Pobierz Wybrane zagadnienia z ekonometrii - Notatki - Ekonometria i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
Wybrane zagadnienia z Ekonometrii
1. Dobór zmiennych objaśniających do modelu liniowego
1.1. Uwagi wstępne
Zmienne objaśniające w modelu ekonometrycznym powinny się odznaczać następującymi własnościami: Mieć odpowiednio wysoką zmienność; Być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą; Być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą; Być słabo skorelowane między sobą; Być silnie skorelowane z innymi z miennymi nie pełniącymi roli zmiennych objaśniających, które zmienne objaśniające reprezentują (chodzi, by zmienne objaśniające były dobrymi reprezentantkami zmiennych, które nie weszły do zbioru zmiennych objaśniających). Wybór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznego odbywa się za pomocą metod statystycznych.
Procedura doboru jest następująca: Na podstawie wiedzy merytorycznej sporządza się zestaw tzw. potencjalnych zmiennych objaśniających (z miennych pierwotnych), którymi są wszystkie najważniejsze wielkości oddziałujące na zmienną objaśnianą. Zmienne te oznacza się jako X 1 , X 2 ,...,Xm. Gromadzi się dane statystyczne będące realizacjami zmiennej objaśnianej i potencjalnych zmiennych objaśniających. Otrzymuje się w ten sposób wektor y obserwacji zmiennej Y oraz ma cierz X obserwacji zmiennych X 1 , X 2 ,...,Xm. o postaci:
n
2
1
y
.
.
.
y
y
y
n 1 n 2 nm
21 22 2 m
11 12 1 m
x x... x
x x... x
x x... x
X
Eliminuje się potencjalne zmienne odznaczające się zbyt niskim poziome m z mienności. Oblicza się współczynniki korelacji pomiędzy wszystkimi rozpatrywanymi z miennymi. P rzeprowadza się redukcję zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających za pomocą wybranej metody statystycznej.
1.2. Eliminowanie zmiennych quasi-stałych
Wstępnym warunkiem uznania różnych zmiennych za z mienne objaśniające modelu jest ich dostatecznie wysoka zmienność. Miarą poziomu zmienności jest współczynnik zmien ności :
(i 1 , 2 ,...,m)
x
S
v
i
i i^ ,
gdzie
xi
- średnia arytmetyczna zmiennej Xi:
n
t 1
i xti
n
x , natomiast Si – odchylenie
standardowe zmiennej Xi:
n
t 1
i (xti xi)
n
S. Obiera się
krytyczną wartość współczynnika zmienności v, np., v=0,10; następnie zmienne spełniające nierówność vi v* uznaje się za quasi-stałe i eliminuje ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających, gdyż zmienne te nie wnoszą istotnych informacji do modelu ekonometrycznego.
1.3. Wektor i macier z współczynnikó w korelacji
Aby ocenić siłę liniowej zależności zmiennej objaśnianej Y i potencjalnych zmiennych objaśniających X 1 , X 2 , ..., Xm., oblicza się współczynnik korelacji:
(i 1 , 2 ,...,m),
(y y) (x x)
(y y)(x x)
r
n
t 1
n
t 1
2 ti i
2 i
n
t 1
i ti i
i
Współczynniki te są przedstawiane w postaci wektora korelacji:
rn
r
r
R
.
.
.
2
1
0
Współczynnik korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi X 1 , X 2 , ..., Xm. są obliczane według wzoru:
(i,j 1 , 2 ,...,m),
(x x) (x x)
(x x)(x x)
r
n
t 1
n
t 1
2 tj j
2 ti i
n
t 1
ti i tj j
i
Współczynniki te tworzą macierz korelacji:
r r ... 1
r 1 ...r
1 r ...r
R
n 1 n 2
21 2 m
12 1 m^.
Macierz R jest symetryczna tzn. rij=rji.
1.5. Metoda wska źników pojemności informacyjnej
Idea metody wskaźników pojemności informacyjnej sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, a jednocześnie słabo skorelowane ze sobą. P unktem wyjścia tej metody jest wektor R 0 i macierz R. Rozpatruje się wszystkie kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających, których ogólna liczba wynosi: L=2m-1. Dla każdej kombinacji zmiennych objaśniających oblicza się wskaźniki pojemności informacyjnej: indywidualne i integralne. Indywidualne wskaźniki pojemności inf ormacyjnej zmiennych w ramach rozpatrywanej kombinacji obliczane są następująco:
(l 1 , 2 ,...,L j 1 , 2 ,...,m)
1 r
r
h m l
i j
i 1
ij
2 j lj (^) l
We wzorze tym l oznacza numer kombinacji, j oznacza numer z miennej w ko mbinacji, natomiast ml oznacza liczbę zmiennych w rozpatrywanej kombinacji. Integralne wskaźniki pojemności inf ormacyjnej kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających obliczane są według następującego wzoru:
H h (l 1 , 2 ,..,L)
ml
j 1
l lj
Indywidualne oraz integralne wskaźniki pojemnoś ci informacyjnej są unormowane w przedziale [0;1]. P rzyjmują one tym większe wartości, im zmienne objaśniające są silniej skorelowane ze z mienną objaśnianą oraz im słabiej są skorelowane miedzy sobą. Jako zmienne objaśniające wybiera się taką kombinację zmiennych, której odpowiada maksymalna wartość wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej.
1.6. Współczynnik korelacji wielorakiej
Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarą siły związku liniowego zmiennej objaśnianej Y ze zmiennymi objaśniającymi X 1 , X 2 ,..., Xk. Zde finiowany jest następująco:
det(R)
det(W)
R 1
gdzie: det(R) – wyznacznik macierzy R współczynników korelacji zmiennych objaśniających X 1 , X 2 ,..., Xk łączonych parami; det(W) – wyznacznik ma cierzy:
R R
1 R
W
0
0
Wektor R 0 jest wektorem współczynników korelacji między z mienną Y i zmiennymi X 1 , X 2 ,..., Xk. Macierz W w rozwiniętej postaci przedstawia się następująco:
r r r ... 1
r r 1 ...r
r 1 r ... r
1 r r ... r
W
k k 1 k 2
2 21 2 k
1 12 1 k
1 2 k
Współczynnik korelacji wielorakiej jest unormowany w przedziale [0, 1]. P rzyjmuje tym większe w artości, im związek zmiennej objaśnianej ze zmienny mi objaśniającymi jest silniejszy. Współczynnik korelacji wielorakiej może stanowić kryterium wyboru najlepszej kombinacji zmiennych objaśniających spośród jednakowo licznych kombinacji.
2. Szacowanie parametrów modeli liniowych metodą najmniejszych kwadratów
2.1.Uwagi wstępne
Szacowanie parametrów modelu ekonometrycznego sprowadza się do przypisywania nieokreślonym liczbowo parametrom konkretnych wartości liczbowych. Szacowanie to powinno być przeprowadzone w taki sposób, aby zapewniło najlepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych. P owszechnie wykorzystywaną metodą szacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych o postaci:
Y 0 1 X 1 ... kXk
jest klasyczna metoda najmniejszych k wadratów. Idea metody sprowadza się do takiego wyznaczenia wartości ocen a 0 , a 1 ,..., ak para metrów strukturalnych α 0 , α 1 ,..., αk, aby suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych obliczonych z modelu była najmniejsza. Warunek ten zapisuje się następująco: n
t 1
et min
gdzie et (t=1, 2, ..., n) – odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od jej wartości teoretycznych, nazywane resztami modelu:
t t yt
e y ˆ , (t=1, 2, ..., n)
przy czym:
yˆt a 0 a 1 xt 1 ... akxtk.
Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów wymaga przyjęcia następujących założeń: Szacowany model jest modele m liniowym; Zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi o elementach ustalonych; Nie występuje zjawisko współliniowości zmiennych objaśniających; Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru i stałą skończoną wariancję; Nie występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego, czyli zależność składnika losowego w różnych jednostkach czasu.
2.2. Szaco wanie parametrów modelu z jedną zmienną objaśniającą
Liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną ma ogólną postać:
Y X
Wartość ocen a oraz b parametrów strukturalnych α oraz β otrzymuje siκ w tym wypadku z warunku: n
t 1
2
S (yt b axt) min
P o wyznaczeniu pochodnych cząstkowych funkcji S względem a oraz b i przyrównaniu ich do zera otrzymujemy tzw. u kład równań normalnych :
n
t 1
n
t 1
n
t 1
t t
2 t t
n
t 1
n
t 1
t t
b x a x y x
bn a x y
W wyniku rozwiązania układu równań normalnych otrzymujemy następujące wzory na oceny a oraz b:
b y ax
x n(x)
yx nxy
a
n
t 1
2 2 t
n
t 1
t t
gdzie xoraz yoznaczają średnie arytmetyczne Y
oraz X. Równoważny wzór na ocenę a ma postać:
n
t 1
2 t
n
t 1
t t
(x x )
(y y)(x x)
a
Wartość oceny a parametru α informuje, o ile jednostek zmieni się zmienna objaśniana Y, jeśli zmienna objaśniająca X z mieni się o jednostkę. Specyficznym modelem liniowym z jedną z mienną objaśniającą jest liniowy model tendencji rozwojowej (trend liniowy) o postaci:
Y t
gdzie t oznacza zmienną czasową. Wzory na oceny parametrów strukturalnych trendu liniowego są podobne do poprzednich z tym, że zamiast zmiennej X występuje zmienna czasowa t. W wypadku oceny a można także skorzystać z prostszego wzoru o postaci:
n(n 1 )
12 (t t)y
a
n
t 1
t
,
Wzór ten otrzymuje się z poprzednich wzorów przy uwzględnieniu następującej własności: jeżeli: n
t 1
2
n(n 1 )
t 1 , 2 ,...,n to (t t)
Ocenę wariancji odchyleń losowych modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą otrzymujemy ze wzoru:
n 2
e
S
n
t 1
t 2 e
Wielkość Se jest odchyleniem standardowym reszt modelu, które informuje, o ile zaobserwowane wartości zmiennej objaśnianej przeciętnie różnią się od teoretycznych wartości tej zmiennej wyznaczonych z modelu. Standardowe błędy S(a) i S(b) szacunku parametrów strukturalnych α i β wyznacza siκ ze wzorσw:
n
t 1
t
e
x n(x )
S
S(a)
, lub
n
t 1
2 t
e
(x x )
S
S(a)
n
t 1
2 2 t
n
t 1
2 t e
n x n(x )
x
S(b) S
, lub
n
t 1
2 t
n
t 1
2 t e
n (x x )
x
S(b) S
2.3.Szaco wanie parametrów modelu z wieloma zmienn ymi objaśniającymi
W celu przedstawienia klasycznej metody najmniejszych kwadratów w zastosowaniu do szacowania parametrów modelu z wieloma z mienny mi objaśniającymi:
Y 0 1 X 1 2 X 2 ... kXk
wprowadzamy symbolikę macierzową:
n
2
1
y
.
.
.
y
y
y
- wektor obserwacji zmiennej objaśnianej;
n 1 n 2 nk
21 22 2 k
11 12 1 k
x x ... x
x x ... x
x x ... x
X
zmiennych objaśniających;
k
1
0
a
.
.
.
a
a
a
strukturalnych;
n
2
1
e
.
.
.
e
e
e
Kryterium najmniejszych kwadratów w tym wypadku można z apisać następująco:
S ee min
T
gdzie: e y Xa.
Wzór na wektor a ocen parametrów strukturalnych modelu jest następujący:
a (X X) X y
T 1 T
Wariancję odchyleń losowych szacuje się na podstawie wzoru:
n k 1
e
n k 1
e e
S
n
t 1
T t 2 e
Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych szacuje się na podstawie wzoru: 2 T 1 e
D(a) S(XX).
W macierzy tej elementy na głównej przekątnej są wariancjami V(ai) (i=0, 1, ..., k) ocen para metrów strukturalnych. Wielkości:
S( ai) V(ai) (i 0 , 1 , 2 ,...,k)
są standardowymi błędami szacunku parametrów strukturalnych.
3. Weryfikacja modeli liniowych
3.1.Uwagi wstępne
P o oszacowaniu parametrów modelu należy zbadać, czy zbudowany model dobrze opisuje badane zależności. Jeśli okaże się, że rozbieżność między otrzymanym modele m, a dyma mi e mpirycznymi lub między otrzymanym modele m a wiedzą ekonomiczną o badanych zależnościach jest duża, wówczas nal eży go skorygować oraz poprawić. P rzyczyny powodujące złą jakość modelu ekonometrycznego mogą się pojawiać już w początkowych etapach badanie ekonometrycznego. Nigdy nie ma pewności, czy zostały dobrane odpowiednie zmienne objaśniające. Wątpliwości może budzić także dobór analitycznej postaci modelu. W samy m procesie estymacji mogła też być zastosowana niewłaściwa metoda szacowania parametrów. Wszystko to powoduje potrzebę przeprowadzenia weryfikacji modelu przed jego wykorzystaniem do wnioskowania o badanych zależnościach. Weryfikacja modelu sprowadza się do zbadania trzech własności: Stopnia zgodności modelu z danymi e mpirycznymi; Jakości ocen parametrów strukturalnych; Rozkładu odchyleń losowych.
3.2. Ocena dopasowania modelu do danych empiryc zn ych
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model ten w wystarczająco wysokim stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej. Do tego celu służą różne miary zgodności modelu z danymi e mpirycznymi. P odstawowymi miara mi tego typu są: odchylenie standardowe reszt, współczynnik zmienności losowej, współczynnik zbieżności i współczynnik determinacji. Współczynnik zmienności losowej jest zdefiniowany następująco:
y
S
W
e e
Współczynnik ten informuje, jaki procent średnia arytmetycznej zmiennej objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt. Mniejsze wartości współczynnika We wskazują na lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych. Jeśli dla założonej z góry krytycznej wartości współczynnika zmienności losowej W* (np. W*=10%)
zachodzi nierówność: W W*
e , to model uznaje się za dostatecznie dobrze dopasowany do danych empirycznych. P rzy przeciwnym kierunku nierówności dopasowanie uznaje się za zbyt słabe. Współczynnik zmienności losowej ma także zastosowanie przy przeprowadzaniu porównania stopnia zgodności z danymi empirycznymi modeli opisujących się kształtowanie różnych zmiennych objaśnianych. Współczynnik zbie żności wyraża się wzore m:
n
t 1
2 t
n
t 1
2 t 2
(y y )
e
Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0; 1]. Informuje on jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona przez model. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze, im współczynnik zbieżności jest bliższy zeru. Współczynnik dete rminacji ma postać:
n
t 1
2 t
n
t 1
2 t 2
(y y )
(yˆ y)
R
Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0;1]. Informuje on, jaką część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej stanowi zmienność wartości teoretycznych tej zmiennej, tj. część zdeterminowana przez z mienne objaśniające. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze, im współczynnik determinacji jest bliższy jedności. Między współczynnikami zbieżności i determinacji zachodzi relacja:
R 1
P ierwiastek kwadratowy ze współczynnika determinacji, tj. R, jest znanym współczynnikiem korelacji wielorakiej. Aby stwierdzić, czy dopasowanie modelu do danych empirycznych jest dostatecznie duże, można zweryfikować hipotezę o istotności współczynnika korelacji wielorakiej tj. hipotezę zerową postaci:
Ho:[R 0 ] wobec hipotezy alternatywnej
H 1 :[R 0 ]. Sprawdzianem tej hipotezy jest
statystyka:
k
n k 1
1 R
R
F
Statystyka ta ma rozkład F Fishera-Snedecora o m 1 =k oraz m 2 =n-k-1 stopniach swobody. Z tablic testu F dla zadanego poziomu istotności γ oraz m 1 i m 2 stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną F. Jeśli F F, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Oznacza to, że współczynnik korelacji wielorakiej jest nieistotnie różny od zera, a dopasowanie modelu do danych jest zbyt słabe. Natomiast jeśli F>F*, to hipotezę H 0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H 1. Współczynnik korelacji wielorakiej jest istotny, a stopień dopasowania modelu do danych jest dostatecznie wysoki.
3.3. B adanie istotności parametrów strukturalnych
m 1 m 2 mk
21 22 2 k
11 12 1 k
parametrów przy z miennych z góry ustalonych;
m
2
1
- wektor (m x 1) odchyleń losowych.
Jeśli nieopóźnione w czasie zmienne endogeniczne Y 1 , Y 2 , ...,Ym wyrazimy jedynie poprzez z mienne z góry ustalone całego modelu Z 1 , Z 2 , ...,Zk, to otrzyma my postać zredukowaną modelu:
k
j 1
m mj j m
k
j 1
2 2 j j 2
k
j 1
1 1 j j 1
Y Z
Y Z
Y Z
Macierzowy zapis postaci zredukowanej jest następujący:
Y Z
T
m 1 m 2 mk
21 22 2 k
11 12 1 k T
parametrów postaci zredukowanej przy zmiennych z góry ustalonych;
m
2
1
.
.
.
- wektor (m x 1) odchyleń losowych postaci
zredukowanej. Między parametra mi postaci zredukowanej i postaci strukturalnej istnieją następujące zależności:
T 1
B
B
8.3. Klasyf ikacja modeli wielorównaniowych
Ze względu na powiązania miedzy nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi modele wielorównaniowe klasyfikuje się na: modele proste , modele rekurenc yjne i modele o równaniach współzale żnych. Klasyfikacja ta jest istotna z punktu widzenia metody szacowania parametrów. Rozpoznania klasy modelu wielorównaniowego dokonuje się w drodze badania własności macierzy B para metrów strukturalnych znajdujących się przy zmiennych endogenicznych bez opóźnień czasowych. Jeżeli macierz B jest macierzą diagonalną, lub okaże się taką po przenumerowaniu równań modelu, to model nazywamy prostym. W modelach tej klasy nie występują powiązania między nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi. Zmienne te nie występują w żadnym z równań w roli zmiennych objaśniających. Jeżeli ma cierz B jest macierzą trójkątną lub okaże się taka po przenumerowaniu równań modelu albo po zmianie miejsca zmiennych w równaniach, to model nazywamy rekurencyjnym. W modelach tej klasy w danym równaniu w roli zmiennych objaśniających mogą występowa tylko te nieopóźnione w czasie zmienne endogeniczne, które we wcześniejszych równaniach pełniły rolę objaśnianych. Jeżeli w wyniku przenumerowania równań lub zmiany miejsca zmiennych w równaniach nie otrzyma my z ma cierzy B ani macierzy diagonalnej, ani macierzy trójkątnej, to model jest modelem o równaniach współzależnych. W modelach tej klasy nieopóźnione w czasie zmienne endogeniczne mogą w dowolnym równaniu pełnić rolę zmiennych objaśniających.
8.4. S zacowanie parametrów modeli prostych i rekurenc yjn ych
W wielorównaniowych modelach prostych i rekurencyjnych nie występują sprzężenia zwrotne między nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi. Dlatego każde równanie tych modeli można rozpatrywać osobno i traktować jako model jednorównaniowy. P arametry każdego równania mogą być szacowane klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.
8.5. Identyf ikowalność modeli o równaniach współzale żnych
P rzed przystąpieniem do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych należy zbadać identyfikowalność poszczególnych równań. Jeśli równanie jest identyfikowalne, to można oszacować jego parametry. Jeśli równanie nie jest identyfikowalne, to nie można oszacować jego parametrów. Cały model o równaniach współzależnych jest identyfikowalny, jeśli wszystkie jego równania są identyfikowalne. Twierd ze nie : Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby i-te równanie wchodzące w skład modelu o m równaniach współzależnych było identyfikowalne, jest by macierz Ai para metrów znajdujących się przy zmiennych, które są w modelu, a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana, była rzędu m-1. Niech ki oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w modelu, a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana. Jeśli ki=m-1, to równanie jest jednoznacznie identyfikowalne. Jeśli ki>m-1, to równanie jest niejednoznacznie identyfikowalne. Jeśli ki<m-1, to równanie nie jest identyfikowalne. Rozróżnienie to jest istotne z punktu widzenia metody szacowania parametrów modelu o równaniach współzależnych.
8.6. Pośrednia metoda najmniejszych kwadrató w
P ośrednia metoda najmniejszych kwadratów ma zastosowanie do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie identyfikowalnych. Metoda ta może być także stosowana do szacowania parametrów pojedynczych równań jednoznacznie identyfikowalnych wchodzących w skład modelu o równaniach współzależnych. Idea pośredniej metody najmniejszych kwadratów polega na wykorzystaniu ocen parametrów postaci zredukowanej do uzyskania ocen parametrów postaci strukturalnej. P rocedura pośredniej metody najmniejszych kwadratów jest następująca:
- Sprowadza się model do postaci zredukowanej:
Y Z
T
- P arametru postaci zredukowanej szacuje się klasyczną metodą najmniejszych kwadratów wykorzystując wzór:
P (Z Z) Z Y
T 1 T
gdzie:
m 1 m 2 mk
21 22 2 k
11 12 1 k T
p p ... p
p p ... p
p p ... p
P
T
parametrów postaci zredukowanej;
m 1 m 2 mk
21 22 2 k
11 12 1 k
z z ... z
z z ... z
z z ... z
Z
zmiennych z góry ustalonych występujących w modelu;
m 1 m 2 mk
21 22 2 k
11 12 1 k
y y ... y
y y ... y
y y ... y
Y
zmiennych łącznie współzależnych występujących w modelu. Można również szacować parametry każdego równania zredukowanego oddzielnie na podstawie wzoru:
i
T 1 T
pi (Z Z) Z y (i=1,2,...,m)
gdzie:
p [pi 1 ,pi 2 ,...,pik]
T
i^ -^ wektor^ ocen parametrów i-tego równania postaci zredukowanej,
ni
2 i
1 i
i
y
.
.
.
y
y
y
- wektor obserwacji zmiennej łącznie
współzależnej, pełniącej rolę zmiennej objaśnianej w szacowanym równaniu.
- Oceny parametrów postaci strukturalnej rozwiązuje się w drodze rozwiązywania układu równań:
T
BP
Jeśli szacuje się parametry pojedynczego, l -tego, równania modelu, oceny parametrów il oraz γjl znajduje się w drodze przyrównania do siebie elementów l-tego wiersza macierzy BP T^ i l-tego wiersza ma cierzy.
8.7. Pod wójna metoda najmniejszych kwadrató w
P odwójna metoda najmniejszych kwadratów służy do oszacowania parametrów równań modeli o równaniach współzależnych zarówno jednoznacznie, jak i niejednoznacznie identyfikowalnych. P arametry każdego równania szacuje się oddzielnie. Niech i oznacza numer szacowanego równania. W równaniu tym występuje h zmiennych endogenicznych bez opóźnień czasowych, przy czym h-1 niech pełni rolę zmiennych objaśniających. Ponadto w szacowanym równaniu występuje f z miennych z góry ustalonych. Szacowane równanie przedstawia się następująco: h
l i
l 1
f
j 1
Yi ilYl ijZj i
Idea podwójnej metody najmniejszych kwadratów polega na tym, że z mienne łącznie współzależne Y 1 , Y 2 , ...,Yi-1,Yi+1,...,Yh występujące w danym równaniu w roli zmiennych objaśniających wyraża się przez zmienne z góry ustalone modelu Z 1 , Z 2 ,...,Zk, co jest równoznaczne z wyznaczeniem postaci zredukowanej:
k
j 1
Yl ljZj l (l=1,2,...,i-1,i+1,...,h)
P arametry postaci zredukowanej szacuje się metodą najmniejszych kwadratów korzystając ze wzoru:
i
T 1 T
Pi (Z Z) Z Y
gdzie Z – macierz (n x k) obserwacji zmiennych z góry ustalonych całego modelu; Yi – macierz [n x (h-1)] obserwacji zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym równaniu w roli zmiennych objaśniających; P (^) i – macierz [k x (h-1)] ocen parametrów postaci zredukowanej zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym równaniu w roli zmiennych objaśniających. Na podstawie oszacowanej postaci zredukowanej oblicza się teoretyczne wartości zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym równaniu w roli zmiennych objaśniających:
Yi ZPi
gdzie: Yˆi- ma cierz [n x (h-1)] wartości teoretycznych
tych zmiennych. Oszacowane zmienne łącznie współzależne, pełniące w danym równaniu rolę zmiennych objaśniających, wstawia się do tego równania tak, że otrzymuje się równanie o postaci: h
l i
l 1
f
j 1
i ilYl ijZj i
Y
P arametry tego równania szacuje się metodą najmniejszych kwadratów korzystając ze wzoru:
i
T
i i
i i
T
i i i
i
i YZ] y
[YˆZ][YˆZ] [ˆ
c
b
a
gdzie: ai – wektor [(h-1+f) x 1] ocen para metrów strukturalnych szacowanego równania; bi – wektor [(h-
- x 1] ocen para metrów strukturalnych przy zmiennych łącznie współzależnych występujących w s zacowanym równaniu w roli zmiennych objaśniających; ci – wektor (f x 1) ocen parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych w szacowanym równaniu; Zi – ma cierz (n x f) obserwacji zmiennych z góry ustalonych
w szacowanym równaniu; yi – wektor (n x 1) obserwacji zmiennej endogenicznej bez opóźnień czasowych, pełniącej rolę zmiennej objaśnianej. Wzór powyższy można zapisać w postaci równoważnej jako:
i
T
i
i
T
i
i
T
i i
T
i
i
T
i i
T
i
i
i
Z y
Yˆ y
Z Yˆ Z Z
Yˆ Yˆ Yˆ Z
c
b
Wariancję odchyleń losowych danego równania szacuje się na podstawie wzoru:
n (h 1 f)
e e
S
i
T
2 i ie
gdzie ei oznacza wektor reszt szacowanego równania. Oceną macierzy wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych szacowanego równania jest: 1
i
T
i i
T
i
i
T
i i
T
(^2) i ie i
2 i
Z Yˆ Z Z
Yˆ Yˆ Yˆ Z
S
c
b
D
