W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności], Publikacje z Kinematyka

Pobierz W1 Kinematyka punktu [tryb zgodności] i więcej Publikacje w PDF z Kinematyka tylko na Docsity! MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły 6. Podstawy dynamiki 7. Dynamiczne równania ruchu 8. Drgania punktu materialnego 9. Dynamika układu punktów materialnych 10.Momenty bezwładności 11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania 12. Zasady pracy i energii 13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego 14.Teoria uderzenia WPROWADZENIE
KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).
RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu. WPROWADZENIE W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na: • Kinematykę punktu materialnego • Kinematykę ciała sztywnego. Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu. Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą. Rys. 1 Tor punktu y x l l Tor krzywoliniowy x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t). Rys. 2 Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t (czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu punktu OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P Równania ruchu w postaci wektorowej Rys. 3 rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) (t)r r ρρ = Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej: Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu ∆t = t2 - t1, w którym punkt przebył drogę ∆s = P1P2 . Prędkość punktu materialnego Przyrost wektora promienia wynosi ∆r zatem” Rys. 4 Wektor prędkości można zapisać w postaci: kjiv ρ & ρ & ρ &ρ zyx ++= 222 zyx &&& ++=v którego moduł wynosi: Prędkość chwilowa W czasie ∆t = t2 - t1, wektor prędkości zmienia się z v1 na v2 . Przyspieszenie punktu materialnego Przyrost wektora prędkości wynosi ∆v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości ∆v przez przyrost czasu ∆t. Przyspieszenie chwilowe punktu =a ρ Wiedząc, że przyrost prędkości ∆v ma składowe ∆vx, ∆vy, ∆vz, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać Droga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego Rys. 6 czyli Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Ruch prostoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty). Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. Ruch krzywoliniowy zmienny Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego an prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości. Przyśpieszenie normalne Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wartość at jest określona w postaci: Przyśpieszenie styczne an≠0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym. an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy. Ruch jednostajny po okręgu W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,). v v v P3 P4 α r r vP1 P2an Rys. 13 Prędkość średnia punktu wyraża się jako Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii czyli P1 P2 P3 P4 Stosunek kąta α wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową. Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia Prędkość kątowa Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym ε=5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu. ω a at r v an Rozwiązanie: Dane: ε=5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s. Rozwiązanie: dla t=3s Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi: Moduł wektora przyśpieszenia: dla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne Rozwiązanie 2tw t tw –g 0 a(t) tw 2tw v(t) t v0 0 –v0 Rozwiązanie tw 2tw t s(t) h0 hmax Rozwiązanie Obliczymy ponadto czas wznoszenia: v0 Wyjdziemy z równania: x y Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: v(t) t v0 > 0 0 t0 v(t) t v0 < 0 0 t0 prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora. prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora. Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora. s(t) t0 t0 α tgα > 0 s(t) t0 t0 α tgα < 0 funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora. Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: wartości funkcji drogi dodatnie – punkt porusza się po jednej stronie obserwatora. s(t) t0 t0 α s(t) > 0 wartości funkcji drogi ujemne – punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora. s(t) t0 t0 s(t) < 0 Jak odczytywać z wykresu? Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo: 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): parabola wypukła – punkt przyspiesza. α1 α2 α2 α1 parabola wklęsła – punkt zwalnia. Przykład 5 Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykres a(t) oraz s(t). Wyznaczyć:  wartość przyspieszenia w każdym z przedziałów;  przebytą drogę na końcu każdego przedziału. Dane dodatkowe: s(0) = v1t1/2. Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: 0 < t < t1 α1 Prędkość ujemna, zatem punkt zbliża się do obserwatora. Rozwiązanie Wykres drogi od czasu: t1 2t1 t s(t) 0 2 v 11t 2 v 11t− s1(t) s2(t) Rozwiązanie Wykres przyspieszenia od czasu: t1 2t1 t a(t) 0 1 1v t − 1 1v t