środkowy pokazują przypadki

dla pojedynczych szczelin. Na dolnym rysunku pokazano wypadkowy rozkład

natężenia pojedynczych elektronów ugiętych na dwóch wiązkach: w środku -

rozkład jakiego spodziewalibyśmy się intuicyjnie (czyli suma dwóch

powyższych rozkładów) oraz - po prawej - rozkład jaki w rzeczywistości

otrzymamy.

W przypadkach, gdy zasłonięta jest jedna ze szczelin, otrzymujemy wypadkowe

rozkłady natężeń identyczne jak dla wiązki elektronów i tego też mogliśmy się

spodziewać.

Natomiast, gdy przepuszczamy pojedyncze elektrony przy otwartych obu

szczelinach, to spodziewalibyśmy się, że wystąpi suma powyższych dwóch

rozkładów, uzyskanych na pojedynczych szczelinach. Moglibyśmy bowiem

sądzić, że każdy pojedynczy elektron musi w końcu przejść przez jedną bądź

drugą szczelinę i w efekcie uzyskany rozkład natężenia powinien być sumą

rozkładów dla pojedynczych szczelin. Tak jednak nie jest - otrzymujemy taki

sam rozkład przy otwartych obu szczelinach, jaki dostaliśmy przy wiązce

elektronów lub także światła.

O czym to świadczy? Świadczy to o tym, że już każdy pojedynczy elektron

zachowuje sie jak fala i przechodzi "przez obie szczeliny równocześnie"

Wniosek:

Pojedyncza cząstka jest już falą i przechodzi „równocześnie” przez obie