Pobierz Wprowadzenie do programu Mathcad i więcej Opracowania w PDF z Computer Science tylko na Docsity!
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Wspomaganie oblicze ń za pomoc ą programu MathCad
Definicja zmiennych Aby zdefinowac znienną e
wybierz z klawiatury
kolejno:
e:
e := 1 f := 1 g1 := 2 h := 8
Przykład dowolnego wyraŜenia
Aby zdefinowac wyraŜenie wybierz z
klawiatury kolejno:
ef^2+34ln(g)/2/10e(e^2-4*h)
Wartość wyraŜenia lub zmiennej
uzyskujemy po naśsnieciu znaku =
e ⋅ f 2 + 34 ⋅ln g1( 2 )
10 ⋅ e⋅(e^2 − 4 ⋅h)
Definicja funkcji f(x)
a := 2 b := 3 c :=− 1
Aby zdefiniować funkcję wybierz z
klawiatury kolejno:
f(x):ax^2+bx+c
f ( )x :=a ⋅ x^2 + b ⋅x+c
Aby "wyświetlić" wzór zdefiniowanej
funkcji wybierz z klawiarury kolejno:
f(x) Ctr+Shift+ 2x^2+3x-
f x( ) → 2 ⋅ x^2 + 3 ⋅ x− 1
Aby obliczyć wartość funkcji dla danej
wartość wybierz z klawiatury kolejno:
f(1)=
f 1( ) = 4
Definicja pochodenj funkcji na podstwaie wzoru funkcji
Aby zdfiniować funkcję fp(x) będaca
pochodną wcześniej zdefiniowanej funkcji
f(x) wybierz z klawiatury kolejno:
fp(x):Shift+/ f(x)x
fp x( ) x
d f x( ) d
fp x( ) → 4 ⋅ x+ 3
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Definicja zmiennej zakresowej
Aby zdefiniowć zmienną (wektor pionowy)
reprezentujący pewien przedział liczb wybierz
z klawiatury kolejno:
x:-10,-9.5;
Oznacza to liczy z przedzialu -10 do 10 z
krokiem 0,
x :=− 10 , −9.5.. 10
Aby wyswietlić x
wpisz:
x=
Aby dla danych x
wyswietlić wartości
funkcji x wpisz:
f(x)=
x
-9.
-8.
-7.
= (^) f x( ) 169 151 134 118 103 89 76
= fp x( )
Uwaga: Na wydruku umieszczono tylko pierwszych 7 liczb z kaŜdego przedziału. Przedstawienie funkcji na wykresie
Aby uzyskać moŜliwosć
rysowania wykresu
funkcji nalelŜy wybrać
kombinacje klawiszy
Shift + 2.
Po lewej stronie wykresu
naleŜy kolejno wpisać
identyfikatory funkcji
które chcemy umiescić na
wykresie: f(x),fp(x)
Na dole natomiast
zmienną zakresową x,
która stanowi dziedzinę
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 funkcji.
10
0
10
f x( ) fp x( )
x
Klikając dwukrotnie na obszarze wykresu uzyskujemy
moŜliwość dodatkowej konfiguracji wyglądu wykresu.
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Definiowanie wektorów i macierzy w oparciu o zmienne indeksowe.
Zmienna globalna ORIGIN wyznacza wartość
początkowa dla indeksu macierzy tzn. jeŜeli
ORIGIN=1 to pierwszy element w macierzy bedzie
posiadał współrzedne 1,1 standardowo w
MAthCad'ie 0,
ORIGIN ≡ 1
i := 1 .. 5 Definicja^ zmiennej^ indeksującej.
Ui 3 5 7
Definicja wektora pionowego.Wybierz z klawiatury
kolejno:
U[i:3,5,7,8.9,9.
D1 1, := 20 Definicja^ macierzy^ D^ poprzez^ nadanie
wartości poszcególnym elementą macierzy,
aby zdefinować element 1,1 wybierz z
klawiatury kolejno:
D[1,1:
D4 3, := 34
D
W programie MathCad w dwojaki sposób uzywa się
symbolu tzw. indeksu dolnego. JeŜeli wprowadzimy:
X [2,2:
oznacza to element macierzy kolumnowej o indeksie 2
X 2 := 4 X ^04
= X
2 =^4
Natomiast jeŜeli wprowadzimy:
X.2:
oznacza to "zwykłą" zmienną zdefiniowaną z uŜyciem
symbolu graficzgo jakim jest indeks dolny.
X 2 := 5 X 2 = 5
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Rozwi ą zywanie układu równa ń liniowych.
Rozwiązać poniŜszy układ równań
5x+y+3z=
x-27+3z=-
2x+3y+2z=
Definicja macierzy
A
:= B
Rozwiązanie:
Sprawdzenie:
X := A −^1 ⋅B X
A ⋅X
Zastosowanie funkcji wbudowanej lsolve MathCada do
rozwiązanie układu równań
lsolve A B( , )
Rozwi ą zywanie równa ń układów równa ń nieliniowych
x := 1 y := 1 Definicja^ wartości^ początkowych
Given Słowo^ kluczowe^ Given^ poprzedza^ blok^ równań
Aby wprowadzić równaie wybierz z klawiatury
kolejno:
x^2+y^ Ctrl+= 6
x^2 + y^2 = 6 x + y = 2
Find x y( , )
Opracował:M. Detka P. Stąpór
ORIGIN := 0
Rozwiazanie problemu brzegowego za pomoca funkcji rkfixed programu MathCad
y''(x)=
w przedziale a=-4, b=
Rozwiazanie dokladne
y x( ) =^12 ⋅ x^2 − 2.5 9 ⋅x−8.
Zamiana rownania na uklad dwoch rownan rzedu pierwszego
y 0 = y x( ) y 1 = y' x( )
D x y( , )
y 1 1
poczatkowa wartosci brakujacego warunku
g 0 := 5 poczatkowego (dowolna do iteracji)
a :=− 4 b := 5
I przypadek warunkow brzegowych
y (− 4 ) = 1 y 5( ) = 3
load x v( , )
v 0
v 0 brakujacy^ warunek^ poczatkowy
score x w( , ) :=w 0 − 3
w 0 − 3 roznica^ pomiedzy^ warunkiem^ poczatkowym^ w^ punkcie
b a jego oszacowaniem
w procesie obliczen
IC :=sbval g a( , , b, D, load,score)
IC = ( −4.278) wartosc^ brakujacego^ warunku^ poczatkowego
ic :=load 0 IC( , )
ic
= pelny^ wektor^ warunkow^ poczatkowych
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Rozwiazanie problemu poczatkowego
N := 30
S :=rkfixed ic a( , , b, N,D) i := 0 ..N x := S〈 〉 0 y :=S〈 〉 1
X :=− 5 , −4.9.. 6
Y X( ) :=^12 ⋅ X^2 − 2.5 9 ⋅X−8.
6 4 2 0 2 4 6
10
5
5
10
yi Y X( )
xi ,X
II przypadek warunkow brzegowych
y' (− 4 ) = −4.278 y 5( ) = 3
load( x v , )
v 0 − 4.
score( x w , ) :=w 0 − 3 IC :=sbval g a( , , b, D, load,score) IC =( 1.002) ic :=load 0 IC( , )
ic −1.0024.
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Metody wariacyjne przypadek I
Zamiana problemu na problem z jednorodnymi warunkami brzegowymi
y(x)=u(x)+y0(x)
y0 x( ) := 29 ⋅ x +^179 y0 a( ) = 1
y0' x( ) := 29 y0 b( ) = 3
y0'' x( ) := 0 u'' x( ) − 1 = 0 u (− 4 ) = 0 u 5( ) = 0
Metoda Rayleigha-Ritza
Budowa funkcjonalu dla problemu
I
a
b =^ ⌠⌡ u ⋅ u'' x( )+ 2 ⋅ u⋅(− 1 )d x
Po scalkowaniu przez czesci otrzymujemy
I
a
b −^ ⌠⌡ u' ⋅u'd x a
b = +^ ⌠⌡ 2 ⋅ u⋅(− 1 )d x
Przyjmujemy baze aproksymacyjna
φ ( )x :=( x −a) ⋅ (x −b) (x −a) ⋅ ( x −b)⋅ x (x −a) ⋅ (x −b) ⋅x^2
φ ( )b =( 0 0 0 ) φ ( )a =( 0 0 0 )
φ' x( ) :=( x −a) + (x −b) [( x −a) +(x −b)] ⋅ x+ (x −a) ⋅(x −b) [( x −a) +(x −b)] ⋅ x^2 + 2 ⋅ x⋅ (x −a)⋅(x −b)
Podstawiajac za u(x)=φ(x)*c otrzymujemy
I
a
b cT^ ⋅ φ'T⋅ φ'⋅c x
−⌡ d a
b 2 ⋅ cT ⋅ φT⋅(− 1 ) x
= +⌡ d
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Korzystajac z warunku na minimum funkcjonalu
c
dI x( ) d
szukamy nieznanych wspolczynnikow c
a
b φ'T^ ⋅φ' x
−⌡ d ⋅c a
b φT^ ⋅(− 1 ) x
Przyjmujac oznaczenia
A
a
b −φ 'T⋅φ' x
= ⌡ d
P
a
b φT^ ⋅(− 1 ) x
= −⌡ d
Obliczamy ORIGIN := 1
i := 1 .. 3 j := 1 .. 3
Ai j, a
b
( − φ ' x( )T⋅φ' x( ))i j, x
:=⌡ d
A
− 1.045 × 103
− 3.013 × 103
− 3.475 × 103
− 1.045 × 103
− 3.475 × 103
− 3.478 × 104
Wyznaczam wektor P
Pi a
b
φ ( )xT^ ⋅(− 1 )i x
:=−⌡ d
P
Szukana wartosc wektora c wynosi
c :=A− 1 ⋅P
c
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Ostatecznie otrzymuje rodT ≠równanie, 0
a
b φT^ ⋅ φ''⋅ c+φT^ ⋅(− 1 ) x
⌡ d^ =^0
Przyjmujac oznaczenia
A
a
b φT^ ⋅φ'' x
= ⌡ d i^ P a
b φT^ ⋅(− 1 ) x
= −⌡ d
Obliczamy
Ai j, a
b
( φ ( )xT^ ⋅φ'' x( ))i j, x
:=⌡ d
A
− 1.045 × 103
− 2.151 × 103
− 3.536 × 103
− 1.045 × 103
− 3.475 × 103
− 3.478 × 104
Pi a
b
φ ( )xT^ ⋅(− 1 )i x
:=−⌡ d
P
Szukana wartosc wektora c wynosi
c := A− 1 ⋅P Rozwiazanie^ ma^ postac^ yBG ( )x :=φ ( )xT^ ⋅ c+y0 x( )
(^104 2 0 2 4 )
5
0
5
yBG ( )x
x
c
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Metoda Elementow Skonczonych
Przyjmujemy 3 rownej dlugosci elementy
skonczone
le := b^ − 3 a le = 3
Definiuje liniowe funkcje ksztaltu dla elementow
N ( )x 1 − lex lex
N' x( ) − le^11 le
Rownanie dla elementu skonczonego ma postac
− y' 0( ) y' l( )
le N'T^ ⋅ N'⋅Qe x
− d 0
le NT^ ⋅( − 1 ) x
gdzie Qe - wektor stopni swobody dla elementu
Obliczmy macierze i wektory dla elementow
Element 1 i := 1 .. 2 j := 1 .. 2
K1i j, 0
le
(N' x ( )T^ ⋅N' x( ))i j, x
:= − d P1i 0
le
N x ( )T^ ⋅(− 1 )i x
:= d
Pb
−y' 0( )
y' l( 1 )
= K1 − 0.3330.333 −0.3330.
P1 −−1.5 1.
Element 2
K2 := K1 P2 :=P
Pb
−y' 0( )
y' l( 2 )
Element 3
K3 := K1 P3 :=P
Pb
−y' 0( )
y' l( 3 )
Opracował:M. Detka P. Stąpór
Powrot do elementow
Element 1 d1 :=a
q1 :=B1 ⋅Q y1 x( ) :=N x( −d1) ⋅q
Element 2 d2 :=d1 +le
q2 :=B2 ⋅Q y2 x( ) :=N x( −d2) ⋅q
Element 3 d3 :=d2 +le
q3 :=B3 ⋅Q y3 x( ) :=N x( −d3) ⋅q
Rozwiazanie dla calego przedzialu
yMES ( )x :=if x( < d2, y1 x( ),if x( < d3, y2 x( ),y3 x( )))
(^104 2 0 2 4 )
5
0
5
yMES ( )x
x
Porownanie wynikow
(^104 2 0 2 )
5
0
5
yBG ( )x yRR ( )x yMES ( )x
x
