Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Społeczność
Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity
Bezpłatne poradniki
Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity
Podręcznik dla uczniów
Typologia: Poradniki, Projekty, Badania
1 / 42
Ta strona nie jest widoczna w podglądzie
Nie przegap ważnych części!
Politechnika Gdańska, Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej ul. Narutowicza 11/12, 80-233 Gdańsk, tel. +48 58 348 63 70 http://e-doswiadczenia.mif.pg.gda.pl „e-Doświadczenia w fizyce” – projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Wahadło matematyczne
Niniejsze e-doświadczenie poświęcone zostało zagadnieniom związa- nym z wahadłem matematycznym. Za jego pomocą będziemy mo- gli np. badać okres podstawowy drgań wahadła oraz zaobserwować zmiany energii kinetycznej i potencjalnej. W trakcie doświadczeń poznamy także jeden z wielu sposobów na wyznaczenie przyspie- szenia grawitacyjnego. Wirtualne e-doświadczenie umożliwi nam także obserwacje wahadła matematycznego w warunkach, w któ- rych nie moglibyśmy się znaleźć w świecie rzeczywistym, np. na innych planetach. Zanim jednak przystąpimy do rozwiązywania za- równo realnych (jak i wirtualnych) problemów fizycznych, należy się kilka słów wstępu.
Wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne to kulka zawieszona swobodnie na nici. Założeniem modelu wahadła matematycznego jest to, aby kulka była punktowa, a cała masa wahadła skupiała się właśnie w niej. Nić, na której, zawieszona jest kulka w założeniu jest nieważka, (co oznacza, że zaniedbujemy jej masę) oraz jest nierozciągliwa, (nie zmienia swojej długości).
Czy rzeczywistość można opisać modelem w sposób doskonały?
Wzory np. na okres podstawowy drgań wahadła matematycznego zostały wyznaczone właśnie przy powyższych założeniach. Ale czy w rzeczywistości istnieje obiekt, który odpowiada takiemu mode- lowi? Odpowiedź brzmi: oczywiście, że nie. Zatem model ten nie odzwierciedla dokładnie rzeczywistości, a może być jedynie jej przy- bliżeniem. Czy powinniśmy się zatem tym przejmować i czy można za pomocą modelu dokładnie opisać rzeczywistość? Aby odpowie- dzieć na to pytanie posłużymy się cytatem Laplace’a.
Postulat Laplace’a „Umysł, który by znał siły działające w danej chwili w przyro- dzie oraz wzajemne położenie wszystkich istotności, z których ona się składa, gdyby zdołał ująć je i poddać analizie – w jednym wzo- rze zawarłby ruchy największych ciał niebieskich i najdrobniejszych atomów. Nie byłoby dla niego nic niepewnego i zarówno przyszłość, jak i przeszłość świata byłyby obecne dla jego oka...”
Okres podstawowy drgań wahadła matematycznego
Okres podstawowy drgań wahadła jest to czas potrzebny na wyko- nanie jednego pełnego wahnięcia, czyli czas jaki upływa pomiędzy znalezieniem się wahadła w danym punkcie, a ponownym dotarciem do tego punktu.
Jak prawidłowo zmierzyć okres podstawowy drgań waha-
Pomiar czasu jednego pełnego wahnięcia
" Proponujemy na początek zmierzyć okres podstawowy czyli czas jednego wahnięcia wahadła. Do tego doświadczenia potrzebne nam będzie wahadło suwakowe oraz kulka. " Przyczepiamy kulkę do nitki, która przymocowana jest do sta- tywu. " Ustalamy długość nici oraz kąt wychylenia i naciskamy ZAAK- CEPTUJ USTAWIENIA. " Aby uruchomić wahadło, naciskamy URUCHOM. " Po jednym pełnym okresie zatrzymujemy stoper i wynik zapi- sujemy do tabeli. " Postarajmy się teraz jak najdokładniej przeprowadzić ponownie to samo doświadczenie. Mierząc pełne okresy, za każdym razem za- pisujemy wynik w tabeli. Doświadczenie powtarzamy przynajmniej 5 razy. " Następnie przyjrzyjmy się otrzymanym wynikom i odpowiedzmy sobie na pytanie: czy udało nam się dokładnie powtórzyć doświad- czenie, czyli czy otrzymane pomiary okresu podstawowego są równe? " Czy twoim zdaniem odchylenia od poszczególnych zmierzonych w ten sposób wielkości są duże czy małe? " Jak uważasz, skąd biorą się te odchylenia i jakie czynniki mają wpływ na dokładność wykonanych pomiarów. " Zastanówmy się, czy istnieją bardziej dokładne sposoby na zmie- rzenie okresu podstawowego?
Pomiar czasu dziesięciu pełnych wahnięć
" Teraz proponujemy zmierzyć czas dziesięciu pełnych wahnięć. " Do tego celu używamy tego samego wahadła z tymi samymi
parametrami. " Po dziesięciu pełnych okresach zatrzymujemy stoper, wynik dzielimy przez 10 i zapisujemy do tabeli. " Powtarzamy doświadczenie przynajmniej 5 razy. " Teraz przyjrzyjmy się otrzymanym wynikom i odpowiedzmy sobie na pytanie: czy odchylenia od poszczególnych zmierzonych w ten sposób okresów podstawowych się zmniejszyły? " Czy można powiedzieć, że pomiar okresu podstawowego w ten sposób daje dokładniejsze rezultaty?
Celem poniższych doświadczeń będzie poznanie podstawowych za- leżności, opisujących ruch wahadła matematycznego. Sprawdzimy, czy i w jaki sposób okres podstawowy drgań wahadła zależy od tego, jakie zastosujemy ciężarki, długości nici, czy kąt wychylenia. Postaramy się także odpowiedzieć na pytanie, jakiego typu są to zależności. By móc rozpocząć doświadczenie, powinniśmy najpierw zbudować odpowiedni zestaw doświadczalny. Na początku warto się więc zastanowić, co dokładnie chcemy zrobić. Czy tylko stwierdzić, że ewentualne zależności istnieją, czy może przeprowadzić badania na tyle dokładne i dobrze przemyślane, by móc wyznaczyć odpo- wiednie zależności?
Czy okres podstawowy drgań wahadła matematycznego za- leży od masy zawieszonego ciężarka, długości nici i małych Ćwiczenie 2 kątów wychylenia?
Zacznijmy od samego stwierdzenia (jakościowego), czy zmieniając odpowiednie parametry wahadła, jesteśmy w stanie zaobserwować istotne różnice w jego zachowaniu. Zanim zaczniemy konstruować układ, warto poczynić jeszcze jedną uwagę. Gdy przeprowadzamy badania porównawcze, często jedynym dla nas wyznacznikiem tego, czy dwa układy zachowują się różnie, jest nasze oko. Czasem jednak zmiany mogą być praktycznie niezauważalne. By jednak zapewnić sobie jak największe szanse zauważenia ewentualnych różnic, po- winniśmy w ramach doświadczenia zadbać o jak największe zróżni- cowanie danego parametru. Po tych uwagach jesteśmy już gotowi przystąpić do doświadczenia.
Zależność okresu drgań własnych wahadła od długości linki
" Do tego doświadczenia potrzebne będą dwa wahadła suwakowe oraz dwie kulki o identycznej masie. " Przyczepiamy kulki do nici, które z kolei przymocowane są do statywów. Pojawi się możliwość określenia długości linek (za pomocą suwaka „linka”). Ustalmy je tak, by różnica ich długości
W jaki sposób okres podstawowy drgań wahadła matema- tycznego zależy od masy zawieszonego ciężarka, długości Ćwiczenie 3 nici i małych kątów wychylenia?
Do tej serii doświadczeń będziemy potrzebowali jednego (odpowied- nio przygotowanego) wahadła.
Zależność okresu drgań własnych wahadła od długości linki
" Ze zbioru narzędzi wybierzmy wahadło suwakowe i kulkę. " Ustalamy długość linki. " Wychylamy wahadło o dany kąt (np. 8°). " Dokonujemy pomiaru okresu wahadła (tak jak to było wyko- nane w Ćwiczeniu 1). Powyższą procedurę wykonujemy co najmniej 5 razy dla różnych długości nici (zachowując taki sam kąt wychyle- nia oraz masę kulki), zaczynając od najdłuższej, zmniejszając suk- cesywnie po każdym pomiarze długość linki o 10 cm. Otrzymane wyniki przedstawmy na wykresie T ( l ) (okres drgań wahadła w za- leżności od długości nici). " Zastanów się, w jaki sposób zmienia się okres podstawowy w zależności od długości nici. Jakiego rodzaju krzywą możesz dopa- sować do otrzymanych wyników?
Zależność okresu drgań własnych wahadła od masy wahadła
" Ze zbioru narzędzi wybieramy wahadło suwakowe i kulkę. " Ustalamy długość linki. " Wychylamy wahadło o dany kąt (np. 8°). " Dokonujemy pomiaru okresu wahadła. " Powyższą procedurę powtarzamy co najmniej 5 razy dla róż- nych mas kulki (zachowując taką samą długość wahadła oraz kąt wychylenia wahadła). W trakcie doświadczenia powinniśmy skorzy- stać z jak najszerszego zakresu mas. " Otrzymane wyniki przedstawiamy na wykresie T ( m ) (okres drgań wahadła w zależności od masy wahadła). " Zastanów się, jak zmienia się okres wahadła w zależności od masy wahadła. Jakiego rodzaju krzywą możesz dopasować do otrzy- manych wyników?
Zależność okresu drgań własnych wahadła od kąta wychylenia
" Ze zbioru narzędzi wybierzmy wahadło suwakowe i kulkę, " Ustalamy długość linki. " Wychylamy wahadło o dany kąt. " Dokonujemy pomiaru okresu wahadła. " Powyższą procedurę powtarzamy co najmniej 5 razy dla różnych kątów wychylenia wahadła (zachowując taką samą długość waha- dła oraz masę kulki). Zaczynamy od wychylenia 8°, zmniejszając
wychylenie o 2° na każdy pomiar okresu. " Otrzymane wyniki przedstawiamy na wykresie T ( θ 0 ) (okres drgań wahadła w zależności od kąta wychylenia wahadła). " Zastanów się, jak zmienia się okres wahadła w zależności od kąta wychylenia wahadła. Jakiego rodzaju krzywą możesz dopasować do otrzymanych wyników?
W trakcie poprzednich doświadczeń, zawsze kładziony był nacisk na to, by wychylać wahadło o mały kąt (do 8°). Co bardziej do- ciekliwy uczeń spróbował zapewne wychylić wahadło ponad zakres „małych kątów”. Wykonując takie doświadczenie, można dojść do wniosków zgoła innych niż te, które wyciągnęliśmy wykonując Ćwi- czenie 2. Otóż okazuje się, że okres drgań wahadła rzeczywiście za- leży od tego, o jaki kąt wahadło zostało wychylone, o ile jest on dostatecznie duży. By to pokazać, potrzebna jest niestety wiedza wykraczająca daleko poza program nauczania w szkole ponadgim- nazjalnej. Dlatego też ograniczymy się w tym przypadku tylko do jakościowych obserwacji.
Okres podstawowy drgań wahadła dla większych kątów wychylenia
Dla zaspokojenia ciekawości co bardziej zainteresowanych uczniów, poniżej przedstawiamy wzór opisujący okres drgań wahadła:
T = 2 π
√ l g
( 1 +
) 2 sin^2
( θ 0 2
)
) 2 sin^4
( θ 0 2
)
) .
(2.1) Co można również zapisać jako:
T = 2 π
√ l g
∑^ ∞
n =
( (2 n )! (2 nn !)^2
) 2 sin^2 n
( θ 0 2
) (^) , (2.2)
gdzie: l – długość wahadła, g – przyspieszenie grawitacyjne, θ 0 – wychylenie początkowe wahadła.
Z powyższych wzorów widać (gdy przemnożymy wszystkie elementy sumy wewnątrz nawiasu przez czynnik poza nawiasem), że postać pierwszego członu sumy, jest dokładnie taka sama, jak wzór na okres drgań wahadła, który poznaliśmy wcześniej. Po głębszej analizie można się również przekonać, że dla małych kątów wychylenia po- czątkowego, kolejne elementy sumy są bardzo małe w porównaniu z pierwszym elementem. Dla przykładu, zobaczmy jak nasz wzór będzie wyglądał gdy przyjmiemy następujące dane dla wahadła: l = 1 m; g = 9,8 m/s^2 ; θ 0 = 5°. Obliczmy teraz wartości pierwszych trzech elementów sumy:
Jaki błąd popełniamy stosując wzór T = 2 π
√ l g
dla więk-
Ćwiczenie 5 szych kątów wychylenia?
Gdy już przeprowadziliśmy wstępne badania jakościowe, spróbujmy wyciągnąć wnioski bardziej konkretne.
" Do skonstruowania układu potrzebne będą:
Podsumowanie rozdziału
Na koniec zastanówmy się jeszcze raz nad całym zagadnieniem i nad tym co udało nam się wykazać. Za pomocą doświadczenia pokazali- śmy, że wzór na okres podstawowy drgań wahadła matematycznego T = 2 π
√ l g poprawny jest tylko dla małych kątów wychylenia po- czątkowego. Warto też zdać sobie sprawę z tego, że układ pełni rolę tzw. oscylatora harmonicznego tylko wtedy, gdy można zastosować podstawowy wzór na okres wahadła tj. dla małych wychyleń po- czątkowych. Informacja ta ma dość daleko idące konsekwencje w fi- zyce i technice, o których nie będziemy tu wspominać. Pokazaliśmy również, że w rzeczywistości okres drgań wahadła zależy od wychy- lenia początkowego. Niemniej jednak błąd, jaki popełniamy przy korzystaniu ze wzoru podstawowego jest tym mniejszy, im mniej- szy jest początkowy kąt wychylenia. Jak to zostało pokazane na przykładzie, dla θ 0 = 5°, popełniony błąd wynosi około 0,12.
Przed przystąpieniem do doświadczeń zastanówmy się, jaką wielko- ścią jest przyspieszenie grawitacyjne Ziemi. Z pewnością nie jest to wielkość fizyczna którą możemy zmierzyć linijką – jak długość, czy też stoperem – jak czas.
Wielkości fizyczne mierzalne pośrednio i bezpośrednio
Takie wielkości fizyczne, które można zmierzyć wprost przy uży- ciu jednego przyrządu, nazywamy wielkościami mierzalnymi bezpo- średnio. Niestety, nie ma takiego przyrządu, który pozwoli nam bez- pośrednio zmierzyć stałą przyspieszenia grawitacyjnego. Co więcej, nie jest to wielkość, którą można bezpośrednio dotknąć, czy choćby zobaczyć. Wniosek: przyspieszenie grawitacyjne nie jest wielkością mierzalną bezpośrednio. Nie oznacza to oczywiście, że doświadczal- nie w ogóle nie można jej zmierzyć. Jeśli tylko istnieje zależność pomiędzy przyspieszeniem grawitacyjnym a innymi wielkościami, które można zmierzyć bezpośrednio w prosty sposób, to możemy to zrobić. Wielkości fizyczne, które mierzymy w ten właśnie sposób nazywane są wielkościami mierzalnymi pośrednio. Aby je zmierzyć, trzeba najpierw zmierzyć wielkości mierzalne bezpośrednio, a na- stępnie skorzystać ze wzoru, który łączy wszystkie te wielkości.
Jak w prosty sposób zmierzyć przyspieszenie grawitacyjne Ziemi
Tak właśnie postąpimy w tym doświadczeniu. Zmierzymy wartość przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi poprzez pomiar wielkości, które zmierzyć łatwo. Wzór na okres podstawowy drgań wahadła mate- matycznego dla małych kątów wychylenia T = 2 π
√ l g łączy trzy wielkości fizyczne: długość linki i okres podstawowy drgań tego wahadła, które zmierzyć łatwo, z przyspieszeniem grawitacyjnym, do pomiaru którego nie mamy bezpośredniej aparatury. Zatem, w tym doświadczeniu naszymi wielkościami mierzalnymi bezpośred- nio będą: długość linki wahadła matematycznego, którą możemy w prosty sposób zmierzyć za pomocą linijki i okres podstawowy drgań wahadła, który możemy zmierzyć za pomocą stopera.
" Wyznaczamy średnią arytmetyczną z otrzymanych wartości przyspieszenia grawitacyjnego. Będziemy ją oznaczać gsr. " Porównujemy nasz wynik gsr z wartością tablicową. Najpraw- dopodobniej nie zgadza się on z nią w 100%, jednak jest do niej dość zbliżony. " Teraz musimy oszacować niepewności pomiarowe. W naszym doświadczeniu wynikają one z niedokładnego wyznaczenia długości linki i okresu podstawowego wahadła. Przyjmijmy, że niepewność pomiaru długości linki to 1 mm, bo taka jest właśnie skala na li- nijce. Oznaczamy ją ∆ l = 0,001 m. Przyjmijmy, że niepewność pomiaru 10 okresów podstawowych to 1 s. Można powiedzieć, że dokładność pomiarów w tej sytuacji jest uzależniona od naszych obserwacji i czasu reakcji, więc możliwe jest zatrzymanie stopera sekundę za szybko lub za późno. Zatem niepewność pojedynczego pomiaru okresu podstawowego wynosi 0,1 s i będziemy go oznaczać ∆ T = 0,1 s. " Znając niepewności pomiaru długości linki i okresu podstawo- wego, możemy wyznaczyć niepewność wyznaczonej wartości przy- spieszenia ziemskiego, która wyraża się wzorem: ∆ gsr =
gsr l
∆ l + 2
gsr T
" Teraz możemy zapisać wartość otrzymanego pomiaru z uwzględ- nieniem niepewności: g = gsr ± ∆ gsr.
Analiza wyników i wnioski z ćwiczenia
" Sprawdź czy otrzymana wartość wyznaczonego doświadczalnie przyspieszenia grawitacyjnego gsr nie odbiega od wartości tablico- wej więcej niż o ∆ gsr. Jeśli doświadczenie nie wyszło poprawnie, wykonaj je jeszcze raz. Sprawdź czy:
Zastanów się " Który czynnik ma większy wpływ na dokładność wyniku: nie- dokładne wyznaczenie okresu podstawowego, czy niedokładne zmie- rzenie długości linki wahadła? " Czy można powyższe doświadczenie przeprowadzić w warun- kach domowych? Jeśli tak, to jakich potrzebujemy przedmiotów do zmierzenia wartości przyspieszenia ziemskiego? " Na czym polega różnica pomiędzy doświadczeniem przeprowa- dzonym wirtualnie przy pomocy zestawu e-doświadczeń, a doświad-
czeniem przeprowadzonym w rzeczywistym świecie? Jak uważasz, w którym przypadku pomiary przeprowadzane są dokładniej i dla- czego?
pociągu, skoro jest z nim związany, zauważa natomiast, że mucha oddala się względem niego. A co stanie się z naszą muchą? Całe szczęście nic, w końcu na potrzebę tego eksperymentu wyobrazili- śmy sobie nieskończenie długi wagon, więc nie zderzy się ze ścianą kończąca skład pociągu.
Z czego wynikają siły pozorne?
Przejdźmy teraz do zasad dynamiki Newtona. Jeżeli na początku naszego eksperymentu myślowego pociąg nie poruszał się, oznacza to, zgodnie z I zasadą dynamiki, że nie działały na niego siły wpra- wiające go w ruch, bądź siły te równoważyły się. Gdy pociąg rusza, z II zasady dynamiki wiemy, że przynajmniej na początku musi działać na niego niezrównoważona siła skierowana zgodnie z jego kierunkiem ruchu, a pociąg porusza się z przyspieszeniem, które będziemy oznaczać ~ap. Zatem, nasz pierwszy obserwator stojący na peronie zauważy, że pociąg porusza się z przyspieszeniem ~ap. Nasz drugi obserwator zauważy natomiast, że mucha porusza się z przyspieszeniem −~ap. Skoro tak jest, to z II zasady dynamiki może dojść do wniosku, że na muchę działa pewna niezrównoważona siła. Można powiedzieć, że naszemu drugiemu obserwatorowi pozornie wydaje się, że na muchę działa siła, a jest tak, ponieważ jest on związany z pociągiem poruszającym się z przyspieszeniem.
Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia
Teraz pomówmy chwilę o układach odniesienia. W naszym ekspe- rymencie myślowym mieliśmy do czynienia z dwoma różnymi ukła- dami. Układem związanym z naszym pierwszym obserwatorem (nie poruszającym się z przyspieszeniem) i układem związanym z dru- gim obserwatorem (w poruszającym się z przyspieszeniem pociągu). Taki układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlega- jące zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia, nazywamy układami inercjalnymi. Natomiast układ odniesienia, który porusza się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek innego układu inercjalnego nazywamy układem nie- inercjalnym. Zatem możemy powiedzieć, że nasz pierwszy obserwa- tor jest obserwatorem inercjalnym, natomiast drugi obserwator (po ruszeniu pociągu) jest obserwatorem nieinercjalnym. Siły bezwładności Jak już ustaliliśmy w naszym eksperymencie, obserwator nieiner- cjalny związany z przyspieszającym pociągiem zauważy, że na mu- chę działa siła. Nie będzie jednak wiedział jakie jest źródło tej siły, ponieważ dla niego jest to jedynie siła pozorna, która wynika z tego, że siedzi on w przyspieszającym pociągu. Taką pozorną siłę, która pojawia się w nieinercjalnym układzie odniesienia, nazywamy siłą bezwładności. Potrzeba jeszcze zaznaczyć, że siła bezwładno- ści działająca na ciało o masie m , znajdujące się w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającym się z przyspieszeniem ~a , wyraża
się wzorem: F~b = −m~a (4.1) Minus we wzorze (4.1) oznacza, że zwrot siły bezwładności jest przeciwny do zwrotu przyspieszenia układu.
Kiedy wyczuwamy siły bezwładności?
Na razie na potrzebę naszego eksperymentu założyliśmy, że obser- wator drugi (nieinercjalny), jest „mocno związany” z pociągiem. Dotychczas nasz drugi obserwator był wyidealizowany na potrzebę naszego eksperymentu myślowego. Tak się składa, że gdyby nie trzy- mał się mocno poręczy fotela to także odczułby działanie sił bez- władności. Jeżeli stoimy w pociągu i mamy pewną swobodę ruchu, to w momencie ruszania pociągu odczuwamy siłę bezwładności i gdybyśmy nie trzymali się poręczy i nie działała by np. siła tarcia powierzchni naszych butów o podłoże to... Zapewne każdy z nas do- świadczył uczucia „wciśnięcia w podłogę” w momencie, kiedy winda rusza do góry. To właśnie działanie siły bezwładności, a uczucie to jest związane z tym, że znajdujemy się w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającej się z przyspieszeniem windy.
W e-doświadczeniu „Wahadło matematyczne” możemy skorzystać z możliwości umieszczenia naszego laboratorium w poruszającej się windzie lub pociągu. Możemy to zrobić wybierając ikonę „Wa- runki fizyczne” a następnie zakładkę UKŁAD ODNIESIENIA. Aby sprawdzić, jak zachowuje się wahadło w windzie poruszającej się ze stałym przyspieszeniem, powinniśmy zbudować nasz zestaw do- świadczalny tak jak w pozostałych ćwiczeniach. Przyspieszenie windy możemy ustalić podczas budowania wahadła, w tym samym miejscu co długość linki oraz kąt wychylenia. Możemy też wybrać kierunek z jakim skierowana jest siła, wybierając dodatnie albo ujemne war- tości przyspieszenia.
Wahadło matematyczne w windzie
Na wahadło matematyczne (przyjmujemy na razie, że się nie waha, a kulka zwisa na nitce) w windzie poruszającej się z pewnym przy- spieszeniem w górę lub w dół, także działa siła bezwładności. Za- stanówmy się, jaka siła działa na kulkę zawieszoną na nici, jeśli na windę działa siła skierowana przeciwnie do siły grawitacyjnej, czyli w górę. Jeśli winda nie poruszała się, to od chwili przyłożenia siły zacznie poruszać się w górę z przyspieszeniem, które oznaczymy ~aw. Stąd, na kulkę działa (poza siłą grawitacji) siła pozorna, określona wzorem F~b = −m~aw (4.2) Jeszcze raz zwróćmy uwagę na to, że siła ta jest skierowana prze- ciwnie do siły wprawiającej w ruch windę. Załóżmy, że winda porusza się z przyspieszeniem ~aw w górę i działa
ruchem pociągu. To właśnie siła bezwładności spowoduje odchyle- nie wahadła od pionu o kąt θ w kierunku przeciwnym do kierunku przyspieszenia pociągu. Przypatrzmy się rysunkowi obok: na jego podstawie możemy zapisać wzór określający tg θ :
tg θ =
x y
W tym przypadku w kierunku osi x działa siła bezwładności, a siła grawitacji w kierunku osi y. Możemy zatem wyznaczyć wychylenie jako
tg θ = −ap/g. (4.6) W naszym doświadczeniu płaszczyzna wahań będzie wyznaczona przez wektory siły bezwładności i siły grawitacyjnej.
Ćwiczenie 8 Wahadło matematyczne w pociągu
" Załóżmy, że jesteśmy w pociągu poruszającym się ze stałym przyspieszeniem. Czy mając pod ręka wahadło matematyczne, jesteś- my w stanie zmierzyć wartość przyspieszenia z jakim porusza się pociąg? " Załóżmy, że jesteśmy w pociągu poruszającym się ze stałym przyspieszeniem, którego wartość znamy. W jaki sposób należy wy- chylić wahadło, aby pozostało ono w stanie równowagi (nie wahało się)? " Załóżmy, że jesteśmy w pociągu poruszającym się ze stałym przyspieszeniem, w wagonie w którym nie ma okien. Czy jesteśmy w stanie określić kierunek poruszania się pociągu? " Czy gdyby wahadło było zawieszone na suficie w pociągu, mak- symalna możliwa amplituda wahań dla przypadku, w którym po- ciąg nie porusza się i dla przypadku, w którym pociąg porusza się z przyspieszeniem ap jest taka sama? " Jak myślisz, czy pociąg może poruszać się ze stałym przyspie- szeniem w nieskończoność, nawet jeśli istniał by nieskończenie długi tor? Co odróżnia wirtualne e-doświadczenie od realnego doświad- czenia? Jakie mamy ograniczenia w rzeczywistym świecie?
Energia mechaniczna
Całkowita energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i energii kinetycznej. W przypadku wahadła matematycznego, mo- żemy wyrazić ją wzorem:
Ec = Ek + Ep, (5.1)
przy czym Ek =
mv^2 , (5.2)
jest energią kinetyczną, natomiast
Ep = mgh, (5.3)
energią potencjalną pola grawitacyjnego w pobliżu Ziemi.
Z energią związana jest zasada zachowania. Mówi ona, że całkowita energia układu jest stała, jeżeli nie działają na nie dodatkowe siły lub siły te równoważą się. Konsekwencją tej zasady jest to, że ener- gia mechaniczna nie ginie, ale energia potencjalna może przechodzić w kinetyczną i odwrotnie. Oznacza to, że energia kinetyczna i po- tencjalna wahadła matematycznego, na które nie działają żadne dodatkowe siły oporu, może się zmieniać w czasie, ale całkowita energia mechaniczna już nie.
Jak pobrać energię potencjalna do tabeli?
Zastanówmy się, co jest potrzebne do policzenia poszczególnych energii oraz jak uzyskać te pomiary w przypadku naszego e-doświad- czenia. Przypatrzmy się najpierw energii kinetycznej. Patrząc na wzór energii kinetycznej 5.2 widać, że zawiera on masę m oraz prędkość v. W przypadku wahadła matematycznego jest to masa i prędkość kulki. E-doświadczenie „Wahadło matematyczne” daje nam możliwość pobrania do tabeli lub wykresu wartości składowych prędkości vx ( t ) i vy ( t ) w danej chwili czasu przy pomocy funkcji sto- pera, przy czym vx jest składową prędkości w kierunku x , a vy skła- dową prędkości w kierunku y. Aby wyznaczyć prędkość wypadkową v , powinniśmy skorzystać ze wzoru:
v =
√ v x^2 + v^2 y. (5.4)
