Wektory, skalary: wprowadzenie, Skrypty z Fisica

Pobierz Wektory, skalary: wprowadzenie i więcej Skrypty w PDF z Fisica tylko na Docsity!

Wektory, Skalary - wprowadzenie

W fizyce mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych:

wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami) wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako strzałki)

Wektory są używane do opisu wielkości mających kierunek - np. siła działa w jakimś kierunku, prędkość też wyróżnia określony kierunek ruchu itp.

Skalary stosowane są do opisu wielkości bezkierunkowych - np. czas, temperatura itp...

Jak poznać, czy symbol literowy wielkości oznacza wielkość wektorową,

czy skalarną?

Wektory Skalary

Wektory zapisuje się w podręcznikach najczęściej na dwa sposoby:

jako literę oznaczającą wielkość fizyczną ze strzałką.

- drukiem pogrubionym (często też

pochyłym). - np. F (wektor siły F).

Skalary w tekście, to po prostu zwykłe litery,

drukowane zazwyczajczcionką pochyłą - np.m,

t, q - czyli masa, czas, ładunek.

Typowa szkolna definicja wektora

Typowa szkolna definicja wektora mówi nam, że:

Wektor jest to wielkość posiadająca:

kierunek zwrot punkt przyłożenia (nie zawsze się nim zajmujemy) wartość W sumie powyższa definicja jest prawdziwa, choć matematycznie zaawansowana i w sumie poprawniejsza metodologicznie definicja wektora jest nieco inna. Ale tym się na razie nie przejmujmy, bo powyższa definicja też jest dla nas dobra.

Rzeczywiście jeśli przyjrzymy się typowemu przedstawieniu wielkości wektorowej, to da się dla niej wyróżnić wspomniane wyżej własności.

Kierunek wektora

Kierunek wektora stanowi prosta poprowadzona przez początek i koniec wektora.

Uwaga:

W języku polskim słowo „kierunek” oznacza właściwie nie tyle samą prostą, co tzw. prostą

„zorientowaną”, czyli określającą również w którą stronę jest skierowana nasza prosta. Inaczej

mówiąc praktyka językowa jest taka, że często słowem „kierunek” określa się także własność,

którą dalej nazwiemy „zwrotem” - mówimy o "kierunku w lewo", lub "kierunku do góry".

Niestety, różne znaczenia – bardziej potoczne, i te wymyślone przez twórców terminologii

fizycznej – niekiedy się nakładają. I dlatego trzeba czujnie podchodzić do określeń „kierunek” i

„zwrot”, gdyż mogą być one używane zamiennie.

Zwrot wektora

Jak napisano w rozdziale poświęconym kierunkowi, wektorom przypisujemy zwrot. Zwrot określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest początkiem, a które końcem wektora.

Początek wektora jest rysowany zwykle (choć nie jest to ścisła reguła) w punkcie

przyłożenia wektora.

Punkt przyłożenia wektora

Punkt przyłożenia wektora , to nic innego tylko obiekt, do którego odnosi się nasz wektor. Np. Jeśli siła działa w środku belki, to mówimy, że jest ona przyłożona w środku tej belki.

prędkość

wartość prędkości, czyli liczba wyrażona w m/s

np. | v | = 10 m/s.

Wartość jest szczególnym typem skalara, gdyż:

wartość wektora NIE może być liczbą ujemną!

Wartość wektora graficznie

Patrząc na wektor graficznie, wartość wektora to liczba mówiąca nam ile wektorów jednostkowych mieści się w naszym wektorze.

Na powyższym rysunku wektor jednostkowy jest oznaczony na niebiesko.

Wartość wektora analitycznie

W przypadku gdy znamy współrzędne wektora, wtedy jego wartość obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

na płaszczyźnie w przestrzeni

Czyli:

podnosimy wszystkie współrzędne do kwadratu sumujemy uzyskane kwadraty współrzędnych wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy.

i już mamy długość (wartość) wektora.

Z powyższej recepty na obliczanie długości wektora wynika stąd w sposób oczywisty, że wektor będzie miał wartość (długość) równą zero tylko wtedy, gdy wszystkie jego składowe będą równe zero.

Uwaga na często popełniany błąd!

Pamiętajcie, aby nie "wyciągać" pierwiastka bezpośrednio spod sumy kwadratów (sporo uczniów robi ten błąd).

Wektory - ujęcie graficzne i ujęcie analityczne

Oczywiste jest, że różnica (7,4) mogła powstać nie tylko jako odejmowanie 8 - 1 i 6 - 2. Mogłoby być przecież 10 - 3 i 155 - 151, -5 - (-12) i 2,5 - (-1,5) itp....

Wektorów (7,4) jest na całej płaszczyźnie wykresu nieskończenie wiele, ponieważ mogą być one zaczepione w różnych punktach (a punktów na płaszczyźnie jest nieskończenie wiele).

Wszystkie te wektory są sobie równe.

Dwa wektory są sobie równe wtedy, gdy mają równe wszystkie swoje współrzędne.

Wszystkie równe wektory mają takie samo:

nachylenie do osi X (albo Y - co na jedno wychodzi) długość (wartość).

Mogą różnić się jednak punktem przyłożenia (zaczepienia).

Działania na wektorach

W poniższej tabeli zgromadzono (opisywane także w innych rozdziałach) operacje na wektorach.

rodzaj działania zapis i typ wielkości wynikowej opis wielkości wynikowej

Dodawanie wektorów

Żeby dodać dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy dodać odpowiednie współrzędne - x-owe do x-owych, a y-owe do y-owych (ew. z-owe do z-owych).

Na płaszczyźnie

( w x, w y) + ( u x, u y) =

( w x+ u x, w y+ u y)

W przestrzeni

( w x, w y, w z ) + ( u x, u y, u z) =

( w x+ u x, w y+ u y, w z + u z)

W odróżnieniu od dodawania liczb całkowitych wektor-suma wcale nie musi być dłuższy od któregoś z wektorów wyjściowych, a często bywa krótszy. Suma dwóch wektorów może być też wektorem zerowym (mimo, że wektory wyjściowe miały długości różne od zera) Zachodzi to w dwóch przypadkach:

• oba sumowane wektory są zerowe
• dodawane wektory są przeciwne - tzn. mają ten

sam kierunek i wartość, ale przeciwne zwroty. Patrz także: Dodawanie graficzne wektorów oraz Dodawanie algebraiczne wektorów, Siła.

Odejmowanie wektorów

Żeby odjąć dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy odjąć odpowiednie współrzędne - x-owe od x-owych, a y-owe od y-owych (ew. z-owe od z-owych).

Na płaszczyźnie ( w x, w y) - ( u x, u y) = ( w x - u x, w y - u y)

W przestrzeni

( w x, w y, w z ) - ( u x, u y, u z) =

( w x - u x, w y - u y, w z - u z)

Wektor-różnica wcale nie musi być krótszy od pierwszego z wektorów wyjściowych. Może być dłuższy. Różnica dwóch wektorów jest równa zero (jest wektorem zerowym) w dwóch przypadkach:

1. oba odejmowane wektory są zerowe
2. odejmowane wektory są równe - tzn. mają ten sam kierunek, zwrot i wartość.

Patrz też: Dodawanie graficzne wektorów oraz Dodawanie algebraiczne wektorów.

mnożenie wektora przez liczbę

Tak samo dzielenie przez liczbę.

otrzymujemy nowy wektor

Aby wektor podzielić przez liczbę, mnożymy go przez odwrotność tej liczby

powstaje wektora razy

dłuższy od wektora wyjściowego. Zwrot wektora wynikowego jest:

• taki sam jak wyjściowy, gdy

a jest dodatnie

• przeciwny do wyjściowego,

gdya jest ujemne

Wynik może być równy zero (będzie tzw. wektorem zerowym) gdy:

• wektor wyjściowy jest równy zero, lub
• liczbaa jest równa zero

mnożenie

skalarne wektorów

otrzymujemy skalar

Powstaje liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego. Lub inaczej: Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego

Żeby obliczyć wartość wektora trójwymiarowego trzeba zastosować to twierdzenie dwa razy.

zmierzyć długość strzałki tego wektora, a następnie pomnożyć przez skalę w jakiej został narysowany - np. jeśli centymetr oznacza 3 m/s, to wektor 5 centymetrowy oznacza prędkość o wartości 15 m/s.

Dodawanie algebraiczne wektorów

Dodawanie wektorów zapisanych w postaci liczbowej (algebraicznej) polega na zwykłym dodawaniu ich odpowiednich współrzędnych. Czyli:

( w x, w y) + ( u x, u y) = ( w x+ u x, w y+ u y)

Przykłady

Np. gdy mamy wektory:

a = [2 , 3]

b = [5 , 1]

To ich sumę obliczamy następująco:

a + b = [2 , 3] + [ 5 , 1] = [2 + 5 , 3 + 1] = [7 , 4]

Gdyby wektorów było więcej, to musielibyśmy dodać współrzędne wszystkich wektorów:

a = [2 , 3]

b = [5 , 1]

c = [3 , -9]

Teraz sumę obliczamy tak:

a + b +c = [2 , 3] + [ 5 , 1] + [3 , -9] = [2 + 5 + 3, 3 + 1 - 9]=[10 , -5]

Przykłady działań na wektorach w postaci analitycznej

Fizyka jest odlotowa

Dane odnoszące się do przykładów poniżej: Wektory wyjściowe:

Liczba:

a = 3

Wektor wynikowy:

liczba wynikowa:c

Rodzaj działania zapis Przykład i komentarz

Dodawanie wektorów

(2 + 3, 5 + (-7)) = (5, -2)

Dodajemy odpowiednie współrzędne.

Z = (5, -2)

Odejmowanie wektorów

(2 - 3, 5 - (-7)) = (-1, 5 + 7) = (-1, 12) Odejmujemy odpowiednie współrzędne.

Z = (-1, 12)

mnożenie wektora przez liczbę

3 ∙ (2,5) = (6,15)

mnożymy przez liczbę, każdą ze współrzędnych wektora.

Z = (6,15)

Mnożenie skalarne

wektorów c = wx ∙vx + wy∙vy

(2,5) ∙ (3,-7) = 6+(-35)=-

mnożymy przez siebie współrzędne obu wektorów, a otrzymane iloczyny dodajemy

mnożenie wektorowe wektorów

Wartość wektora Z można obliczyć ze wzoru:

Wartość iloczynu wektorowego wektorów (2,5) i (3,-7) |(2,5) x (3,-7)| = |-14 -15|=|-29|=

Aby otrzymać wartość iloczynu wektorowego, mnożymy współrzędne "na krzyż", otrzymane iloczyny odejmujemy i wyciągamy wartość bezwzględną z wyniku.

znajdowanie wartości wektora

na płaszczyźnie:

w

przestrzeni:

otrzymujemy skalar

Podnosimy współrzędne do kwadratu, wyniki dodajemy, a otrzymaną sumę pierwiastkujemy.

To jest obrazek dla urozmaicenia wyglądu podręcznika

Istnieje oczywiście wzór na wszystkie składowe iloczynu wektorowego, ale posługuje się on najczęściej zaawansowanym matematycznie pojęciem tensora (patrz krótkie wyjaśnienie) i w licealnym (i tym bardziej gimnazjalnym) programie fizyki nie jest on ani uwzględniony, ani wykorzystany. Pełną tabelę, łącznie ze wspomnianym

Etap 2: przez koniec pierwszego wektora prowadzimy prostą równoległą do drugiego wektora, a następnie przez koniec drugiego wektora prowadzimy równoległą do pierwszego wektora.

Etap 3 (kończący dzieło): wspólny początek wektorów (początek wektora-sumy) łączymy z punktem przecięcia prostych z utworzonych na etapie poprzednim (będzie to koniec wektora-sumy)

Reguła trójkąta dodawania wektorów

Załóżmy znowu, że, jak poprzednio, początkowo mamy dwa wektory:

Aby dodać je metodą trójkąta posłużymy się następującą metodą:

Etap 1: początek jednego wektora zaczepiamy w końcu drugiego wektora. Musimy po prostu przenieść jeden wektor zachowując jego kierunek, zwrot i długość.

Dodawanie wektorów mających ten sam kierunek

W przypadku gdy oba wektory leżą na jednej prostej nie da się wykreślić równoległoboku ani (rozsądnie wyglądającego) trójkąta. Wtedy posługujemy się metodą zbliżoną zasadami do metody trójkąta, jednak nieco inaczej się prezentującą:

1. Sytuacja początkowa – mamy dwa wektory o takim samym kierunku
2. Przenosimy jeden wektor zaczepiając jego początek w końcu drugiego wektora (tak jak w regule trójkąta).
3. Wektor suma (na rysunku zielony) – ma początek w początku pierwszego, a koniec w końcu drugiego wektora:

Przypadek wektorów o przeciwnych zwrotach

Trochę inaczej wygląda dodawanie wektorów różniących się zwrotami.

Wtedy po przeniesieniu początku jednego wektora do końca drugiego, uzyskamy częściowe pokrywanie się strzałek obu tych wektorów.

Na powyższym rysunku wektor narysowany linią przerywaną jest wektorem wyjściowym, a wektor przeciwny został narysowany linią ciągłą.

2. Dodać ten odwrócony wektor do wektora czerwonego (dowolną prawidłową metodą).

Na powyższym rysunku efektem odejmowania wektora niebieskiego od wektora czerwonego jest wektor zielony. Wektor początkowy jest on tym zaznaczony na niebiesko (linia ciągła) i pogrubiony (znajduje się w pozycji wyjściowej).

Odejmowanie wektorów metodą trójkąta

W przypadku, gdy oba wektory, które mamy odjąć są początkowo zaczepione w tym samym punkcie, wtedy odejmowanie jest bardzo proste i szybkie.

Bo wtedy różnica tych wektorów powstanie po prostu po połączeniu końców ich strzałek. Początek wektora – różnicy jest w końcu wektora odejmowanego, a koniec w końcu wektora od którego następuje odejmowanie.

Na powyższym rysunku wektor zielony jest różnicą wektorów czerwonego i niebieskiego.

Szczególny przypadek - wektor jednowymiarowy (sprawa ważna,

niełatwa, a w książkach nie omawiana)

Szczególnym przypadkiem wielkości, która jest czymś pośrednim między wektorem, a skalarem, jest wektor jednowymiarowy (który można by też uznać za skalar). Co prawda, jak to wyżej napisano skalary są najczęściej wielkościami nieujemnymi, jednak nie jest to ściśle przestrzegana reguła. W każdym razie można tu przyjąć, że wektor jednowymiarowy, to liczba ze znakiem (może więc być dodatnia, lub ujemna). Wektor jednowymiarowy, jest to wielkość w fizyce bardzo ważna, bo będąc formalnie wektorem (a przynajmniej wywodząc się ściśle od wektorów), nie posiada wad formalizmu wektorowego (kłopotliwości rachunkowych, wielu wymiarów do przekształcania). Dlatego wektory te są często wykorzystywane. W przypadku wektora jednowymiarowego rolę zwrotu przejmuje znak liczby. Kierunek nie jest w tym przypadku istotny, bo i tak wszystko dzieje się w jednym wymiarze, więc jest on z góry określony. Za pomocą wektorów jednowymiarowych opisuje się takie wielkości jak: prędkość w ruchu prostoliniowym (lub w ruchu po ściśle określonym torze) przyspieszenie w ruchu prostoliniowym (lub w ruchu po ściśle określonym torze) siła w ruchu prostoliniowym (lub w ruchu po ściśle określonym torze) i inne... Najważniejszą różnicą między wektorem jednowymiarowym, a wartością wektora jest to, że wartość może być tylko dodatnia, a wektor jednowymiarowy może być zarówno dodatni, jak i ujemny. Mówiąc inaczej wektor wymiarowy ma swoją jedyną współrzędną równą albo plus, albo minus wartości (długości). To jaki jest znak wektora jednowymiarowego zależy od Umowy Znaku Osi.

Umowa znaku osi

Umowa ta polega na tym, że najpierw wyróżniamy jeden zwrot (np. w prawo lub w lewo, w górę, lub w dół itp.) uznajemy jako dodatni. Jest to tzw. zwrot osi. Od tej pory wszystkie wektory mające zwrot zgodny ze zwrotem osi będziemy traktować jako dodatnie. Wektory przeciwne względem zwrotu osi będą miały wartości ujemne.

Przykład: W przykładzie poniżej zwrot osi ustalamy "w prawo". Wtedy wektory narysowane na czerwono będą miały wartości jak to widać z prawej strony: