Uwagi o logice trójwartościowej, Publikacje z Logica

Pobierz Uwagi o logice trójwartościowej i więcej Publikacje w PDF z Logica tylko na Docsity!

Tomasz Bigaj

Uwagi o logice trójwartościowej

Filozofia Nauki 5/3, 113-

1997

Filozofia Nauki Rok V, 1997, N r 3(19)

Tomasz Bigaj

Uwagi o logice trójwartościowej

Jak powszechnie wiadomo, logika trójwartościowa Jana Łukasiewicza powstała jako rezultat rozważań o charakterze filozoficznym, dotyczących zagadnienia determi- nizmu. Fakt filozoficznego ugruntowania logiki trójwartościowej miał dla Łukasiewi cza ogrom ne znaczenie. Pisał on na przykład: „Gdyby nie istniał choćby cień możliwości, że [...] trzecia wartość da się jakoś zinterpretować intuicyjnie, to logika trójwartościowa byłaby prawdopodobnie nie powstała” (Łukasiewicz 1994, s. 234). W niniejszym artykule chciałbym zająć się nie tyle problemem, czy wprowadzenie trzeciej wartości logicznej jest wystarczająco uzasadnione (np. filozoficznym założeniem inde- terminizmu), ile pytaniem o to, w jaki sposób możliwe jest przejście od przyjęcia istnienia trzeciej wartości do konkretnej postaci logiki trójwartościowej, którą przyjął Łukasiewicz. Sądzę bowiem, że tu właśnie kryje się największa zagadka interpreta cyjna logicznej konstrukcji Łukasiewicza. Zgadzam się przy tym z tezą Ludwika Bor kow skiego, który stw ierdził, że w problem ie intuicyjnej in terpretacji logiki trójwartościowej należy odróżnić dwie kwestie: ( 1 ) zagadnienie wyprowadzalności tabelek dla trójwartościowych spójników z dokładnie sformułowanych założeń odpo wiadających intencjom Łukasiewicza oraz (2) zagadnienie, czy uzyskany system nie budzi zastrzeżeń natury filozoficznej (Borkowski 1990, s. 428). Postaram się pokazać, że trójwartościowa logika w formie, jaką nadał jej twórca, nie spełnia zasadniczego warunku: nie jest mianowicie zgodna z założeniami filozoficznymi, które — jak się twierdzi — legły u podstaw jej konstrukcji. Przypomnijmy na wstępie podstawowe pojęcia i założenia logiki trójwartościowej. Przyjmuje się w niej, że oprócz prawdy i fałszu zdania mogą przyjmować trzecią w artość logiczną — tzw. możliwość. Zdania takie to te, które odnoszą się do przyszłych, jeszcze niezdeterminowanych zdarzeń. Z kolei zdanie prawdziwe to zdanie, które głosi zajście zdarzenia w danym momencie zdeterminowanego, a fałszywe —

Uwagi o logice trójwartościowej 115

Lukę pomiędzy założeniem trój wartościowości a konkretną postacią rachunku lo gicznego usiłował wypełnić Jerzy Słupecki (Słupecki 1964). Podał on mianowicie sposób zrekonstruowania rachunku trójwartościowego, formalizując uprzednio w pew nym języku ontologiczne założenia Łukasiewicza. Omówmy pokrótce konstrukcję Słupeckiego. Założył on mianowicie, że na zbiorze zdarzeń Z (zarówno teraźniejszych, jak i przyszłych) można określić następujące operacje: sumę (u ), iloczyn ( n ) i dopełnienie ('), spełniające aksjomaty algebry Boole’a. Dodatkową relacją, określoną na Z, jest relacja przyczynowa, którą Słupecki charakteryzuje formalnie przy pomocy pięciu aksjomatów. Wreszcie trzecim założeniem jest założenie o istnieniu podziału zbioru Z na trzy podzbiory: zdarzeń zdeterminowanych pozytywnie, zdeterminowanych negatywnie i niezdeterminowanych. Aby można było mówić o logice, należy wprowadzić pewien język, opisujący scharakteryzowane wyżej zdarzenia. Słupecki przyjmuje założenie, że każde zdanie tego języka opisuje jakieś zdarzenie ze zbioru Z. Następnie definiuje on negację, alternatywę i koniunkcję zdań, jako zdania opisujące odpowiednio: boole’owskie dopełnienie, sumę i iloczyn zdarzeń. Ostatnie założenie Słupeckiego wprowadza charakterystykę wartości logicznych. Zdanie jest prawdziwe, gdy opisuje zdarzenie, m ające przyczynę; fałszywe — gdy opisuje zdarzenie, którego dopełnienie ma przyczynę; i nieokreślone — gdy zdarzenie, które ono opisuje nie ma w ogóle jeszcze przyczyny. Przy pomocy tych założeń Słupecki udowadnia następnie, że matryce dla scharakte ryzowanych powyżej spójników — alternatywy, koniunkcji i negacji — pokrywają się z m atrycam i Łukasiew iczow skim i. Zatem, jeśli założenia sform ułow ane przez Słupeckiego faktycznie pokrywają się z filozoficznymi przesłankami twórcy logiki trójwartościowej, to istotnie można powiedzieć, że konkretna postać rachunku logicz nego ma intuicyjną podbudowę filozoficzną. Konstrukcja Słupeckiego ma jednak pewne wady. Po pierwsze, zawiera defekt formalny, który — choć łatwy do usunięcia — daje wiele do myślenia. Otóż przyjęte założenie o tym, że struktura Z jest algebrą Boole’a, jest za mocne, i w koniunkcji z pozostałymi warunkami prowadzi do sprzeczności.1 W algebrze Boole’a występuje bowiem element maksymalny (oznaczmy go przez 1 ) 1 = / u /. Niech teraz zdarzenie _f_ będzie zdeterminowane pozytywnie, a zdarzenie /2 — niezdeterminowane. Ponieważ / i u / i ' = 1 , więc z pewnego założenia charakteryzującego relację przyczynowości (założenie to ma postać równoważności głoszącej, że pewne zdarzenie jest przyczyną sumy zdarzeń zawsze i tylko wtedy, gdy jest przyczyną co najmniej jednego z tych zdarzeń) wynika, że zdeterminowane będzie również zdarzenie «pewne», czyli 1. Ale ponieważ także 1 = /2 u / 2 ', więc na podstawie tego samego założenia dostajemy, że

1Zw róciłem na to uwagę w swojej nieopublikowanej pracy z 1987 r. Precyzyjniejsze ujęcie tego problemu w raz z je g o rozw iązaniem znajduje się w pracy (Nowak 1988).

116 Tomasz Bigaj

alb o / 2 , a lb o / 2 ' są zdeterminowane, co przeczy założeniu. Trudność tę łatwo usunąć, przyjmując, że Z jest nie algebrą Boole’a, lecz kratą de Morgana. Znamienne jest jednak, że musimy przyjąć, iż operacja / u / na zdarzeniach niezdeterminowanych prowadzi do innego wyniku niż analogiczna operacja na zdarzeniach zdeterminowa nych. Druga wada konstrukcji Słupeckiego polega na tym, że nie uwzględnia ona spójnika implikacji. Jak wiadomo, w rachunku trójwartościowym spójnik implikacji nie jest definiowalny przy pomocy koniunkcji, alternatywy i negacji — w szczególności klasy czna formuła ~ p v q nie definiuje implikacji w sensie Łukasiewiczowskim. Jest intere sujące, że Słupeckiemu nie udało się podać operacji na zbiorze zdarzeń, która byłaby analogonem implikacji — zatem jego konstrukcja jest niezupełna, a jej sukces mocno wątpliwy. W dalszych rozważaniach okaże się, że implikacja Łukasiewiczowska jest źródłem również innych problemów. Przejdźmy obecnie do analizy samego rachunku logicznego Łukasiewicza. Przed stawię teraz dwa zarzuty, jakie można podnieść przeciwko temu rachunkowi. Pierwszy z nich został sformułowany już na kongresie filozoficznym w Zurychu w 1938 r., gdzie Łukasiewicz przedstawił swoje odkrycie. Ma on postać następującą: jeśli zdanie p ma wartość 1/2, to w systemie Łukasiewicza zdanie p v ~p (jak również zdanie p a ~p) jest nieokreślone. Przeczy to jednak naszej intuicji, że już dzisiaj jest przesądzone — niezależnie od tego, jaka będzie wartość zdania p — że powyższa alternatywa jest prawdziwa, a koniunkcja fałszywa, i to koniecznie. Innymi słowy — nie widać powo du, dla którego logiczna zasada wyłączonego środka i zasada sprzeczności miałaby tracić ważność przez wprowadzenie zdań niezdeterminowanych. Ludwik Borkowski uważa ten zarzut za nie do odparcia (Borkowski 1990). Uzupełniając zarzut dodaje on, że tezą logiki trójwartościowej Łukasiewicza jest formuła: (Mp a Mą) —> M(p a q), która «głosi», że jeśli dwa zdania są możliwe, to ich koniunkcja jest również możliwa. Jednakże jeśli np. zdanie p jest równoważne negacji q , to teza ta wydaje się w oczywisty sposób fałszywa. Borkowski proponuje następującą poprawę rachunku Łukasiewicza. Trzeba miano wicie pogodzić ze sobą dwa fakty: to, że alternatywa (oraz koniunkcja) dwóch zdań nieokreślonych «zazwyczaj» jest nieokreślona, z tym, że alternatywa zdania nieokreślo nego z jego negacją jest jednak zawsze prawdziwa, a koniunkcja — fałszywa. Bor kowski zauważa, że pogodzenie tych intuicji możliwe jest tylko na gruncie rachunku czterowartościowego. Wprowadza on zatem dwie wartości pośrednie pomiędzy prawdą a fałszem (oznaczmy je np. przez a i b), oraz przyjmuje następujące założenia: ( 1 ) jeśli zdanie ma wartość a, to jego negacja ma wartość _b_ ( 2 ) jeśli zdanie ma wartość b, to jego negacja ma wartość _a_ (3) alternatywa dwóch zdań o wartości a ma wartość a, a alternatywa zdań o wartości b ma wartość b (i to samo dla koniunkcji); (4) alternatywa zdań, z których jedno ma wartość a a drugie b, ma wartość 1, a koniunkcja 0. Łatwo sprawdzić, że w takim rachunku wspomniany wyżej paradoks nie zachodzi.

118 Tomasz Bigaj

da się wyprowadzić z intuicyjnych założeń filozoficznych, gdyż ( 2 ) jest on z tymi założeniami sprzeczny. Aby wzmocnić nieco tę ostatnią tezę, chciałbym rozważyć ogólnie następującą kwestię: czy założenie trój wartościowości daje podstawę do tego, aby kwestionować którąkolwiek z klasycznych tez logicznych? Sądzę, że nie, a jako argumentu można użyć mutatis mutandis argumentacji z zarzutu dotyczącego zdania p v ~p. Jeśli rozpatrzymy zdanie, będące podstawieniem dowolnej tautologii klasycz nego rachunku logicznego, to jasne jest przecież, że jest ono prawdziwe w dowolnej chwili czasu, niezależnie od tego, czy i jak zdeterminowane są zdania proste wchodzące w jego skład. Prawda ta zagwarantowana jest znaczeniem, jakie przypisujemy klasycz nym spójnikom logicznym. Widać, że Łukasiewicz przypisał spójnikom swojej logiki inny, nieklasyczny sens, ale jest zupełnie niejasne, dlaczego tak zrobił i jaki to ma związek z przyjęciem zasady trój wartościowości w miejsce zasady dwuwartościowości. Być może pewne światło na intuicje Łukasiewicza może rzucić przypomnienie słynnego fragmentu z Hermeneutyki Arystotelesa, poświęconego analizie zdań ,Jutro odbędzie się bitwa morska” i „Futro nie odbędzie się bitwa morska”. Arystoteles, jak wiadomo, wysuwa tam przypuszczenie, że żadne z powyższych zdań nie może mieć określonej klasycznej wartości logicznej, co zdaje się sugerować, że występował on przeciwko zasadzie wyłączonego środka. Rozpatrzmy bowiem zdanie: (a) Już dziś prawdą jest, że (jutro odbędzie się bitwa morska lub jutro nie odbędzie się bitwa morska), które jest uszczegółowieniem zdania p v ~p. Zdanie to, na gruncie klasycznego rachun ku logicznego, jest równoważne zdaniu: (b) Dziś prawdą jest, że jutro odbędzie się bitwa morska lub dziś prawdą jest, że jutro nie odbędzie się bitwa morska. Zdanie (b) jest natomiast fałszywe w świetle przytoczonego wyżej założenia o niezdeterminowaniu zdarzenia, polegającego na odbyciu się bitwy morskiej. Można stąd więc wyciągnąć wniosek o fałszywości zdania (a) i — co za tym idzie — niespełnieniu logicznej zasady wyłączonego środka. Jednakże nie jest to wniosek nie do odparcia. Można równie dobrze kwestionować równoważność zdań (a) i (b) argumentując, że wynika ona właśnie z zasady dwuwar tościowości, którą się tutaj podważa. Odrzucając zasadę dwuwartościowości, odrzuca my tym samym ową równoważność, tzn. możemy utrzymywać, że (b) jest fałszywe, podczas gdy (a) — nadal prawdziwe. Znamienne jest, że Łukasiewicz nie wybrał tego rozwiązania, tzn. uznał równoważność (a) i (b), a zatem był zmuszony uznać (a) za fałszywe. Podkreślam jednak, że nie jest to rozwiązanie, które by wynikało z koniecz nością z założenia o istnieniu trzech wartości logicznych.

Na zakończenie chciałbym naszkicować zarys pewnego rachunku trójwartościowe go, który — jak sądzę — nieco konsekwentniej realizuje filozoficzne intuicje Lukasie-

Uwagi o logice trójwartościowej (^) 119

wicza. Przyjmijmy zatem następujące założenia. Niech _p _ , pi, ... p n, — będą zdaniami, odnoszącym i się do pewnych jednostkow ych, w zajem nie niezależnych zdarzeń przyszłych. Zakładamy, że każde zdanie ma jedną z trzech wartości logicznych. Następująca procedura umożliwia określenie wartości logicznej zdań złożonych. Niech <x(pi, P 2 , ..., p„) będzie dowolnym zdaniem złożonym ze zdań prostych p \ , p 2 , ..., p n przy pomocy klasycznych spójników logicznych. Jeśli zdania p , p 2 , ..., p„ mają klasyczne wartości logiczne ( 0 , 1 ), to wartość a będzie obliczona tak samo, jak w logice klasycznej. Jeśli natomiast pewne zdania p,,, ..., p it mają wartość 1/2, to

postępujemy następująco. Rozpatrujemy mianowicie wszystkie możliwe podstawienia klasycznych wartości logicznych za zdania p,,, (wszystkie możliwe realizacje dziś

jeszcze niezdeterminowanych zdarzeń — zauważmy, że potrzebne jest tutaj założenie o wzajemnej niezależności tych zdarzeń) i obliczamy klasycznie wartości zdania a w każdym wypadku. Jeśli rezultat będzie zawsze taki sam (np. zawsze 0), to taka też będzie wartość końcowa zdania a. Jeśli natomiast wyniki będą różne, to przypisujemy zdaniu a wartość trzecią— 1 / 2. Zilustrujmy to przykładem. Niech zdanie a będzie zdaniem ( p v q) - * p. Klasyczne podstawienia pominiemy i rozpatrzymy tylko następujących pięć podstawień: ( 1 ) p = 1/2 q = 1; ( 2) p = 1/2 q = 0 - ( 3 ) p = l q = 1/2; (4 )p = 0 q = 1/2; (5) p = l / 2 q = 1/2. Dla podstawienia ( 1 ) możliwe są dwie «realizacje»: (la) p = 1 q = 1 i ( l b ) p = 0 g = 1. Łatwo policzyć, że w wypadku (la ) zdanie a ma wartość 1, a w wypadku (lb) — 0. Zatem dla podstawienia (1) a = 1/2. Podstawienie (2) rozbija się na (2b) p = 1 q = 0 i (2b) p = 0 <? = 0, które dają zawsze 1, a więc a = 1. Dalej: (3a) p = 1 q = 1 i (3b) p = \ q = 0 i dla obu podstawień a = 1. (4a ) p = 0 q = l, (4b ) p = 0 q = 0. Dla (4a) a = 0, dla (4b) a = 1, a więc ostatecznie a = 1/2.1 w ostatnim wypadku (5) łatwo sprawdzić, że skoro formuła a nie jest tautologią ani kontrtautologią logiki klasycznej, to muszą istnieć realizacje, przy których zdanie a będzie prawdziwe, i realizacje, przy których będzie ono fałszywe. Zatem a = 1/2. Rezultaty obliczeń można umieścić w tabelce:

p Q ( p v? ) - ) p 1/2 1 1/ 1/2 0 1 1 1/2 1 0 1/2 1/ 1/2 1/2 1/

Przekonajmy się, że w naszym rachunku znikają trudności, jakimi obciążona jest zwykła logika trójwartościowa. To, że formuły p v ~p i ~ (p a ~p) pozostaną prawdziwe

3 Pozostaw iam do sprawdzenia Czytelnikowi, że w rachunku Łukasiewicza wyniki podstawień (4) i (5) będą inne — w obu wypadkach wartość logiczna formuły a będzie równa 1.

J. Łukasiewicz 1969 - „Uwagi filozoficzne o wielowartościowych systemach rachunku zdań”, [w:] tegoż, Z zagadnień logiki i filozofii, PWN, Warszawa, s. 144-163. 1994 - „G eneza logiki trójwartościowej”, Filozofia Nauki, 3~4(7-8), s. 232-240. M. Nowak 1988 - „O możliwości interpretowania trójwartościowej logiki Łukasiewicza m etodą J. Słupeckiego”, A d a Universitatis Lodziensis, Folia Philosophica , 5, s. 3-13. J. Słupecki 1964 - „Próba intuicyjnej interpretacji logiki trójwartościowej Łukasiewicza”, [w:] Rozprawy logiczne, PWN, Warszawa, s. 185-191.

Uwagi o logice trójwartościowej 121