Wprowadzenie do logiki matematycznej, Prezentacje z Logika

Pobierz Wprowadzenie do logiki matematycznej i więcej Prezentacje w PDF z Logika tylko na Docsity!

Wprowadzenie do logiki matematycznej

Wprowadzenie Przeczytaj Mapa myśli Sprawdź się Dla nauczyciela

Odkrywanie prawd jest zadaniem wszelkiej nauki; zadaniem logiki jest odkrywanie praw prawdziwości – powiedział w roku Friedrich Ludwig Gottlob Frege, niemiecki matematyk, logik i filozof. Logika ma długą historię. Jej początki sięgają Chin ( wiek p n.e.) i starożytnej Grecji ( wiek p.n.e.).

Logika to dział matematyki badający warunki poprawności wnioskowań. W matematyce wnioskujemy bardzo często, chcemy przy tym, aby nasze wnioskowania były poprawne, więc warto zapoznać się z podstawami logiki.

Materiał zawarty w tej lekcji jest materiałem nadobowiązkowym, więc jeśli nie interesuje Cię ta tematyka, możesz po prostu lekcję pominąć.

Twoje cele

Poznasz podstawowe pojęcia z zakresu logiki matematycznej. Odróżnisz zdanie w sensie logiki od zdania w sensie potocznym. Zbudujesz zdanie logiczne prawdziwe i zdanie logiczne fałszywe.

Źródło: Gordon Johnson z Pixabay, domena publiczna.

1918 IV-III V

Wprowadzenie do logiki matematycznej

Przeczytaj

W logice posługujemy się zdaniami, nie każde jednak zdanie z języka potocznego jest zdaniem w sensie logiki.

Zdanie w sensie logiki to wypowiedź języka, której można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (oznaczaną w logice symbolem , chociaż czasem można spotkać oznaczenie , lub – z języka angielskiego – true) lub fałsz (oznaczaną w logice symbolem , chociaż czasem można spotkać oznaczenie -fałsz, lub – z języka angielskiego – również

• false). Zdania w sensie logiki zwykle oznaczamy małymi literami , , , itd.

Przykład 1

Przeanalizujmy poniższe zdania nie dotyczące matematyki. Czy są one prawdziwe, czy fałszywe? Na podstawie czego możemy ocenić ich wartość logiczną?

Zdanie : „Potop” napisał Bolesław Prus.

Zdanie : „Potop” napisał Henryk Sienkiewicz.

Zdanie : Kto przeczytał „Potop”?

Rozwiązanie:

Zdanie jest fałszywe, zdanie jest prawdziwe. Ich wartość logiczną możemy ocenić na podstawie naszej wiedzy z literatury. Zdanie nie jest zdaniem w sensie logiki, ponieważ nie można mu przypisać żadnej z dwóch wartości logicznych.

Przykład 2

Przeanalizujmy poniższe zdania dotyczące matematyki. Czy są one prawdziwe, czy fałszywe? Na podstawie czego możemy ocenić ich wartość logiczną?

Zdanie : Czworokąt nie ma przekątnych.

Zdanie : Trójkąt nie ma przekątnych.

Zdanie : Pożycz mi ekierkę!

Rozwiązanie:

Zdanie jest fałszywe, zdanie jest prawdziwe. Ich wartość logiczną możemy ocenić na podstawie naszej wiedzy z geometrii. Zdanie nie jest zdaniem w sensie logiki, ponieważ nie można mu przypisać żadnej z dwóch wartości logicznych.

1 P T 0 F F p q r t

p

q

r

p q r

p

q

r

p q r

Z pojedynczych zdań logicznych możemy budować zdania złożone, podobnie jak w języku potocznym. Budując zdania złożone posługujemy się spójnikami – w logice nazywamy je funktorami logicznymi.

Funktory logiczne mogą być jednoargumentowe lub dwuargumentowe.

Funktor jednoargumentowy (wystarczy jedno zdanie):

negacja (inaczej zaprzeczenie) – oznaczenie symboliczne: (nieprawda, że ...)

Przykład 3

Rozważmy zdanie : Liczba jest parzysta. Jak zapiszemy negację tego zdania?

Rozwiązanie:

Negacja zdania : Nieprawda, że liczba jest parzysta.

Inaczej zaprzeczenie zdania możemy sformułować następująco: Liczba nie jest parzysta. W języku matematyki można też wyrazić: Liczba jest nieparzysta.

Przykład 4

Rozważmy zdanie : Trapez ma dwie przekątne. Jak zapiszemy negację tego zdania?

Rozwiązanie:

Negacja zdania : Nieprawda, że trapez ma dwie przekątne.

Zauważmy, że zdanie jest fałszywe, a jego zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, natomiast zdanie jest zdaniem prawdziwym, a jego zaprzeczenie jest zdaniem fałszywym. Jest to zgodne z naszą intuicją. Jeśli mówimy prawdę, a potem jej zaprzeczamy, to mówimy coś fałszywego z punktu widzenia logiki.

I odwrotnie: jeśli powiedzieliśmy coś fałszywego, a potem zaprzeczyliśmy (bo np. przestraszyliśmy się konsekwencji swojego kłamstwa), to tym razem powiedzieliśmy prawdę.

W ocenie prawdziwości zdań złożonych pomagają nam nie tylko „zdroworozsądkowe” nawyki z życia codziennego, ale też precyzyjna metoda wprowadzona przez matematyków. Jest to tzw. metoda zero–jedynkowa. Oznaczmy wartość logiczną zdania prawdziwego symbolem , a fałszywego symbolem. Dla negacji zdania układ wartości układa się tak, jak w tabelce. Wartość logiczna zdania Wartość logiczna zaprzeczenia zdania , czyli

~

p 5

p 5

p 5 5

q

q

p ~p q ~q

1 0

p p ~p 1 0

alternatywa zdań i (inaczej suma logiczna) – oznaczenie symboliczne:

• (... lub ...)

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci alternatywy w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Jest ona zgodna z naszą intuicją wynikająca z życia codziennego: aby zdanie złożone, w którym występują dwa zdania składowe połączone spójnikiem „lub” było prawdziwe, wystarczy, aby jedno zdanie składowe było prawdziwe.

Przykład 6

Jak zapiszemy i wypowiemy alternatywę podanych wyżej zdań i? Czy jest to zdanie prawdziwe?

Rozwiązanie:

Alternatywa zdań i brzmi: : Okrąg ma jeden środek lub trójkąt ma cztery wierzchołki.

Zdanie jest prawdziwe, ponieważ przynajmniej jedno ze zdań składowych (zdanie ) jest prawdziwe.

implikacja zdań i (inaczej wynikanie) – oznaczenie symboliczne:

• (jeżeli ..., to ...); zdanie nazywamy poprzednikiem, a zdanie następnikiem

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci implikacji w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Wartość logiczna zdania Wartość logiczna zdania Wartość logiczna alternatywy zdań

Wartość logiczna zdania Wartość logiczna zdania Wartość logiczna implikacji zdań

p q

p ∨ q

p q p ∨ q

p q

p q (p ∨ q)

p

p q

p ⇒ q p q

p q p ⇒ q

Tutaj intuicja w zasadzie nie podpowiada nam nic, jeżeli chodzi o związek wartości logicznej implikacji z wartościami logicznymi zdań składowych. Musimy przyjąć to, co zaproponowali logicy: z prawdy może wynikać prawda, z fałszu może wynikać prawda, z fałszu może wynikać fałsz, jedynie z prawdy nie może wynikać fałsz. Tylko w tej sytuacji implikacja jest fałszywa.

Przykład 7

Jak zapiszemy i wypowiemy implikację, gdzie poprzednikiem jest zdanie , następnikiem zdanie? Czy jest to zdanie prawdziwe?

Rozwiązanie:

Implikacja zbudowana z wyżej określonych zdań i brzmi: : Jeżeli okrąg ma jeden środek, to trójkąt ma cztery wierzchołki.

Zdanie nie jest prawdziwe, ponieważ zdanie jest prawdziwe, ale zdanie jest fałszywe, a z prawdy nie może wynikać fałsz.

równoważność zdań i :

• (... wtedy i tylko wtedy, gdy ...)

Wartości logiczne zdania zbudowanego w postaci równoważności w odniesieniu do wartości logicznych zdań składowych przedstawia poniższa tabela.

Zawartość tabeli znowu jest zgodna z naszą intuicją: równoważność jest prawdziwa, jeżeli oba zdania składowe mają tę samą wartość logiczną.

Przykład 8

Jak zapiszemy i wypowiemy równoważność naszych zdań i? Czy jest to zdanie prawdziwe?

Rozwiązanie:

Równoważność zbudowana z naszych zdań i ma postać: : Okrąg ma jeden środek wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt ma cztery wierzchołki.

Wartość logiczna zdania

Wartość logiczna zdania

Wartość logiczna równoważności zdań

p q

p q (p ⇒ q)

p q

p q

p ⇔ q

p q p ⇔ q

p q

p q (p ⇔ q)

Odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla większych od , fałszywa dla mniejszych od lub równych.

Nierówność z Przykładu 10 możemy uznać za formę zdaniową , która zmienia się w zdanie prawdziwe, jeśli w miejsce zmiennej wstawimy liczbę większą od , w zdanie fałszywe, jeśli wstawimy liczbę równą lub mniejszą od. Dziedziną tej formy zdaniowej może być np. zbiór liczb rzeczywistych.

Z formami zdaniowymi spotykaliście się już wcześniej. Każde równanie i nierówność jest formą zdaniową.

Wiele twierdzeń jest zbudowanych w postaci form zdaniowych, warto więc zwrócić uwagę na nie, zwłaszcza na negowanie form zdaniowych.

Przykład 11

Określmy formę zdaniową

w dziedzinie, którą jest zbiór liczb rzeczywistych. Dla jakich ta forma zamienia się w zdanie prawdziwe, a dla jakich w zdanie fałszywe? Jak zapiszemy negację tej formy?

Rozwiązanie:

Forma zdaniowa zamienia się w zdanie prawdziwe, jeśli w miejsce zmiennej wstawimy liczbę, która jest nie mniejsza niż i nie większa niż , natomiast w zdanie fałszywe, jeśli wstawimy liczbę mniejszą od lub liczbę większą od. Negację tej formy zapiszemy:.

Jak widać z rozwiązania Przykładu 11 w przypadku form zdaniowych określonych w postaci przedziału przy budowaniu negacji formy bardzo ważne jest pamiętanie o przedziałach domkniętych i otwartych, aby suma formy i jej negacji dawała nam całą dziedzinę.

Słownik

zdanie logiczne

wypowiedź języka, której można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawda lub fałsz

wartość logiczna

podstawowa cecha zdania określająca jego stosunek do faktów (zgodność lub niezgodność z faktami)

spójnik (funktor) logiczny

x 5 x

p(x)

x 5

q(x) : 5 ≤ x ≤ 7

x

q(x) x

x ∈ (−∞, 5) ∪ (7, ∞)

wyraz łączący dwa zdania logiczne

negacja

zdanie mające postać „nieprawda, że ”, gdzie jest zdaniem

koniunkcja

zdanie złożone mające postać „ i ”, gdzie , są zdaniami

alternatywa

zdanie złożone mające postać „ lub ”, gdzie , są zdaniami

implikacja

zdanie złożone mające postać „jeśli to ”, gdzie , są zdaniami

równoważność

zdanie złożone postaci „ wtedy i tylko wtedy, gdy ”, gdzie , są zdaniami

forma zdaniowa

wyrażenie, w którym występuje zmienna i które staje się zdaniem w sensie logiki, gdy w miejsce podstawimy dowolny element zbioru , zwanego dziedziną

p p

p q p q

p q p q

p q p q

p q p q

x x X

Polecenie 1

Popatrz na poniższy obraz i przeanalizuj utworzone w oparciu o niego zdania logiczne umieszczone na mapie myśli.

Eugene Tssui Źródło: Eugenetssui, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

Zdania:

p: Obraz jest jednokolorowy.

q: Na obrazie widać dwie twarze.

r: Wśród kształtów na obrazie występują czworokąty.

s: Obraz przedstawia pejzaż.

Logika w obrazie

zdanie p wartość logiczna zdania 0 wartość logiczna zaprzeczenia 1 zdanie q wartość logiczna zdania 1 wartość logiczna zaprzeczenia 0 zdanie r wartość logiczna zdania 1 wartość logiczna zaprzeczenia 0 zdanie s wartość logiczna zdania 0 wartość logiczna zaprzeczenia 1

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia: 輸 醙 難

Ćwiczenie 1

Oceń prawdziwość podanych zdań. Odpowiedzi wpisz do tabeli:

Zdanie Wartość logiczna : Trójkąt ma trzy boki.

: Czworokąt ma pięć kątów.

p

q

p ∧ q

p ∨ q

p ⇒ q

p ⇔ q

Ćwiczenie 2

Przypisz zdaniom wartość (prawda) lub (fałsz). Przeciągnij poprawne wartości do tabeli.

jest liczbą pierwszą, jest liczbą naturalną, jest liczbą niewymierną, Warszawa jest stolicą Chin, jest liczbą całkowitą, Sześciokąt foremny ma przekątnych, Słońce jest gwiazdą, , , , , , ,

Zdanie lub

jest liczbą pierwszą

jest liczbą naturalną

jest liczbą niewymierną

Warszawa jest stolicą Chin

jest liczbą całkowitą

Sześciokąt foremny ma przekątnych

Słońce jest gwiazdą

10

10 5

Ćwiczenie 3

Masz podane dwa zbiory zdań. Połącz w pary zdania z obu zbiorów tak, aby w każdej parze było zdanie i jego zaprzeczenie.

8451 jest liczbą podzielną przez 3 4√2 < 2√ 4

11 = 11 8451 nie jest liczbą podzielną przez 3

輸

醙

Ćwiczenie 6

Aby ocenić wartość logiczną koniunkcji zdań: „Równanie ma jedno rozwiązanie i kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni.” możemy postąpić tak:

oznaczamy zdania proste : równanie ma jedno rozwiązanie : kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni

określamy wartości logiczne zdań prostych ;

określamy wartość logiczną koniunkcji zdań

Postępując podobnie, określ wartości logiczne zdań:

a) Każdy czworokąt ma cztery kąty i środek symetrii.

b) Gdańsk leży w górach i nie jest stolicą Polski.

c) Bogusławski skomponował „Halkę” i Żeromski napisał „Pana Tadeusza”.

2 x + 3 = 4x + 6

p 2 x + 3 = 4x + 6

q

w(p) = 1 w(q) = 0

w(p ∧ q) = 0

Ćwiczenie 7

Znajdź taką liczbę całkowitą, która po podstawieniu w miejsce zmiennej sprawi, że otrzymamy zdanie prawdziwe:

a)

b)

c) jest liczbą pierwszą lub

x

√−x ≤ 3 ∧ x^2 − 81 = 0

x < 1 ∧ 1 x = x

x |x| = 8

醙

難

Ćwiczenie 8

Dane są dwie formy zdaniowe: i. Dziedziną obu form jest zbiór liczb rzeczywistych.

a) Zapisz zaprzeczenia obu form, ich koniunkcję i alternatywę oraz koniunkcję i alternatywę ich negacji.

b) Podaj przykłady dwóch liczb dla których prawdziwa jest koniunkcja tych form.

c) Podaj przykład liczby, dla której prawdziwa jest alternatywa zaprzeczeń obu form.

d) Podaj przykład liczby, dla której prawdziwa jest alternatywa formy i negacji formy .

p(x) : x > −10 q(x) : x < 6

p(x) q(x)

難