Pobierz Uogólnione prawo Hooke’a: zadania z rozwiązaniami i więcej Zadania w PDF z Meccanica Dei Solidi tylko na Docsity!
Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke’a
Związki między odkształceniami i naprężeniami, w przypadku ciała izotropowego, opisuje
uogólnione prawo Hooke’a:
[ ] ,
[ ],
[ ],
z z x y
y y z x
x x y z
E
E
E
ε σ ν σ σ
ε σ ν σ σ
ε σ ν σ σ
G
G
G
zx zx zx
yz yz yz
xy xy xy
τ γ ε
τ γ ε
τ γ ε
(a)
Rozwiązując równania (a) względem naprężeń, otrzymujemy związki:
z z x y z zx zx zx
y y x y z yz yz yz
x x x y z xy xy xy
G G
E
G G
E
G G
E
ε ε ε τ γ ε ν
ν ε ν
σ
ε ε ε τ γ ε ν
ν ε ν
σ
ε ε ε τ γ ε ν
ν ε ν
σ
=^ =
(b)
W tych wzorach E oznacza moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga), G moduł
sprężystości poprzecznej (moduł Kirchoffa), zaś ν współczynnik Poissona ( ε 2 = −ν ε 1 ).
ZADANIE 1. Wewnątrz nieodkształcalnego sześcianu o krawędzi l umieszczony jest
odkształcalny prostopadłościan wykonany z jednorodnego materiału o danych parametrach E
i ν. Na podstawach prostopadłościanu przyłożono równomierne ciśnienie q. Zakłada się, że
tarcie o ścianki nie występuje. Obliczyć naprężenia na płaszczyznach nieodkształcalnego
sześcianu oraz zmianę objętości wewnętrznego prostopadłościanu.
z
y
x
nieodkształcalny sześcian
l/
l/
q
odkształcalny prostopadłościan ( E , ν)
q
l
Rozwiązanie
Zewnętrzny sześcian jest nieskończenie sztywny, zatem wydłużenia wewnętrznego
prostopadłościanu w kierunku x i y są równe zeru. Stan odkształcenia jest jednorodny.
l l
l l
x x
y y
∆ ε
∆ ε
Podstawiamy do wzorów (a):
z x y z x y z
y y z x y z x
E
E
ε σ νσ σ σ νσ σ
ε σ νσ σ σ ν σ σ
[ ]
[ ]
Wewnętrzny prostopadłościan jest ściskany ciśnieniem q , zatem naprężenie
σ (^) z =− q.
Podstawiając ten związek do równań (1), otrzymujemy:
2 ν σ ν ν
σ νσ ν
σ νσ ν ν
q
q
q
x
x y
y x
ν
ν
ν
ν ν ν
ν σ ν νσ ν ν ν
ν σ −
2
x q^ y q x q q q^ q
Odkształcenie objętościowe (względny przyrost objętości) wyraża się wzorem:
ϑ = ε x +ε x +ε x = 3 ε śr.
Wyrażając odkształcenia przez naprężenia za pomocą wzorów (a), otrzymujemy:
K
śr E
śr x y z śr
σ σ σ Ε
ν σ σ σ Ε
ν ϑ
ν
3 ( 1 − 2 )
3 ( 1 − 2 ν)
E
K
gdzie wielkość K jest modułem ściśliwości Helmholtza. Zauważmy, że jeżeli ν →1/2 to
K → ∞, co oznacza, że materiał jest nieściśliwy (brak zmiany objętości). Dla ν → 0 mamy
K = E / 3 = K min, a materiał taki nazywamy idealnie ściśliwym (największa zmiana
objętości). Obliczamy:
3 ( 12 )
ν
ν ν ν
ν
σ ν ϑ
ν
σ σ σ ν σ
ν
ν
ν ν
ν
−
1 − 1 −
E
q
E
q
q q q q
E
śr
x y z śr
Odpowiedź
Naprężenia w prostopadłościanie wynoszą:
q
q
q
z
y
x
σ
ν
ν σ
ν
ν σ
(ściskanie)
Zmiana objętości prostopadłościanu pod wpływem przyłożonego obciążenia wynosi:
ν
ν ν ϑ −
E
q (ubytek objętości)
ZADANIE 3. Cienka kwadratowa tarcza, pokazana na rysunku, wykonana z materiału
sprężystego, jest rozciągana w dwóch kierunkach tak, że mamy σ x =200MPa i σ y =100MPa.
Znane są też odkształcenia ε x = 2,45·
- i ε y = 0,49· - . Ile wynosi E, ν oraz G dla materiału
tarczy? Jakie powstanie odkształcenie postaciowe γ xy , jeśli wywołamy naprężenia styczne
τ xy =80 MPa?
x
y
200 MPa X
σ =
σY = 100 MPa
Rozwiązanie
W tarczy występuje płaski stan naprężenia. Odkształcenia ε (^) x i ε (^) y wyrażają się wzorami:
[ ]
3 2 , 4510
x =^ x − y = ⋅ E
ε σ νσ (1)
[ ]
3 0 , 4910
y =^ y − x = ⋅ E
ε σ νσ (2)
Dzieląc stronami powyższe wyrażenia i podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy:
ν
ν
ν
ν
3
ν =
Podstawiając ν =1/3 do równania (1) mamy:
−
E E
6 , 8010 MPa
4 E = ⋅
Obliczamy teraz moduł Kirchoffa:
( ) ( )
2 , 5510 MPa 21
4
3
1
4 = ⋅
ν
E
G
oraz kąt odkształcenia postaciowego:
3 4
G
xy xy
τ γ.
ZADANIE 4. Cienką płytkę o wymiarach h × l umieszczono w szczelinie o szerokości h.
Przyjmuje się, że krawędzie szczeliny są nieodkształcalne, a tarcie nie występuje. Na
brzegach swobodnych działa obciążenie, które wywołuje naprężenia σ x = – σ 0. Powierzchnie
płytki | z |= g (2 g –grubość płytki) są wolne od naprężeń. Obliczyć σ y oraz ε x i ε z.
l
h
y
z
x
σ (^) x =− σ 0
Rozwiązanie
Z warunku podparcia na brzegach | y |= h / 2 wynika, że ε (^) y = 0 ( ∆ h = ε yh = 0 ). Stan
odkształcenia jest jednorodny. Obliczamy naprężenie σ (^) y :
= [ − ( − )] = 0 , ( = 0 ) ⇒
y y 0 z E
ε σ ν σ σ σ^ y =−^ νσ 0.
Obliczamy pozostałe odkształcenia:
[ ] [ ] 0
0
2
0
2 0 <
= − = − + =− σ
ν ε σ νσ σ ν σ E E E
x x y ,
[ ( )] [ ( )]
E E E
z z x y
ν ν σ ε σ νσ σ ν νσ σ.
Rozpatrzymy nasze zadanie, jeśli zmienia się temperatura o ∆ T przy niezmienionych
pozostałych warunkach sformułowanych w poprzedniej części zadania.
Z warunku podparcia brzegów wynika, że
= [ − (− )] + = 0 ⇒
0 T
E
ε (^) y σ y ν σ α ∆ σ (^) y = −νσ 0 − E α ∆ T
Pozostałe odkształcenia wynoszą:
[ ] [ ( )] ( ) T
E
E T T
E
T
E
x x y + + ∆
= − + ∆ = − − − − ∆ + ∆ =− σ να
ν ε σ νσ α σ ν νσ α α 1
0
2
0 0
[ ] [( )]
( ) T
E
E T T
E
T
E
z x y + + ∆
=− + + ∆ =− − − − ∆ + ∆ = σ να
ν ν σ νσ α α
ν σ σ α
ν ε 1
0 0 0
Obliczymy dodatkowo względną zmianę objętości płytki. Korzystamy ze wzoru:
= = x + y + z = x + z , ( y = 0 ) V
V
ε ε ε ε ε ε
∆ ϑ
Dylatacja (względna zmiana objętości) z uwzględnieniem zmiany temperatury wynosi:
( ) T
E
T
E
T
E
σ να ∆
ν ν σ να∆
ν ν σ να∆
ν ϑ + +
0 0 0
2
ZADANIE 6. Dla materiału o parametrach E =210 GPa (modułu Younga) i ν=0,
(współczynnik Poissona) zapisać macierz sztywności. Dla składowych stanu odkształcenia
5 8 , 010
− ε (^) x = ⋅ ,
5 9 , 010
− ε (^) y = ⋅ ,
5 3 , 010
− γ (^) xy = ⋅ ,
5 8 , 510
− ε (^) z = ⋅ ,
5 3 , 510
− γ (^) yz = ⋅ ,
5 4 , 010
− γ xz = ⋅
obliczyć składowe stanu naprężenia.
Rozwiązanie
W trójwymiarowym, stanie odkształcenia składowe tensora naprężenia obliczamy
z uogólnionego prawa Hooke’a, które w zapisie macierzowym ma postać:
xz
yz
xy
z
y
x
xz
yz
xy
z
y
x
E
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ν
ν
ν
ν ν ν
ν ν ν
ν ν ν
ν ν
τ
τ
τ
σ
σ
σ
lub krócej:
σ = c ε
gdzie c jest macierzą sztywności.
Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy
MPa
403 , 9 GPa
5
−
xz
yz
xy
z
y
x
τ
τ
τ
σ
σ
σ
