Twierdzenia Tarskiego o punkcie stałym i inne artykuły, Publikacje z Matematica Generale

Pobierz Twierdzenia Tarskiego o punkcie stałym i inne artykuły i więcej Publikacje w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!

Gazetka redagowana przez Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego

Witamy w letnim numerze [MACIERZATORa]!

To już ostatnie wydanie [MACIERZATORA] w tym roku akademickim. Proponujemy Wam artykuł dotyczący trzech twierdzeń Alfreda Tarskiego o punkcie stałym, π-ografię Feliksa Kleina oraz opowieść o pewnej stronie internetowej, na której można znaleźć masę ciekawostek o... liczbach pierw- szych. W numerze można też znaleźć kolejne odcinki naszych dwóch nowych cykli – Kącika TEX-owego oraz \begin{document}. Na deser sprawozdanie z XXX wyjazdowej sesji naukowej Koła, która odbyła się w weekend ma- jowy w Szczyrku.

Udanych wakacji życzy Redakcja

[Twierdzenia Tarskiego o punkcie stałym]

Przedstawimy trzy twierdzenia o punkcie stałym pochodzące od Alfreda Tarskiego. Omówimy relacje pomiędzy nimi, jak również możliwość uzyska- nia ich w sposób konstruktywny, tj. bez użycia pewnika wyboru. O Alfredzie Tarskim można także przeczytać w [10].

1. [Podstawowe definicje]

Definicja 1.1. Relację 6 określoną na zbiorze Ω nazywamy porządkiem, jeśli dla dowolnych x, y, z ∈ Ω zachodzą: x 6 x (zwrotność), x 6 y, y 6 z ⇒ x 6 z (przechodniość), x 6 y, y 6 x ⇒ x = y (słaba an- tysymetria).

Definicja 1.2. Niech Ω będzie zbiorem uporządkowanym (tj. w zbiorze Ω jest określona pewna relacja 6 spełniająca aksjomaty definicji 1.1). Roz- ważmy M ⊆ Ω. Jeżeli y ∈ Ω spełnia nierówność x 6 y dla każdego x ∈ M , to y nazywamy ograniczeniem górnym zbioru M. Jeżeli y 6 x dla każdego x ∈ M , to y nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru M. Dalej, y = max M oznacza, że y ∈ M i y jest ograniczeniem górnym M , a y = min M ozna- cza, że y ∈ M i y jest ograniczeniem dolnym M. Najmniejsze ograniczenie górne (supremum) zbioru M to element sup M = min{y ∈ Ω| x 6 y, dla wszystkich x ∈ M }; największe ograniczenie dolne (infimum) zbioru M to element inf M = max{y ∈ Ω| y 6 x, dla wszystkich x ∈ M }. Zbiór M nazywamy łańcuchem jeśli dla dowolnych x, y ∈ M mamy x 6 y lub y 6 x.

Uwaga 1.1. Nietrudno pokazać, że max M, min M, sup M, inf M są jedyne (o ile istnieją).

2. [Trzy twierdzenia o punkcie stałym]

Twierdzenie 2.1. Niech Ω będzie niepustym zbiorem uporządkowanym, Φ : Ω → Ω i załóżmy, że: (α) x 6 Φ(x), dla wszystkich x ∈ Ω, (β) każdy niepusty łańcuch Γ ⊆ Ω ma supremum. Wówczas Φ ma punkt stały, tj. istnieje takie ω ∈ Ω, że ω = Φ(ω).

To twierdzenie nazywane jest twierdzeniem Tarskiego o punkcie stałym przez Musielaka w [7], s. 11-12. Elementarny, choć techniczny, dowód zaj- muje niecałe dwie strony. Pewnik wyboru nie jest niezbędny. Z powyższego twierdzenia, korzystając z pewnika wyboru, Musielak otrzymuje twierdze- nie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym (które sformułujemy w paragrafie 4), z niego natomiast lemat Kuratowskiego-Zorna.

3. [Dowód twierdzenia 2. 2 , części (a)]

Przy założeniach twierdzenia 2. 2 połóżmy:

H = {w ∈ Ω| b 6 w, Φ(w) 6 w},

Ξ = {v ∈ Ω| b 6 v 6 Φ(v), v 6 w dla wszystkich w ∈ H}. (3.1)

Wówczas b ∈ Ξ, a więc Ξ 6 = ∅. Jest jasne, że v 6 Φ(v), dla wszystkich v ∈ Ξ, co stanowi warunek (α) w twierdzeniu 2. 1 dla zbioru uporządkowa- nego Ξ (który gra tutaj rolę Ω). Bez trudności można pokazać, że Φ(Ξ) ⊆ Ξ, jak również (β) z twierdzenia 2. 1 dla Ξ — każdy niepusty łańcuch Γ ⊆ Ξ ma supremum w Ξ. Twierdzenie 2. 1 może być teraz zastosowane do zawężenia Φ|Ξ : Ξ → Ξ, mającego punkt stały

u = Φ(u) ∈ Ξ. (3.2)

Uwaga 3.2. Dla punktu stałego u w (3.2) mamy b 6 u, zatem u ∈ H i z (3.1) i (3.2) mamy u 6 w dla każdego w ∈ H. To prowadzi do wzoru u = min H, który w szczególności pokazuje, że u jest najmniejszym z punk- tów stałych u funkcji Φ spełniających b 6 u.

Uwaga 3.3. Przedstawiona tutaj metoda dowodu została zastosowana w [8] do otrzymania konstruktywnego dowodu twierdzenia Lemmerta o punkcie stałym [6], które jest uogólnieniem twierdzenia 2. 2. Uogólnienie polega na zamienieniu założenia (β) na warunek: Każdy niepusty łańcuch w {Φ(x)| x ∈ Ω, b 6 x} ma supremum w Ω. (Rzecz jasna w [8] tylko część (a) tego twier- dzenia została pokazana w sposób konstruktywny.)

4. [Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym jako konsekwencja twierdzenia 2. 2 , części (b)]

Musielak w [7] przedstawia twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksy- malnym w następującej formie:

Twierdzenie 4.4 (Hausdorffa). Każdy uporządkowany zbiór E zawiera łańcuch maksymalny (tj. taki łańcuch C 0 ⊆ E, że dla każdego łańcucha C ⊆ E mamy C 0 ⊆ C ⇒ C = C 0 ).

Dla dowodu rozważmy zbiór Ω złożony ze wszystkich łańcuchów w E, uporządkowany przez relację inkluzji. Określmy Φ : Ω → Ω, Φ(C) := C dla wszystkich C ∈ Ω. Oczywiście, Φ jest rosnąca. Mamy ∅ ∈ Ω, więc b = ∅ = Φ(∅) spełnia założenie (α) z twierdzenia 2. 2. Nietrudno spostrzec, że każdy niepusty łańcuch Γ ⊆ Ω ma supremum, mianowicie sup Γ =

Możemy zatem zastosować część (b) twierdzenia 2. 2 aby otrzymać mak- symalny punkt stały C 0 (⊇ ∅) funkcji Φ. Ale każdy C ∈ Ω jest punktem stałym Φ, a więc C 0 jest łańcuchem maksymalnym.

5. [Dowód twierdzenia 2. 3 ]

Rozważmy M := {v ∈ Ω| v 6 Φ(v)} i jego supremum

u = sup M. (5.3)

Dla v ∈ M mamy v 6 u, stąd v 6 Φ(v) 6 Φ(u) i stąd Φ(u) jest ogranicze- niem górnym M. (5.3) prowadzi zatem do

u 6 Φ(u). (5.4)

Stąd mamy Φ(u) 6 Φ(Φu)), a więc Φ(u) ∈ M i z (5.3) Φ(u) 6 u, co razem z (5.4) daje Φ(u) = u.

[Literatura] [1] Nicolas Bourbaki, Eléments de mathématique I: Théorie des ensembles, Fascicule de résultats. Hermann Paris 1939; wyd. 2, 1951

[2] Πografie — Nicolas Bourbaki, Macierzator 24, 6-8 (2009)

[3] James Dugundji, Andrzej Granas, Fixed point theory, I. PWN War- szawa 1982

[4] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory. Springer New York 2003

[5] Bronisław Knaster, Un théorème sur les fonctions d’ensembles. Ann. Soc. Polon. Math. 6, 133-134 (1928)

[6] Roland Lemmert, Existenzsätze für gewöhnliche Differentialgleichungen in geordneten Banachräumen. Funkcialaj Ekvac. 32, 243-249 (1989)

[7] Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN Warszawa 1967

[8] Alice Simon (Chaljub-Simon), Peter Volkmann, Ordinary differential equations in Banach spaces with variable order cones. World Scientific Series in Applicable Analysis 1, World Scientific Singapore, 63-70 (1992)

[9] Alfred Tarski, A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applica- tions. Pacific J. Math. 5, 285-309 (1955)

[10] Koniec ze stereotypami, Ewa Siedlaczek, Macierzator 35, 10-11 (2011)

Autorzy: Marek Biedrzycki, Szymon Draga, Piotr Idzik, Mateusz Jurczyński, Jolanta Marzec, Weronika Siwek, Mikołaj Stańczyk, Aleksandra Urban, Peter Volkmann

poglądami. Jaskrawym tego przykładem jest jego praca O tak zwanej geo- metrii nieeuklidesowej (owszem – „tak zwanej”. Ta nazwa też nie zdążyła się jeszcze w połowie XIX wieku przyjąć). W niej to Klein stwierdza, że je- śli jedna teoria ma model w drugiej, a druga w pierwszej, to jedna teoria jest sprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy sprzeczna jest ta druga. Oczy- wiste, prawda? Następnie Klein konstruuje model geometrii euklidesowej w geometrii Łobaczewskiego i odwrotnie, model geometrii Łobaczewskiego w geometrii euklidesowej. No, da się to zrobić (dzisiaj wystarczy trochę czasu spędzić w Internecie, by natrafić na artykuły o tych modelach). Na tej podstawie stwierdza, że ta właśnie geometria nieeuklidesowa ma od strony matematycznej te same prawa i tę samą poprawność, co geometria euklide- sowa. I to był szok. No bo jakże to tak, tu zwykła geometria, którą znamy z codziennego życia, tam – jakieś pseudogeometryczne dziwactwa. Cayley nigdy nie przyjął tych postulatów Kleina, uważając, że kręci się on w swojej argumentacji w kółko. A jednak, kleinowy sposób dowodzenia równoważno- ści niesprzeczności różnych teorii poprzez znajdowanie modeli jest wzorcem obowiązującym do dziś.

Butelka Kleina

Ogromne zasługi ma też Klein na polu teo- rii grup. Pojęcie grupy za jego czasów dopiero się kształtowało i miał on okazję je poznać podczas swej wizyty w Paryżu. Tam też zaprzyjaźnił się z So- phusem Lie (grupa Kleina, grupa Liego – hej, coś tu zaczyna się zgadzać!) i, jak mówi znana aneg- dota, podzielił się z nim grupami, dla siebie biorąc te dyskretne, jemu zostawiając ciągłe. Nie zatracił on jednak w swych badaniach bardzo geometrycz- nego spojrzenia – właściwie czytając o nim wciąż natrafiamy na problemy, które rozwiązał „rozważając grupę izometrii dwudziestościanu”. Zresztą, grupa Kleina (dla nas Z 2 ⊕ Z 22 ) była dla niego grupą symetrii prostokąta. Dodatkowo, Klein rozstrzygnął, na jakich tworach (profesjonalniej mówiąc

• rozmaitościach dwuwymiarowych) można uprawiać lokalnie euklidesową geometrię. Poza oczywistą płaszczyzną mamy walec (łatwo sobie to wy- obrazić – dla płaskiego ludzika żyjącego na płaszczyźnie fakt, że dwa jej daleeeeeekie końce sklejono razem nie ma żadnego znaczenia), torus (eee, no dobra, tu może być nieco ciężej to sobie wyobrazić), wstęgę Möbiusa (aaa) i butelkę Kleina [że co?!]. Jako ciekawostkę zauważmy, że za podobne prace przyznano co najmniej dwa medale Fieldsa, więc jest to naprawdę problem trudny i istotny.

(^2) Co ciekawe, jest to najmniejsza niecykliczna grupa abelowa.

Butelka Kleina to w ogóle osobna, ciekawa historia. Wszyscy wiemy, jak wygląda (z grubsza) wstęga Möbiusa – bierzemy pasek papieru, skrę- camy koniec o 180 stopni, sklejamy razem. A gdyby tak skleić brzegi dwóch wstęg Möobiusa? Tak, teoretycznie rzecz biorąc, wygląda butelka Kleina. W zwykłej geometrii trójwymiarowej nie da się jej utworzyć bez samoprze- cięć. Dzisiaj istnieją firmy, produkujące ze szkła coś a’la butelki Kleina (ich ogólny kształt jest szeroko znany, wystarczy wpisać odpowiednią frazę w Google) – ot, gdyby koszulka ze wzorem matematycznym była dla kogoś zbyt mało ekstremistycznym wyrazem swoich zainteresowań. O Kleinie i jego osiągnięciach można by pisać wiele. Tu skupiliśmy się głównie na tej części matematycznej, ale nie mniej zrobił dla samej dydak- tyki matematyki – dość powiedzieć, że był recenzentem pierwszego kobie- cego doktoratu w Niemczech. Był zresztą wybitnym wykładowcą i nauczy- cielem, wychowując całe pokolenie matematyków i ogólnie – ścisłowców. Dodatkowo, to on nadał pismu Mathematische Annalen światową rangę, którą cieszy się do dzisiaj. Gdy więc następnym razem my, jako studenci, sięgniemy po butelkę... wody mineralnej, wspomnijmy matematyka, który nawet na butelki patrzył topologicznie. Niewinny Rosomak

[Prime curios]

Co można robić w Internecie? No, odpowiedzi jest mnóstwo, z których dziewięćdziesiąt procent można podciągnąć pod „marnować czas”. No ale można też w Internecie robić rzeczy światłe i pożyteczne, czytać o intere- sujących nas sprawach i pogłębiać wiedzę. To o czym może czytać mate- matyk? „No nie wmówisz mi, Rosomaku jeden, że w Internecie są strony z ciekawostkami matematycznymi”. No i tu Was właśnie zaskoczę. Otóż ist- nieje strona, na której możemy dowiedzieć się wszystkiego o wspaniałych, mnogich, pięknych i cudownych... liczbach pierwszych. O liczbach można pisać wiele – są liczby parzyste, nieparzyste, dosko- nałe, Münchausena, bliźniacze... Zaraz, ile takich typów w sumie wymy- ślono? Odnosi się wręcz wrażenie, że na każdą, nawet najdziwniejszą wła- sność, którą może mieć jedna tylko liczba, znajdzie się jakaś nazwa. I strona Prime Curios po trosze tę tezę potwierdza, wprowadzając wiele pojęć, ale przede wszystkim koncentrując się na wynajdywaniu dziwnych informacji i ciekawostek na temat każdej z liczb pierwszych. Możemy więc dowiedzieć się, czym są „emirpy” - są to po prostu liczby, które po zapisaniu od tyłu dają liczby pierwsze (emirp od tyłu to prime, z ang. liczba pierwsza). Na przykład emirpem jest 31 , bo 13 jest liczbą

Prime Curios to strona zbudowana trochę na zasadzie Wikipedii, do któ- rej można dodawać swoje wpisy (oczywiście, na temat interesujących liczb), które następnie pojawiają się po uprzedniej weryfikacji przez moderatorów. W jaki sposób weryfikują oni takie tezy, jak np. fakt, że liczba utworzona ze 181 cyfr, z których 180 to siódemki i jest tylko jedna jedynka w „środku” (tzn. liczba postaci „ 7777 ... 77177 ... 7777 ”) jest pierwsza – nie mam pojęcia. Dodatkowo, 181 jest najmniejszą palindromiczną liczbą pierwszą, która jest sumą trzech kolejnych emirpów ( 37 , 71 , 73 ). Co najciekawsze, jest to też najmniejsza możliwa liczba Goedla, którą może otrzymać zdanie „A jest logicznie równoważne A” (co ma twierdzenie Goedla do ciekawostek liczbo- wych?! Teraz już wiecie!). Czy więc ta stronka jest matematycznym objawieniem i powinna wejść w zakładki każdego szanującego się matematyka? Czy może to tylko ma- tematyczna wersja Kwejka czy Demotywatorów, pożeraczy czasu, które można poczytać, z których można się pośmiać, ale lepiej nie za długo?^4 To już Wasza decyzja! Niewinny Rosomak

[Krok bliżej do miliona] czyli recenzja książki „Obsesja liczb pierwszych” Johna Derbyshire’a

Liczby pierwsze były źródłem fascynacji matematyków od starożytności. Już Euklides dowiódł, że jest ich nieskończenie wiele, jednak ani jemu, ani wielu jego następcom nie udało się znaleźć wzoru pozwalającego dokładnie przewidzieć rozmieszczenie wszystkich liczb pierwszych. Kluczem do roz- wiązania zagadki może być hipoteza Riemanna (HR), ósmy problem na li- ście Hilberta, najprawdopodobniej największa nierozwiązana do tej pory sprawa w matematyce. Oto, jak brzmi ta hipoteza:

Wszystkie nietrywialnie zera funkcji dzeta Riemanna mają część rzeczy- wistą równą 12.

No dobrze, ale co to właściwie znaczy? Co ta hipoteza ma wspólnego z liczbami pierwszymi? Odpowiedź na to pytanie możemy znaleźć w książce Obsesja liczb pierwszych. Autor postawił sobie trudne zadanie z dwóch po- wodów: po pierwsze, sama HR jest bardzo obszernym tematem, zahacza bowiem o różne obszary matematyki i fizyki, m. in. o teorię liczb, alge- brę, analizę zespoloną oraz mechanikę kwantową. Trudno jest wyobrazić

(^4) Czy ja właśnie porównałem Kwejka i Demotywatory do strony o liczbach pierwszych?

sobie książkę, która pozwoliłaby gruntownie zgłębić tę tematykę. Po dru- gie, autor już na początku zaznacza, że chce w przystępny sposób zapoznać czytelnika z HR prawie bez użycia analizy – tak, żeby treść książki była zrozumiała również dla „nie-matematyków” (we wstępie pojawia się defini- cja tego pojęcia). I rzeczywiście, zagadnienie zostało opowiedziane w naj- prostszy możliwy sposób. Autor stopniowo wyjaśnia poszczególne pojęcia i łagodnie prowadzi nas przez wszystkie zagadnienia tak, żebyśmy mogli zrozumieć ogólną ideę HR bez wikłania się w szczegóły.

Oczywiście taki sposób prezentowania ma też swoje wady. Czytelnik wtajemniczony w różne zagadnienia matematyczne może się trochę nu- dzić na początku, kiedy autor musi wyjaśnić elementarne rzeczy z analizy. To jednak nie jest problem, można szybko przeskoczyć do dalszej części. Z drugiej strony pod koniec książki autor nie wyjaśnia szczegółowo wszyst- kich kroków, tylko podaje pewne fakty gotowe – bez pokazania, dlaczego tak się dzieje. To zrozumiałe, że wszystko nie może zostać wytłumaczone, jeśli pomysłodawca chce przedstawić tylko zarys problemu. Niektórzy czy- telnicy mogą mieć jednak wrażenie, że parę wzorów i równań więcej pozwo- liłoby im lepiej zrozumieć zagadnienie.

Należy więc otwarcie powiedzieć, że książka nie jest łatwą lekturą, którą można przeczytać w dwie godziny. Wymaga skupienia i pewnego zaangażo- wania od czytelnika, zwłaszcza jeśli zna on matematykę tylko na poziomie elementarnym. Jednak wytrwałych czeka nagroda. Lektura z pewnością po- zwoli przybliżyć sobie treść jednego z problemów milenijnych i być może wielu zachęci do sięgnięcia po inne książki i artykuły na ten temat?

W przerwie między jednym a drugim zagadnieniem poznajemy interesu- jące rzeczy na temat osób, które przyczyniły się do powstania Twierdzenia o Liczbach Pierwszych i HR. Nie zabrakło też miejsca na zabawne aneg- doty i ciekawostki. I tak wdrażając nas w główną ideę, autor opisuje życie Bernharda Riemanna i tło historyczne. Oprócz tego w książce przewijają się takie nazwiska jak: Euler, Gauss, Dedekind, Dirichlet, Czebyszew, Gil- bert, Hardy, Turing, Weil, Kramer czy Bernoulli.

Podsumowując, trudno nam będzie znaleźć książkę, która w bardziej przystępny sposób opisze nam hipotezę Riemanna. I warto ją przeczytać

• w końcu wypadałoby wiedzieć coś niecoś o największym nierozwiązanym problemie w matematyce. Książka Johna Derbyshire’a pozwoli nam zrobić ten pierwszy krok. Ewa Siedlaczek

przed powtórzonymi spójnikami, które pełnią taką samą funkcję. Warto tutaj podkreślić, jak istotny jest tutaj ten drugi warunek -– dodatkowego przecinka nie umieścimy na przykład w zdaniu Siedzę i czytam o całkach i różniczkach.

Skończyłam pisać artykuł, który okazał się dość długi, i wyszłam na spacer. Skończyłam pisać artykuł, i to bynajmniej nie krótki.

Zdania podrzędne i wtrącenia wydzielamy przecinkami, a ich bliskie sąsiedztwo ze spójnikiem i bynajmniej nie znosi tej zasady.

Zaczęła się sesja egzaminacyjna, i wzięli się do nauki.

Ten — bardzo aktualny — przykład może budzić najwięcej kontrower- sji, jednak zasługuje na przytoczenie, zwłaszcza że pojawia się w Wielkim słowniku ortograficznym PWN-u. W powyższym zdaniu spójnik występuje w funkcji wynikowej — można zastąpić go przez więc, w związku z czym dopuszcza się postawienie przed nim przecinka.

2. Przecinek przed że

Mimo że przed że stawiamy przecinek, gdy pełni ono funkcję spójnika wprowadzającego zdanie podrzędne, musimy pamiętać, że nie zawsze pełni ono tę rolę – a przynajmniej nie zawsze pełni ją samodzielnie.

Mimo że nie rozwiązałem ostatniego zadania, zdałem egzamin. Powinieneś przyjść na wykład, zwłaszcza że jest obowiązkowy. Egzamin nie sprawi ci problemu, tym bardziej że długo się na niego uczyłaś.

W przypadku wyrażeń takich jak mimo że, chyba że, zwłaszcza że, po- mimo że przecinek stawiamy przed całą konstrukcją (zasada ta nosi czasem nazwę cofania przecinka). Zauważmy jednak, że w zależności od tego, w jaki sposób chcemy rozłożyć akcenty, ostatnie zdanie można zapisać również jako Egzamin nie sprawi ci problemu tym bardziej, że długo się na niego uczyłeś. Ma ono jednak wówczas nieco inne znaczenie.

Nie stawiamy przecinka również wtedy, gdy miałby on rozdzielać dwa sąsiadujące ze sobą spójniki, a zatem w zdaniach typu:

Powiedziałam, że lubię topologię i że nie sprawia mi ona problemu. Liczyliśmy na to, że kolokwium się nie odbędzie lub że będzie proste.

Jak widać, większości zasad, które część ludzi uznaje za pewnik, nie można stosować bezmyślnie. Na szczęście dokładne zasady polskiej inter- punkcji można bez problemu znaleźć w słownikach ortograficznych, przeróż- nych poradnikach, a także w internecie. Przy korzystaniu z tego ostatniego źródła sugerowałabym jednak raczej używanie stron, których merytoryczna poprawność nie budzi wątpliwości — na przykład słownika ortograficznego

udostępnianego przez PWN (http://so.pwn.pl/). Samodzielna lektura za- wartych w nim zasad interpunkcji pozwoli nam nie tylko na uniknięcie błę- dów, ale także na precyzyjne komunikowanie się z otoczeniem. Usunięcie przecinka w zdaniu Nie, czekajcie na mnie zmienia przecież całkowicie jego sens. Jak widać, umiejętne stawianie przecinków to nie tylko kwestia uży- wania poprawnej polszczyzny, ale również sposób na uniknięcie nieporozu- mień.

Magda

[Sprawozdanie z XXX wyjazdowej sesji KNM]

Tegoroczny weekend majowy w końcu nam przypasował, pozwalając zorganizować nieco dłuższą sesję. Ośrodek udało się zarezerwować, ekipę uczestników – zebrać, referaty przygotować. Pozostawało tylko przyjechać i pokazać Szczyrkowi, gdzie matematycy spędzają początki wiosny!

Poza długością, majowa sesja wyróżniła się rekordowo niską liczbą jadą- cych wspólnie pociągiem Kołowiczów (bo było nas jedynie pięcioro). Reszta uczestników bądź to dołączyła w trakcie drogi, bądź dojechała pociągiem osobnym, a w większości ludziska pozajeżdżali samochodami. Takie się z nas zmotoryzowane towarzystwo robi. Pociągowicze i tak byli na miejscu wcze- śniej niż jedna z ekip samochodowych – i to niestety ta najważniejsza, bo z jedzonkiem. No ale cóż, brzuchy nasze zdyscyplinowane przetrzymały tę próbę i zdołaliśmy dotrwać do wieczora i zaplanować resztę sesji, łącznie ze stworzeniem grasującego Zbrodniciela.

Jednym z komfortów sesji dłuższych jest to, że referaty nie zajmują stu procent czasu – i tak, korzystając z pięknej pogody, zdecydowaliśmy się poświęcić znakomitą większość soboty na wycieczkę górską (tj. większość z nas się na to zdecydowała ;)). Relaks na Klimczoku i pomarańcze wyso- kogórskie dały nam siłę i werwę, które pozwoliły nam być najświeższymi na wieczornym referacie Szymona Dragi (lekko podwędzonego szczyrkow- skim słońcem) pod tytułem „Patologiczne twierdzenie o zbiorach odległo- ści”, który to referat otworzył od strony oficjalnomatematycznej naszą XXX sesję.

Na tej to sesji również w gronie Kołowiczów zadebiutował Wiochmen Rejser, którego śmiało mogę nazwać alternatywą do Banga. Mamy więc już dwie gry, w sumie mogące zaangażować naraz jedenaście osób – jesz- cze ze dwie takie i każdy wieczór każdej sesji będziemy mogli solidarnie spędzić na „szpilach”. :) Pierwszy wieczór minął nam zatem pod znakiem

czy też pewnika wyboru, jak go niektórzy nazywają. Po nim nasz opiekun, doktor Tomasz Kochanek, przybliżył nam problem Schroedera-Bernsteina, tworząc nową teorię lewostronnych izomorfizmów (dość nieciekawą, bo nie ma w niej wiele miejsca dla funkcji pustych, ale co ja tam wiem) i skutecznie naginając, dewastując, wyrzucając do kosza lub w inny sposób modyfiku- jąc wszystkie intuicje, jakie mogliśmy mieć na temat zagadnienia „podo- bieństwa całości do kawałka”. Część referatową zakończyła Jolanta Marzec, konstruując nam na płaszczyźnie zbiór Bernsteina i opowiadając o jego zaskakujących własnościach.

Cóż, by oficjalnościom stało się zadość, wypadało jeszcze wybrać naj- lepszy referat i przygotować temat na następną sesję. Zwycięzcą pierwszego głosowania został, z dość miażdżącą przewagą, doktor Tomasz Kochanek. Tematem następnem sesji zostały natomiast „Motywacje, intuicje i kon- strukcje matematyczne”. Jak to już zostało załatwione, mogliśmy z ochotą oddać się inszym rozrywkom – garstka nas dała się domordować Tomkowi Kani, część rzucała się flaszkami po wozach, część strzelała do siebie zza beczek. Normalna szczyrkowska sesja.

I choć w czasie tej sesji okazało się, żeśmy żarłoki i pijoki nieprzeciętne, choć wiele wycieczek do sklepu po chleb i po picie nas czekało, choć po raz pierwszy dowiedliśmy w czasie sesji twierdzenia za pomocą napisania pro- gramu, choć potoczyło się wiele rozmów na wielorakie tematy, choć wyszło na jaw, że nie powinniśmy grać na loteriach, choć aż dwa razy do ośrodka przyjeżdżała pizza, choć druga część sesji minęła w strugach deszczu, choć Basia mogła z nami być tylko kawałek sesji, choć Weronika z Markiem mu- sieli nas na jeden cały dzień opuścić, choć o tej sesji wiele można by jeszcze opowiadać – najwyższa pora zakończyć to sprawozdanie słowami: było su- per! Czekamy na listopad. :) Niewinny Rosomak

[Stopka redakcyjna]

Redaktor naczelny: Mateusz Jurczyński Sekretarz redakcji: Joanna Zwierzyńska

Kontakt z redakcją bezpośrednio w pokoju KNM (p.524) lub elektronicznie:

[email protected].

Wszystkie archiwalne numery [Macierzatora] dostępne są również w wyda- niu elektronicznym na stronie internetowej KNM UŚ: www.knm.katowice.pl.

maj – czerwiec 2011

MACIERZATOR

[MACIERZATOR38] – [KĄCIK TEXowy2] v

[Kącik TEXowy część 2]

układ graficzny strony, odstępy poziome i pionowe oraz pudełka

W

tej części pokażemy jaki jest standardowy układ graficzny strony w LATEXowym dokumencie oraz w jaki sposób możemy go zmienić. Następnie kilka słów o łamaniu wierszy i stron oraz wstawianiu odstę- pów. Powiemy również czym są pudełka oraz jakie są ich rodzaje. Beata Łojan [Parametry układu strony]

T

ypowa strona składa się z paginy górnej i dolnej, marginaliów i ko- lumny tekstu. W zależności od klasy i wymiaru papieru LATEX ustawia domyślne wielkości wszystkich parametrów. Na poniższym rysunku za- znaczono poszczególne elementy oraz polecenia opisujące ich długości. Układ graficzny strony

\paperwidth

\paperheight

Kolumna tekstu

Pagina górna (główka)

Pagina dolna (stopka)

Marginalia

1

2 3

4

5

7 6

8 9 10

11 12

1. 1cal + \voffset
2. 1cal + \hoffset
3. \textwidth
4. \textheight
5. \marginparwidth
6. \marginparsep
7. \oddsidemargin \evensidemargin
8. \topmargin
9. \headheight
10. \headsep
11. \footskip
12. \footheight

Wartości domyślne dla a4paper w article \paperwidth=597pt \paperheight=845pt \textwidth=345pt \textheight=598pt \marginparwidth=57pt \marginparsep=11pt \voffset=0pt \hoffset=0pt \oddsidemargin=53pt \topmargin=17pt \headheight=12pt \headsep=25pt \footskip=30pt

Możemy zmienić wielkości poszczególnych parametrów, korzystając z poleceń \setlength{parametr}{długość}, które zmienia wielkość para- metru na długość lub \addtolength{parametr}{długość}, które zwiększa dany parametr o określoną długość. Ponadto wszystkie parametry mo- żemy również zmienić korzystając z pakietu geometry^1.

(^1) Pakiet do zmiany parametrów strony. Będzie omówiony w jednej z kolejnych części.

MACIERZATOR

[MACIERZATOR38] – [KĄCIK TEXowy2] vii

Odstępy między wyrazami, czyli odstępy poziome , możemy uzyskać wstawiając \hspace{odległość} lub \hspace*{odległość} w przypadku, gdy chcemy wstawić odstęp na po- czątku lub na końcu wiersza, gdzie odległość oznacza wielkość wsta- wianego odstępu. Do wstawienia takiego odstępu możemy również użyć instrukcji \hskip odległość,

Odstępy poziome \quad = 1em , \qquad = 2em , = 3/18 odstępu \quad : = 4/18 odstępu \quad ; = 5/18 odstępu \quad ! = − 3/18 odstępu \quad

np. \hskip2cm. Instrukcją \hfill uzyskujemy maksymalny możliwy od- stęp poziomy. Polecenie to powoduje, że zawartość linii zostaje rozmiesz- czona od lewego do prawego marginesu, a przerwa wypełniana jest spa- cjami. Podobny efekt uzyskamy instrukcjami \dotfill oraz \hrulefill, które wypełniają powstałą przerwę odpowiednio kropkami i linią ciągłą.

lewy \dotfill środek \hfill środek \hrulefill prawy lewy.................. środek środek prawy Z analogicznych instrukcji możemy skorzystać w przypadku wstawia- nia odstępów pionowych , czyli odstępów między wierszami i akapitami. Odstęp możemy wstawić in- strukcją \vspace{odległość} lub \vspace*{odległość} jeśli chcemy wstawić odstęp na początku lub

Odstępy pionowe \smallskip – dodaje odstęp 3pt \medskip – dodaje odstęp 6pt \bigskip – dodaje odstęp 12pt

na końcu strony oraz poleceniem \vskip odległość. Instrukcje te należy oddzielić od tekstu pustym wierszem. Instrukcja \vfill wstawia maksy- malny możliwy odstęp w pionie, powodując, że zawartość strony zostaje rozmieszczona od górnego do dolnego marginesu. Odstęp między dwoma wierszami lub między wierszami tabeli możemy również uzyskać polece- niem \[odległość].

[Pudełka]

P

udełko jest traktowane przez LATEXa jako całość i w trakcie przetwa- rzania dokumentu ma dla niego takie samo znaczenie jak pojedyncza litera, dlatego też LATEX nie podzieli pudełka między wiersze czy strony. Wyróżniamy pudełka akapitowe, wierszowe i pudełka linii. Pudełek wierszowych możemy używać np. gdy nie chcemy podzielić wyrazu lub fragmentu tekstu na wiersze. Uzyskujemy je poleceniem:

\makebox[szer][poz]{tekst} lub \mbox{tekst}

gdzie szer oznacza szerokość pudełka^5 , poz określa położenie tekstu i może przyjmować jedną z wartości: c – wyśrodkowanie, l – dosunię- cie do lewej, r – dosunięcie do prawej, s – rozstrzelenie zawartości po całym pudełku, a tekst to zawartość pudełka.

(^5) Może być ona mniejsza lub większa od zawartego w nim tekstu. Szerokość pudełka może być również zerowa lub przyjmować wartość ujemną.

MACIERZATOR

viii [MACIERZATOR38] – [KĄCIK TEXowy2]

Analogicznie do \makebox działa instrukcja \framebox[szer][poz]{tekst} lub \fbox{tekst}

która dodatkowo tworzy ramkę dookoła pudełka. Grubość ramki może- my zmienić za pomocą polecenia \fboxrule=wartość, a jej odległość od tekstu poprzez \fboxsep=wartość. Efekt przesuwania pudełek w pionie uzyskujemy poleceniem: \raisebox{przesunięcie}[wysokość][głębokość]

gdzie przesunięcie to wielkość przesunięcia w górę (dla wartości dodat- niej) lub w dół (dla wartości ujemnej). pudełka.pdf wyśrodkowany żuk, jeż, osa ujemnadługość Domyślne wartości Pudełko z ramką To jest za małe \fboxrule=3pt \fboxsep=1.5ex

Spa a d a m i do góry

MACIERZATOR

pudełka.tex \makebox[5cm][c]{wyśrodkowany} \makebox[5cm][s]{żuk, jeż, osa} ujemna \makebox[-0.2cm]{długość} \mbox{Domyślne wartości} \framebox[5cm][r]{Pudełko z ramką} \framebox[.8cm][l]{To jest za małe} \raisebox{0pt}[0pt][0pt]{Spa \raisebox{-0.7ex}{a} \raisebox{-1.1ex}{d} \raisebox{-1.5ex}{a} \raisebox{-1.9ex}{m} \raisebox{0pt}{i do góry}} \framebox[5cm][c]{\fboxrule=2pt \framebox[4.9cm][c]{ MACI\raisebox{-0.4ex}{E}RZATOR}}

W pudełkach o zadanej szerokości możemy umieszczać również aka- pity. Umożliwia nam to instrukcja \parbox oraz otoczenie minipage

\parbox[poz]{szer}{tekst} \begin{minipage}[poz]{szer} tekst \end{minipage}

gdzie poz określa pozycję pudełka względem otaczającego je tekstu i mo- że przyjmować jedną z wartości c – środek wysokości pudełka na linii podstawowej, t – górna krawędź pudełka na linii podstawowej, b – dolna krawędź pudełka na linii podstawowej, szer określa szerokość pudełka, a tekst to jego zawartość. W odróżnieniu od wcześniej omówionych pu- dełek, polecenie \parbox i środowisko minipage pozwalają na dzielenie tekstu na linijki. Do rysowania pionowych i poziomych kresek możemy użyć polecenia \rule[przesunięcie]{szer}{wys}

gdzie przesunięcie określa położenie kreski względem linii podstawowej, a szer i wys oznaczają odpowiednio szerokość i wysokość linii. Kreskę o zerowej szerokości nazywamy podporą.

Gad ^ ^ ^ Bra