Pobierz Wartości, wektory i podprzestrzenie własne, endomorfizmy, baza i macierz Jordana i więcej Streszczenia w PDF z Informatyka tylko na Docsity!
GAL (Informatyka)
Wykład - zagadnienie własne
Wersja z dnia 6 lutego 2014
Paweł Bechler
1 Podobieństwo macierzy
Definicja 1. Powiemy, że macierze A, B ∈ K n,n^ są podobne , jeżeli istnieje macierz nieosobliwa C ∈ K n,n^ taka, że
B = C −^1 AC.
Uwaga 1_._ Podobieństwo macierzy jest relacją równoważności w zbiorze K n,n , a więc relacja ta wyznacza podział K n,n^ na klasy abstrakcji (rozłączne pod- zbiory) macierzy wzajemnie podobnych.
Uwaga 2_._ Macierz C powyżej można traktować jako macierz zmiany bazy w przestrzeni K n , więc macierze A i B są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są macierzami pewnego przekształcenie liniowego F ∈ L(K n ) w różnych bazach (przy czym rozumiemy, że w dziedzinie i przeciwdziedzinie F mamy jedną bazę)
Stwierdzenie 1 (Niezmienniki podobieństwa). Jeżeli macierze A, B ∈ K n,n są podobne, to
(i) det A = det B ,
(ii) trA = trB ,
(iii) rankA = rankB_._
Dowód. Teza (i) jest wnioskiem z tw. Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy, (ii) i (iii) zostawiamy jako ćwiczenie.
2 Wartości, wektory i podprzestrzenie wła-
sne
Definicja 2. Niech A ∈ K n,n.
(i) Powiemy, że liczba λ ∈ K jest wartością własną macierzy A, jeżeli istnieje wektor ~v ∈ K n , ~v 6 = 0, taki, że
A~v = λ~v.
(ii) Taki wektor ~v nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ.
(iii) Jeżeli λ jest wartością własną macierzy A, to zbiór
V λ = { ~v ∈ K n^ : A~v = λ~v }
nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ.
Uwaga 3_._ Jak łatwo zauważyć, V λ = ker(A − λI n ) , więc V λ jest podprze- strzenią liniową w K n , a jej elementy to wszystkie wektory własne macierzy A odpowiadające wartości własnej λ oraz wektor zerowy.
Definicja 3. Widmem macierzy A ∈ K n,n^ nazywamy zbiór jej wszystkich wartości własnych. Zbiór ten oznaczamy symbolem σ(A).
Przykład 1. Niech A =
[ − 5 − 4 8 7
]
. Można policzyć, że
A ·
[ 1 − 1
] = −
[ 1 − 1
] , A ·
[ − 1 2
] = 3
[ − 1 2
] .
Zatem[ A ma wartości własne − 1, 3, a odpowiadające im wektory własne to 1 − 1
] i
[ − 1 2
] .
Przykład 2. Jeżeli A ∈ K n,n^ jest macierzą diagonalną,
A =
a 1 a 2
.. . a n
^ ,
to liczby a 1 , a 2 ,... , a n są wartościami własnymi macierzy A, a odpowiadające im wektory własne to ~e 1 , ~e 2 ,... , ~e n.
Przykład 3. Jeżeli A ∈ K n,n , ~x 6 = 0 i ~x ∈ ker A, to ~x jest wektorem wła- snym dla wartości własnej 0. Jeżeli macierz A jest osobliwa, to ker A jest podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej 0.
Definicja 4. Niech A ∈ K n,n. Wielomian charakterystyczny macierzy A jest zdefiniowany jako p A (λ) = det n (A − λI n ).
Można pokazać, że p A ∈ K[λ] n.
Przykład 4. Jeżeli A =
[ − 5 − 4 8 7
] , to
p A (λ) = det
[ − 5 − λ − 4 8 7 − λ
] = ( − 5 − λ)(7 − λ) + 32
= λ^2 − 2 λ − 3 = (λ + 1)(λ − 3).
Mnożąc (*) stronami przez λ 1 dostajemy
α 1 λ 1 ~v 1 + α 2 λ 1 ~v 2 +... + α k λ 1 ~v k = 0,
więc po odjęciu ostatnich dwóch równości stronami, otrzymujemy
α 2 (λ 2 − λ 1 )~v 1 +... + α k (λ k − λ 1 )~v k = 0.
Wobec założenia indkucyjnego α 2 =... = α k = 0, więc także α 1 = 0 i pokazaliśmy liniową niezależność wektorów ~v 1 ,... , ~v k.
3 Endomorfizmy
Definicja 5. Niech X oznacza przestrzeń liniową. Endomorfizm przestrzeni X jest to dowolne przekształcenie liniowe f ∈ L(X).
Jeżeli w przestrzeni X ustalimy bazę (x 1 ,... , x n ), to możemy rozważać ma- cierz A przekształcenia liniowego f ∈ L(X) w tej bazie. Jeżeli (y 1 ,... , y n ) to inna baza w X, B to macierz f w tej bazie, to
B = U −^1 AU,
gdzie U to macierz miany bazy z (y 1 ,... , y n ) na (x 1 ,... , x n ).
Na odwrót, każda macierz nieosobliwa z K n,n^ jest macierzą zmiany bazy, więc każda macierz podobna do A jest macierzą przekształcenia liniowego f w pewnej bazie.
Definicja 6. Jak wcześniej pokazaliśmy, wyznacznik i wielomian charakte- rystyczny są niezmiennnikami relacji podobieństwa macierzy. Wobec powyż- szych spostrzeżeń, możemy określić wyznacznik i wielomian charakterystycz- ny endomorfizmu f ∈ L(X): niech A będzie macierzą f w pewnej bazie. Wtedy det f = det A, p f (λ) = p A (λ).
Definicja 7. Wartość własną, wektor własny i podprzestrzeń własną endo- morfizmu f ∈ L(X) definiujemy analogicznie jak w dla macierzy:
(i) λ jest wartością własną f , jeżeli istnieje v ∈ X \ { 0 } taki, że f (v) = λv;
(ii) każdy taki wektor v nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f , odpowiadającym wartości własnej λ;
(iii) podprzestrzeń własną odpowiadającą wartości wasnej λ definiujemy ja- ko V λ = { v ∈ X : f (v) = λv }.
Tak samo, jak w przypadku macierzy, prawdziwe jest
Stwierdzenie 6. Jeżeli f ∈ L(X) , to
(i) λ jest wartością własną f wtedy i tylko wtedy, gdy p f (λ) = 0 ;
(ii) V λ = ker(f − λid X ) ;
(iii) wektory własne f odpowiadające różnym wartościom własnym f są li- niowo niezależne.
Definicja 8. Podprzestrzeń U ⊂ X nazywamy podprzestrzenią niezmienni- czą endomorfizmu f ∈ L(X), jeżeli f (U ) ⊂ U.
Przykład 7. Jeżeli f ∈ L(K[t] n ), f (p) = p ′ , to f ma podprzestrzenie nie- zmiennicze span(1,... , t k ) dla k = 0, 1 ,... , n.
Uwaga 4_._ Niech f ∈ L(X):
- Jeżeli λ jest wartością własną endomorifzmu f , to podprzestrzeń własna V λ jest podprzestrzenią niezmienniczą dla f.
- Podprzestrzenie imf i ker f są niezmiennicze dla f.
Stwierdzenie 7. Jeżeli U ⊂ X jest podprzestrzenią niezmienniczą endomor- fizmu f ∈ L(X) , to wielomian charakterystyczny endomorfizmu f |U ∈ L(U ) jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego endomorfizmu f_._
W dowodzie wykorzystamy następujący wniosek z tw. Cauchy’ego:
Stwierdzenie 8. Niech A ∈ K n,n^ będzie macierzą postaci
A =
[ B C 0 D
] ,
gdzie B ∈ K k,k, C ∈ K k,n−k, D ∈ K n−k,n−k. Wtedy
det A = det B · det D.
Dowód. Jeżeli macierz D jest osobliwa, to macierz A również i teza jest praw- dziwa. W przeciwnym przypadku możemuy napisać:
A =
[ B C 0 D
]
[ I k CD −^1 0 I n−k
] ·
[ B 0 0 I n−k
] ·
[ I k 0 0 C
] .
Wyznaczniki kolejnych macierzy w iloczynie po prawej stronie są równe 1, det A (rozwijamy rekurencyjnie n − k razy względem ostatniej kolumny), det C (rozwijamy rekurencyjnie k razy względem pierwszej kolumny). Wy- starczy skorzystać z twierdzenia Cauchy’ego.
- Jeżeli λ s = 0, to w ls +1 ∈ ker f. Ponadto ker f = span { w ls +1 : λ s = 0 }.
- f (w ls + j ) = w ls + j− 1 + λ s w ls + j dla j = 2, 3 ,... , k s (wynika to z postaci klatki Jordana J λs,ks ).
- Podprzestrzeń imf jest rozpięta przez kombinacje liniowe wektorów w j , a współczynniki każdej takiej kombinacji to wyrazy pewnej niezerowej ko- lumny macierzy J. Dla λ s = 0 wektory w ls + ks (czyli ostatnie elementy ciągu wektorów bazowych (w ls +1,... w ls + ks ) odpowiadającego klatce Jor- dana J λs,ks ) jako jedyne nie występują w tych kombinacjach liniowych. Jest ich n − dim imf = dim ker f i są one liniowo niezależne, więc
X = imf ⊕ span { w ls + ks : λ s = 0 }
.
Twierdzenie 9 (Twierdzenie Jordana). Jeżeli wielomian charakterystyczny endomorfizmu f ∈ L(X) jest iloczynem czynników liniowych, to w X istnie- je baza Jordana dla endomorfizmu f i macierz f w tej bazie jest macierzą Jordana.
Dowód. Stosujemy indukcję po n = dim X. Jeżeli n = 1 to twierdzenie jest oczywiste, gdyż każda macierz 1 × 1 jest macierzą Jordana.
Załóżmy, że twierdzenie zachodzi dla dowolnej przestrzeni wymiaru mniej- szego niż n.
I. Rozważmy sytuację, gdy dim imf < n. Niech
g = f | im f ∈ L(imf ).
Wielomian charakterystyczny p g jest dzielnikiem wielomianu p f , na mocy stwierdzenia 7. Wobec tego p g jest iloczynem czynników liniowych i możemy stosować założenie indukcyjne do endomorfizmu g.
W podprzestrzeni imf istnieje baza Jordana dla g: w 1 ,... , w m , m = dim imf.
Jeżeli imf ⊕ ker f = X, to bazę w 1 ,... w m rozszerzamy o dowolną bazę ker f , otrzymując bazę Jordana dla f.
W przeciwnym przypadku imf ∩ ker f 6 = { 0 }. Mamy też
ker g = ker f ∩ imf.
Niech t = dim ker g. Możemy przyjąć, że pierwsze t klatek Jordana dla g odpowiada wartości własnej 0, czyli λ 1 =... = λ t = 0. Wtedy
ker g = span(w l 1 +1,... , w lt +1).
Ponadto, w l 1 + k 1 ,... , w lt + kt ∈ imf , więc istnieją wektory v 1 ,... , v t ∈ X takie, że f (v 1 ) = w l 1 + k 1 ,... , f (v t ) = w lt + kt.
Układ w l 1 +1,... , w lt +1 (bazę ker g) uzupełniamy wektorami u 1 ,... , u n−m−t do bazy ker f.
Pokażemy, że układ wektorów
w 1 ,... , w m , v 1 ,... , v t , u 1 ,... , u n−m−t (#)
jest liniowo niezależny, czyli jest bazą X. Załóżmy, że
α 1 w 1 +... α m w m + β 1 v 1 +... + β m v t + γ 1 u 1 +... + γ n−m−t u n−m−t = 0.
Na obie strony tej równości działamy endomorfizmem f , pamiętając, że f | im f = g, f (v s ) = w ls + ks , f (u i ) = 0. Dostajemy
α 1 g(w 1 ) +... + α m g(w m ) = − β 1 w l 1 + k 1 −... − β t w lt + kt.
Lewa strona tej równości to wektor z img, co, wobec spostrzeżenia 5. powyżej, oznacza, że jest ona równa 0. Zatem β 1 =... = β s = 0. Mamy więc
α 1 w 1 +... α m w m + γ 1 u 1 +... + γ n−m−t u n−m−t = 0,
więc u = γ 1 u 1 +... + γ n−m−t u n−m−t ∈ imf ∩ ker f. Wobec wyboru wektorów u i jako uzupełnienia bazy imf ∩ ker f do bazy ker f oznacza to, że u = 0, więc γ 1 =... = γ n−m−t = 0. Teraz z liniowej niezależności w 1 ,... , w m dostajemy α 1 =... = α m = 0.
Układ (#) ustawiamy w następującej kolejności:
u 1 ,... , u n−m−t , w l 1 +1,... , w l 1 + k 1 , v 1 , w l 2 +1,... w l 2 + k 2 , v 2 ,... , w lt +1,... , w lt + kt , v t , w lt +1+1,... , w m.
Wobec sposobu określenia wektorów v s i u j , jest to baza Jordana dla endo- morfizmu f.
II. Jeżeli dim imf = n postępujemy następująco: niech λ będzie dowoloną wartością własną f (jest λ 6 = 0) i niech F = f − λid X. Do F stosujemy część I dowodu. Otrzymana baza Jordana dla F jest też bazą Jordana dla f = F + λid X. Macierz Jordana dla f otrzymujemy z macierzy Jordana dla F dodając do niej λI n.
Wniosek 10. Jeżeli X jest przestrzenią liniową nad C i f ∈ L(X) , to dla f istnieje baza Jordana.
Wniosek 11. Jeżeli A ∈ K n,n^ i wielomian charakterystyczny p A (λ) jest ilo- czynem czynników liniowych, to macierz A jest podobna do pewnej macierzy Jordana.
Dowód. Należy wyznaczyć bazę Jordana (~u 1 ,... , ~u n ) i odpowiadającą jej ma- cierz Jordana J dla endomorfizmu f ∈ L(K n ) danego wzorem f (~x) = A~x. Wtedy, dla U = [~u 1 ,... , ~u n ]
A = U −^1 JU.
