Pobierz teoria obwodów - stany nieustalone w obwodach i więcej Egzaminy w PDF z Teoria obwodów tylko na Docsity!

TEORIA OBWODÓW - STANY

NIEUSTALONE W OBWODACH

MODUŁ 3

STANISŁAW OSOWSKI, KRZYSZTOF SIWEK

TEORIA OBWODÓW, STANY NIEUSTALONE, METODA ZMIENNYCH STANU, METODA

OPERATOROWA, STANY NIEUSTALONE W OBWODZIE RLC.

Moduł ten poświęcony jest w całości stanom nieustalonym w obwodach elektrycznych.

Wprowadzono pojęcie praw komutacji i opisu obwodu w stanie przejściowym przy

wykorzystaniu zmiennych stanu oraz opisu operatorowego Laplace’a. Zaproponowano modele

operatorowe elementów obwodu pozwalające w prosty sposób uzyskać rozwiązanie stanu

nieustalonego. Rozważono przypadki szczególne stanów nieustalonych w obwodzie RL, RC i

RLC.

POLITECHNIKA WARSZAWSKA | Ośrodek Kształcenia na Odległość OKNO

Spis treści

1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w

obwodach

W wyniku przełączeń lub zmiany wartości parametrów obwodu RLC powstaje w nim stan nieustalony, charakteryzujący

się tym, że kształt odpowiedzi obwodu jest inny niż wymuszenia. Na przykład przy stałym wymuszeniu odpowiedź jest

zmienna wykładniczo, bądź sinusoidalnie. Z upływem czasu odpowiedzi tego typu zanikają i ich charakter znów

odpowiada charakterowi wymuszenia. Z czasem powstaje więc nowy stan ustalony w obwodzie o zmienionej strukturze

na skutek przełączenia. W stanie nieustalonym obwodu można zaobserwować interesujące zjawiska, które odgrywają

ogromną rolę w praktyce. Analiza tych zjawisk pozwala z jednej strony uniknąć pewnych niebezpieczeństw związanych z

przepięciami, które mogą wystąpić w obwodzie a z drugiej strony wykorzystać te zjawiska do generacji przebiegów

zmiennych w czasie (np. generatory napięć harmonicznych).

W tym rozdziale zaprezentowane zostaną podstawowe metody opisu obwodów RLC w stanie nieustalonym przy

zastosowaniu równań różniczkowych. Wprowadzona zostanie metoda równań stanu oraz tak zwana metoda klasyczna.

Równania stanu są zbiorem wielu równań różniczkowych pierwszego rzędu zapisanych w postaci jednego równania

macierzowego Ax Bu

x = + dt

d

. Zmiennymi stanu tworzącymi wektor x są napięcia kondensatorów i prądy cewek, dla

których obowiązują tak zwane prawa komutacji, pozwalające na wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie.

W metodzie klasycznej zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu zostaje zastąpiony jednym równaniem

różniczkowym wyższego rzędu względem jednej zmiennej stanu. Wprowadzone zostanie pojęcie równania

charakterystycznego oraz biegunów układu, decydujących o charakterze rozwiązania obwodu w stanie nieustalonym.

1 .1 Podstawowe pojęcia stanów nieustalonych

Analizując przebiegi czasowe procesów zachodzących w obwodach elektrycznych należy wyróżnić dwa stany:

• stan ustalony charakteryzujący się tym, że postać odpowiedzi jest identyczna z postacią wymuszenia (na przykład w

odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne odpowiedź ustalona jest również sinusoidalna o tej samej częstotliwości

choć innej fazie początkowej i innej amplitudzie)

• stan nieustalony , w którym przebiegi czasowe odpowiedzi mają inny charakter niż wymuszenie (na przykład w

odpowiedzi na wymuszenie stałe odpowiedź obwodu jest wykładniczo malejąca czy oscylacyjna).

Stan nieustalony w obwodzie RLC powstaje jako nałożenie się stanu przejściowego (zwykle zanikającego) i stanu

ustalonego przy zmianie stanu obwodu spowodowanego przełączeniem. Może on wystąpić w wyniku przełączeń w

samym obwodzie pasywnym (zmiana wartości elementów, zwarcie elementu, wyłączenie elementu) lub w wyniku

zmiany sygnałów wymuszających (parametrów źródeł napięciowych i prądowych, w tym także załączeniem lub

wyłączeniem źródła). Dowolną zmianę w obwodzie nazywać będziemy komutacją. Zakładać będziemy, że czas trwania

komutacji jest równy zeru, co znaczy że wszystkie przełączenia odbywają się bezzwłocznie.

W obwodach elektrycznych proces komutacji modeluje się zwykle przy pomocy wyłączników i przełączników

wskazujących na rodzaj przełączenia. Chwilę czasową poprzedzającą bezpośrednio komutację oznaczać będziemy w

ogólności przez

− t (^) 0 (w szczególności przez

− 0 ), natomiast chwilę bezpośrednio następującą po komutacji przez

t 0 (w

szczególności przez

0 ), gdzie t (^) 0 jest chwilą przełączenia (komutacji).

1 .2 Prawa komutacji

Z podstawowych praw rządzących obwodami elektrycznymi wynika, że w rezultacie przełączenia zachowana zostaje

ciągłość sumy ładunków kondensatorów dołączonych do węzła. Oznacza to, że suma ładunków kondensatorów

dołączonych do takiego węzła przed przełączeniem jest równa sumie ładunków kondensatorów dołączonych do tych

węzłów po przełączeniu. Zasada ta wynika stąd, że do danego węzła nie może dopłynąć skończony ładunek w zerowym

czasie.

Podobnie ciągłość zachowuje suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka. Suma strumieni

skojarzonych cewek należących do oczka przed przełączeniem jest równa sumie strumieni skojarzonych cewek

należących do tego oczka po przełączeniu.

1 .2.1 Prawo komutacji dotyczące kondensatorów

Suma ładunków kondensatorów dołączonych do danego węzła nie może zmienić się w sposób skokowy na skutek

komutacji, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili t 0 =0)

− +

i

i i

qi ( 0 ) q ( 0 ) (1.1)

Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają oczka złożone z samych kondensatorów oraz idealnych źródeł napięcia to

biorąc pod uwagę zależność q C= Cu C prawo komutacji dla kondensatorów można zapisać w uproszczonej postaci

uzależnionej od napięć tych kondensatorów

− + uC = uC (1.2)

Ostatnia postać prawa komutacji dotycząca napięcia na kondensatorze jest najczęściej używana w praktyce.

1.2.2 Prawo komutacji dotyczące cewek

Suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka nie może ulec skokowej zmianie na skutek przełączenia

w obwodzie, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili t 0 =0)

− + Ψ = Ψ i

i i

i (^0 ) (^0 ) (1.3)

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

2

11 1 12 2 1 1

1

a x a x a x f t dt

dx

a x a x a x f t dt

dx

a x a x a x f t dt

dx

n n nn n n

n

n n

n n

(1.5)

Zmienne x 1 , x (^) 2 , .., x (^) n występujące w równaniach oznaczają prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne

stanu ). W opisie obwodu operuje się zwykle minimalnym zbiorem zmiennych stanu, które są niezbędne dla wyznaczenia

pozostałych wielkości w obwodzie. Liczba zmiennych stanu n zależy od liczby cewek L i kondensatorów C w obwodzie i

nigdy nie jest większa niż suma kondensatorów i cewek włączonych w obwodzie. W szczególnym przypadku, gdy obwód

nie zawiera cykli CE (oczko złożone wyłącznie z kondensatorów i idealnych źródeł napięcia) lub rozcięć LJ (węzły

obwodu lub przecięcie zawierające jedynie idealne źródła prądu i cewki) wymiar macierzy stanu jest równy liczbie

kondensatorów i cewek w obwodzie n=n (^) C +n (^) L. W przypadku wystąpienia cykli CE lub rozcięć LJ wymiar stanu n jest

pomniejszany o ich liczbę.

Stałe współczynniki aij występujące w równaniu (1.5) stanowią kombinacje wartości parametrów R , L , C , M elementów

pasywnych obwodu oraz parametrów źródeł sterowanych. Funkcje czasu f 1 ( t ), f 2 ( t ), ..., f (^) n ( t ) związane są z wymuszeniami

napięciowymi i prądowymi w obwodzie. Przedstawiony powyżej układ równań można zapisać w postaci macierzowej

2

1

2

1

1 2

21 22 2

11 12 1

2

1

f t

f t

f t

x

x

x

a a a

a a a

a a a

dt

dx

dt

dx

dt

dx

n n nn n n

n

n

n

(1.6)

W przypadku obwodów liniowych funkcje f (^) i ( t ) występujące po prawej stronie wzoru są liniowymi funkcjami wymuszeń

prądowych i napięciowych. Oznaczając wymuszenia prądowe bądź napięciowe w ogólności przez u (^) i można te funkcje

zapisać przy pomocy zależności macierzowej

n n nm m

m

m

n u

u

u

b b b

b b b

b b b

f t

f t

f t

2

1

1 2

21 22 2

11 12 1

2

1

(1.7)

Jeśli macierz zawierającą elementy a (^) ij oznaczymy jako A , macierz o elementach b (^) ij jako macierz B , wektory zawierające

zmienne stanu przez x a wektor wymuszeń przez u , to równanie stanu opisujące obwód elektryczny można przedstawić w

postaci

t t dt

d t Ax Bu

x = + (1.8)

Jest to ogólna postać opisu stanowego obwodu liniowego RLC. Reprezentuje ona układ n równań różniczkowych

liniowych rzędu pierwszego. Elementy macierzy A i B zależą wyłącznie od wartości parametrów obwodu. Elementy

wektora u stanowią źródła niezależne prądu i napięcia w obwodzie. Zmienne stanu to niezależne napięcia na

kondensatorach i prądy cewek.

1 .4. Rozwiązanie stanów nieustalonych w obwodach metodą zmiennych stanu

1 .4.1 Rozwiązanie o gólne

Jak zostało pokazane w punkcie poprzednim układ równań różniczkowych opisujących obwód elektryczny może być

przedstawiony w postaci macierzowego równania stanu (1.8). Jeśli założymy, że wektor stanu x ( t ) jest n - wymiarowy a

wektor wymuszeń u ( t ) m - wymiarowy, to macierz stanu A ma wymiar n × n , a macierz B n × m. Równanie (1.8)

nazywane jest macierzowym równaniem stanu obwodu elektrycznego. Rozwiązanie tego równania pozwala wyznaczyć

przebiegi czasowe zmiennych stanu tworzących wektor x ( t ). Jeśli dodatkowo interesują nas inne zmienne w obwodzie, na

przykład prądy i napięcia rezystorów, prądy kondensatorów czy napięcia na cewkach to należy sformułować drugie

równanie, tzw. równanie odpowiedzi y ( t ), które uzależnia poszukiwane wielkości od zmiennych stanu i wymuszeń.

Równanie to zapiszemy w postaci

y ( t )= Cx ( t )+ Du ( t ) (1.9)

Równania (1.8) i (1.9) tworzą parę równań stanu

t t t

t t dt

d t

y Cx Du

Ax Bu

x

(1.10)

która w pełni opisuje stan obwodu przy założeniu, że znane są warunki początkowe x 0= x ( t 0 ), gdzie t 0 oznacza chwilę

przełączenia. W przypadku ogólnym rozwiązanie równania stanu przyjmuje postać

τ τ

τ t e t e d

t

t

t t t

− − = +

0

( ) 0

( 0 ) x ( ) x ( ) Bu ( )

A A (1.11)

Zależność powyższa stanowi rozwiązanie ogólne, które dla konkretnych wartości funkcji wymuszających zadanych

wektorem u wyznacza rozwiązanie czasowe dla zmiennych stanu. We współczesnych metodach numerycznych równania

stanu stanowią punkt wyjścia w określaniu dokładnego rozwiązania równań liniowych lub przybliżonego dla

zlinearyzowanych równań stanu. Są one również bardzo wygodne w zastosowaniach przybliżonych metod całkowania

• − + x (^) p = x − x u (1.16)

W tej sytuacji rozwiązanie równania stanu (10.13) można przedstawić w postaci

= (^) p

t x (^) p t e x

A (1.17)

w której wartość ( 0 )

x (^) p jest określona zależnością (10.16). Do określenia rozwiązania w stanie przejściowym należy

wyznaczyć jeszcze macierz e A

t , w której wykładnik jest macierzą a nie skalarem. Dla obliczenia e A

t należy w pierwszej

kolejności obliczyć wartości własne macierzy stanu A.

1.4.2 Wartości własne i wektory własne macierzy kwadratowej

Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n. Macierz ( s 1 - A ) nazywana jest macierzą charakterystyczną A , przy

czym 1 oznacza macierz jednostkową stopnia n , to jest macierz diagonalną 1 =diag(1, 1,..., 1). Wyznacznik macierzy

charakterystycznej det( s 1 - A ) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy, a równanie

det( s 1 - A )=0 (1.18)

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to po rozwinięciu wyrażenia wyznacznika

przyjmuje postać wielomianu n - tego stopnia

1

• 1 + + + =

− s a − s as a

n n

n (1.19)

Pierwiastki tego równania s 1 , s 2 , ..., s (^) n nazywamy wartościami własnymi macierzy A. Mogą one przyjmować wartości

rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne. Z każdą wartością własną s (^) i skojarzony jest wektor własny x i o

niezerowej wartości i wymiarze n , spełniający równanie

Ax i (^) = si x i (1.20)

Jeśli wszystkie wartości własne są różne to na podstawie równania (1.20) można napisać n równań liniowych o postaci

n sn n

s

s

Ax x

Ax x

Ax x

2 2 2

1 1 1

(1.21)

z rozwiązania których można wyznaczyć wszystkie wektory własne x i. W Matlabie wartości i wektory własne sa

wyznaczane przy użyciu funkcji eig.

Przykład 1.

Dla macierzy stanu

A

wyznaczyć wartości i wektory własne

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne

det( ) det

2 = + + = 

s 1 − A = s s s

Pierwiastki tego równania będące wartościami własnymi A są równe s 1=-4 oraz s 2=-1. Wektory własne spełniają relację

(1.25), która w naszym przypadku przyjmie postać

22

12

22

12

21

11

21

11

x

x

x

x

x

x

x

x

Powyższym równaniom odpowiadają cztery równania skalarne o postaci

12 22 22

12 22 12

11 21 21

11 21 11

x x x

x x x

x x x

x x x

Biorąc pod uwagę, że dwa spośród nich są zależne, dwie zmienne można przyjąć dowolnie, na przykład x 11 =1 oraz x 22=-1.

Z rozwiązania pozostałych 2 równań otrzymuje się wektory własne o postaci

x 1 x 2

Przykład 1.

Napisać układ równań stanu dla obwodu elektrycznego przedstawionego na rys. 1. 1

i

e

C

L

R

L

u

i

C

L L

R

dt

du

dt

di

C

L

C

L

Wektor stanu x jest równy

C

L

u

i x

a wektor wymuszeń

i

e u.

Obwód liniowy zawierający dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje się więc macierzowym

równaniem stanu drugiego rzędu. Macierz stanu A jest macierzą również drugiego rzędu o współczynnikach

uzależnionych od wartości rezystancji, pojemności oraz indukcyjności. Macierz B zawiera dwa wiersze (liczba

zmiennych stanu) oraz dwie kolumny (liczba wymuszeń w obwodzie). Przyjmując w analizie wartości liczbowe obwodu:

R =2Ω, L =1H, C =1F otrzymuje się macierz stanu A o postaci

A

Równanie charakterystyczne tej macierzy jest równe

det( ) det

2 = + + = 

− = s s s

s s 1 A

Wartości własne (pierwiastki równania charakterystycznego) są w tym przypadku sobie równe i wynoszą s 1 (^) = s 2 =− 1.

Dla rozważanego obwodu RLC są one położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s na ujemnej osi

rzeczywistej.

1.4.3 Wyznaczanie macierzy eAt

Kluczem do wyznaczenia rozwiązania obwodu w stanie przejściowym metodą zmiennych stanu jest określenie macierzy

e A

t

. Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Tutaj przedstawimy trzy z nich: metodę Lagrange’a-Sylvestera,

diagonalizacji macierzy oraz Cayleya-Hamiltona. W każdej z nich wymagane jest wyznaczenie wartości własnych si

macierzy A.

Metoda Lagrange’a-Sylvestera

W metodzie tej macierz e A

t wyznacza się z prostej zależności podanej w postaci jawnej

( )

( )

∑

∏

∏

=

≠

≠

n

r

n

lr

l r

n

lr

l t st

s s

s

e er 1

1 A

A (1.22)

Z analizy powyższego wzoru widoczne jest, że metoda Lagrange’a-Sylvestera obowiązuje jedynie dla przypadku wartości

własnych pojedynczych (przy wartościach wielokrotnych mianownik zależności staje się zerowy).

Metoda diagonalizacji macierzy

W metodzie diagonalizacji macierzy zastępuje się obliczenie macierzy e A

t poprzez transformację macierzy A do postaci

diagonalnej D o tych samych wartościach własnych. Diagonalna macierz D posiada prostą formę macierzową e D

t , będącą

również macierzą diagonalną o postaci

s t

st

st

t

en

e

e

e

2

1

D (1.23)

Mnożąc obustronnie równanie stanu d x /d t = Ax przez nieosobliwą macierz U przekształca się je do postaci d( Ux )/d t =

UAx. Wprowadźmy nowy wektor v = Ux. Wówczas oryginalne równanie stanu przekształca się do postaci określonej

względem v , przy czym

Dv

v

dt

d (1.24)

gdzie D jest macierzą diagonalną określoną wzorem D = UAU -1^ o wartościach diagonalnych równych wartościom

własnym macierzy A. Macierz przekształcenia U należy tak dobrać, aby spełniona była równość UA = DU. Zależność ta

reprezentuje sobą układ równań liniowych. Rozwiązanie równania stanu (1.24) dane jest w prostej formie

v = v

D t t e (1.25)

Biorąc pod uwagę, że v = Ux, po wstawieniu tej zależności do równania (1.25) otrzymuje się ( ) ( 0 )

Ux = Ux

D t t e , co

pozwala napisać wyrażenie na x ( t ) w postaci

− 1 + x = U Ux

D t t e (1.26)

Oznacza to, że macierz e A

t została określona wzorem

Przykład 1.

Obliczanie macierzy e A

t zilustrujemy na przykładzie macierzy stanu A o podwójnej wartości własnej. Macierz stanu

dana jest w postaci

A

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne macierzy A

det( ) 4 4 0

2 s 1 − A = s + s + =

Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego i równają się s 1= s 2=-2 (pierwiastek podwójny).

Wobec podwójnej wartości własnej macierz e A

t wyznaczymy stosując metodę Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z tą metodą

dla macierzy stopnia n =2 mamy

1 A

A e a 0 a 1

t = +

Wartości współczynników a (^) i wyznaczymy rozwiązując układ równań

1 1

0 1 1

1

1

1

te a

ds

de

e a as

st

st

st

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się

1

2

0 1

2 2

te a

e a a

t

t

−

−

Rozwiązanie względem współczynników a 0 i a 1 pozwala uzyskać

t

t t

a te

a e te

2 1

2 2

−

− −

Po wstawieniu tych wartości do wzoru na e A

t otrzymuje się

( )

( )

( )

− − −

− − − − − − t t t

t t t t t t t

te e te

e te te e e te te 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

A

1.4.4 Obliczanie stanu nieustalonego w obwodzie metodą zmiennych stanu

Jak zostało przedstawione na wstępie najwygodniejszą metodą obliczenia przebiegów czasowych w stanie

nieustalonym metodą zmiennych stanu jest rozdzielenie stanu nieustalonego po przełączeniu w obwodzie na stan

ustalony i przejściowy. Stan ustalony określany jest metodą symboliczną, a stan prz ejściowy metodą zmiennych stanu.

W ten sposób unika się trudnego problemu całkowania złożonych zależności matematycznych. W efekcie rozwiązanie

stanu nieustalonego w obwodzie składa się z następujących etapów.

• Określenie warunków początkowych w obwodzie przed przełączeniem. W praktyce oznacza to wyznaczenie

prądów cewek i napięć kondensatorów w obwodzie w stanie ustalonym (np. metodą symboliczną), przejście na

postać czasową tych rozwiązań i określenie wszystkich wartości prądów cewek i napięć kondensatorów w chwili

przełączenia. Wartości początkowe i (^) L (0-) oraz uC (0-) utworzą wektor stanu x w chwili początkowej 0-.

• Określenie stanu ustalonego w obwodzie po przełączeniu (np. metodą symboliczną). W wyniku otrzymuje się

wartości ustalone prądów cewek i (^) Lu ( t ) i napięć kondensatorów uCu ( t ). Wartości te tworzą wektor x u ( t ) w stanie

ustalonym.

• Określenie stanu przejściowego w obwodzie po przełączeniu. Obwód dla stanu przejściowego powstaje po

odrzuceniu wszystkich źródeł wymuszających niezależnych (zwarcie źródeł napięcia e ( t ) oraz rozwarcie źródeł

prądowych i ( t )), od których odpowiedź w stanie ustalonym została już obliczona. Obwód taki opisuje się

równaniem stanu o postaci d x p /d t = Ax p którego rozwiązanie określone jest zależnością (1.17) przy warunkach

początkowych określonych dla składowej przejściowej zmiennych stanu. Oznacza to konieczność określenia dla

każdej cewki i kondensatora wielkości i (^) Lp (0+) oraz u (^) Cp (0+). Korzystając z równania (1.16) otrzymuje się

• − +

• − +

Lp L Lu

Cp C Cu

i i i

u u u

(1.31)

Po określeniu warunków początkowych dla składowej przejściowej można z zależności ( 1.17) wyznaczyć pełne

rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym.

• Rozwiązanie całkowite obwodu składa się z części ustalonej i przejściowej. Można je zapisać w postaci

i t i t i t

u t u t u t

L Lu Lp

C Cu Cp

= +

(1.32)

co odpowiada zapisowi macierzowemu dla zmiennych stanu x ( t )= x u ( t )+ x p ( t ).

Przykład 1.

Rozpatrzmy stan nieustalony w obwodzie RLC przedstawionym na rys. 1.2a po przełączeniu. Dane elementów: R =5Ω,

L =2H, C =0,5F, e ( t )=6V (napięcie stałe), uC(0)=0. Zakładamy, że wyłącznik przełączany jest w sposób bezprzerwowy,

spełniając zasadę ciągłości prądu cewki.

Cp

Lp

Cp

Lp

Cp

Lp

u

i

u

i

C

L L

R

dt

du

dt

di

z którego wynika, że macierz stanu A jest równa

A

Równanie charakterystyczne dla macierzy A dane jest w postaci

det( ) 2 , 5 1 0

2 s 1 − A = s + s + =

Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego i równają się s 1=-2, s 2=-0,5.

Macierz e A t^ wyznaczymy stosując metodę Sylvestera. Zgodnie z tą metodą

( )

( )

( )

( ) 3 / 2

2 0 , 5

1 2

1

2 1

1 2 2 −

t st st − t − t e e s s

s e s s

s e e

A^1 A^1 A

Po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych otrzymuje się

( ) ( )

( ) ( )

− − − −

− − − −

t t t t

t t t t t

e e e e

e e e e e 2 0 , 5 2 0 , 5

2 0 , 5 2 0 , 5

A^1 ,^330 ,^330 ,^330 ,^33

Rozwiązanie określające wektor stanu w stanie przejściowym oblicza się z zależności

− −

− −

t t

t t

p

t p e e

e e t e 2 0 , 5

2 0 , 5

x ( ) x ( 0 )

A

Całkowite rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym można więc przedstawić w postaci

t t C Cu Cp

t t L Lu Lp

u t u t u t e e

i t i t i t e e

2 0 , 5

2 0 , 5

− −

− −

1 .5 Metoda klasyczna rozwiązania równań różniczkowych

W przypadku, gdy interesuje nas tylko jedna wybrana zmienna (jeden prąd bądź jedno napięcie w obwodzie) układ

równań stanu pierwszego rzędu można sprowadzić do jednego równania różniczkowego n - tego rzędu względem tej

zmiennej

2

2

1 2

1

1 a x f t dt

dx a dt

d x a dt

d x a dt

d x a n

n

n n

n

n n

n

n +^ + − + + + =

−

− −

−

− (1.33)

Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego, podobnie jak w metodzie zmiennych stanu, można przedstawić w

postaci sumy dwu składowych: ustalonej x (^) u ( t ) wymuszonej przez źródło oraz składowej przejściowej x (^) p ( t ), zwanej

również składową swobodną, pochodzącą od niezerowych warunków początkowych dla tej składowej

x ( t )= xu ( t )+ xp ( t ) (1.34)

Składowa wymuszona stanowi rozwiązanie ustalone obwodu po komutacji i może być wyznaczona metodą

symboliczną. Składowa przejściowa charakteryzuje fizycznie procesy zachodzące w obwodzie elektrycznym na skutek

niezerowych warunków początkowych przy braku wymuszeń zewnętrznych. Odpowiada ona obwodowi, w którym

wyeliminowano wszystkie zewnętrzne źródła wymuszające (źródła napięciowe zwarte a prądowe rozwarte).

Składowa przejściowa zależy jedynie od warunków początkowych odniesionych do tej składowej (napięć

początkowych kondensatorów i prądów początkowych cewek), struktury obwodu i wartości parametrów tego obwodu.

Dla obwodów elektrycznych zawierających elementy rozpraszające energię (rezystancje) składowa przejściowa, jak

zostanie pokazane później, zanika z biegiem czasu do zera. Równanie składowej przejściowej otrzymuje się zakładając

wymuszenie f(t) we wzorze (1.29) równe zeru i zastępując zmienną (^) x ( t ) poprzez jej składową przejściową x (^) p ( t ).

Otrzymuje się wówczas równanie różniczkowe jednorodne o postaci

2 ...^100

2

1 2

1

• 1 + − + + + =

−

− −

−

− p

p n

p

n

n n

p

n

n n

p

n

n a x dt

dx a dt

d x a dt

d x a dt

d x a (1.35)

Rozwiązanie powyższego równania jednorodnego uzyskuje się za pośrednictwem równania charakterystycznego,

stosującego opis operatorowy z użyciem operatora s

2 2

1

• 1 + + + + =

− −

− a s a − s a s as a

n n

n n

n n (1.36)

Jest to wielomian n - tego rzędu względem operators s o współczynnikach rzeczywistych a (^) i. Jest on identyczny z

równaniem charakterystycznym otrzymanym dla zmiennych stanu. Pierwiastki si ( i =1, 2, ..., n ) tego wielomianu

stanowią bieguny układu , identyczne z wartościami własnymi macierzy stanu A. W tym punkcie ograniczymy się

jedynie do przypadku biegunów pojedynczych. Przy takim założeniu rozwiązanie równania (1.35) dla składowej

przejściowej zapiszemy w postaci

s t

n

i

p i x t Aei ∑ =

1