W12 Zasada zachowania energii [tryb zgodności], Egzaminy z Mechanika

Pobierz W12 Zasada zachowania energii [tryb zgodności] i więcej Egzaminy w PDF z Mechanika tylko na Docsity! MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: Prawa strona jest gradientem funkcji , czyliΦ WEKTOR POLA SIŁ (1) (2) SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Cechy siły potencjalnego pola sił : a) Moduł siły jest równy b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, c) Siła ma zwrot od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału. Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względem y, drugiego względem x, otrzymamy: (4) WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Podobnie, różniczkując względem „przemiennych" kierunków układ równań (3), dochodzimy do następujących zależności: Z (4) wynika, że: (5) (6) Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było polem potencjalnym. W postaci wektorowej: (7) Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja wektora siły pola musi być równa zeru. WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił tworzą układ ortogonalny, i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału. j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej linii zamkniętej jest równa zeru CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Rys. 4 Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi Praca elementarna Potencjał pola sił ciężkości ma postać: (11) Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 (rys. 4) będzie równa Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi : (12) Pracę nazywamy energią potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi. mghU = PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Po gładkim torze porusza się punkt materialny o masie m. Rys. 5 Z zasady zachowania energii (15) wynika równość: a stąd (16) (17) Przykład 2 ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Największa wysokość zmax, którą osiągnie punkt materialny, otrzymamy v = 0, podstawiając do równania (17) (18) Wynika stąd, że: a) na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy założeniu toru gładkiego), b) maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi zmax (18), c) punkt materialny przejdzie przez wszystkie „garby„ toru, nie większe od wysokości zmax. Narciarz o masie m wystartował z punktu A (rys. poniżej) z prędkością początkową v0. Wyznaczyć jego prędkość w chwili, gdy znalazł się na dole zbocza (w punkcie C). Współczynnik tarcia kinetycznego nart o śnieg w każdym punkcie wynosił µ. Dane: s, h i α. PRZYKŁAD 3 2 1 Odp.: PRZYKŁAD 4 Z powierzchni ziemi wyrzucono pionowo w górę ciało z prędkością v0 = 10 m/s. Na wysokości h = 3 m energia potencjalna tego ciała wynosiła U = 15 J. Ile wynosiła na tej wysokości jego energia kinetyczna (do obliczeń przyjąć: g = 10 m/s2)? Pominąć opory ośrodka. Z zasady zachowania energii: Odp.: Kamień o masie 2 kg został wyrzucony pionowo do góry z prędkością początkową v0 = 10 m/s. Czy podczas lotu kamienia była zachowana energia mechaniczna, jeżeli wiadomo, że kamień osiągnął maksymalną wysokość równą 4 m? Przyjąć g = 9,81 m/s2. PRZYKŁAD 5 Z zasady zachowania energii powinno wynikać: Odp.: zasada zachowania energii nie była spełniona, ponieważ działały opory ośrodka. Z zasady pracy i energii: =−21A – praca siły tarcia T2 gdzie: Podstawiając: otrzymujemy: Skrzynię o masie m ciągniemy po chropowatym podłożu siłą o wartości F, nachyloną do poziomu pod kątem 30°. Obliczyć pracę wykonaną przy przemieszczeniu na odległość s przez siłę wypadkową działającą na skrzynię. Narysować wszystkie siły. Współczynnik tarcia skrzyni o podłoże wynosi µ. Znaleźć też prędkość końcową skrzyni po czasie ∆t, jeżeli skrzynia ruszyła bez prędkości początkowej. Dane: m, F, α = 30°, s, µ, ∆t Szukane: W, v1 PRZYKŁAD 7 Wypadkowa: Rozwiązanie – równanie równowagi, gdyż ruch odbywa się tylko wzdłuż osi x. Ponieważ nie ma tutaj sił zewnętrznych, stosujemy zasadę zachowania energii: Rozwiązanie Energię potencjalną liczymy względem położenia [2]: Ponadto: Zatem: RÓWNOWAGA Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej. (19) Rozróżniamy: równowagę stałą, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony z położenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi, równowagę chwiejną, która zachodzi w ,położeniu, w którym nawet dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe od tego położenia równowagi, równowagę obojętną, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.