Pobierz Uogólniona analiza wrażliwości zysku w przedsiębiorstwie produkującym N-asortymentów i więcej Publikacje w PDF z Analiza i zarządzanie w biznesie tylko na Docsity!
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E
Nr 2 2007
Anna ĆWIĄKAŁA-MAŁYS, Wioletta NOWAK
UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU
W PRZEDSIĘBIORSTWIE
PRODUKUJĄCYM N -ASORTYMENTÓW
Przedstawiono najważniejsze elementy analizy wrażliwości zysku w przedsiębiorstwie produkującym n -asortymentów, gdy dopuszcza się możliwość jednorazowej zmiany – według stałej stopy wolumenu sprzedaży – jednostkowej ceny i jednostkowego kosztu zmiennego każdego z asortymentów oraz kosztu stałego. Wyprowadzono wzory, umożliwiające obliczenie i analizę uogólnionej dźwigni operacyjnej oraz popytowego, cenowego i kosztowego progu rentowności.
Słowa kluczowe: dźwignia operacyjna, próg rentowności
1. Wprowadzenie
W warunkach gospodarki rynkowej i rosnącej konkurencji, ze względu na ograni- czenia po stronie popytu, coraz więcej przedsiębiorstw nie jest w stanie wykorzystać w pełni posiadanych zdolności produkcyjnych. Aby możliwe stało się budowanie strategii rozwoju przedsiębiorstwa, szczególnie istotna jest informacja o tym, przy jakiej wielkości produkcji zostaną pokryte jego koszty całkowite i kiedy wygeneruje zysk. Moment, w którym następuje zrównanie kosztów z przychodami określa się w literaturze przedmiotu mianem progu rentowności przedsiębiorstwa (punktem kry- tycznym, punktem bez straty). Próg rentowności dostarcza istotnych informacji do podejmowania decyzji dotyczą- cych wielkości, struktury produkcji oraz sprzedaży, a także danych do prognozowania wyników działalności przedsiębiorstwa. Można go też wykorzystać przy podejmowaniu decyzji związanych z rozmiarami planowanych inwestycji, w wyznaczaniu minimalnej
6 A. ĆWIĄKAŁA-M AŁYS, W. NOWAK
skali produkcji i sprzedaży, która gwarantuje pokrycie wszystkich dokonanych nakła- dów inwestycyjnych. Problem progu rentowności został szeroko opisany w literaturze z zakresu współczesnej rachunkowości zarządczej. Szczególnie duże zainteresowanie tym tematem wykazali: M. Sierpińska i T. Jachna [5], A.A. Jaruga i in. [3], T. Dudycz i S. Wrzosek [2], Z. Leszczyński i T. Wnuk [4], A. Ćwiąkała-Małys i W. Nowak [1]. Kategorie ekonomiczne: koszt, produkcja i zysk są ze sobą ściśle powiązane oraz wzajemnie od siebie uzależnione. Nie można realizować produkcji, nie generując kosztów. Jednocześnie wielkość kosztów jest skorelowana z wielkością produkcji. Natomiast produkcja i wynikająca z niej zarówno sprzedaż, jak i koszty oddziałują bezpośrednio na zysk. W procesie zarządzania przedsiębiorstwem decydujące znacze- nie ma więc informacja o związku koszty–produkcja. Analiza relacji koszt–produk- cja–zysk opiera się w literaturze na pewnych założeniach, które znacznie upraszczają rzeczywistość gospodarczą. Przyjmuje się, że w pewnych przedziałach koszt stały jest całkowicie stały, w długich horyzontach czasowych wszystkie koszty w przedsiębior- stwie są zmienne, a wytworzone wyroby są w całości sprzedane. W gospodarce rynkowej, charakteryzującej się dużą zmiennością, przyjęcie takich założeń stanowi swoistego rodzaju zagrożenie dla systemu decyzyjnego przedsiębior- stwa. Istotne zatem staje się zbadanie wpływu poszczególnych pojedynczych zmien- nych lub ich kombinacji na stopę zwrotu zysku. Ważne jest, zarówno z punktu widze- nia teoretycznego jak i praktycznego, przeanalizowanie zmian zysku pod wpływem zmian popytu, jednostkowej ceny, jednostkowego kosztu zmiennego i kosztu stałego, przy założeniu, że te czynniki mogą zmieniać się według stałych stóp. Celem artykułu jest analiza wrażliwości zysku, w tym progu rentowności, w przed- siębiorstwie produkującym n -asortymentów, gdy dopuszcza się możliwość zmiany we- dług stałej stopy wolumenu sprzedaży, jednostkowej ceny i jednostkowego kosztu zmiennego każdego z asortymentów oraz kosztu stałego. W związku z tym, że czynniki determinujące zysk mogą się zmieniać według stałych stóp, analizę wrażliwości zysku nazywa się uogólnioną. Artykuł składa się z dwóch głównych części. Pierwsza dotyczy zagadnienia dźwi- gni operacyjnej, a druga progu rentowności.
2. Uogólniona dźwignia operacyjna
Zysk przedsiębiorstwa produkującego (sprzedającego) n -asortymentów wyraża się wzorem
s
n
i
Z = ∑ Si − Kzi − K
= 1
8 A. ĆWIĄKAŁA-M AŁYS, W. NOWAK
Ponadto koszt stały przedsiębiorstwa zmienia się o dKs. Wzór (6) można traktować jako uogólnioną dźwignię operacyjną w przedsiębiorstwie produkującym n -asor- tymentów. Dźwignia (6) umożliwia badanie wpływu zmian poszczególnych wielkości na zmianę zysku w przedsiębiorstwie produkującym n- asortymentów. Jeżeli ceteris pari- bus jednostkowa cena i -tego asortymentu zmieni się o dpi , to zysk przedsiębiorstwa zmieni się o ( S (^) i Z )⋅ 100 %. Wyrażenie S (^) i Z interpretuje się jako cenową dźwignię ope-
racyjną dla i -tego asortymentu. Z kolei zmiana jednostkowego kosztu zmiennego o dkzi spowoduje zmianę (w przeciwnym kierunku) zysku o Kz (^) i Z. Kosztowa dźwignia opera-
cyjna dla i -tego asortymentu jest zatem równa Kz (^) i Z. Wyrażenie ( S (^) i − Kzi ) Z wska-
zuje, o ile zmieni się zysk przedsiębiorstwa, jeśli ceteris paribus o dqi zmieni się sprze- daż i -tego asortymentu. Można je określić jako popytową dźwignię operacyjną dla i -tego asortymentu. Zmiana ceteris paribus kosztu stałego o dKs spowoduje zmianę (w przeciwnym kierunku) zysku o K (^) s Z. Dźwignia operacyjna dla kosztu stałego
wynosi K (^) s Z.
Z równania (6) wynika, że gdy zmianie ulega jedynie wolumen sprzedaży każdego z asortymentów, tzn. dpi = dkzi = dKs = 0 , ∀ i = 1 ,..., n , wtedy stopa zwrotu zysku
w przedsiębiorstwie wynosi
i
n
i
d z Z ∑ Si Kzi dq
=
1
Jeżeli z kolei nie zmienia się tylko wolumen sprzedaży każdego z asortymentów ( d (^) qi = 0 , ∀ i = 1 ,..., n ), to
d z = β. (10)
Można zatem interpretować β jako łączną dźwignię operacyjną dla jednostkowej
ceny, jednostkowego kosztu zmiennego każdego z asortymentów i kosztu stałego.
β określa, o ile zmieni się zysk przedsiębiorstwa, jeśli ∀ i = 1 ,..., n jednocześnie
zmieni się jednostkowa cena i -tego asortymentu o dpi , jednostkowy koszt zmienny o d (^) kzi oraz koszt stały przedsiębiorstwa o d (^) Ks. W analizie wrażliwości zysku istnieje szczególny przypadek, gdy
d (^) z =− 1. (11)
Warunek ten oznacza, że zysk przedsiębiorstwa
Z (^) z = 0. (12)
Innymi słowy przedsiębiorstwo osiąga próg rentowności.
Uogólniona analiza wrażliwości zysku w przedsiębiorstwie ... 9
3. Uogólniony próg rentowności
Ze wzorów (6) i (11) wynika, że przedsiębiorstwo produkujące n -asortymentów osiąga próg rentowności, jeśli
∑μ^ =^ ν
=
n
i
i dqi 1
gdzie:
μ i = Si ( 1 + dpi )− Kzi ( 1 + dkzi ), (14)
=
n
i
Si dpi Kzi dkzi Ks dKs 1
Jeśli przyjmiemy, że jednorazowej zmianie ulegają jednostkowe ceny i jednost- kowe koszty zmienne wszystkich asortymentów oraz koszt stały przedsiębiorstwa, to równanie (13) umożliwia analizę związku między stopami zmian wolumenu sprzeda- ży poszczególnych asortymentów w sytuacji progu rentowności. Innymi słowy, rów- nanie (13) określa popytowy próg rentowności. Warunek progu rentowności (11) można także zapisać w postaci
∑ϑ^ =^ γ
=
n
i
i dpi 1
gdzie:
ϑ i = Si ( 1 + dqi ), (17)
=
n
i
Si Kzi dkzi dqi Ks dKs 1
lub następująco:
∑ϕ^ =^ ψ
=
n
i
i dkzi 1
gdzie:
ϕ i = Kzi ( 1 + dqi ), (20)
=
n
i
Si dpi Kzi dqi Ks dKs 1
Uogólniona analiza wrażliwości zysku w przedsiębiorstwie ... 11
kosztu zmiennego każdego z asortymentów oraz kosztu stałego przedsiębiorstwa jest następujący:
μ 1 d (^) q 1 + μ 2 dq 2 = ν, (26)
gdzie:
μ i (^) = Si ( 1 + dpi )− Kzi ( 1 + dkzi ), i = 1 , 2 , (27)
ν =−( S 1 (^) ( 1 + dp 1 )− Kz 1 ( 1 + dkz 1 ))−( S 2 ( 1 + dp 2 )− Kz 2 ( 1 + dkz 2 ))+ Ks ( 1 + dKs ). (28)
Jeśli popyt na pierwszy asortyment zmieni się o dq 1 , to dopuszczalna zmiana po- pytu na drugi asortyment wynosi wówczas
2
1 2
1 (^2) μ
ν μ
μ dq = − dq + ,^ μ 2 ≠^0.^ (29)
Współczynnik − μ 1 μ 2 określa, o ile (procent) może zmienić się popyt na drugi
asortyment, jeśli popyt na pierwszy zmieni się o jednostkę (1%), by przedsiębiorstwo produkujące dwa asortymenty nie ponosiło strat. Korzystając ze wzoru (29) można przeanalizować szczególne przypadki. Gdy po- pyt na pierwszy asortyment nie zmieni się (tzn. dq (^) 1 = 0 ), wtedy wielkość sprzedaży
drugiego asortymentu może zmienić się o
2 2 2 2
1 1 1 1 2
p kz
p kz s Ks q (^) S d Kz d
S d Kz d K d d μ
ν
. (30)
Jeśli popyt na pierwszy asortyment zmaleje do zera ( dq (^) 1 =− 1 ), to
2 2 2 2 2
1 (^2) + − + −
p kz
s Ks q (^) S d Kz d
K d d μ
μ ν
. (31)
Cenowy próg rentowności W sytuacji progu rentowności związek między stopami zmian jednostkowej ceny pierwszego i drugiego asortymentu dla ustalonych stóp zmian popytu i jednostkowego kosztu zmiennego każdego z asortymentów oraz stopy kosztu stałego przedsiębior- stwa określa równanie
ϑ 1 d (^) p 1 + ϑ 2 dp 2 = γ, (32)
gdzie:
ϑ i (^) = Si ( 1 + dqi ), i = 1 , 2 , (33)
12 A. ĆWIĄKAŁA-M AŁYS, W. NOWAK
γ =−( S 1 (^) − Kz 1 ( 1 + dkz 1 ))( 1 + dq 1 )−( S 2 − Kz 2 ( 1 + dkz 2 ))( 1 + dq 2 )+ Ks ( 1 + dKs ). (34)
Jeśli przedsiębiorstwo produkuje oba asortymenty, to dla danej stopy zmiany jed- nostkowej ceny pierwszego asortymentu dp 1 , cena drugiego asortymentu zmienia się według zależności
2
1 2
1 (^2) ϑ
γ ϑ
ϑ d (^) p = − dp +.^ (35)
Współczynnik − ϑ 1 ϑ 2 określa, o ile (procent) może się zmienić jednostkowa ce-
na drugiego asortymentu, jeśli jednostkowa cena pierwszego zmieni się o jednostkę (1%), by przedsiębiorstwo produkujące dwa asortymenty nie ponosiło strat.
Kosztowy próg rentowności W warunkach progu rentowności związek między stopami zmian jednostkowego kosztu zmiennego pierwszego i drugiego asortymentu dla ustalonych stóp zmian po- pytu i jednostkowej ceny każdego z asortymentów oraz stopy kosztu stałego przedsię- biorstwa jest następujący:
ϕ 1 d (^) kz 1 + ϕ 2 dkz 2 = ψ, (36)
gdzie:
ϕ (^) i = Kzi ( 1 + dqi ), i = 1 , 2 , (37)
ψ =( S 1 (^) ( 1 + dp 1 )− Kz 1 )( 1 + dq 1 )+( S 2 ( 1 + dp 2 )− Kz 2 )( 1 + dq 2 )− Ks ( 1 + dKs ). (38)
Jeśli przedsiębiorstwo produkuje oba asortymenty, to dla danej stopy jednostko- wego kosztu zmiennego pierwszego asortymentu d (^) kz 1 stopa jednostkowego kosztu
zmiennego drugiego asortymentu spełnia równanie
2
1 2
1 (^2) ϕ
ψ ϕ
ϕ dkz = − dkz +. (39)
Współczynnik − ϕ 1 ϕ 2 określa, o ile (procent) może się zmienić jednostkowy koszt
zmienny drugiego asortymentu, jeśli jednostkowy koszt zmienny pierwszego zmieni się o jednostkę (1%), by przedsiębiorstwo produkujące dwa asortymenty nie ponosiło strat.
Zakończenie
Celem uogólnionej analizy wrażliwości zysku w przedsiębiorstwie produkującym n -asortymentów jest badanie wpływu zmian wszystkich lub wybranych wielkości na
14 A. ĆWIĄKAŁA-M AŁYS, W. NOWAK
The generalized sensibility analysis of the profit in a company which produces n -assortments
This article presents the most important elements of the sensibility analysis of the profit in a company which produces n -assortments, when a volume of sale of each assortment and its unit price, unit variable cost and fixed costs of a company can singly grow with constant rates. The article contains analytical formulas for the generalized operating leverage and demand, price and cost break-even point. The generalized operating leverage was formulated as a linear function of growth rates of the sales volume of assortments. It describe the relation among demand growth rates of assort- ments which makes it possible to obtain a given return rate (a given level) of the company profit. The authors distinguish between demand, price and cost break-even points. The demand break-even points shows the relation among demand growth rates of n -assortments, the price displays the relation among unit price growth rates and the cost break-even point shows the relation among unit variable cost growth rates when the profit of a company declines one hundred per cent.
Keywords: operating leverage, break-even point
