Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza, Prezentacje z Logica

Pobierz Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza i więcej Prezentacje w PDF z Logica tylko na Docsity!

Andrzej Wiśniewski

Logika II

Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Wprowadzenie

W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Prawdy 1 i Fałszu 0 , posługujemy się również trzecią wartością lo-

giczną – zresztą rozmaicie rozumianą.

Dla potrzeb tego wykładu przyjmijmy po prostu, że zbiór wartości

logicznych jest trójelementowy: { 0 , ½, 1 }.

Interesować nas będzie głównie trójwartościowy rachunek zdań,

odkryty/ skonstruowany na początku XXw.

1

przez polskiego logika, Ja-

na Łukasiewicza. Rachunek ten oznaczymy przez Ł 3.

U podstaw rozważań Łukasiewicza leżała pewna motywacja filozo-

ficzna (o czym na wykładzie).

(^1) Pierwsza publikacja ukazała się w 1920 r.

Rachunek Ł 3 : sposób rozumienia spójników

Objaśnienie: Wartość logiczna formuły A znajduje się w linii pionowej, wartość

formuły B w linii poziomej, natomiast wartość formuły postaci (A  B), gdzie  jest spójnikiem dwuargumentowym, znajduje się na przecięciu obu linii.

Ł 3 - wartościowania i Ł 3 - tautologie

W pierwszym przybliżeniu możemy powiedzieć, że Ł 3 - wartościowaniem jest funkcja przyporządkowująca formułom wartości logiczne ze zbioru { 0 , ½, 1 } i „zgodna” z powyższymi tabelkami. Z kolei Ł 3 - tautologią jest formuła, która jest prawdziwa (tj. „otrzymuje” wartość 1 ) przy każdym wartościowaniu. Już takie pobieżne określenie pozwala nam zobaczyć, że następujące tau- tologie KRZ nie są Ł 3 - tautologiami: (1) p  p (2)  (p   p) (3) p   p  q (4) (p  q)  p  q (5) (p  q)  (q  r)  (p  r) (6) (  p  p)  p Natomiast każda Ł 3 - tautologia jest tautologią KRZ.

Ł 3 - wartościowania i Ł 3 - tautologie

Natomiast funkcję f  , wyznaczającą znaczenie spójnika implikacji  w Ł 3 , definiuje następujący ciąg równości: (i) f  ( 0 , 0 ) = 1 , (ii) f  ( 0 , ½) = 1 , (iii) f  ( 0 , 1 ) = 1 , (iv) f  (½, 0 ) = ½, (v) f(½, ½) = 1 , (vi) f  (½, 1 ) = 1 , (vii) f  ( 1 , 0 ) = 0 , (viii) f  ( 1 , ½) = ½, (ix) f  ( 1 , 1 ) = 1. Porównajmy to z tabelką:  0 ½ 1 0 1 1 1 ½ ½ 1 1 1 0 ½ 1

Ł 3 - wartościowania i Ł 3 - tautologie

Podanie definicji funkcji f  , f  i f  dla Ł 3 pozostawiam Państwu jako ćwiczenie :)

Definicja 15.1. Ł 3 - wartościowaniem jest dowolna funkcja v, której argumentami

są formuły (języka rachunku Ł 3 /KRZ), a wartości należą do zbioru { 0 , ½, 1 }, spełniająca następujące warunki: (a) dla dowolnej zmiennej zdaniowej pi: v(pi) = 0 albo v(pi) = ½ albo v(pi) = 1 , (b) v(  A) = f  (v(A)), (c) v(A  B) = f  (v(A), v(B)), (c) v(A  B) = f  (v(A), v(B)), (d) v(A  B) = f  (v(A), v(B)), (e) v(A  B) = f  (v(A), v(B)). Pojęcie Ł 3 - tautologii możemy teraz zdefiniować następująco:

Definicja 15.2.

Formuła A jest Ł 3 - tautologią wtw dla każdego Ł 3 - wartościowania v: v(A) = 1.

System aksjomatyczny rachunku Ł 3

Rachunek Ł 3 można przedstawić w postaci systemu aksjomatycznego. Oto jedna z aksjomatyk: p  (q  p) (p  q)  ((q  r)  (p  r)) (  p   q)  (q  p) ((p   p)  p)  p Pierwotne reguły inferencyjne to reguła odrywania, reguła podstawiania (rozumiane standardowo) oraz reguła zastępowania z uwagi na następujące równości definicyjne (odmienne od znanych z KRZ!!!): A  B =df (A  B)  B A  B = (^) df  (  A   B) A  B = (^) df (A  B)  (B  A). Pojęcia dowodu i tezy rozumiemy w zwykły sposób. Można udowodnić:

Twierdzenie 15.1. Formuła A jest tezą rachunku Ł 3 wtw A jest Ł 3 - tautologią.

Dodatek 1. Ł 3 jako logika modalna

Gdy wprowadzimy do Ł 3 spójnik możliwości ◊ za pomocą równości definicyjnej: ◊A = (^) df  A  A i spójnik konieczności □ poprzez równość: □A = (^) df  ◊  A a także wprowadzimy modalny spójnik I („jest przypadkowe/modalnie obojętne, że”), kładąc: IA = (^) df ◊A   □A to spójniki te będą miały następujące charakterystyki semantyczne: A ◊A □A IA 0 0 0 0 ½ 1 0 1 1 1 1 0 Po odpowiedniej adaptacji reguły zastępowania dowodliwe będą m.in.: (7) p  Ip   p (8)  (p  Ip   p) „wyrażające” łącznie trójwartościowość logiki Ł 3.

Dodatek 3. Logiki n-wartościowe Łukasiewicza

Spójrzmy jeszcze raz na tabelki:  0 ½ 1 1 , gdy v(A)v(B)  0 ½ 1 v(A  B) = max(v(A),v(B)) 0 1 1 1 v(A  B) = 0 0 ½ 1 ½ ½ 1 1 ( 1 – v(A))+v(B), ½ ½ ½ 1 1 0 ½ 1 gdy v(A)>v(B) 1 1 1 1  0 ½ 1 v(A  B) = min(v(A),v(B))  0 ½ 1 v(A  B) = 0 0 0 0 0 1 ½ 0 1 – |v(A)–v(B)| ½ 0 ½ ½ ½ ½ 1 ½ 1 0 ½ 1 1 0 ½ 1 A  A 0 1 v(  A) = 1 – v(A) ½ ½ 1 0

albo: v(A  B) = min( 1 , 1 – v(A) + v(B))

Otóż zamiast definiować Ł 3 - funkcje prawdziwościowe dla poszczególnych spójni- ków i następnie definiować Ł 3 - wartościowania, można wprowadzić pojęcie Ł 3 - wartościowania następująco: Ł 3 - wartościowaniem jest dowolna funkcja v, określona na zbiorze wszystkich formuł, o wartościach w zbiorze { 1 , ½, 0 }, która przyporządkowuje każdej zmiennej zdaniowej którąś z wartości logicznych: 1 , ½, 0 , oraz spełnia warunki wyszczególnione w narysowanych wyżej „ramkach” dla dowolnych formuł A, B. [Ponie- waż jednak wartości logiczne nie są liczbami, musimy przedtem albo określić odpo- wiednie relacje  i >, oraz operacje max, min, +, – i | | na wartościach logicznych, albo nadać odpowiednie miary liczbowe wartościom logicznym.] Zauważmy, że w podobny sposób można rozważać przypadki „bogatszych” zbio- rów wartości logicznych postaci { 0 , 1 /n– 1 , 2 /n– 1 , ..., 1 }, gdzie n  N , n > 3 oraz liczba elementów to n, określając odpowiednie pojęcia wartościowania poprzez zależności:  v(  A) = 1 – v(A),  v(A  B) = max(v(A),v(B)),  v(A  B) = min(v(A),v(B)), 1 , gdy v(A)v(B)  v(A  B) = ( 1 – v(A))+v(B), gdy v(A)>v(B),  v(A  B) = 1 – |v(A)–v(B)|