Pobierz Szeregi liczbowe – kryterium porównawcze. i więcej Notatki w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!
Szeregi liczbowe – kryterium porównawcze.
A teraz przypomnienie tego, co było w pierwszym semestrze, a mianowicie kryterium porównawcze. W zasadzie zaprezentuję tylko kilka przykładów do odświeżenia i przećwiczenia stoso- wania kryterium porównawczego, ale jeszcze raz do znudzenia przypomnę bardzo ważny przykład:
Szereg harmoniczny ∑ ∞ n =
n
jest rozbieżny. Jest to przykład szeregu rozbieżnego, którego wyrazy dążą do ze- ra.
Przypominam też, że w przypadku szeregu o wyrazach nieujemnych możemy wyra- zić fakt jego zbieżności lub rozbieżności bez słów – wystarczy porównać sumę szeregu z ∞. Suma ta bowiem zawsze^144 ma sens, a pytanie o zbieżność szeregu jest pytaniem o skończoność jego sumy.
Kryteria zbieżności szeregów (cz. I).
- Warunek konieczny zbieżności. Jeżeli szereg
∑ ∞ n =
an jest zbieżny, to lim n→∞ an = 0.
Innymi słowy, jeżeli ciąg ( an ) jest rozbieżny lub zbieżny do granicy różnej od zera,
to szereg ∑ ∞ n =
an jest rozbieżny.
- Zbieżność szeregu nie zależy od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów. Oczywiście zmiana lub pominięcie tych wyrazów ma wpływ na sumę szeregu zbieżne- go.
- Kryterium porównawcze. Niech
∑ ∞ n =
an i
∑ ∞ n =
bn będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego
n ∈ N zachodzi nierówność an ¬ bn.
Jeżeli
∑ ∞ n =
an = ∞ , to
∑ ∞ n =
bn = ∞.
Jeżeli
∑ ∞ n =
bn < ∞ , to
∑ ∞ n =
an < ∞.
- ∞ Kilka wzorcowych szeregów. ∑ n =
qn^ jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q. ∑^ ∞ n =
na^
jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a.
(^144) To znaczy ”zawsze w przypadku szeregu o wyrazach nieujemnych”. Jeśli szereg ma wyrazy różnych znaków, to jego suma może nie mieć sensu.
Wykład 12 - 101 - wtorek 13.04.
Przykład 61: Rozstrzygnąć, czy szereg ∑ ∞ n =
n^20 + n^8 − n^10
)
jest zbieżny. Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów), a następnie wyko- nujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego: ∑^ ∞ n =
n^20 + n^8 − n^10
)
∑ ∞ n =
n^8 √ n^20 + n^8 + n^10
∑ ∞ n =
n^8 √ n^20 + 0 + n^10
∑ ∞ n =
n^8 2 n^10
∑ ∞ n =
n^2
Odpowiedź: Podany szereg jest zbieżny. Przykład 62:
Rozstrzygnąć, czy szereg
∑ ∞ n =
n^20 + n^9 − n^10
) jest zbieżny. Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów), a następnie wyko- nujemy szacowanie, aby skorzystać z kryterium porównawczego: ∑^ ∞ n =
n^20 + n^9 − n^10
)
∑ ∞ n =
n^9 √ n^20 + n^9 + n^10 ∑^ ∞ n =
n^9 √ n^20 + 3 n^20 + n^10
∑ ∞ n =
n^9 3 n^10
∑ ∞ n =
n
Odpowiedź: Podany szereg jest rozbieżny.
Przykład 63: Wskazując odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C udowodnić nierówności
C · π^2 ¬
∑ ∞ n =
4 n^4 + 4 n + 1 12 n^4 + n^3 + 3
¬ 2 C · π^2_._
Wolno skorzystać bez dowodu z równości
∑ ∞ n =
n^2
π^2 6
Rozwiązanie: Szacujemy dany w zadaniu szereg od dołu:
∑^ ∞ n =
4 n^4 + 4 n + 1 12 n^4 + n^3 + 3
∑^ ∞ n =
4 n^4 + 0 + 0 12 n^4 + n^4 + 3 n^4
∑ ∞ n =
2 n^2 16 n^4
∑ ∞ n =
n^2
π^2 6
· π^2
i od góry:
∑^ ∞ n =
4 n^4 + 4 n + 1 12 n^4 + n^3 + 3
∑ ∞ n =
4 n^4 + 4 n^4 + n^4 12 n^4 + 0 + 0
∑^ ∞ n =
3 n^2 12 n^4
∑ ∞ n =
n^2
π^2 6
· π^2_._
Wobec równości
udowodniliśmy żądane nierówności ze stałą C =
Wykład 12 - 102 - wtorek 13.04.
Rozstrzygnięcie zbieżności tych szeregów, czy też wyliczenie granic ciągów ich wyra- zów, wymagałoby każdorazowo dość uciążliwych szacowań, jeśli chcielibyśmy rozwiązać te zagadnienia ”gołymi rękami”. Jest jednak wspaniała maszynka, która faktycznie łączy w sobie kryterium porównawcze z wiedzą o zbieżności/rozbieżności szeregów geometrycz- nych.
Wyobraźmy sobie najpierw, że szereg
∑ ∞ n =
an jest szeregiem geometrycznym o dodatnim
ilorazie różnym od 1. To, czy szereg ten jest zbieżny, czy rozbieżny zależy od porównania
jego ilorazu z jedynką. Jeśli rozważymy ciąg ilorazów kolejnych wyrazów
( an + an
)
n∈ N
to jest to ciąg stały, a jego wyrazy są równe ilorazowi rozważanego szeregu geometrycz- nego.
Niech teraz szereg
∑ ∞ n =
an będzie trochę zaburzonym^146 szeregiem geometrycznym.
Wówczas ciąg ilorazów kolejnych wyrazów
( an + an
)
n∈ N
jest zaburzonym ciągiem stałym.
Jeśli tenże ciąg
( an + an
)
n∈ N
jest zbieżny, powiedzmy do granicy g 6 = 1, to dla dużych n
mamy
an + an
≈ g , a więc możemy oczekiwać, że szereg
∑ ∞ n =
an zachowuje się podobnie^147
do szeregu geometrycznego o ilorazie g.
Bez wdawania się w szczegóły techniczne dowodu, sformułujmy uprawdopodobnione powyższym rozumowaniem kryterium d’Alemberta:
Jeżeli ( an ) jest ciągiem o wyrazach dodatnich^148 oraz istnieje granica^149
n^ lim →∞
an + an
= g < 1 ,
to szereg
∑^ ∞ n =
an jest zbieżny.
Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa + ∞ )
n lim →∞
an + an
= g > 1 ,
to szereg
∑ ∞ n =
an jest rozbieżny.
(^146) Mniejsza o to, co to dokładnie znaczy. (^147) Nieco precyzyjniej można powiedzieć, że przy dodatnim ε i dla odpowiednio dużych n mamy osza-
cowania g − ε < an + an < g + ε , wobec czego szereg
∑^ ∞ n =
an szacuje się od dołu przez szereg geometryczny
o ilorazie g −ε , a od góry przez szereg geometryczny o ilorazie g + ε. Wystarczy teraz wziąć tak małe ε , aby g−ε < g + ε < 1 albo g + ε > g−ε > 1. Wówczas wszystkie trzy szeregi geometryczne (o ilorazach g−ε , g , g + ε ) są jednocześnie zbieżne albo jednocześnie rozbieżne. (^148) Kilka stron dalej jest sformułowanie bardziej ogólne, gdzie nie zakładamy dodatniości wyrazów, ale za to na ilorazy wyrazów nakładamy moduł. Ponieważ dziś rozważamy tylko szeregi o wyrazach nieujemnych, na razie się tym nie przejmujmy. (^149) W tym wypadku g może być równe 0, co faktycznie oznacza, że wyrazy szeregu dążą do zera szybciej niż wyrazy jakiegokolwiek szeregu geometrycznego.
Wykład 12 - 104 - środa 14.04.
Procedura stosowania kryterium d’Alemberta wygląda więc następująco. Mamy szereg ∑^ ∞
n =
an , którego zbieżność chcemy zbadać. Póki co, załóżmy dla ustalenia uwagi, że ma on
wyrazy dodatnie. Póki co załóżmy też, że na razie nie wchodzimy w niuanse, kiedy warto spróbować zastosować kryterium d’Alemberta – to wyczucie przychodzi z czasem^150.
Obliczamy granicę (^) n lim →∞
an + an
= g. Załóżmy, że się udało, co wymaga po pierwsze,
żeby ta granica istniała, a po drugie, abyśmy byli w stanie przeprowadzić odpowiednie rachunki. Jeżeli g < 1, to szereg jest zbieżny. Jeżeli g > 1, to szereg jest rozbieżny. Jeżeli natomiast g = 1, to kryterium nie daje rozstrzygnięcia, więc przeprowadzone przez nas rachunki niczego nie dowiodły.
Zajmijmy się więc po kolei przytoczonymi wcześniej przykładami.
∑^ ∞ n =
n^2020 2 n^
Oznaczmy an =
n^2020 2 n^
. Wówczas
n lim →∞
an + an
= lim n→∞
( n + 1)^2020 · 2 n 2 n +1^ · n^2020
= lim n→∞
( (^) n + n
) 2020
skąd wynika, że szereg (1) jest zbieżny.
∑^ ∞ n =
n! 2 n^
Oznaczmy an =
n! 2 n^
. Wówczas
n lim →∞
an + an
= lim n→∞
( n + 1)! · 2 n 2 n +1^ · n!
= lim n→∞
n + 1 2
skąd wynika, że szereg (2) jest rozbieżny.
∑^ ∞ n =
( 3 n n
)
6 n^
oraz
∑ ∞ n =
( 3 n n
)
7 n^
. ( 3 i 4 )
Na pierwszy rzut oka nie widać istotnej różnicy między tymi szeregami. Ale można zgadnąć odpowiedź używając trochę psychologii. Skoro zostały podane dwa podobne przykłady, to pewnie się inaczej zachowują, więc jeden jest zbieżny, a drugi rozbieżny. Ale który jest jaki? Zbieżny powinien być szereg o mniejszych wyrazach, czyli większych mianownikach, czyli szereg (4).
(^150) Pod warunkiem, że czas spędza się na rozwiązywaniu zadań. Sam upływ czasu niewiele tu pomoże.
Wykład 12 - 105 - środa 14.04.
Jeżeli ( an ) jest ciągiem o wyrazach nieujemnych^151 oraz istnieje granica
n lim →∞^ n
an = g < 1 ,
to szereg
∑ ∞ n =
an jest zbieżny. Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa + ∞ )
n lim →∞^ n
an = g > 1 ,
to szereg
∑ ∞ n =
an jest rozbieżny.
Zastosujemy kryterium Cauchy’ego do szeregu (7). Oznaczmy an =
nn 2 n^2
. Wówczas
n lim →∞^ n
an = lim n→∞^ n
√ nn 2 n^2
= lim n→∞
n 2 n^
= bn → ???.
Jeśli nie umiemy teraz sprawnie przejść do granicy, to możemy zastosować kryterium d’Alemberta (ew. Cauchy’ego) w wersji dla ciągów. Otóż jeśli kryterium orzeka o zbież- ności szeregu, to jako efekt uboczny dostajemy zbiezność ciągu wyrazów tego szeregu do zera. Możemy w ogóle nie być zainteresowani szeregiem, a jedynie ciągiem jego wyra- zów – wówczas tak samo stosujemy kryterium d’Alemberta, tylko wyciągamy konkluzję o zbieżności ciągu wyrazów do zera. Trzeba też wiedzieć, że jeśli kryterium d’Alemberta (ew. Cauchy’ego) orzeka o rozbieżności szeregu, to jest to rozbieżność spektakularna – wyrazy dążą do nieskończoności.
Wracając do badania zbieżności szeregu (7) , możemy zastosować kryterium d’Alem- berta do ciągu ( bn ):
n lim →∞
bn + bn
= lim n→∞
( n + 1) · 2 n 2 n +1^ · n
skąd wynika, że ciąg ( bn ) jest zbieżny do 0. A ponieważ 0 < 1, to pozwala dokończyć stosowanie kryterium Cauchy’ego do szeregu (7) :
n lim →∞^ n
an = lim n→∞^ n
√ nn 2 n^2
= lim n→∞
n 2 n^
= bn → 0 < 1
i wywnioskować, że szereg ten jest zbieżny.
Na razie tyle przykładów. Resztę biegłości nabędziesz rozwiązując zadania. Zapamię- taj jednak, że o wyborze między kryteriami d’Alemberta i Cauchy’ego decydują na ogół względy rachunkowe. Pierwiastek występujący w kryterium Caucy’ego na ogół utrud- nia lub uniemożliwia rachunki, ale czasami bardzo je upraszcza. I jeszcze jedno: Jeśli uda się zastosować oba te kryteria, to dadzą one dokładnie tę samą granicę g. Jeśli więc kryterium d’Alemberta doprowadziło do g = 1, to kryterium Cauchy’ego też nie da rozstrzygnięcia.
(^151) W dalszej części wykładu jest sformułowanie bardziej ogólne, gdzie dopuszczamy wyrazy ujemne, ale nakładamy na nie moduł.
Wykład 12 - 107 - środa 14.04.
Kryteria zbieżności szeregów (cz. II).
- Kryterium d’Alemberta. Jeżeli ( an ) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica
n lim →∞
∣∣ ∣∣ ∣
an + an
∣∣ ∣∣ ∣ =^ g <^^1 ,
to szereg
∑ ∞ n =
an jest zbieżny.
Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa + ∞ )
n lim →∞
∣∣ ∣∣ ∣
an + an
∣∣ ∣∣ ∣ =^ g >^^1 ,
to szereg
∑^ ∞ n =
an jest rozbieżny.
- Kryterium Cauchy’ego. Jeżeli istnieje granica n lim →∞^ n
√ |an| = g < 1 ,
to szereg
∑ ∞ n =
an jest zbieżny. Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa + ∞ )
n lim →∞^ n
√ |an| = g > 1 ,
to szereg
∑ ∞ n =
an jest rozbieżny.
- Kryterium d’Alemberta dla ciągów. Jeżeli ( an ) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica
n lim →∞
∣∣ ∣∣ ∣
an + an
∣∣ ∣∣ ∣ =^ g <^^1 ,
to ciąg ( an ) jest zbieżny do zera. Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa + ∞ )
n lim →∞
∣∣ ∣∣ ∣
an + an
∣∣ ∣∣ ∣ =^ g >^^1 ,
to ciąg ( an ) jest rozbieżny, a ciąg ( |an| ) jest rozbieżny do + ∞.
- Kryterium Cauchy’ego dla ciągów. Jeżeli istnieje granica lim n→∞^ n
√ |an| = g < 1 , to ciąg ( an ) jest zbieżny do zera. Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa + ∞ ) (^) n lim →∞^ n
√ |an| = g > 1 , to ciąg ( an )
jest rozbieżny, a ciąg ( |an| ) jest rozbieżny do + ∞.
Wykład 12 - 108 - środa 14.04.
Okazuje się, że takie założenia są dwa:
- funkcja f powinna przyjmować tylko wartości dodatnie^157 , - funkcja f powinna być nierosnąca.
Mamy więc następujace kryterium: Niech f : [1 , + ∞ ) → (0 , ∞ ) będzie funkcją^158 nierosnącą. Wówczas szereg ∑^ ∞ n =
f ( n )
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa ∫^ ∞
1
f ( x ) dx.
Ponieważ w przypadku całki niewłaściwej z funkcji nieujemnej czy szeregu o wyrazach nieujemnych, zbieżność i rozbieżność można wyrazić przyrównując całkę czy sumę szere- gu do nieskończoności^159 , tezę powyższego kryterium możemy zapisać symbolicznie tak:
∑^ ∞ n =
f ( n ) < ∞ ⇔
∫^ ∞
1
f ( x ) dx < ∞.
Ideę dowodu powyższego kryterium można prześledzić na rysunkach 50 i 51. Z rysunków tych wynikają nierówności ∑^ ∞ n =
f ( n ) ¬
∫^ ∞
1
f ( x ) dx ¬
∑ ∞ n =
f ( n ) ,
co jest równoważne nierównościom ∫^ ∞
1
f ( x ) dx ¬
∑ ∞ n =
f ( n ) ¬
∫^ ∞
1
f ( x ) dx + f (1).
Z powyższych nierówności wynika, że albo i całka i suma szeregu są skończone, albo i jedno i drugie jest nieskończone.
(^157) Na siłę można byłoby napisać ”nieujemne”, ale wobec monotoniczności osiąganie wartości 0 wymu-
szałoby zerowanie się funkcji dla wszystkich odpowiednio dużych argumentów. W konsekwencji odpo- wiadający jej szereg liczbowy miałby od pewnego miejsca tylko wyrazy zerowe. Zbieżność zarówno całki jak i szeregu byłaby w tym wypadku zbyt oczywista, aby była ciekawa. (^158) O dziwo nie założyłem, że f jest ciągła. Bez żadnej szkody możemy sobie to założenie dopisać.
Okazuje się jednak, że w przypadku funkcji monotonicznej ewentualne nieciągłości nie zaburzają cał- kowalności. Jednak wchodzenie w tym momencie w szczegóły wykracza poza zakres wykładu. Innym warunkiem, który mógłby się tu pojawić jest założenie (^) x lim →∞ f ( x ) = 0. To założenie nie jest do niczego potrzebne, ale jeśli nie jest ono spełnione, to zarówno całka jak i szereg są rozbieżne, więc niczego specjal- nie ciekawego nie uzyskujemy. Założenie to może jednak spełniać rolę zwrócenia uwagi na interesujący przypadek i dlatego nie wykluczyłbym, że się gdzieś tam w literaturze pojawia. (^159) Albowiem pytanie o zbieżność jest pytaniem o skończoność geometrycznego pola pod wykresem funkcji czy też o skończoność sumy wyrazów szeregu.
Wykład 12 - 110 - środa 14.04.
x
y
(^0 1 2 3 4 5 )
f (2)
f (3) f (4) f (5) (^) f (6) f (n−1) (^) f (n)
n− 2 n− 1 n rys. 50
x
y
(^0 1 2 3 4 5 )
f (1)
f (2) f (3) f (4) (^) f (5) f (n−2) (^) f (n−1)
n− 2 n− 1 n rys. 51
Wykład 12 - 111 - środa 14.04.
x
y
0 1 2 3 n
rys. 52
Wykład 12 - 113 - wtorek 20.04.
Jednocześnie ten przykład pokazuje, że w kryterium całkowym zbieżności szeregów
założenie monotoniczności jest bardzo istotne. W tym przypadku całka
∫^ ∞
1
f ( x ) dx jest
zbieżna, a odpowiadający jej szereg ∑ ∞ n =
f ( n ) =
∑ ∞ n =
2 n
jest rozbieżny i to w sposób spektakularny, bo jego wyrazy dążą do nieskończoności.
Na koniec jeszcze kilka komentarzy.
Kryterium całkowe ma szansę działać tylko dlatego, że dzięki monotoniczności funk- cji podcałkowej znajomość jej wartości w punktach całkowitych pozwala nam z grubsza przewidzieć, co funkcja robi pomiędzy punktami całkowitymi. Bez monotoniczności zna- jomość wartości w punktach całkowitych nie pozwala przewidzieć, co się dzieje poza nimi, co jest świetnie widoczne na rysunku 52.
W związku z przykładem z rysunku 52 powstaje pytanie dlaczego^162 w szeregu zbież- nym wyrazy dążą do zera, a w zbieżnej całce niewłaściwej funkcja podcałkowa nie musi dążyć do zera w nieskończoności. Otóż w szeregu rozmiar wyrazu odpowiada przyczynkowi tego wyrazu do zmiany sumy częściowej. Jeśli wyraz jest duży, to pociąga za sobą dużą zmianę sumy częściowej. W szeregu zbieżnym sumy częściowe się stabilizują – dalekie sumy częściowe zmieniają o bardzo mało, co wyklucza dalekie duże wyrazy. Zupełnie inaczej jest z całką. Duża wartość funkcji^163 nie musi pociągać za sobą dużego przyczynku do całki, bo ta nawet kolosalna wartość może być przyjmowana na malusieńkim przedzialiku. W szeregu natomiast nie można dodać pół czy ćwierć czy miliardową część wyrazu. Dodajemy od razu cały wyraz – jak jest duży, to dodajemy dużo.
Gdyby jednak założyć, że f ma w nieskończoności granicę i ta granica jest różna
od zera^164 , to całka
∫^ ∞
1
f ( x ) dx musiałaby być rozbieżna.
(^162) Słowo ”dlaczego” nie pyta tu o formalny dowód, ale o istotę przyczyn, dla których mamy takie, a nie inne zjawiska. (^163) Myślmy o funkcji ciągłej, a więc duża wartość w jednym punkcie wymusza duże wartości w pewnym (być może bardzo małym) otoczeniu tego punktu. (^164) Mogłaby to też być granica niewłaściwa ±∞.
Wykład 12 - 114 - wtorek 20.04.
