Pobierz Wartości i wektory własne - twierdzenia, ćwiczenia, przykłady i więcej Skrypty w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
Rozdział 7
Wartości i wektory własne
Niech X będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X → X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowym przekształ- cającym przestrzeń liniową w nią samą.
Definicja 7.1. Skalar λ ∈ F nazywamy wartością własną endomorfizmu f jeżeli istnieje niezerowy wektor v ∈ X , taki że f ( v ) = λv ; (7.1)
wektor v nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ.
Zachodzi następujące
Twierdzenie 7.1. Dla endomorfizmu f : X → X następujące warunki są równoważne:
(a) λ jest wartością własną f; (b) ker ( f − λ id X ) 6 = { 0 } ; (c) det ( Af − λI ) = 0 ; gdzie Af jest macierzą endomorfizmu f (w dowolnej bazie prze- strzeni X ). Ponieważ każda macierz kwadratowa A ∈ F n×n^ wyznacza naturalny endomorfizm
f : F n^3 v → f ( v ) = Av ∈ F n;
zatem pojęcia wartości własnej oraz wektora własnego w sposób naturalny przenoszą się na macierze.
Definicja 7.2. Skalar λ ∈ F nazywamy wartością własną macierzy A ∈ F n×n^ jeżeli ist- nieje niezerowy wektor v ∈ F n, taki że
Av = λv ;
wektor v nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ.
Zbiór wszystkich wartości własnych macierzy A oznaczamy σ ( A ) i nazywamy widmem macierzy A. Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 7.2. Dla macierzy A ∈ F n×n^ następujące warunki są równoważne:
(a) λ jest wartością własną A; (b) układ równań ( A − λI ) v = 0 ma niezerowe rozwiązanie; (c) det ( A − λI ) = 0_._ Dla dowolnej macierzy A ∈ F n×n^ odwzorowanie 'A ( λ ) = det ( A − λI ) jest wielo- mianem stopnia n (ćwiczenie), którego pierwiastkami są wartości własne macierzy A. Wielomian 'A nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
Uwaga 7.1. Jeżeli elementy macierzy A ∈ F n×n^ należą do ciała F ; które jest algebraicznie domknięte (tzn. każdy wielomian stopnia n o współczynnikach z ciała F ma n pierwiastków w ciele F ) to macierz A posiada n wartości własnych (liczonych z krotnościami). Jeżeli natomiast elementy macierzy są elementami ciała, które nie jest algebraicznie domknięte (takim ciałem jest na przykład ciało liczb rzeczywistych!), to macierz ta może nie mieć wartości własnych (zob. przykład 7.4 poniżej).
Przypuśćmy, że λ 1 ; : : : ; λn ∈ σ ( A ) są wartościami własnymi macierzy A ∈ F n×n. Wów- czas, wielomian charakterystyczny 'A macierzy A możemy zapisać w postaci
'A ( λ ) = anλn^ + an− 1 λn−^1 + : : : + a 1 λ + a 0 = an ( λ − λ 1 )^ · · · ( λ − λn )^ :
Łatwo wykazać, że an = ( − 1) n^ oraz, uwzglęniając wzory Vi`ete’a,
λ 1 · : : : · λn = a 0 = det A; λ 1 + : : : + λn = ( − 1) n +1^ an− 1 = tr ( A ) ;
gdzie tr ( A ) = a 11 + : : : + ann to ślad macierzy A.
Własności widma macierzy ( A ∈ F n×n ) :
a) λ ∈ σ ( A ) ; k ∈ N ⇒ λk^ ∈ σ
Ak^
b) λ ∈ σ ( A ) , det A 6 = 0 ⇒ λ−^1 ∈ σ
A−^1
c) λ ∈ σ ( A ) , α ∈ F ⇒ αλ ∈ σ ( αA ) ; d) λ ∈ σ ( A )^ ⇒ λ ∈ σ ( A∗ )^ (w szczególności: λ ∈ σ ( A )^ ⇒ λ ∈ σ
AT^
Ćwiczenie Uzasadnić powyższe własności.
Przykład 7.1. Wyznaczymy wartości oraz wektory własne macierzy
A =
Ponieważ 'A ( λ ) = det ( A − λI ) = − (1 − λ ) (2 − λ ) (1 + λ ) ; zatem macierz A ma trzy różne wartości własne: λ 1 = − 1 ; λ 2 = 1 ; λ 3 = 2 : Dla każdej z nich wyznaczymy wektor własny:
- dla λ 1 = − 1 mamy:
x y z
2 x + 2 y 3 y − 2 x − 2 y
skąd otrzymujemy ( x; y; z ) = (0 ; 0 ; t ) ; t ∈ R ; przykładowy wektor własny vλ 1 = (0 ; 0 ; 1) T^ ;
7.2. Podprzestrzeń własna
Oznacza to, na podstawie definicji macierzy odwrotnej, że
A−^1 =
A^2 − A + 6 I 3
7.2. Podprzestrzeń własna
Niech A ∈ F n×n^ oraz niech λ ∈ σ ( A ) : Zbiór
Vλ = {v ∈ F n^ : Av = λv}
składa się z 0 oraz wszystkich wektorów własnych odpowiadających wartości własnej λ. Ponieważ Vλ = ker {x → ( A − λI ) x} zatem zbiór ten – jako jądro endomorfizmu – jest podprzestrzenią liniową przestrzeni F n ; jest to tak zwana podprzestrzeń własna macierzy A (ew. podprzestrzeń własna endomorfizmu wyznaczonego przez macierz A ) odpowiadająca wartości własnej λ.
Przykład 7.3. Ponieważ macierz z przykładu 7.1 ma trzy różne wartości własne, zatem możemy dla niej wyznaczyć trzy podprzestrzenie własne:
Vλ 1 =
( x; y; z ) ∈ R^3 : x = y = 0 ; z = t; t ∈ R
Vλ 2 =
( x; y; z ) ∈ R^3 : x = t; y = 0 ; z = −t; t ∈ R
Vλ 3 =
( x; y; z ) (^) ∈ R^3 : x = 2 t; y = t; z = − 2 t; t ∈ R
Udowodnimy teraz twierdzenie, z którego wynika bardzo ważna własność podprzestrzeni własnych odpowiadających różnym wartościom własnym.
Twierdzenie 7.4. Różnym wartościom własnym macierzy A ∈ F n×n^ odpowiadają liniowo niezależne wektory własne.
Dowód: Niech λ 1 ; : : : ; λk ( k ≤ n ) będą różnymi wartościami własnymi macierzy A; a vi ∈ Vλi ( i = 1 ; : : : ; k ) odpowiadającymi im wektorami własnymi. Należy wykazać warunek
α 1 v 1 + : : : + αk vk = 0 ⇒ α 1 = : : : = αk = 0 : (7.2)
Dowód poprowadzimy przez indukcję względem k. Dla k = 1 teza zachodzi (wektor zerowy, mimo że należy do każdej podprzestrzeni własnej, nie jest wektorem własnym). Załóżmy, że teza zachodzi dla dowolnych k − 1 wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym oraz, dla dowodu nie wprost, przypuśćmy, że warunek (7.2) nie jest spełniony. Oznacza to, że dla pewnego i ∈ { 1 ; : : : ; k} :
α 1 v 1 + : : : + αk vk = 0 oraz αi 6 = 0 :
Dla dowolnego r 6 = i mamy
0 = ( A − λr I ) ( α 1 v 1 + : : : + αk vk ) = α 1 ( A − λr I ) v 1 + : : : + αk ( A − λr I ) vk = = α 1 ( λ 1 − λr ) v 1 + : : : + αr− 1 ( λr− 1 − λr ) vr− 1 + αr +1 ( λr +1 − λr ) vr +1+
- : : : + αk ( λk − λr ) vk
7.3. Diagonalizowalność
skąd, na podstawie założenia indukcyjnego, wynika, że wszystkie współczynniki αm ( λm − λr ) są zerami; w szczególności αi ( λi − λr ) = 0 : Ponieważ λi 6 = λr ; zatem αi = 0, wbrew założeniu.
7.3. Diagonalizowalność
Niech f : X → X będzie endomorfizmem.
Definicja 7.4. Endomorfizm f jest diagonalizowalny, jeżeli istnieje baza przestrzeni X w której macierz tego endomorfizmu jest diagonalna.
Pojęcie diagonalizowalności można również wprowadzić w zbiorze macierzy. Zanim to zrobimy wprowadzimy w zbiorze macierzy relację podobieństwa.
Definicja 7.5. Niech A; B ∈ F n×n: Mówimy, że macierz A jest podobna do macierzy B (ozn. A ∼ B) jeżeli istnieje macierz nieosobliwa P ∈ F n×n, taka że
A = PBP−^1 : (7.3)
Łatwo wykazać (ćwiczenie), że relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważ- ności, tzn. jest:
- zwrotna, tj. A ∼ A ; - symetryczna, tj. A ∼ B ⇒ B ∼ A ; - przechodnia, tj. A ∼ B; B ∼ C ⇒ A ∼ C :
Przypuśćmy teraz, że A ∼ B: Oznacza to, że A = PBP−^1 ; dla pewnej macierzy nie- osobliwej P: Mamy:
'A ( λ ) = det ( A − λI ) = det
PBP−^1 − λI
= det P ( B − λI ) P−^1 = = det P det ( B − λI ) det P−^1 = 'B ( λ )
co oznacza, że macierze podobne mają ten sam wielomian charakterystyczny; w konse- kwencji mają one również identyczne wartości własne.
Definicja 7.6. Macierz A ∈ F n×n^ jest macierzą diagonalizowalną, jeżeli jest podobna do macierzy diagonalnej.
Zanim podamy twierdzenie charakteryzujące macierze diagonalizowalne rozważmy następujący przykład.
Przykład 7.4. Niech A 1 ; A 2 ∈ R n×n^ będą macierzami postaci
A 1 = I =
; A 2 =
Macierze te mają ten sam wielomian charakterystyczny
'A 1 ( λ ) = 'A 2 ( λ ) = (1 − λ ) n^ :
Ponieważ widma macierzy A 1 oraz A 2 są jednoelementowe
σ ( A 1 ) = σ ( A 2 ) = { 1 } ;
7.3. Diagonalizowalność
Z warunku (7.5) wynika, że wektory p 1 ; : : : ; pn są liniowo niezależnymi wektorami wła- snymi macierzy A odpowiadającymi wartościom własnym b 1 ; : : : ; bn. Przypuśćmy teraz, że macierz A posiada n liniowo niezależnych wektorów wła- snych v 1 ; : : : ; vn ∈ F n^ odpowiadających wartościom własnym λ 1 ; : : : ; λn ∈ F. Niech V = [ v 1 ; : : : ; vn ] ∈ F n×n: Macierz V jest nieosobliwa (dlaczego?). Ponadto:
AV = A [ v 1 ; : : : ; vn ] = [ Av 1 ; : : : ; Avn ] = [ λ 1 v 1 ; : : : ; λnvn ] = V diag ( λ 1 ; : : : ; λn ) ;
skąd wynika, że A = V diag ( λ 1 ; : : : ; λn ) V −^1 : Macierz A jest więc diagonalizowalna. Zanotujmy na koniec, że twierdzenie 7.4, mimo że sformułowane dla macierzy, pozo- staje słuszne również dla dowolnego endomorfizmu f : X → X ; gdzie X jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem F. W szczególności, jeżeli f jest endomor- fizmem diagonalizowalnym to istnieje baza przestrzeni X złożona z wektorów własnych endomorfizmu f; przy której macierz tego endomorfizmu jest diagonalna.
Przykład 7.5. Niech A ∈ R^2 ×^2 będzie macierzą postaci
A =
[
]
Ponieważ 'A ( λ ) = λ^2 + 1 , zatem macierz A nie ma rzeczywistych wartości wła- snych – nie jest więc diagonalizowalna w klasie macierzy R^2 ×^2_. Ta sama macierz traktowana jako element przestrzeni_ C^2 ×^2 ma dwie różne wartości własne λ 1 = i; λ 2 = −i; którym odpowiadają liniowo niezależne wektory własne równe odpo- wiednio v 1 = ( −i; 1) T^ oraz v 2 = ( i; 1) T^ : Z dowodu twierdzenia 7.4 wynika, że A = P diag ( i; −i ) P−^1 ; gdzie
P = [ v 1 ; v 2 ] =
[
−i i 1 1
]
Faktycznie, ponieważ P−^1 = (^12)
[
i 1 −i 1
]
; zatem
P diag ( i; −i )^ P−^1 =
[
−i i 1 1
] [
i 0 0 −i
] [
i 1 −i 1
]
[
]
= A:
