Pobierz Tangensy i wielomiany - charakterystyka i więcej Publikacje w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!
Tangensy i wielomiany
Andrzej Nowicki 14 maja 2015, wersja tg-
W książkach [4] i [5] zebrano kilka twierdzeń i zadań dotyczących tangensów i cotangensów. Znajdziemy tam na przykład następujące stwierdzenia.
0.1. Liczby tg
π 8
, tg
3 π 8
, tg
5 π 8
, tg
7 π 8
są pierwiastkami wielomianu x^4 − 6 x^2 + 1_._
0.2. Liczby tg
π 7
, tg
2 π 7
,... , tg
6 π 7
są pierwiastkami wielomianu x^6 − 21 x^4 +35 x^2 − 7_._
Znajdziemy tam również liczne równości trygonometryczne.
Celem tych notatek jest przedstawienie dowodów tego typu stwierdzeń. Wykorzy- stamy pozycje [3], [2], [6].
1 Wielomiany f n (x) oraz g n (x)
Jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą, to przez fn ( x ), gn ( x ) oznaczamy wielomiany spełniające równość
(1 + ix ) n^ = fn ( x ) + ign ( x ).
Są to wielomiany jednej zmiennej x o współczynnikach całkowitych.
f 0 ( x ) = 1 , f 1 ( x ) = 1 , f 2 ( x ) = −x^2 + 1 = − ( x − 1)( x + 1) , f 3 ( x ) = − 3 x^2 + 1 , f 4 ( x ) = x^4 − 6 x^2 + 1 = ( x^2 + 2 x − 1)( x^2 − 2 x − 1) , f 5 ( x ) = 5 x^4 − 10 x^2 + 1 , f 6 ( x ) = −x^6 + 15 x^4 − 15 x^2 + 1 = ( x^2 + 2 x − 1)( x^2 − 2 x − 1) , f 7 ( x ) = − 7 x^6 + 35 x^4 − 21 x^2 + 1 , f 8 ( x ) = x^8 − 28 x^6 + 70 x^4 − 28 x^2 + 1 = ( x^4 − 4 x^3 − 6 x^2 + 4 x + 1)( x^4 + 4 x^3 − 6 x^2 − 4 x + 1) , f 9 ( x ) = 9 x^8 − 84 x^6 + 126 x^4 − 36 x^2 + 1 = (3 x^2 − 1)(3 x^6 − 27 x^4 + 33 x^2 − 1) , f 10 ( x ) = −x^10 ( x ) + 45 x^8 − 210 x^6 + 210 x^4 − 45 x^2 + 1 = − ( x − 1)( x + 1)( x^3 − 4 x^3 − 14 x^2 − 4 x + 1)( x^4 + 4 x^3 − 14 x^2 + 4 x + 1) , f 11 ( x ) = − 11 x^10 ( x ) + 165 x^8 − 462 x^6 + 330 x^4 − 55 x^2 + 1 ,
g 1 ( x ) = x, g 2 ( x ) = 2 x, g 3 ( x ) = −x^3 + 3 x = −x ( x^2 − 3) , g 4 ( x ) = − 4 x^3 + 4 x = − 4 x ( x − 1)( x + 1) , g 5 ( x ) = x^5 − 10 x^3 + 5 x = x ( x^4 − 10 x^2 + 5) , g 6 ( x ) = 6 x^5 − 20 x^3 + 6 x = 2 x (3 x^2 − 1)( x^2 − 3) , g 7 ( x ) = −x^7 + 21 x^5 − 35 x^3 + 7 x = −x ( x^6 − 21 x^4 + 35 x^2 − 7) , g 8 ( x ) = − 8 x^7 + 56 x^5 − 56 x^3 + 8 x = − 8 x ( x − 1)( x + 1)( x^2 + 2 x − 1)( x^2 − 2 x − 1) , g 9 ( x ) = x^9 − 36 x^7 + 126 x^5 − 84 x^3 + 9 x = x ( x^2 − 3)( x^6 − 33 x^4 + 27 x^2 − 3) , g 10 ( x ) = 10 x^9 − 120 x^7 + 252 x^5 − 120 x^3 + 10 x = 2 x (5 x^4 − 10 x^2 + 1)( x^4 − 10 x^2 + 5).
Każde fn jest wielomianem parzystym, a każde gn jest wielomianem nieparzystym podzielnym przez x. Mamy więc dla wszystkich n równości
fn ( −x ) = fn ( x ) , gn ( −x ) = −gn ( x ).
Stopnie tych wielomianów przedstawiają się następująco:
deg f 2 s = 2 s, deg f 2 s +1 = 2 s, deg g 2 s = 2 s − 1 , deg g 2 s +1 = 2 s + 1_._
Jest jasne, że dla wszystkich n > 0 zachodzą równości:
(1 − ix ) n^ = fn ( x ) − ign ( x ) ,
fn ( x ) = (1+ ix )
n +(1 −ix ) n 2 , gn ( x ) = (1+ ix )
n− (1 −ix ) n 2 i.
Jeśli h jest wielomianem jednej zmiennej x , to oznaczmy przez w ( h ) jego współczynnik wiodący. Na przykład jeśli h = 5 x^3 − 4 x + 7, to w ( h ) = 5. Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie 1.1. Dla wszystkich s > 0 zachodzą równości:
w ( f 2 s ) = ( − 1) s, w ( f 2 s +1) = ( − 1) s (2 s + 1) , w ( g 2 s ) = ( − 1) s +1 2 s, w ( g 2 s +1) = ( − 1) s.
Z równości fn ( x ) + ign ( x ) = (1 + ix ) n^ mamy
fn ( x ) + ign ( x ) = 1 + i
( n 1
) x^1 −
( n 2
) x^2 − i
( n 3
) x^3 +
( n 4
) x^4 + i
( n 5
) x^5 − · · ·.
W przypadku n = 4 k mamy:
f 4 k ( x ) = x^4 k^ −
( (^4) k 4 k− 2
) x^4 k−^2 +
( (^4) k 4 k− 4
) x^4 k−^4 − · · · −
( 4 k 2
) x^2 + 1 ,
g 4 k ( x ) = −
( (^4) k 4 k− 1
) x^4 k−^1 +
( (^4) k 4 k− 3
) x^4 k−^3 − · · · −
( 4 k 3
) x^3 +
( 4 k 1
) x.
Teraz wykazujemy dla n = 4 k + 3:
x^4 k +2 f 4 k +
( 1 x
) = x^4 k +
2 k ∑+ j =
( − 1) j^
( 4 k + 2 j
) ( 1 x
) 2 j
2 k ∑+ j =
( − 1) j^
( 4 k + 2 j
) x^4 k +2 −^2 j^ = (^1) x
2 k ∑+ j =
( − 1) j^
( (^4) k + 4 k +3 − 2 j
) x^4 k +3 −^2 j
= −^1 x
2 k ∑+ j =
( − 1) j^
( 4 k + 2 j +
) x^2 j +1^ = −^1 x g 4 k +3( x )
= −h 4 k +3( x ).
Podane równości zostały więc udowodnione.
2 Wielomiany f n (x) oraz g n (x) i podzielność
Stwierdzenie 2.1. Dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych m, n zachodzą rów- ności:
fn + m ( x ) = fn ( x ) fm ( x ) − gn ( x ) gm ( x )
gn + m ( x ) = fn ( x ) gm ( x ) + fm ( x ) gn ( x )
Dowód.
fn + m ( x ) + ign + m ( x ) =
( 1 + ix
) n + m
( 1 + ix
) n ( 1 + ix
) m
( fn ( x ) + ign ( x )
)( fm ( x ) + igm ( x )
)
( fn ( x ) fm ( x ) − gn ( x ) gm ( x )
)
( fn ( x ) gm ( x ) + fm ( x ) gn ( x )
)
i stąd wynika teza.
Stąd w szczególności wynika, że f 2 n ( x ) = fn ( x )^2 − gn ( x )^2 oraz
g 2 n ( x ) = 2 fn ( x ) gn ( x ).
Następne stwierdzenie jest jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia udowodnionego w [6]. Przedstawiamy to stwierdzenie wraz z dowodem
Stwierdzenie 2.2. Wielomiany fn ( x ) oraz gn ( x ) są względnie pierwsze w Q[ x ].
Dowód. Wykorzystamy fakt, że Z[ i ][ x ] jest pierścieniem z jednoznacznością roz- kładu i udowonimy, że wielomiany fn ( x ) , gn ( x ) są względnie pierwsze w pierścieniu Q( i )[ x ]. Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną i przypuśćmy, że rozważane wielomiany nie są względnie pierwsze. Istnieje wtedy nierozkładalny wielomian h ( x ) ∈ Q( i )[ x ] dzielący jednocześnie wielomiany fn ( x ) oraz gn ( x ). Oczywiście deg h ( x ) > 1. Wielomian h ( x )
dzieli wielomian (1 + ix ) n^ oraz dzieli wielomian (1 − ix ) n. Z nierozkładalności wynika, że ten wielomian h ( x ) dzieli wielomiany (1 + ix ) oraz (1 − ix ). Stąd wynika że h ( x ) dzieli liczbę 2 i stąd wnioskujemy, że deg h ( x ) = 0. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że deg h ( x ) > 1.
Zanotujmy dalsze stwierdzenia dotyczące podzielności.
Stwierdzenie 2.3. Jeśli m | n, to gm ( x ) | gn ( x ) ( podzielność w Z[ x ]).
Dowód. Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej k zachodzi podzielność gm | gkm. Dla k = 1 jest to oczywiste. Załóżmy, że k > 1 oraz gm | gkm. Niech gkm = u · gm , gdzie u ∈ Z[ x ]. Wtedy, na mocy Stwierdzenia 2.1, mamy:
g ( k +1) m = gkm + m = fkmgm + fmgkm
= fkmgm + fmugm =
( fkm + ufm
) gm,
czyli gm | g ( k +1) m i to kończy indukcyjny dowód.
Można udowodnić więcej:
Stwierdzenie 2.4 ([2]). Jeśli m | n, to gn ( x ) = vm ( x ) gm ( x ) , gdzie vm ( x ) ∈ Z[ x ] i wielomiany vm ( x ) oraz gm ( x ) są względnie pierwsze w Q[ x ].
Dowód. Niech n = dm , gdzie d ∈ N. Jeśli m = n , to vm ( x ) = 1 i nie ma czego dowodzić. Załóżmy dalej, że m < n. Wtedy d > 2 i mamy
fn + ign = (1 + ix ) n^ = (1 + ix ) dm^ = ( fm + igm ) d = f (^) md + idf (^) md−^1 gm −
( d 2
) f (^) md−^2 g^2 m − i
( d 3
) f (^) md−^3 g^3 m + · · · ,
a zatem gn = df (^) md−^1 gm + u · g^2 m , gdzie u = u ( x ) jest pewnym wielomianem należącym do Z[ x ]. Niech vm ( x ) = df (^) md−^1 + ugm.
Wtedy gn ( x ) = vm ( x ) gm ( x ). Ponieważ nwd( fm, gm ) = 1 (patrz Stwierdzenie 2.2), więc
nwd( gm, vm ) = nwd
( gm, df (^) md−^1 + ugm
) = nwd
( gm, df (^) md−^1
) = 1. Wielomiany gm ( x ) oraz
vm ( x ) są więc względnie pierwsze w Q[ x ].
Zauważmy, że wielomiany f 3 = − 3 x^2 +1, f 5 = 5 x^4 − 10 x^2 +1 oraz f 7 = − 7 x^6 +35 x^4 − 21 x^2 + 1 są nierozkładalne w Q[ x ] (a nawet w Z[ x ]). Udowodnimy teraz, że tak jest dla wszystkich wielomianów fp , gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą. Przypomnijmy, że
przez hn ( x ) oznaczamy wielomian gn x ( x ).
Stwierdzenie 2.5. Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, to fp ( x ) oraz hp ( x ) są nie- rozkładalnymi w Z[ x ] wielomianami stopnia p − 1_._
3 Pierwiastki wielomianów f n (x) oraz g n (x)
Niech n > 1 będzie ustaloną liczbą naturalną. Jeśli j jest liczbą należącą do zbioru { 0 , 1 , 2 ,... , n − 1 } i przy tym taką, że n 6 = 2 j , to oznaczmy:
tj = tg
(
jπ
n
) .
Ponieważ tg
( π 2
) nie istnieje, więc założyliśmy dodatkowo, że n 6 = 2 j. Jeśli n jest niepa- rzyste, to mamy n parami różnych liczb rzeczywistych t 0 = 0 , t 1 ,... , tn− 1. Jeśli nato- miast n = 2 k jest liczbą parzystą, to mamy n − 1 parami różnych liczb rzeczywistych:
t 0 = 0 , t 1 ,... , tk− 2 , tk− 1 , tk +1 , tk +2 ,... , tn− 1_._
Twierdzenie 3.1. Wszystkie pierwiastki każdego wielomianu gn ( x ) są liczbami rzeczy- wistymi. Dokładniej, jeśli n jest nieparzyste, to pierwiastkami tymi są t 0 , t 1 ,... , tn− 1_. Jeśli natomiast n_ = 2 k jest liczbą parzystą, to pierwiastkami tymi są liczby t 0 , t 1 ,... , tk− 1 , tk +1 , tk +2 ,... , tn− 1_._
Dowód. Załóżmy, że j ∈ { 0 , 1 ,... , n − 1 } , n 6 = 2 j. Mamy wtedy
fn ( tj ) + ign ( tj ) = (1 + itj ) n^ =
( 1 + i tg jπn
) n
( 1 + i sin^
jπ n cos jπn
) n
( cos jπn
) −n ( cos jπn + i sin jπn
) n
= ( − 1) j^
( cos jπn
) −n
i stąd wynika, że gn ( tj ) = 0.
Twierdzenie 3.2. Wszystkie pierwiastki każdego wielomianu fn ( x ) są liczbami rzeczy- wistymi.
Dowód. Wynika to z Twierdzenia 3.1 oraz równości g 2 n = 2 fngn. Mówimy. że dany wielomian jest bezkwadratowy jes´li nie jest podzielny przez żaden kwadrat wielomianu nierozkładalnego; innymi słowy, jeśli jest iloczynem parami niesto- warzyszonych wielomianów nierozkładalnych. Z powyższych dwóch twierdzeń wynika natychmiast:
Stwierdzenie 3.3. Dla każdej liczby naturalnej n > 1 wielomiany fn ( x ) oraz gn ( x ) są bezkwadratowe.
Z powyższych twierdzeń wynika również następne stwierdzenie.
Stwierdzenie 3.4. Jeśli q jest liczbą wymierną różną od^12 , to liczba tg ( qπ ) jest alge- braiczna.
Dowód. Niech q ∈ Q, q 6 = 12 i niech r = tg( qπ ). Korzystając ze znanych wzorów
redukcyjnych stwierdzamy, że ±r = tg
( (^) j n π
) , gdzie j, n są nieujemnymi liczbami cał- kowitymi i przy tym n > 1 oraz j < n i oczywiście n 6 = 2 j. Z Twierdzenia 3.1 wiemy, że liczba ±r jest pierwiastkiem wielomianu gn ( x ). Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianu gn ( x ) są liczbami całkowitymi, więc ±r i stąd r jest liczbą algebraiczną.
Twierdzenie 3.5. Jeśli q jest dowolną liczbą wymierną, to wszystkie liczby sin( qπ ) , cos( qπ ) , tg ( qπ ) , ctg( qπ ) ( z wyjątkiem tych, które nie są zdefiniowane ) są liczbami al- gebraicznymi.
Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 3.4 oraz znanych wzorów:
sin α =
2 t 1 + t^2
, cos α =
1 − t^2 1 + t^2
, ctg α =
tg α
gdzie t = tg α 2.
Twierdzenie 3.6. Jeśli q jest dowolną liczbą wymierną, to wszystkie liczby
sin( qo ) , cos( qo ) , tg ( qo ) , ctg( qo )
są liczbami algebraicznymi.
Dowód. Wiemy, że kąt 180 o^ (180 stopni) ma π radianów. Zatem qo^ = 180 q π i teza wynika z twierdzenia poprzedniego.
4 Równości z tangensami
Spójrzmy jeszcze raz na Twierdzenia 3.1 oraz 3.2 oraz na współczynniki wiodące wielo- mianów fn ( x ) i gn ( x ), opisane w Stwierdzeniu 1.1. Z tych faktów wynikają natychmiast następujące stwierdzenia.
Stwierdzenie 4.1. Niech m > 1_. Pierwiastkami wielomianu f_ 2 m ( x ) są wszystkie liczby
rzeczywiste postaci tg
( 2 k− 1 4 m π
) , gdzie k = 1 , 2 ,... , 2 m. Mamy więc równość
f 2 m ( x ) = ( − 1) m^
(^2) ∏ m
k =
(
x − tg (2 k 4 −m 1) π
) .
Pierwiastkami wielomianu f 2 m +1( x ) są wszystkie liczby rzeczywiste postaci tg
( 2 k + 4 m +2 π
) ,
gdzie k należy do zbioru A = { 0 , 1 , 2 ,... , 2 m} r {m}. Mamy więc równość
f 2 m +1( x ) = ( − 1) m (2 m + 1)
∏
k∈A
(
x − tg
(2 k +1) π 4 m +
) ,
gdzie A = { 0 , 1 , 2 ,... , 2 m} r {m}.
Przypomnijmy, że hn ( x ) = gn x ( x ). Spójrzmy jeszcze raz na wielomian hn ( x ) w przy- padku, gdy n = 4 k + 1:
h 4 k +1( x ) =
∑^2 k
j =
( − 1) j^
( 4 k + 2 j +
) x^2 j^ =
∏^2 k
j =
( x^2 − tg^2 ( (^4) kjπ +1 )
) .
Porównując wyrazy wolne otrzymujemy równość
( 4 k + 1
)
∏^2 k j =
tg^2 ( (^4) kjπ +1 ). Natomiast
porównując współczynniki przy x^4 k−^2 otrzymujemy równość
( 4 k + 2
)
(^2) ∑ k j =
tg^2 ( (^4) kjπ +1 ).
Wykazaliśmy zatem następujące dwie tożsamości:
∏^2 k
j =
tg
( (^) jπ
4 k + 1
)
4 k + 1 ,
∑^2 k
j =
tg^2
( (^) jπ
4 k + 1
) = 2 k (4 k + 1).
Postępując podobnie w przypadku n = 4 k + 3, otrzymujemy:
2 k ∏+
j =
tg
( (^) jπ
4 k + 3
)
4 k + 3 ,
(^2) ∑ k +
j =
tg^2
( (^) jπ
4 k + 3
) = (2 k + 1)(4 k + 3).
Niech teraz n będzie parzyste. Dla n = 4 k mamy:
h 4 k ( x ) = − 4 k
(^2) ∏ k− 1
j =
( x^2 − tg^2 ( jπ 4 k )
)
(^2) ∑ k− 1
j =
( − 1) j^
( 4 k 2 j +
) x^2 j^ ,
Porównując wyrazy wolne otrzymujemy równość
( 4 k 1
) = 4 k
2 k ∏ − 1 j =
tg^2 ( jπ 4 k ). Natomiast po-
równując współczynniki przy x^4 k−^4 otrzymujemy równość
( 4 k 3
) = 4 k
2 k ∑ − 1 j =
tg^2 ( jπ 4 k ). Wy-
kazaliśmy zatem następujące dwie tożsamości:
2 k ∏ − 1
j =
tg
( jπ 4 k
) = 1 ,
(^2) ∑ k− 1
j =
tg^2
( jπ 4 k
)
(2 k − 1)(4 k − 1).
Postępując podobnie w przypadku n = 4 k + 2, otrzymujemy:
∏^2 k
j =
tg
( jπ 4 k + 2
) = 1 ,
∑^2 k
j =
tg^2
( jπ 4 k + 2
)
2 k (4 k + 1).
Udowodniliśmy zatem:
Stwierdzenie 4.5.
m ∏ − 1 j =
tg
( (^) jπ 2 m
)
m ∑ − 1 j =
tg^2
( (^) jπ 2 m
)
= 13 ( m − 1)(2 m − 1) ,
m ∏ j =
tg
( (^) jπ 2 m +
)
2 m + 1 ,
∑ m j =
tg^2
( (^) jπ 2 m +
)
= m (2 m + 1).
W ten sam sposób, wykorzystując Stwierdzenie 4.4, otrzymujemy poniższą równość z cotangensami.
Stwierdzenie 4.6 ([1] 123).
∑^ m
j =
ctg^2
jπ
2 m + 1
m (2 m − 1)
5 Przykłady i zastosowania
5.1. Rozpoczynamy od wielokrotności kąta π 5 = 36 o. (1) tg π 5 · tg 25 π =
(2) tg^2
( π 5
)
( 2 π 5
) = 10_._
(3) ctg^2
( π 5
)
( 2 π 5
) = 2_._
(4) tg π 5 =
√ 5 − 2
5 , tg^25 π =
√ 5 + 2
(5) Liczby tg π 5 , tg 25 π , tg 35 π , tg 45 π są pierwiastkami wielomianu
h 5 ( x ) = x^4 − 10 x^2 + 5_._
(6) Liczby ctg π 5 , ctg^25 π , ctg^35 π , ctg^45 π są pierwiastkami wielomianu
f 5 ( x ) = x^4 − 10 x^2 + 1_._
5.2. Wielokrotności kąta π 7_._ (1) tg π 7 · tg 27 π · tg 37 π =
(2) tg^2
( π 7
)
( 2 π 7
)
( 3 π 7
) = 21_._ (3) ctg^2
( π 7
)
( 2 π 7
)
( 3 π 7
) = 5_._ (4) Liczby tg π 7 , tg 27 π ,... , tg 67 π są pierwiastkami wielomianu
h 7 ( x ) = x^6 − 21 x^4 + 35 x^2 − 7_._
(5) Liczby ctg π 7 , ctg^27 π ,... , ctg^67 π są pierwiastkami wielomianu
f 7 ( x ) = − 7 x^6 + 35 x^4 − 21 x^2 + 1_._
5.3. Wielokrotności kąta π 8 = 22 , 5 o. (1) tg π 8 · tg 28 π · tg 38 π = 1_._ (2) tg^2
( π 8
)
( 2 π 8
)
( 3 π 8
) = 7_._
(3) tg π 8 =
√ 3 − 2
2 , tg 28 π = 1 , tg 38 π =
√ 3 + 2
(4) Liczby tg π 8 , tg 38 π , tg 58 π , tg 78 π są pierwiastkami wielomianu
f 4 ( x ) = x^4 − 6 x^2 + 1_._
