Pobierz Układy przyczynowe i nieprzyczynowe: sygnały, elementy układy i systemy i więcej Poradniki, Projekty, Badania w PDF z Fisica tylko na Docsity!
Andrzej Leśnicki Układy przyczynowe i nieprzyczynowe 1 / 1
SYGNAŁY, ELEMENTY, UKŁADY I SYSTEMY
Układy przyczynowe i nieprzyczynowe
Sygnał s t jest sygnałem przyczynowym, gdy jest on tożsamościowo równy zeru na ujemnej
półosi czasu, czyli gdy s t 0 dla t 0. W przeciwnym razie sygnał jest sygnałem
nieprzyczynowym.
F x t
x t yt
x t
t
t t
y t
y t
Pobudzenie Odpowiedź Układ
sygnał przyczynowy sygnał nieprzyczynowy
sygnał przyczynowy a)
b)
część
antyprzyczynowa
część
przyczynowa
Odpowiedź układu: a) przyczynowego; b) nieprzyczynowego
Układ jest systemem przyczynowym, gdy dla każdego przyczynowego pobudzenia x t jego
odpowiedź y tjest także przyczynowa. W przeciwnym razie układ jest nieprzyczynowy.
Andrzej Leśnicki Układy o parametrach skupionych i rozłożonych 1 / 2
Układy o parametrach skupionych i rozłożonych
Każdy przyrząd w układzie ma określoną strukturę przestrzenną i przy ścisłych rozważaniach
powinien być opisany równaniami różniczkowymi cząstkowymi (zmiennymi w tych
równaniach są oprócz sygnałów także współrzędne przestrzenne). Rozwiązywanie równań
różniczkowych cząstkowych przy zadanych warunkach brzegowych jest trudnym zadaniem
matematycznym. Dlatego jeśli tylko jest to możliwe, to za cenę dokładności modelowania
przyjmuje się, że właściwości przyrządu skupiają się w jednym punkcie. Pozwala to opisać
przyrząd znacznie łatwiejszymi do rozwiązania równaniami różniczkowymi zwyczajnymi, a
element modelujący ten przyrząd nazywa się elementem o parametrach skupionych
(elementem skupionym). W przeciwnym razie element nazywa się elementem o parametrach
rozłożonych (elementem rozłożonym).
Podobnie jak elementy klasyfikuje się układy. Układ zbudowany wyłącznie z elementów
skupionych nazywa się układem skupionym. Jeżeli układ zawiera chociaż jeden element
rozłożony, to nazywa się układem rozłożonym.
W elemencie rozłożonym współrzędne przestrzenne nie mogą być pominięte i sygnał
pokonując z określoną prędkością drogę l od jednej końcówki do drugiej pojawia się na
drugiej końcówce z opóźnieniem . Jeżeli sygnał wejściowy jest sinusoidalny
x t X ft
m
sin 2
to sygnał wyjściowy będzie opóźniony
y t Y ft
m
sin 2
o czas
c
l
Opóźnienie to jest pomijalnie małe pod warunkiem, że odpowiadająca mu zmiana fazy jest
znacznie mniejsza niż 2 (wartość funkcji sinus zmieni się nieznacznie przy małej zmianie
fazy)
c
l
f
Ponieważ sygnałowi o częstotliwości f odpowiada fala o długości c f i okresie
T 1 f , to powyższa relacja może być przekształcona do postaci
l lub
T
lub
f
Oznacza to, że dany element może być traktowany jako element skupiony, gdy jego wymiary
l są znacznie mniejsze niż ćwierć długości fali (in. czas przejścia sygnału przez element jest
znacznie mniejszy niż ćwierć okresu fali lub częstotliwość jest znacznie mniejsza niż ćwierć
odwrotności opóźnienia).
Andrzej Leśnicki Układy liniowe i nieliniowe 1 / 1
Układy liniowe i nieliniowe
Układ jest liniowy, gdy wykonywana przezeń operacja y t F xt jest operacją liniową, to
znaczy jest jednorodna (homogeniczna)
F ax t aF xt
i addytywna
F[x 1 (t)+x 2 (t)] = F[x 1 (t)] + F[x 2 (t)]
W przeciwnym razie układ jest nieliniowy.
W układach liniowych jest spełniona zasada superpozycji
F a x t a x t aF x t aF x t
1 1 2 2 1 1 2 2
F x t y t
L
x t
1
x t
2
F x t
F x t
a y t
1 1
a y t
2 2
y t
P
Czy y t y t?
L P
a x t
1 1
a x t
2 2
a) b)
Testowanie układu czy jest liniowy, czy nieliniowy
Przykład 21. Układ wykonuje na sygnale operację podnoszenia do kwadratu
2 y x. Mamy
2
2
2
1 1 2 2 2
2
1
2
1
2
1 1 2 2
y ax ax a x 2 axa x a x L
oraz
2
2
2
2
2
1
2
1
y a x a x P
Układ jest nieliniowy, gdyż L P
y y.
Andrzej Leśnicki Układy stałe w czasie i zmienne w czasie 1 / 1
Układy stałe w czasie i zmienne w czasie
Jeżeli charakterystyka elementu nie zależy jawnie od czasu F x t , to element nazywa się
stałym w czasie (elementem stacjonarnym). Jeżeli charakterystyka elementu zależy jawnie od
czasu F x t, t, to element nazywa się zmiennym w czasie (elementem niestacjonarnym) z
ang. time-varying.
Jeżeli układ jest zbudowany z elementów stałych w czasie, to jest układem stałym w czasie.
Jeżeli układ zawiera elementy zmienne w czasie, to z reguły jest układem zmiennym w czasie
(pod warunkiem, że elementy zmienne w czasie nie zostaną tak połączone, że zmienności w
czasie skompensują się).
W układzie stałym w czasie jest spełniona następująca zasada
jeżeli x t yt , to x t T y tT
x t y t
L
Czy y t y t T?
L P
y t T
P
x t T x t y t
P
a) b)
Opóźnienie
o T
Opóźnienie
o T
F F
Testowanie układu czy jest stały, czy zmienny w czasie
Przykład 22. Układ wykonuje na sygnale operację y bt x. Mamy
y t b t xt T
L
oraz
y t T bt T xt T
P
Układ jest zmienny w czasie, gdyż y t y t T
L P
W literaturze polskiej przyjęto oznaczać układy (lub elementy czy systemy) skupione,
liniowe, stałe w czasie skrótem SLS.
Andrzej Leśnicki Przepływ prądu przez rezystor 1 / 2
Przepływ prądu przez rezystor
a) (^) l b)
S
E
R
V
I
I
V
Przepływ prądu przez rezystor: a) przyrząd; b) element (model)
Rezystancja (opornością) rezystora
S
l
R
, - przewodność właściwa
Odwrotność rezystancji jest konduktancją (przewodnością) G = 1/R.
Materiał
Przewodność właściwa
przy temperaturze T = 293 K
2 mm
m
Współczynnik temperaturowy
[1/K]
20
R R T
C T o
Srebro
Miedź
Złoto
Aluminium
Wolfram
Manganin
(86% Cu, 12% Mn)
Konstantan
(60% Cu, 40% Ni)
Kanthal
(70% Fe, 23% Cr, 4,5% Al,
1% Co, 1,5% inne domieszki)
Zależność wiążąca prąd z napięciem na rezystorze nazywa się prawem Ohma
R
V
I
W rezystorze wydziela się moc prądu stałego
2 2 P VI RI GV
Andrzej Leśnicki Przepływ prądu przez rezystor 2 / 2
Należy pamiętać, że obowiązuje powszechna umowa, iż zwrot prądu jest zgodny z ruchem
ładunków dodatnich (a nie ujemnych, elektrony mają ładunki ujemne i poruszają się zawsze
przeciwnie do zwrotu prądu). Tylko przy przeciwnych zwrotach prądu i napięcia na
przyrządzie dodatnia wartość mocy jest mocą traconą na przyrządzie, a ujemna wartość mocy
jest interpretowana jako moc wydawana przez przyrząd na zewnątrz do dołączonego układu.
Napięcie V występuje jednocześnie na źródle napięciowym i na rezystorze. Każdorazowo ma
inną interpretację. Napięcie V na źródle napięciowym nazywa się siłą elektromotoryczną
SEM (ang. electromotoric force , EMF), gdyż jest siłą wymuszającą przepływ prądu.
Źródłami SEM są ogniwa Volty, generatory, termopary, fotoogniwa, itp. przyrządy
zamieniające energię chemiczną, mechaniczną, cieplną, świetlną na energię elektryczną.
Napięcie V na rezystorze nazywa się spadkiem napięcia o wartości wynikającej z prawa
Ohma.
Jeżeli napięcie rezystora v t jest zmienne, to zmienne jest także natężenie pola
elektrycznego E t , gęstość prądu t, prąd i t, a prawo Ohma dla sygnałów zmiennych
ma taką samą postać jak dla sygnałów stałych
( ) Gv t
R
v t
i t
Zależność wiążąca sygnały na końcówkach rezystora jest zależnością algebraiczną i dlatego
rezystor nazywa się elementem bezinercyjnym (nie jest elementem dynamicznym).
Rezystor pobiera moc chwilową
2 2 p t vtit Ri t Gv t R 0 , (^) G 0
która jest nieujemna. Moc chwilowa jest pierwszą pochodną energii chwilowej
t
w t
p t
d
d ( )
( )
i energia chwilowa pobrana przez rezystor w przedziale czasu od 0
t do (^) t wyraża się wzorem
całkowym
, ( )d ( )d ( )d
0
2
0 0
2
(^0)
t t t
R R
t
G v
t t
w w t t p R i
i jest niemalejącą funkcją czasu. Oznacza to, że rezystor o rezystancji dodatniej nie może
wydawać energii, a jedynie pobierać ją z dołączonego układu (energia ta zamienia się w
rezystorze bezpowrotnie na ciepło). Dlatego rezystor nazywa się elementem stratnym
(dyssypatywnym).
Przykład 24
Andrzej Leśnicki Indukcja elektryczna w kondensatorze 2 / 2
Jeżeli do kondensatora zostanie przyłożone zmienne napięcie v t, to zmienne będą także
pole elektryczne E t, ładunek elektryczny q t Cv t i zgodnie z pierwszym równaniem
Maxwella przez kondensator popłynie prąd przesunięcia
dt
dv t
C
dt
dq t
i t
Ponieważ na kondensatorze zachodzi operacja różniczkowania sygnału, to jest on nazywany
elementem dynamicznym.
Zależność odwrotna do powyższej ma następującą postać
( )d ( )
0
0
i v t
C
q t
C
v t
t
t
Bieżąca wartość napięcia v t może być obliczona tylko wtedy, kiedy zapamiętano
początkową wartość napięcia
0
v t. Dlatego kondensator nazywa się elementem inercyjnym
(z pamięcią).
Z kondensatorem jest związana moc chwilowa
t
v t
p t vtit Cv t
d
d ( )
i energia chwilowa
0
2 2
0 2
0 0
w w t t p d C vdv Cv t Cv t
v t
v t
t
t
C C
Z powyższego wzoru wynika, że wartość energii kondensatora nie zależy od sposobu zmian
napięcia w przedziale czasu t ,t
0
, a jedynie od wartości początkowej
0
v t i końcowej vt
napięcia. Energia akumuluje się w polu elektrycznym kondensatora (nie ma fizycznej
możliwości zamiany energii na ciepło, czy inną postać energii). Dlatego kondensator nazywa
się elementem bezstratnym (reaktancyjnym, konserwatywnym, zachowawczym).
Przykład 25
Andrzej Leśnicki Indukcja magnetyczna w induktorze 1 / 2
Indukcja magnetyczna w induktorze
m
H
m
l
s
l
m
S
0
r
s
S
0
n
a) b)
I
V
V
I
I
I
L
Induktor: a) przyrząd; b) element (model)
Indukcyjność induktora
s
s
m
m
S
l
S
l
n
L
0
2
r
0
- przenikalność magnetyczna
m
H
7
0
- przenikalność magnetyczna próżni
r
- stała magnetyczna rdzenia magnetycznego
Jeżeli do induktora zostanie przyłożony zmienny prąd i t , to zmienny będzie także strumień
magnetyczny skojarzony t Li t i zgodnie z drugim równaniem Maxwella zaindukuje
się napięcie
t
i t
L
t
t
v t
d
d( )
d
d ( )
( )
Ponieważ na induktorze zachodzi operacja różniczkowania sygnału, to jest on nazywany
elementem dynamicznym.
Zależność odwrotna do powyższej ma następującą postać
( )d ( )
0
0
t
t
v i t
L
t
L
i t
Bieżąca wartość prądu i t może być wyznaczona tylko wtedy, kiedy zapamiętano
początkową wartość prądu
0
i t. Dlatego induktor nazywa się elementem inercyjnym (z
pamięcią).
Andrzej Leśnicki Prawo rozpływu prądów 1 / 1
Prawo rozpływu prądów
1
i
8
i
2
i
7
i 6
i
5 i
4
i
3
i
A
a) (^) b)
1
i
2
i
3
i
4
i
5
i
Rozpływ prądów: a) w węźle A; b) w przekroju
Prądowe prawo Kirchhoffa (w skrócie PPK lub I prawo Kirchhoffa). W każdym węźle
układu elektronicznego algebraiczna suma prądów w dowolnej chwili czasu równa się zeru,
czyli zachodzi następująca równość
1
g
k
k k
a i t , t
w której g jest liczbą gałęzi, k
a określa znak prądu, i jeżeli prąd i (t) k
wypływa z węzła, to
k
a , a jeżeli prąd i(t) k
wpływa do węzła, to 1 k
a.
Niedopuszczalne jest szeregowe połączenie w układzie elektronicznym źródeł prądowych o
różnych wydajnościach, gdyż w węźle połączenia tych źródeł byłoby naruszone prądowe
prawo Kirchhoffa.
Szeregowe połączenia źródeł: a) źródła prądowe; b) źródło prądowe i źródło napięciowe
( ) ( ) 1 2
j t j t
( ) 1
j t () 2
j t j (t) e(t)
a) b)
?
Dopuszczalne po d warunkiem, że
Andrzej Leśnicki Prawo rozkładu napięć 1 / 1
Prawo rozkładu napięć
A
A
V
1
v
2
v
3
v 4
v
5
v
6
v
B
C
D
E
F
V B = V A
V C = V A
V D = V A
V E = V A
V F = V A
V A = V A
- v 2 + v 3 - v 4 - v 5 - v 6
Zamknięta ścieżka (oczko, pętla) w układzie elektronicznym
Napięciowe prawo Kirchhoffa (w skrócie NPK lub II prawo Kirchhoffa). W każdej
zamkniętej ścieżce układu elektronicznego algebraiczna suma napięć równa się zeru w
dowolnej chwili czasu, czyli zachodzi następująca równość
1
g
k
k k
b v t , (^) t
w której g jest liczbą gałęzi, k
b określa znak napięcia i jeżeli napięcie v (t) k
ma zwrot
przeciwny zwrotowi ścieżki, to 1 k
b , a jeżeli napięcie v (t) k
ma zwrot zgodny ze zwrotem
ścieżki, to 1 k
b.
Niedopuszczalne jest równoległe połączenie w układzie źródeł napięciowych o różnych
wydajnościach, gdyż naruszałoby to napięciowe prawo Kirchhoffa.
Równoległe połączenia źródeł: a) źródła napięciowe; b) źródło napięciowe i źródło prądowe
( ) ( ) 1 2
e t e t
( ) 1
e t () 2
e t
a) (^) b)
e( t ) j (t)?
Dopuszczalne pod
warunkiem, że
Andrzej Leśnicki Topologiczne właściwości układu 2 / 7
Równania bilansu prądów w węzłach (wynikające z prądowego prawa Kirchhoffa - PPK)
dogodnie jest zapisać w formie macierzowej
gałęzie
węzły 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
i
i
i
i
i
, tj.
4 5
2 3 4
1 2
i i
i i i
i i
i jeszcze bardziej skrótowo
Ai 0
gdzie macierz strukturalna
ij
A a nazywa się macierzą incydencji ( 1 ij
a , gdy j-ta gałąź
jest incydentna z węzłem i oraz skierowana od tego węzła; 1 ij
a , gdy j-ta gałąź jest
incydentna z węzłem i oraz skierowana do tego węzła; 0 ij
a , gdy j-ta gałąź nie jest
incydentna z węzłem i). Równanie (1.75) jest dogodnym, skrótowym zapisem równań układu
wynikających z PPK.
Dowodzi się, że macierz A jest rzędu w 1.
Wniosek. Dla każdego układu elektronicznego można napisać w 1 niezależnych równań
wynikających z PPK.
W układzie z rys. a mamy (^) w 1 3 i napisano trzy niezależne równania bilansu prądów
odpowiadające trzem węzłom 1, 2, 3. Gdyby napisano jeszcze czwarte równanie dla węzła 4,
to nie wniosłoby ono nic nowego, gdyż byłoby kombinacją liniową już napisanych równań.
W układzie elektronicznym i jego grafie można wyznaczyć zamknięte ścieżki, które jak już
wspomniano nazywają się obwodami lub oczkami w przypadku obwodów bez gałęzi
wewnętrznych. Na przykład na poniższym rysunku pokazano oczka a i b.
a) b)
1 1
2 2
3 3
4 4
1
2
3
4
5 1
E
2
R
3
C
4
L
5
R
a b
4
5
w
g
Przykład układu z dwoma oczkami
Andrzej Leśnicki Topologiczne właściwości układu 3 / 7
Równania bilansu napięć w obwodach (wynikające z napięciowego prawa Kirchhoffa - NPK)
dogodnie jest zapisać w formie macierzowe
gałęzie
oczka 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
v
v
v
v
v
b
a
, tj.
3 4 5
1 2 3
v v v
v v v
i jeszcze bardziej skrótowo
Bv 0
gdzie macierz strukturalna
ij
B b nazywa się macierzą obwodową ( 1 ij
b , gdy j-ta gałąź
należy do i-tego obwodu i jest skierowana zgodnie ze zwrotem obwodu; 1 ij
b , gdy j-ta
gałąź należy do i-tego obwodu i jest skierowana przeciwnie do zwrotu obwodu; 0 ij
b , gdy
j-ta gałąź nie należy do i-tego obwodu). Równanie powyższe jest dogodnym, skrótowym
zapisem równań układu wynikających z NPK.
Dowodzi się, że macierz B jest rzędu g ( w 1 ).
Wniosek. Dla każdego układu elektronicznego można napisać g ( w 1 ) niezależnych
równań wynikających z NPK.
W powyższym układzie mamy g ( w 1 ) 2 i napisano dwa niezależne równania
odpowiadające dwóm oczkom a, b. Gdyby napisano jeszcze trzecie równanie dla zamkniętej
ścieżki, np. obwodu zbudowanego z gałęzi 1, 2, 4, 5, to nie wniosłoby ono nic nowego, gdyż
byłoby kombinacją liniową już napisanych równań.
Jeżeli układ elektroniczny składa się z g gałęzi, to mówimy, że układ został
przeanalizowany, gdy zostały obliczone prądy i napięcia wszystkich gałęzi. Oznacza to, że
aby przeanalizować układ należy ułożyć 2 g niezależnych równań z 2 g niewiadomymi
(niewiadomymi jest g napięć i g prądów gałęzi). Okazuje się, że jest to dokładnie tyle
równań ile można ułożyć z trzech podstawowych praw:
w 1 równań z prądowego prawa Kirchhoffa Ai 0
g ( w 1 )równań z napięciowego prawa Kirchhoffa Bv 0
g równań z pr. Ohma (tj. równań wiążących prąd i napięcie gałęzi np. v Ri)
Razem 2g niezależnych równań z 2g niewiadomymi (g prądów i g napięć gałęzi)
Sposób analizy układów elektronicznych polegający na ułożeniu i rozwiązaniu tego układu
2 g równań nazywa się metodą tableau. W metodzie tej występuje bardzo liczny układ
równań (najbardziej liczny z możliwych) i należy poszukiwać metod układania mniej
licznych układów równań niezależnych, z mniejszą liczbą niewiadomych.
Andrzej Leśnicki Topologiczne właściwości układu 5 / 7
34
24 34
24
14 24
14
34
24
14
5
4
3
2
1
v
v v
v
v v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Liczba napięć węzłowych w 1 3 jest znacznie mniejsza niż liczba 2 g 10. Dlatego gdyby
udało się opracować metodę układania niezależnych równań z napięciami węzłowymi jako
jedynymi niewiadomymi, to znacznie ułatwiłoby to analizę układu elektronicznego. Zamiast
rozwiązywać układ 2 g 10 równań (tak jak w metodzie tableau), wystarczyłoby rozwiązać
mniej liczny układ w 1 3 równań, a znając napięcia węzłowe obliczyć napięcia wszystkich
gałęzi n
T v A v , i na koniec znając napięcia gałęzi obliczyć z prawa Ohma prądy gałęzi.
Taka metoda analizy istnieje i nazywa się metodą napięć węzłowych (inaczej metoda
Coltriego).
Scharakteryzujemy metodę prądów oczkowych i metodę napięć węzłowych na najprostszym
przykładzie układu liniowego rezystancyjnego. Będziemy posługiwali się pojęciem gałęzi
złożonej, w której oprócz rezystora dopuszczono możliwość wystąpienia niezależnego źródła
napięciowego i (lub) prądowego. Napięcia i prądy gałęzi zostaną zestawione w wektorach v ,
E , i , J , a rezystancje i konduktancje gałęzi w macierzach diagonalnych R , G.
i t it^
v t
vt
G
R
E
J
a) b)
v ERi J
i JG vE
Gałąź złożona: a) konwencja zwrotów (zwrot napięcia przeciwny zwrotowi prądu); b) zwroty
wewnętrznych niezależnych źródeł
Metoda prądów oczkowych (metoda Maxwella). Jeżeli wszystkie gałęzie mają opis
rezystancyjny v ERi J, to równania z NPK można przedstawić w poniższej postaci
Bv B E R i J B E RJ BRi B E RJ BRB i 0
m
T
Jest to układ g w 1 równań z tylu samymi niewiadomymi (prądami oczkowymi
m
i ),
przyjmujący w zapisie macierzowym następującą postać
R i B RJ E
m m
(met. prądów oczkowych)
gdzie macierz
T
m
R BRB nazywa się macierzą rezystancji oczkowych.
Andrzej Leśnicki Topologiczne właściwości układu 6 / 7
Metoda napięć węzłowych (metoda Coltriego). Jeżeli wszystkie gałęzie mają opis
konduktancyjny i JG vE, to równania z PPK można przedstawić tak jak poniżej
Ai AJ G v E AJ GE AGv A J GE AGA v 0
n
T
Jest to układ (^) w 1 równań z tylu samymi niewiadomymi (napięciami węzłowymi n
v ),
przyjmujący w zapisie macierzowym następującą postać
G v A GE J
n n
(met. napięć węzłowych)
gdzie macierz
T
n
G AGA nazywa się macierzą konduktancji węzłowych.
Przykład 27. Schemat analizowanego układu elektronicznego i jego graf z prądami
oczkowymi i napięciami węzłowymi pokazano na poniższym rysunku.
6 V 1
E ^20 mA 5
J
1 k 1
R
1 k 2
R
4 k 3
R
3 k 4
R
1 k 5
R
1
i
2
i
3
i
4
i 5
i
1 2
4
3
1
2
3
4
5 14
v 34
v
24
v
a) b)
a
i b
i
Analizowany układ: a) schemat; b) graf
Obliczenia zostaną wykonane w układzie jednostek V, mA, k , mS. Wektory źródeł
niezależnych oraz macierze rezystancji i konduktancji są następujące
E ,
J ,
R ,
G
Macierz incydencji i macierz obwodowa układu, to odpowiednio
A ,
B
Analizując układ metodą prądów oczkowych podstawiamy macierze do równania (met.
prądów oczkowych) i otrzymujemy następujące rozwiązanie
b
a
i
i
b
a
i
i
