Pobierz Teoretyczne podstawy informatyki i więcej Prezentacje w PDF z Computer Science tylko na Docsity!
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 9: Grafowy model danych Graf to jest relacja binarna. Dla grafów mamy ogromne moProf. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
żliwości wizualizacji jakozbiór punktów (zwanych wierzchołkami)połączonych^ liniami lub strzałkami (nazwanych krawędziami). Pod tym względemgraf stanowi uogólnienie drzewiastego modelu danych. Podobnie jak drzewa, grafy wyst
ępują^ w
różnych postaciach: grafów skierowanych i nieskierowanych
lub
etykietowanych i niezaetykietowanych. Grafy są^ przydatne do analizy szerokiego zakresu
problemów:
obliczanie odległości, znajdowanie cykliczno
ści w relacjach,
reprezentacji struktury programów, reprezentacji relacji binarnych,reprezentacji automatów i^ układów elektronicznych.
Podstawowe poj Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/ ęcia
Graf skierowany (ang. directed graph)^ Składa się^ z następujących elementów:^ (1)^ Zbioru N wierzchołków (ang. nodes)^ (2) Relacji binarnej A na zbiorze N. Relacje A nazywa si
zbiorem krawędzi (ang. arcs) grafu skierowanego. Krawędzie stanowią^ zatem pary wierzcho
łków (u,v). N = {0,1,2,3,4} A = { (0,0), (0,1), (0,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,4), (3,2), (3,4), (4,1) }
Grafy cykliczne i acykliczne Cykl (ang. cycle) w grafie skierowanym jest drog^0 12 34 Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
ą^ o długości 1 lub więcej, która zaczyna się^ i kończy w tym samym wierzcho
łku. Długość^ cyklu jest długością^ drogi. Cykl jest prosty (ang. simple) je
żeli^ żaden wierzchołek (oprócz pierwszego) nie pojawia się^ więcej ni
ż^ raz.^ Cykle proste:^ (0,0), (0,2,0), (1,3,2,1), (1,3,2,4,1)^ Cykl nieprosty:^ (0,2,1,3,2,0)
Jeżeli istnieje cykl nieprosty zawieraj
ący wierzchołek^ ν,^ to można znaleźć prosty cykl który zawiera^ ν.^ Jeżeli graf posiada jeden lub wi
ęcej cykli to mówimy ze jest grafem cyklicznym (ang. cyclic). Je
śli cykle nie występują^ to, graf określa się^ mianem acyklicznego (ang. acyclic).
main PrintList^ MergeSort MakeList^ split Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
Grafy wywołań Wywołania dokonywane przez zestaw funkcji można reprezentować^ merge
za pomocą grafu skierowanego, zwanego grafem wywo
łań. Jego wierzchołki stanowią^ funkcje, a krawędź^ P -> Q istnieje wówczas, gdy funkcja P wywo
łuje funkcje Q. Istnienie cyklu w grafie implikuje występowanie w algorytmie rekurencji. Rekurencja w której funkcja wywo
łuje samą^ siebie nazywamy bezpoś
rednią^ (ang. direct). Czasem mamy do czynienia z rekurencja po
średnia (ang. indirect) która reprezentuje cykl o długości wi
ększej niż^ 1. np. P -> Q -> R -> P^ Graf wywołań^ dla algorytmu^ sortowania przez scalanie^ rekurencja^ bezpośrednia
Pewne pojęcia z teorii grafów Teoria grafów^ jest dziedziną^ Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
matematyki zajmującą^ się właściwościami grafów. Grafy pełne Nieskierowany graf posiadający krawędzie pomiędzy każdą^ parą^ ró
żnych wierzchołków nosi nazwę^ grafu peł
nego (ang. complete^ graph). Graf pe
łny o n
wierzchołkach oznacza się^ przez Kn.^ n1^ n1^ n1^ n2^ n3^ n
n1^ n2 n3^ n4 KKKK 1 2 3 4
Liczba krawędzi w nieskierowanym
grafie Kn^ wynosi n(n-1)/2, w skierowanym (^2) grafie Kn wynosi n.
n1 n2^ n3 K
Grafy planarne i nieplanarne^ O grafie nieskierowanym^ mówi si Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
n1ę że jest planarny (ang. planar) wówczas, n3 gdy istnieje możliwość rozmieszczenia jego wierzchołków na płaszczyźnie, a następnie narysowania jego krawędzi n4 jako lini ciągłych które się nie przecinają. Grafy nieplanarne (ang. nonplanar) to takie które nie posiadają reprezentacji płaskiej. n1 n2 n3 n4 K4 reprezentacja planarna
n2 n5 K5 n1^ n4 n2^ n5 n3^ n6 K3,3 najprostsze grafy nieplanarne
10 Sposoby implementacji grafów Istnieją dwie standardowe metody reprezentacji grafów Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
. Pierwsza z nich,
listy sąsiedztwa^ (ang. adjacency^ lists), jest, ogólnie rzecz bior
ąc, podobna do implementacji relacji binarnych. Druga,
macierze sąsiedztwa
(ang. adjacency^ matrices), to nowy sposób reprezentowania relacji binarnych, który jest bardziej odpowiedni dla relacji w przypadku których liczba istniej
ących par stanowi znaczącą^ część^ całkowitej liczby par, jakie mog
łyby teoretycznie
istnieć^ w danej dziedzinie. Listy sąsiedztwa^
Wierzchołki są^ ponumerowane kolejnymi liczbami całkowitymi 0,1,....., MAX-1 lub oznaczone za pomocą^ innego adekwatnego typu wyliczeniowego (używamy poni
żej typu NODE jako synonimy typu wyliczeniowego). Wówczas można skorzysta
ć z podejścia opartego na wektorze w
łasnym. typedef^ struct^ *CELL LIST; struct^ CELL {^ NODE nodeName;^ LIST^ next; } LIST successors[MAX] Element successors[u] zawiera wska
źnik do listy jednokierunkowej wszystkich bezpośrednich następników wierzcho
łka u. Następniki mogą^ występować
w dowolnej kolejności na liście jednokierunkowej.
11
0 12 340 1 01234 Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
Reprezentacja grafu za pomoc
ą^ list sąsiedztwa^ Listy sąsiedztwa zosta
ły posortowane wg. kolejności, ale następniki mogą występować w dowolnej kolejności na odpowiedniej liście sąsiedztwa.
Porównanie macierzy s Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/ ąsiedztwa z listami sąsiedztwa. Macierze sąsiedztwa są preferowanym sposobem reprezentacji grafów wówczas, gdygrafy są gęste (ang. dense), to znaczy, kiedy liczba krawędzi jest bliska maksymalnej możliwej ich liczby. Dla grafy skierowanego o n wierzcho
łkach maksymalna liczba krawędzi wynosi n
2. Jeśligraf jest rzadki^ (ang. sparse) to
reprezentacja oparta na listach są
siedztwa może pozwolić^ zaoszczędzi
ć^ pamięć. Istotne różnice miedzy przedstawionymi reprezentacjami grafów s
ą^ widoczne
już^ przy wykonywaniu prostych operacji.^ OPERACJA^ GRAF
GESTY^ GRAF RZADKI
Wyszukiwanie krawędzi^ Macierz s
ąsiedztwa^ Obie Znajdowanie następników^ Obie
Lista sąsiedztwa Znajdowanie poprzedników^ Macierz s
ąsiedztwa^ Obie Preferowany sposób reprezentacji:
Spójna składowa grafu nieskierowanego Każdy graf nieskierowany^ można podzieli Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/ ć^ na jedna lub większą^ liczbę
spójnych składowych^ (ang. connected
components). Każda spójna składowa to taki zbiór wierzcho
łków,^ że dla każdych dwóch z tych wierzchołków istnieje^ łącząca je^ ście
żka. Jeżeli^ graf składa się^ z jednej spójnej
składowej to mówimy^ że jest spójny (ang. connected).^ Kahului^22 60 Lahaina^ Hana^16 Keokea
to jest graf spójny
Algorytm wyznaczania spójnych sk Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
ładowych
Chcemy określić^ spójne składowe grafu G. Przeprowadzamy rozumowanie indukcyjne.^ Podstawa:^ Graf Go zawiera jedyni wierzchołki grafu G i
żadnej jego krawędzi Każdy wierzchołek stanowi odrębną^ spójn
ą^ składową^.
Indukcja: Zakładamy,^ że znamy już^ spójne sk
ładowe grafu Gi^ po rozpatrzeniu pierwszych i krawędzi, a obecnie rozpatrujemy (i+1) krawędź^ {u,v}.^ (a) jeżeli krawędź^ {u,v} należy do jednej spójnej składowej to nic się^ nie zmienia^ (b) jeżeli do dwóch różnych, to^ łą
czymy te dwie spójne składowe w jedną.
x u^ v^ y
Struktura danych dla^ wyznaczania spójnych sk Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
ładowych Biorąc pod uwagę^ przedstawiony algorytm, musimy zapewni
ć^ szybką wykonywalność^ następujących operacji.^ (1) gdy jest określony wierzchoł
ek to znajdź^ jego bieżącą spójną składową (2) połącz dwie spójne składowe w jedną Zaskakująco dobre wyniki daje ustawienie wierzcho
łków każdej składowej w strukturze drzewiastej, gdzie spójna sk
ładowa jest reprezentowana przez korzeń.^ (a) aby wykonać^ operacje (1) nale
ży przejść^ do korzenia (b) aby wykonać operacje (2) wystarczy korzeń^ jednej składowej określić jako potomka korzenia składowej drugiej. Przyjmiemy zasadę ze korzeń drzewa o mniejszej wysokości czynimy potomkiem. Przy takiej konstrukcji czas wykonania instrukcji (1) jest O(log(n)), czas wykonania instrukcji (2) jest O(1). Wyznaczenie wszystkich spójnych składowych to O(m log(n)) gdzie m=liczba kraw
ędzi, n=liczba wierzchołków.
A^242815 C B^ D 121120 13 E F Graf nieskierowany Prof. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
A 28 C B^ D 121120 13 E F Drzewo rozpinające
Znajdowanie minimalnego drzewa rozpinajProf. dr hab. E. Richter-Was,Teoretyczne Podstawy Informatyki - Rok I - kierunek IS w IFAiIS UJ – 2008/
ącego Istnieje wiele algorytmów. Jeden z nich to algorytm Kruskala, który stanowiproste rozszerzenie algorytmu znajdowania spójnych sk
ładowych. Wymagane zmiany to:^ (1) należy rozpatrywać^ krawędzie w kolejno
ści zgodnej z rosnącą wartością^ ich etykiet.^ (2) należy dołączyć^ krawędź^ do drzewa rozpinaj
ącego tylko w takim wypadku gdy jej końce należą^ do dwóch ró
żnych spójnych składowych
A^242815 C B^ D 121120 13 E F
A^2415 C B^ D 121113 E F
Graf nieskierowany^
Minimalne drzewo rozpinające
