Pobierz Twierdzenia o funkcjach ciągłych i więcej Opracowania w PDF z Automatyka tylko na Docsity! Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 5 – dr Adam Ćmiel –
[email protected] 1 Twierdzenia o funkcjach ciągłych Tw. (Weierstrassa) Jeżeli funkcja RbaRf →⊃ ],[: jest ciągła na [a,b], to f – ograniczona i )(inf)()(sup)(: ],[ 2 ],[ 1],[, 21 xfxfxfxf baxbax baxx ∈∈ ∈ ==∃ i . Dowód. Ograniczoność od góry. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że funkcja f nie jest ograniczona do góry. Istnieje więc ciąg (xn)⊂[a,b] taki że ∞= ∞→ )(lim n n xf . Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika, że z ograniczonego ciągu (xn) można wybrać podciąg )( kn x zbieżny tzn. ],[lim bacx knk ∈= ∞→ . Z ciągłości funkcji f otrzymujemy )()(lim cfxf knk = ∞→ , co jest w sprzeczności z faktem ∞= ∞→ )(lim knk xf (każdy podciąg ciągu rozbieżnego do nieskończoności jest rozbieżny do nieskończoności). Osiąganie kresu górnego )(sup ],[ xfM bax∈ = . Jeśli kres górny M zbioru wartości funkcji nie jest osiągnięty, to jest on punktem skupienia zbioru wartości funkcji. Istnieje więc ciąg (xn)⊂[a,b] taki że Mxf n n = ∞→ )(lim . Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa istnieje podciąg zbieżny ],[lim bacx knk ∈= ∞→ . Z ciągłości funkcji f otrzymujemy Mcfxf knk == ∞→ )()(lim . Tw. (Darboux) (o przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli RIRf →⊃: - ciągła na przedziale I )()()( 21, 21 xfyxfyxf IxRyIxx =∃⇒<<∀∀ ∈∈∈ Dowód Rozważmy pomocniczą funkcję g(x)=f(x)-y. Funkcja g przyjmuje na końcach przedziału [l1,p1] gdzie },min{ 211 xxl = i },max{ 211 xxp = wartości różnych znaków, tzn. .0)()( 11 <pglg Niech s1 będzie środkiem przedziału [l1,p1]. Jeśli g(s1)=0, to twierdzenie zostało udowodnione. W przeciwnym przypadku rozważamy przedział [l2,p2] zastępując jeden z końców l1, p1 punktem s1 tak, aby .0)()( 22 <pglg Powtarzamy powyższą procedurę konstruując ciąg przedziałów [ln,pn] i ich środków sn . Jeśli dla pewnego n otrzymamy g(sn)=0, to twierdzenie jest udowodnione. Jeśli nie, to skonstruowaliśmy dwa ciągi zbieżne: niemalejący i ograniczony od góry (ln) oraz nierosnący i ograniczony od dołu (pn) przy czym 0lim)(lim 1112 ==− − − ∞→∞→ n lp n nn n lp . Stąd xpl n n n n == ∞→∞→ limlim . Z tw. o zachowaniu słabej nierówności w granicy otrzymujemy 0)(2 ≤xg , więc 0)( =xg , co kończy dowód. Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 5 – dr Adam Ćmiel –
[email protected] 2 Tw. (Cantora) Funkcja RbaRf →⊃ ],[: - ciągła na przedziale domkniętym [a,b] jest jednostajnie ciągła na [a,b] Dow: (nie wprost.) Nieprawda, że f jest jednostajnie ciągła ⇔ [ ]⇔<−⇒<−∀∀∃∀ ∈∈>> εδδε |)'()(||'|~ ],['],[00 xfxfxxbaxbax εδδε ≥−∧<−∃∃∀∃ ∈∈>> |)'()(||'|],['],[00 xfxfxxbaxbax . Dla każdego δ , czyli w szczególności dla n1=δ też istnieją ciągi )( nx , )( ' nx takie, że nnn xx 1' || <− i ε≥− |)()(| 'nn xfxf (istnieje takie ε). Ponieważ (xn) jest ciągiem w [a,b], więc można z niego wybrać podciąg zbieżny kn x →c. Z warunku trójkąta mamy |||||| '' cxxxcx kkkk nnnn −+−≤− , skąd wynika, że cx kn →' . Z ciągłości funkcji f mamy )()( cfxf kn → i )()( ' cfxf kn → , więc )0|)()(| ' →− kk nn xfxf , co przeczy warunkowi ε≥− |)()(| 'nn xfxf ∀n Tw: (o lokalnym zachowaniu znaku ) Jeżeli funkcja RbaRf →⊃ ),(: - ciągła na przedziale otwartym (a,b) , x0∈(a,b) i f(x0)>0 , to istnieje otoczenie punktu x0 (powiedzmy K(x0,δ)) takie, że ∀x∈ K(x0,δ) f(x)>0. Tw. (o ciągłości funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcja RIRf →⊃: (gdzie I – dowolny przedział) jest ciągła i rosnąca (malejąca), to funkcja odwrotna 1−f jest ciągła i rosnąca (malejąca). Dowód. Niech f będzie ciągła i rosnąca w przedziale I . Z tw.Darboux wynika że „ciągły obraz przedziału jest przedziałem” J=f[I] jest przedziałem a f jest funkcją różnowartościową. Istnieje więc f –1: J→I i f –1 jest rosnąca (dowód nie wprost). Aby wykazać ciągłość funkcji f –1 w punkcie y0 przedziału J, wystarczy wykazać, że jeśli yn→y0, to f –1(yn) = xn → x0= f –1(y0). Gdyby ciąg (xn) nie dążył do granicy x0, to nieskończenie wiele wyrazów leżałoby na zewnątrz przedziału (x0-ε, x0+ε) czyli spełniałoby jedną z nierówności xn< x0-ε , xn> x0+ε. W pierwszym przypadku yn=f(xn)<f(x0-ε)=f(x0)-η1 (tu korzystamy z założenia, że f jest rosnąca). W drugim yn=f(xn)>f(x0+ε)= f(x0)+η2 (η1 i η2 >0).Wobec tego nieskończenie wiele wyrazów yn leżałoby na zewnątrz przedziału (y0-η1 , y0+η2) co przeczy założeniu, ze yn→y0. Ciągłość złożenia Tw. Jeżeli f jest ciągła w punkcie 0x , a g jest ciągła w punkcie )( 0xf to fg o (złożenie f z g) jest ciągła w punkcie 0x . Tw. Jeżeli f jest ciągła na zbiorze A i g jest ciągła na zbiorze B to fg o jest ciągła na zbiorze A. Tw. Jeżeli f jest jednostajnie ciągła na zbiorze A i g jest jednostajnie ciągła na zbiorze B to fg o jest jednostajnie ciągła na zbiorze A. Dowód Powyższe twierdzenia są natychmiastową konsekwencją definicji złożenia funkcji i definicji (odpowiednio punktowej i jednostajnej) ciągłości funkcji. Ciągłość sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej RDRf →⊃: ; RDRg →⊃: