Pobierz Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. i więcej Notatki w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. De nicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
De nicja Przestrzeni¡ dwuwymiarow¡ (pªaszczyzn¡) (oznaczan¡ przez R^2 ) nazywamy zbiór par uporz¡dkowanych (x, y), gdzie x, y ∈ R.
R^2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.
Przestrzeni¡ trójwymiarow¡ (przestrzeni¡) (oznaczan¡ przez R^3 ) nazywamy zbiór uporz¡dkowa- nych trójek (x, y, z), gdzie x, y, z ∈ R.
R^3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
Elementy (x, y) oraz (x, y, z) nazywamy punktami, odpowiednio, pªaszczyzny i przestrzeni. Liczby x, y i z nazywamy wspóªrz¦dnymi kartezja«skimi punktów.
De nicja Odlegªo±ci¡ punktów P 1 = (x 1 , y 1 ) oraz P 2 = (x 2 , y 2 ) na pªaszczy¹nie nazywamy liczb¦ |P 1 P 2 | okre±lon¡ wzorem |P 1 P 2 | =
(x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2
Odlegªo±ci¡ punktów P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) oraz P 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) w przestrzeni nazywamy liczb¦ |P 1 P 2 | okre±lon¡ wzorem |P 1 P 2 | =
(x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2 + (z 1 − z 2 )^2
De nicja Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór O(P 0 , r) = {P : |P P 0 | < r}.
Otoczeniem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte o ±rodku w P 0 i promieniu r. Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o ±rodku w P 0 i promieniu r.
De nicja S¡siedztwem o promieniu r > 0 punktu P 0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór S(P 0 , r) = O(P 0 , r) \ {x 0 }.
S¡siedztwem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte bez ±rodka. S¡siedztwem punktu w prze- strzeni jest kula otwarta bez ±rodka.
Uwaga Je±li promie« r nie b¦dzie istotny w rozwa»aniach, to b¦dziemy pisa¢ krótko O(P 0 ) oraz S(P 0 ).
De nicja Mówimy, »e zbiór A jest ograniczony, gdy istnieje punkt P 0 oraz r > 0 takie, »e
A ⊂ O(P 0 , r),
tzn. »e zbiór A mo»na zawrze¢ w otoczeniu pewnego punktu z rozwa»anej przestrzeni. W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy nieograniczonym.
De nicja Mówimy, »e P jest punktem wewn¦trznym zbioru A je±li istnieje otoczenie tego punktu zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba r > 0 taka, »e
O(P, r) ⊂ A.
Zbiór wszystkich punktów wewn¦trznych zbioru nazywamy jego wn¦trzem i oznaczamy przez IntA.
De nicja Zbiór nazywamy otwartym, gdy ka»dy punkt tego zbioru jest jego punktem wewn¦trz- nym.
Dla n = 2 mamy funkcj¦ dwóch zmiennych z = f (x, y).
Dla n = 3 mamy funkcj¦ trzech zmiennych w = f (x, y, z).
De nicja Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na podzbiorze przestrzeni Rn. Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to zbiór punktów przestrzeni, dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji f.
Funkcje dwóch zmiennych.
Dla funkcji dwóch zmiennych zde niujmy poj¦cie wykresu i poziomicy wykresu funkcji.
De nicja Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy podzbiór przestrzeni R^3 zde niowany wzorem {(x, y, z) ∈ R^3 : z = f (x, y)}.
De nicja Poziomic¡ wykresu funkcji f odpowiadaj¡c¡ poziomowi h ∈ R nazywamy podzbiór pªaszczyzny R^2 zde niowany wzorem
{(x, y) ∈ R^2 : f (x, y) = h}.
Wykresy wa»niejszych funkcji dwóch zmiennych (f : R^2 → R)
- Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest pªaszczyzna o wektorze normalnym ~n = [−A, −B, 1 ], przechodz¡ca przez punkt (0, 0 , C).
- Wykresem funkcji z = a(x^2 + y^2 ), gdzie a 6 = 0, jest paraboloida obrotowa, czyli powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu paraboli z = ax^2 (lub z = ay^2 ) wokóª osi Oz.
- Wykresem funkcji z = ±
R^2 − x^2 − y^2 jest górna lub dolna póªsfera o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu R > 0.
- Wykresem funkcji z = k
x^2 + y^2 , gdzie k 6 = 0, jest sto»ek, czyli powierzchnia powstaªa z obrotu póªprostej z = kx, y = 0 dla x ≥ 0 wokóª osi Oz.
Wykres funkcji z = −f (x, y)
powstaje z wykresu funkcji z = f (x, y) przez symetryczne odbicie wzgl¦dem pªaszczyzny xOy.
Granice i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych.
De nicja Mówimy, »e ci¡g punktów {Pn}n∈N = {(xn, yn)}n∈N d¡»y do punktu P 0 = (x 0 , y 0 ), co oznaczamy (^) nlim→∞ Pn = P 0 lub (^) nlim→∞(xn, yn) = (x 0 , y 0 ), wtedy i tylko wtedy, gdy
n^ lim→∞ xn^ =^ x^0 ∧^ nlim→∞ yn^ =^ y^0. (Oznacza to zbie»no±¢ dla ka»dej wspóªrz¦dnej.)
De nicja (Heinego) Niech funkcja f b¦dzie okre±lona przynajmniej na s¡siedztwie punktu (x 0 , y 0 ). Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x 0 , y 0 ) granic¦ wªa±ciw¡ g ∈ R, co zapisujemy
(x,y)→^ lim(x 0 ,y 0 ) f^ (x, y) =^ g,
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ci¡gów punktów {(xn, yn)}n∈N ⊂ S(x 0 , y 0 ) zachodzi wa- runek (^) [
n^ lim→∞(xn, yn) = (x^0 , y^0 )
]
[
n^ lim→∞ f^ (xn, yn) =^ g
]
Uwaga Podobnie de niujemy granice niewªa±ciwe funkcji dwóch zmiennych.
Przykªad Dla funkcji f (x, y) = x
(^2) + 3y 2 x^2 + y^2 nie istnieje granica w punkcie (0, 0).
Je»eli rozwa»ymy ci¡g punktów (xn, yn) =
n ,^0
, to (^) nlim→∞(xn, yn) = (0, 0) i ci¡g ten d¡»y do
punktu (0, 0) wzdªu» osi Ox.
Je»eli natomiast rozwa»ymy ci¡g punktów (x′ n, y n′) =
0 , (^) n^1
, to (^) nlim→∞(x′ n, y′ n) = (0, 0), ale ci¡g
ten d¡»y do punktu (0, 0) wzdªu» osi Oy. Otrzymujemy wtedy sprzeczno±¢ z de nicj¡ Heinego, bo
n^ lim→∞ f^ (xn, yn) =^ nlim→∞
n
n
+ 0^2
n^ lim→∞ f^ (x′^ n, y′^ n) =^ nlim→∞^0
(^2) + 3 · (^1 n^ )^2 02 +
n
