Pobierz Tablice całek: wzory, całkowanie różnych funkcji i więcej Skrypty w PDF z Mathematical Analysis tylko na Docsity!
Tablice Całek
29 grudnia 2003 roku
Spis treści
1 Wzory podstawowe 2 2 Całkowanie funkcji wielomianowych 4 3 Całkowanie funkcji wymiernych 5 4 Całkowanie funkcji niewymiernych 7 5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych 8 6 Całkowanie funkcji wykładniczych 9 7 Całkowanie przez cz¸eści i podstawienie 10
1 Wzory podstawowe
- ∫^0 dx = C
- ∫^ dx = x + C
- ∫^ xdx = 12 x^2 + C
- ∫^ xndx = (^) n+1^1 xn+1^ + C, dla n 6 = − 1
- ∫^1 x dx = ln |x| + C
- ∫^ f f^ ′ ((xx)) dx = ln |f (x)| + C
- ∫^ x^12 dx = − (^1) x + C
- ∫^ √xdx = 23 x√x
- ∫^ √^1 x dx = 2√x + C
- ∫^ √f^ ′f(x (x)) dx = 2^ √ f (x) + C
- ∫^ √ 1 dx−x 2 = arcsin x + C
- ∫^ sin xdx = − cos x + C
- ∫^1 sinh xdx = −^2 cosh x + C
- ∫^ cos xdx = sin x + C
- ∫^ cosh xdx = sinh x + C
- ∫^ sin^12 x dx = −^3 cot x + C
- ∫^ sinh^12 x dx = −^4 coth x + C
- ∫^ cos^12 x dx = tan x + C
- ∫^ cosh^12 x dx = 5 tanh x + C
- ∫^ exdx = ex^ + C (^1) sinh x = ex− 2 e −x, jest to sinus hiperboliczy (^23) coshcot x x oznacza cotangens = ex+ 2 e −x, jest to cosinus hiperboliczy (^45) cot x = cosh sinh xx , jest to cotangens hiperboliczy tanh x = sinh cosh^ xx , jest to tangens hiperboliczy
2 Całkowanie funkcji wielomianowych
- ∫^0 dx = C
- ∫^ dx = x + C
- ∫^ xdx = 12 x^2 + C
- ∫^ (ax + b)dx = a 2 x^2 + bx + C
- ∫^ xndx = (^) n+1^1 xn+1^ + C, dla n 6 = − 1
- ∫^ (ax + b)ndx = (^) a(n^1 +1) (ax + b)n+1^ + C, dla a 6 = 0 i n 6 = − 1
- ∫^ (anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 )dx = (^) na+1n xn+1^ + an n− 1 xn^ + ... + a 21 x^2 + a 0 x + C
3 Całkowanie funkcji wymiernych
- ∫^1 x dx = ln |x| + C
- ∫^ x^12 dx = − (^1) x + C
- ∫^ 1+dxx 2 = arctan x + C
- ∫^ (1+dxx (^2) )n = (^) 2(n−1)(1+xx (^2) )n− 1 + 22 nn−−^32 ∫^ (1+xdx (^2) )n− 1 , dla n 6 = 1
- ∫^ 1+(axdx+b) 2 = (^1) a arctan (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ a 2 dx+x 2 = (^1) a arctan xa + C, dla a 6 = 0
- ∫^ b+(dxx−a) 2 = √^1 b arctan x√−ba + C, dla b > 0
- ∫^ a 2 dx−x 2 = (^21) a ln |aa+−xx | + C, dla a > 0 i |x| 6 = 0
- ∫^ ax^1 +b dx = (^1) a ln |ax + b| + C, dla a 6 = 0
- ∫^ (ax^1 +b) 2 dx = − (^) a(ax^1 +b) + C
- ∫^ (ax+^1 b)n = (^) a(1−n)(ax^1 +b)n− 1 + C, dla n 6 = 1
- ∫^ Axax++Bb dx = Aa x + aBa− 2 Abln |ax + b| + C, dla a 6 = 0
- ∫^ ax (^2) +dxbx+c = (^) a^ √^1 −∆ 4 a^2
arctan √x+^ −^2 ba∆ 4 a^2
- C, dla a 6 = 0 oraz ∆ < 0
- ∫^ ax (^2) +dxbx+c = √^1 ∆ ln |x+^ b− 2 √a∆ x+ b+ 2 √a∆^ |^ +^ C, dla^ a^6 = 0 oraz ∆^ >^0
- ∫^ ax (^2) +dxbx+c = − (^) ax^1 + b 2 + C, dla a 6 = 0 oraz ∆ = 0
- ∫^ b+dxx 2 = √^1 b arctan √xb + C, dla b > 0
- ∫^ axAx (^2) ++bxB+c dx = 2 Aa ln |ax^2 + bx + c| + (^2) aaB√−−∆Ab arctan √x+^ −^2 ba∆ 4 a^2
+ C,
dla a 6 = 0 oraz ∆ < 0
- ∫^ axAx (^2) ++bxB+c dx = 2 Aa ln |ax^2 + bx + c|+ 2 aB 2 a√−∆Ab ln |x+^ b− 2 √a∆ x+ b+ 2 √a∆^ |+C, dla a 6 = 0 oraz ∆ > 0
4 Całkowanie funkcji niewymiernych
- ∫^ √xdx = 23 x√x
- ∫^ √ax + bdx = (^32) a (ax + b)^ √ (ax + b), dla a 6 = 0
- ∫^ √^1 x dx = 2√x + C
- ∫^ √(ax^1 +b) dx = 2 √axa +b+ C, dla a 6 = 0
- ∫^ √ 1 dx−x 2 = arcsin x + C
- ∫^ √ 1 −dx(ax+b) 2 = (^1) a arcsin (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ √adx (^2) −x 2 = arcsin xa + C, dla a > 0
- ∫^ √xdx (^2) −a 2 = ln |x + √x^2 − a^2 | + C, dla a 6 = 0
- ∫^ √1+dxx 2 = ln (x + √x^2 + 1) + C
- ∫^ √1+(dxax+b) 2 = (^1) a ln ((ax + b) +^ √ (ax + b)^2 + 1) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ √xdx (^2) − 1 = ln |x + √x^2 − 1 | + C, dla |x| > 1
- ∫^ √(axdx+b) (^2) − 1 = (^1) a ln |(ax + b) +^ √ (ax + b)^2 − 1 | + C, dla |ax + b| > 1 i a 6 = 0
- ∫^ √x (^2) +dxbx+c = ln |x + 12 b + √x^2 + bx + c| + C, dla 6 ∆ < 0
- ∫^ √ax 2 dx+bx+c = √^1 −a arcsin
√−ax− 2 √b−a √ (^) ∆ − 4 a^ +^ C, dla^ a <^ 0, oraz ∆^ >^0
- ∫^ √ax 2 dx+bx+c = √^1 a ln |√ax + 2 √ba + √ax^2 + bx + c| + C, dla a > 0 i ∆ < 0
- ∫^ √axAx (^2) ++bxB+c dx = Aa^ √ax^2 + bx + c+^2 aB 2 a−√Aba ln |√ax + 2 √ba + √ax^2 + bx + c|+ C, dla a > 0 i ∆ < 0
- ∫^ √axAx (^2) ++bxB+c dx = Aa^ √ax^2 + bx + c + 22 aBa√−−Aba arcsin
√−ax− 2 √b−a √ (^) ∆ − 4 a
C, dla a < 0, oraz ∆ > 0 (^6) ∆ = b (^2) − 4 ac oznacza delt równania kwadratowego
5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych
- ∫^ sin xdx = − cos x + C
- ∫^ sin (ax + b)dx = − (^1) a cos (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ cos xdx = sin x + C
- ∫^ cos (ax + b)dx = (^1) a sin (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ sin^12 x dx = − cot x + C
- ∫^ sin (^2) (^1 ax+b) dx = − (^1) a cot (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ cos^12 x dx = tan x + C
- ∫^ cos (^2) (^1 ax+b) dx = (^1) a tan (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ sinh xdx = − cosh x + C
- ∫^ sinh (ax + b)dx = − (^) a^1 cosh (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ cosh xdx = sinh x + C
- ∫^ cosh (ax + b)dx = (^) a^1 sinh (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ cosh^12 x dx = tanh x + C
- ∫^ cosh (^2 1) (ax+b) dx = (^1) a tanh (ax + b) + C, dla a 6 = 0
- ∫^ sinh^12 x dx = − coth x + C
- ∫^ sinh (^2) (^1 ax+b) dx = − (^) a^1 coth (ax + b) + C, dla a 6 = 0
7 Całkowanie przez cz¸eści i podstawienie
- ∫^ ln (ax + b)dx = (^1) a [(ax+b) ln (ax + b)−(ax+b)]+C, dla a 6 = 0
- ∫^ xn^ ln xdx = (^) n+1^1 xn+1^ ln x − (^) (n+1)^12 xn+1^ + C
- ∫^ arctan (ax + b)dx = (^1) a [(ax+b) arctan (ax + b)−ln^ √ (ax + b)^2 + 1] + C
