Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2, Skrypty z Analiza matematyczna

Pobierz Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 i więcej Skrypty w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity! Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/∼kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej 1 i 2 jaki prowadziłem w latach 2002-2005 na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkie- go. Pomyślana jest ona jako podręcznik analizy matematycznej dla studentów pierwszego roku matematyki oraz zaawansowanych studentów innych specjalności. Głównymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. Wykład obejmuje podstawowe wiado- mości z zakresu analizy matematycznej jednej zmiennej, począwszy od liczb rzeczywistych, funkcji elementarnych, ciągów i szeregów liczbowych i funkcyjnych, ciągłości i różniczko- walności aż po całkę Riemanna. Zakładamy znajomość podstaw logiki i teorii mnogości – między innymi pojęcie funkcji oraz podstawowe jej własności (obrazu, przeciwobrazu itp.). W tekście wykładu podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich będziemy powoływać się w dalszej części tekstu. W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następujących au- torów: J. Chądzyńskiego, G. M. Fichtenholza, F. M. Filipczaka, T. Krasińskiego, K. Ku- ratowskiego i A. Mostowskiego, F. Lei, S. Łojasiewicza, A. Mostowskiego i M. Starka, W. Rudina, W. Sierpińskiego, wymienionych spisie literatury. Czytelnika pragnącego pogłębić wiadomości z analizy matematycznej jednej zmiennej odsyłam do monografii W. Rudina oraz G. M. Fichtenholza. Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyń- skiemu, Pani Profesor Ewie Hensz-Chądzyńskiej, Pani Doktor Ludwice Kaczmarek oraz Pani Annie Bąkowskiej za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu. Stanisław Spodzieja Łódź, czerwiec 2005 roku 6 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Definicja inkluzji. Niech A, B będą zbiorami. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Piszemy wówczas A ⊂ B lub B ⊃ A i mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B. Stosunek ⊂ nazywamy stosunkiem inkluzji. Definicja różnicy zbiorów. Niech A,B ⊂ X. Różnicą zbiorów (4) A i B nazywamy zbiór A \B = {x ∈ A : x 6∈ B}. Zbiór X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A. Definicja pary uporządkowanej. Niech a, b ∈ X. Zbiór złożony z elementu a (i tylko elementu a) oznaczamy {a}. Zbiór złożony z elementów a, b oznaczamy {a, b}. Parą upo- rządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {a, {a, b}} i oznaczamy (a, b). Niech a, b, c, d ∈ X. Wówczas (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d. Definicja iloczynu kartezjańskiego. Niech A,B ⊂ X. Zbiór {(a, b) : a ∈ A i b ∈ B} nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy A×B. Własność par uporządkowanych, nazywamy relacjami, dokładniej Definicja relacji dwuczłonowej. Niech X, Y będą zbiorami. Relacją dwuczłonową na- zywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y . Jeśli R ⊂ X × Y jest relacją, to dla każdego (x, y) ∈ R piszemy xRy i mówimy, że x jest w relacji R z y. Definicja relacji równoważności. Niech X będzie zbiorem. Relację R ⊂ X ×X nazy- wamy relacją równoważności, gdy R spełnia warunki: Zwrotność. Dla każdego x ∈ X, xRx, Symetria. Dla każdych x, y ∈ X, (xRy ⇒ yRx). Przechodniość. Dla każdych x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz ⇒ xRz). Definicja funkcji. Niech A,B ⊂ X będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B nazywamy dowolny podzbiór F ⊂ A × B taki, że dla każdego a ∈ A istnieje dokładnie jedno b ∈ B dla którego (a, b) ∈ F (5). Wtedy piszemy F : A → B. Funkcję nazywamy również lub przekształceniem lub przyporządkowaniem. Zbiór F nazywamy również wykresem funkcji F . Elementy a ∈ A nazywamy argumentami funkcji F , zbiór A zaś – dziedziną funkcji F . Zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji F . ze zbioru X nazywamy formułą zdaniową. Mówimy, że element a ∈ X spełnia formułę ϕ(x), jeśli po podstawieniu elementu a w miejsce zmiennej x, wyrażenie ϕ(x) staje siȩ zdaniem prawdziwym. Twierdzenie A. Dla każdej formuły zdaniowej ϕ(x) i dla każdego zbioru A istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które spełniają tę formułę zdaniową. 4Twierdzenie B. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B. 5inaczej, dla każdego a ∈ A oraz każdych b, c ∈ B, jeśli (a, b) ∈ F i (a, c) ∈ F , to b = c. 7 Jeśli a ∈ A, to jedyny element b ∈ B taki, że (a, b) ∈ F nazywamy wartością funkcji F w punkcie a i piszemy b = F (a). Funkcje będziemy oznaczać literami F, f, ϕ. Definicja obrazu. Niech F : A→ B. Jeśli C ⊂ A, to zbiór {b ∈ B : ∃a∈C b = F (a)} nazywamy obrazem zbioru C i oznaczamy F (C). Definicja zbioru wartości funkcji. Niech F : A→ B. Zbiór F (A) nazywamy zbiorem wartości funkcji F . Definicja surjekcji.Niech F : A→ B. Jeśli zbiór wartości funkcji F jest równy przeciw- dziedzinie B, to mówimy, że funkcja F jest surjekcją lub jest funkcją ”na”. Definicja przeciwobrazu. Niech F : A→ B. Przeciwobrazem zbioru D ⊂ B nazywamy zbiór {a ∈ A : F (a) ∈ D} i oznaczamy F−1(D). Definicja rodziny zbiorów. Niech dane będą zbiory niepuste X, S i niech każdemu elementowi s ∈ S będzie przyporządkowany zbiór As ⊂ X. Zbiór {As : s ∈ S} (zawarty w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru X) nazywamy rodziną zbiorów lub rodzi- ną podzbiorów złożoną ze wszystkich zbiorów As, gdzie s ∈ S. Zbiór S nazywamy zbiorem wskaźników. Definicja sumy i iloczynu rodziny zbiorów. Niech R będzie rodziną podzbiorów ustalonego zbioru X. Zbiór {x ∈ X : ∃A∈R x ∈ A} nazywamy sumą rodziny(6) R i oznaczamy ⋃A∈RA. Zbiór {x ∈ X : ∀A∈R x ∈ A} nazywamy iloczynem (7) lub częścią wspólną rodziny R i oznaczamy ⋂A∈RA. Jeśli R = {As : s ∈ S}, to sumę tej rodziny zapisujemy ⋃ s∈S As oraz iloczyn zapisujemy ⋂ s∈S As. Niech A, B ⊂ X będą zbiorami. Sumę zbiorów A, B (tzn. sumę rodziny {A,B}) oznaczamy A ∪ B. Iloczyn zbiorów A, B oznaczamy A ∩ B. Jeśli A ∩ B = ∅, to zbiory A,B nazywamy rozłącznymi. W teorii mnogości dowodzi się następujących własności obrazu i przeciwobrazu. 6Istnienie sumy wynika z Aksjomatu III. 7Istnienie iloczynu wynika z twierdzenia B i Aksjomatu III. 8 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Twierdzenie 1. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów A, B, As, gdzie s ∈ S, zbioru X mamy: (a) (A ⊂ B) ⇒ (f(A) ⊂ f(B)), (b) A ⊂ f−1(f(A)), (c) f( ⋃ s∈S As) = ⋃ s∈S f(As), (d) f( ⋂ s∈S As) ⊂ ⋂ s∈S f(As). Twierdzenie 2. Niech f : X → Y . Dla dowolnych podzbiorów C, D, Cs, gdzie s ∈ S, zbioru Y mamy: (a) (C ⊂ D) ⇒ (f−1(C) ⊂ f−1(D)), (b) f−1(C \D) = f−1(C) \ f−1(D), (c) f(f−1(C)) ⊂ C oraz f(f−1(C)) = C, gdy C ⊂ f(X), (d) f−1( ⋃ s∈S Cs) = ⋃ s∈S f −1(Cs), (e) f−1( ⋂ s∈S Cs) = ⋂ s∈S f −1(Cs), Definicja funkcji identyczność. Funkcję id A : A → A określoną wzorem id A(x) = x dla x ∈ A nazywamy identycznością na zbiorze A. Definicja obcięcia funkcji. Jeśli f : X → Y jest funkcją i A ⊂ X – zbiorem niepustym, to funkcję g : A → Y określoną wzorem g(x) = f(x) dla x ∈ A nazywamy obcięciem lub zawężeniem funkcji f do zbioru A i oznaczamy f |A. Definicja złożenia funkcji. Jeśli f : X → Y oraz g : Z → W są funkcjami oraz f(X) ⊂ Z, to funkcję h : X → W określoną wzorem h(x) = g(f(x)) dla x ∈ X nazywamy złożeniem funkcji f i g i oznaczamy g◦f . Wtedy funkcję f nazywamy wewnętrzną, funkcję g zaś zewnętrzną złożenia g ◦ f . Definicja funkcji różnowartościowej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest różno- wartościowa lub jest injekcją, gdy dla każdych a, b ∈ X, a 6= b zachodzi f(a) 6= f(b). Definicja bijekcji. Funkcję f nazywamy bijekcją, gdy jest injekcją i surjekcją (tzn. jest różnowartościowa i ”na”). Definicja funkcji odwrotnej. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest odwracalna, gdy istnieje funkcja g : Y → X taka, że dla każdego (x, y) ∈ X × Y zachodzi y = f(x) ⇔ x = g(y). Wtedy funkcję g nazywamy odwrotną do f i oznaczamy f−1. Wprost z definicji funkcji odwracalnej mamy: Twierdzenie 3. Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. Twierdzenie 4. Funkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g : Y → X taka, że g ◦ f = idX oraz f ◦ g = id Y . 2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 11 Własność 2.1.3. (a) Każdy x ∈ R ma dokładnie jeden element przeciwny. (b) Każdy x ∈ R, x 6= 0 ma dokładnie jeden element odwrotny. Dowód. Udowodnimy (a). Część (b) dowodzi się analogicznie. Weźmy x ∈ R. Z Ak- sjomatu I.5 wynika istnienie z ∈ R takiego, że 0 = x+ z. Jeśli z̃ ∈ R również spełnia ten warunek, to z aksjomatów mamy z = z + 0 = z + (x+ z̃) = (z + x) + z̃ = 0 + z̃ = z̃, co należało udowodnić.  Definicja sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Niech x, y ∈ R. Wynik działania dodawania x + y nazywamy sumą x i y a liczby x, y nazywamy składnikami tej sumy. Wynik działania mnożenia x · y nazywany iloczynem x i y a liczby x, y nazywamy czynnikami tego iloczynu. Liczbę z ∈ R taką, że y = x+ z nazywamy różnicą y i x. Jeśli x 6= 0, to liczbę z ∈ R taką, że y = x · z nazywamy ilorazem y przez x. Definicja odejmowania. Odejmowaniem nazywamy działanie − : R×R→ R określone wzorem x− y = x+ (−y) dla x, y ∈ R. Definicja dzielenia. Dzieleniem nazywamy działanie :: R × (R \ {0}) → R określone wzorem x : y = x · (1/y) dla x, y ∈ R, y 6= 0. Własność 2.1.4. (a) Dla dowolnych x, y ∈ R istnieje dokładnie jedna różnica x i y równa x− y. (b) Dla dowolnych x, y ∈ R, y 6= 0 istnieje dokładnie jeden iloraz x przez y równy x : y. Dowód. Ad. (a) Niech x, y ∈ R oraz z, z̃ ∈ R będą różnicami x i y, czyli x = y + z, x = y+z̃. Z własności 2.1.3(a) liczba −y jest określona jednoznacznie, zatem z aksjomatów mamy z = ((−y) + y) + z = (−y) + (y + z) = (−y) + x = (−y) + (y + z̃) = z̃, czyli różnica x i y jest dokładnie jedna. Różnica x i y jest równa x− y, gdyż y + (x− y) = y + (x+ (−y)) = (y + (−y)) + x = x. Część (b) dowodzimy analogicznie.  Własność 2.1.5. Dla każdego x ∈ R mamy 0 · x = x · 0 = 0. 12 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Ponieważ 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x+ 0 · x, więc 0 · x jest różnicą 0 · x i 0 · x, czyli 0 · x = 0 (własność 2.1.4(a)).  Własność 2.1.6. W R nie ma dzielników zera, to znaczy jeśli dla x, y ∈ R zachodzi x · y = 0, to x = 0 lub y = 0. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją x 6= 0, y 6= 0 takie, że x · y = 0. Wówczas z Aksjomatu I.5 istnieją z, w ∈ R takie, że 1 = xz, 1 = yw. Zatem z Aksjomatów I.1 i I.2 i własności 2.1.5 mamy 1 = 1 · 1 = (x · z) · (y · w) = (x · y) · (z · w) = 0 · (z · w) = 0, co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4.  W dalszym ciągu tradycyjnie znak mnożenia ”·” będziemy opuszczać i pisać xy zamiast x · y, oraz zamiast x : y będziemy pisać x/y lub x y . Przyjmujemy, że działania mnożenia i dzielenia mają pierwszeństwo przed działaniami dodawania i odejmowania. Często piszemy y > x zamiast x < y. Definicja relacji nierówności. Relację x < y nazywamy nierównością i mówimy x jest mniejsze od y lub y jest większe od x. Własność 2.1.7. Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzi dokładnie jeden z poniższych warun- ków: x = y, x < y, y < x. Dowód. Na mocy Aksjomatu II.1 co najmniej jeden z tych warunków musi zachodzić. Przypuśćmy, że zachodzą co najmniej dwa warunki. Pokażemy, że wówczas x < x. Jeśli zachodzi x < y i y < x, to z Aksjomatu II.2 mamy x < x. Jeśli zachodzi x = y i x < y (ewentualnie y < x), to mamy x < x. Pokazaliśmy w każdej sytuacji, że z przypuszczenia, wynika że zachodzi x < x. Stąd i z Aksjomatu II.3 mamy, że nie zachodzi x < x. Otrzymana sprzeczność daje tezę.  Własność 2.1.8. 0 < 1. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że 1 < 0. Wówczas z Aksjomatu III.1, 1 + (−1) < 0 + (−1) i w konsekwencji z Aksjomatu I.4 mamy 0 < (−1). Stosując teraz Aksjomat III.2 i wła- sność 2.1.5 dostajemy −1 = (−1) · 1 < 0 · (−1) = 0, czyli −1 < 0. To wraz z poprzednim daje, że 0 < (−1) oraz −1 < 0, co w myśl własności 2.1.7 jest niemożliwe.  2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 13 Wniosek 2.1.9. Niech x ∈ R. Wówczas zachodzą następujące: (a) x < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < −x. (b) Jeśli x 6= 0, to x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 0. (c) Jeśli x > 0, to x < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 1. Dowód. Ad. (a) ⇒. Załóżmy, że x < 0. Wówczas z Aksjomatu II.1 mamy 0 = x+ (−x) < 0 + (−x) = −x, więc 0 < −x. ⇐. Analogicznie jak powyżej, zakładając że 0 < −x, mamy x = 0 + x < (−x) + x = 0, więc x < 0. Ad. (b) ⇒. Załóżmy, że x > 0. Pokażemy, że 1/x > 0. Przypuśćmy przeciwnie, że nierówność 1/x > 0 nie zachodzi. Wówczas, wobec własności 2.1.7, 1/x = 0 lub 1/x < 0. Jeśli 1/x = 0, to z własności 2.1.5 mamy 1 = (1/x) · x = 0 · x = 0, co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4. Jeśli 1/x < 0, to z Aksjomatu III.2 i własności 2.1.5 dostajemy 1 = (1/x) · x < 0 · x = 0, co jest sprzeczne z własnością 2.1.8 i 2.1.7. Doszliśmy do sprzeczności, a więc przypuszczenie było fałszywe. Zatem 1/x > 0. ⇐. Załóżmy, że 1/x > 0. Pokażemy, że x > 0. Przypuszczając przeciwnie, że x < 0 (gdyż z założenia, x 6= 0) mamy 1 = (1/x) · x < (1/x) · 0 = 0, co jest niemożliwe. Zatem musi zachodzić x > 0. Ad. (c) ⇒. Załóżmy, że 0 < x < 1. Pokażemy, że 1/x > 1. Przypuśćmy przeciwnie, że 1/x = 1 lub 1/x < 1. Jeśli 1/x = 1, to x = (1/x) · x = 1, co jest sprzeczne z założeniem, że x < 1. Jeśli 1/x < 1, to z Aksjomatu III.2 dostajemy 1 = (1/x) · x < 1 · x = x < 1, co jest niemożliwe. Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić 1/x > 1. ⇐. Załóżmy, że 1/x > 1. Pokażemy, że x < 1. Przypuśćmy przeciwnie, że x = 1 lub x > 1. Jeśli x = 1, to 1 = (1/x) · x = 1/x > 1, co jest niemożliwe. Jeśli x > 1, to 1 = x · (1/x) > 1 · (1/x) > 1, 16 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Zadanie 2.1.3. Niech x ∈ R. Dla dowolnego ε > 0, 1. |x| < ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε < x < ε, 2. |x| > ε wtedy i tylko wtedy, gdy −ε > x lub x > ε. Zadanie 2.1.4. Dla dowolnych x, y ∈ R mamy: 1. |x| > 0. 2. |xy| = |x||y|; |x||y| = | x y |, gdy y 6= 0. 3. |x+ y| 6 |x|+ |y|, |x− y| > ||x| − |y||. Zadanie 2.1.5. Dla dowolnego x 6= 0 zachodzi sgn (x) = |x| x . 2.2 Kresy W punkcie tym przedstawimy ważne konsekwencje aksjomatu ciągłości. Definicja zbioru ograniczonego. Niech E ⊂ R. Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M ∈ R taka, że dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 M . Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z góry. Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m ∈ R taka, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > m. Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z dołu. Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciw- nym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym. Definicja kresu górnego i dolnego zbioru. Niech E ⊂ R. Liczbę M ∈ R spełniającą warunki: 1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E, 2) dla każdego M ′ < M istnieje x ∈ E, takie że x > M ′, nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy supE. Liczbę m ∈ R spełniającą warunki: 1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E, 2) dla każdego m′ > m istnieje x ∈ E, takie że x < m′, nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E. Uwaga 2.2.1. W myśl przyjętych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z góry nie mają kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z dołu nie mają kresów dolnych. Na końcu tego rozdziału rozszerzymy zbiór liczb rzeczywistych w ten sposób, że wszystkie zbiory będą miały kresy górny i dolny. 2.2. KRESY 17 Definicja maksimum i minimum zbioru. Niech E ⊂ R. Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 x0 nazywamy elementem maksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem największym zbioru E i oznaczamy maxE. Element x0 ∈ E taki, że dla każdego x ∈ E zachodzi x > x0 nazywamy elementem minimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem najmniejszym zbioru E i oznaczamy minE. Uwaga 2.2.2. Z własności 2.1.7 dostajemy natychmiast, że jeśli zbiór E ⊂ R ma maksi- mum, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Analogiczna uwaga zachodzi dla minimum, kresu górnego i dolnego. Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Własność 2.2.3. Jeśli x, y ∈ R, to max{x, y} = x+ y 2 + |x− y| 2 oraz min{x, y} = x+ y 2 − |x− y| 2 . W tym punkcie udowodnimy, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczy- wistych ma kres górny. Zanim przejdziemy do tego faktu wprowadźmy pojęcie przekroju Dedekinda i udowodnimy jeden lemat. Definicja przekroju Dedekinda. Niech A,B ⊂ R. Parę zbiorów (A,B) nazywamy przekrojem Dedekinda, gdy spełnione są warunki: 1) A 6= ∅, B 6= ∅, 2) A ∪B = R, 3) dla każdego x ∈ A oraz każdego y ∈ B zachodzi x < y. Lemat 2.2.4. Jeśli (A,B) jest przekrojem Dedekinda, to albo istnieje maxA albo istnieje minB. Dowód. Pokażemy najpierw, że istnieje maxA lub istnieje minB. Przypuśćmy prze- ciwnie, że nie istnieje maxA i nie istnieje minB. Wówczas, z definicji maksimum i mini- mum, dla każdego a ∈ A istnieje ã ∈ A, że a < ã oraz dla każdego b ∈ B istnieje b̃ ∈ B, że b̃ < b. To, wraz z określeniem przekroju Dedekinda daje sprzeczność z Aksjomatem IV.1 (zasada ciągłości Dedekinda). Do zakończenia dowodu wystarczy teraz pokazać, że maxA i minB nie mogą istnieć jednocześnie. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje maxA i istnieje minB. Wówczas z defi- nicji maksimum i minimum oraz z warunku 3) definicji przekroju Dedekinda dostajemy, że maxA < minB. Stąd, na mocy własności 2.1.10 dostajemy, że istnieje z ∈ R takie, że maxA < z < minB. W szczególności z 6∈ A oraz z 6∈ B. To przeczy warunkowi 2) definicji przekroju Dedekinda.  Twierdzenie 2.2.5. (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E. 18 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Niech A = {a ∈ R : istnieje x ∈ E, że a < x} oraz B = R \ A. Z określenia zbiorów A i B wynika, że każdy b ∈ B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Pokażemy najpierw, że (A,B) jest przekrojem Dedekinda, tzn. spełnia warunki 1), 2), 3) definicji przekroju Dedekinda. Ad 1) Ponieważ E 6= ∅, więc istnieje x ∈ E. Ponieważ x − 1 < x, więc x − 1 ∈ A i A 6= ∅. Ponieważ E jest ograniczony z góry, więc istnieje b ∈ R takie, że x 6 b dla każdego x ∈ E. Zatem b 6∈ A i w konsekwencji b ∈ B, czyli B 6= ∅. Ad 2) Z określenia zbiorów A i B mamy A ∪B = R. Ad 3) Niech a ∈ A, b ∈ B. Z określenia zbioru A dostajemy, że istnieje x ∈ E, że a < x. Ponieważ b jest ograniczeniem górnym zbioru E, więc x 6 b, zatem a < b. Reasumując, (A,B) jest przekrojem Dedekinda. W konsekwencji, z lematu 2.2.4 albo istnieje maxA albo istnieje minB. Pokażemy teraz, że nie istnieje maxA. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje maxA. Wówczas maxA ∈ A i z określenia zbioru A mamy, że istnieje x ∈ E, że maxA < x. Na mocy własności 2.1.10 istnieje c ∈ R takie, że maxA < c < x. Zatem c ∈ A. To jest niemożliwe, gdyż maxA < c. Pokazaliśmy więc, że nie istnieje maxA oraz istnieje minB. Pokażemy na koniec, że minB jest kresem górnym zbioru E. Ponieważ minB ∈ B, więc minB jest ograniczeniem górnym zbioru E. Weźmy dowolne M ′ < minB. Wówczas M ′ 6∈ B, więc M ′ ∈ A. Zatem z określenia zbioru A istnieje x ∈ E takie, że M ′ < x. Pokazaliśmy więc, że minB spełnia warunki 1) i 2) definicji kresu górnego, czyli supE = minB.  Analogicznie jak twierdzenie 2.2.5 dowodzimy Twierdzenie 2.2.6. (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E ⊂ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E. Z definicji maksimum i minimum zbioru dostajemy natychmiast Własność 2.2.7. Niech E ⊂ R. (i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i supE = maxE. (ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = minE. Definicja . Niech E,F ⊂ R, E 6= ∅, F 6= ∅. Przyjmujemy następujące oznaczania: −E = {x ∈ R : −x ∈ E}. E + F = {x ∈ R : x = y + z, y ∈ E, z ∈ F}. E · F = {x ∈ R : x = yz, y ∈ E, z ∈ F}. Dowody następujących dwóch własności pozostawiamy czytelnikowi. Własność 2.2.8. Niech E,F ⊂ R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry. (a) Wówczas inf(−E) = − supE. (b) Jeśli E ⊂ F , to supE 6 supF . (c) Jeśli dla dowolnego x ∈ E istnieje y ∈ F , że x 6 y, to supE 6 supF . 2.3. LICZBY NATURALNE 21 Dowód. Ad. (a) Dla dowolnego m ∈ N oznaczając N = {n ∈ N : m + n ∈ N} łatwo stosując twierdzenie 2.3.5 dostajemy N = N. Podobnie dla m ∈ N biorąc N ′ = {n : mn ∈ N} dostajemy N ′ = N. To daje (a). Ad. (b) Niech A = {n ∈ N : n − 1 ∈ N} oraz N ′′ = {1} ∪ A. Oczywiście N ′′ ⊂ N. Pokażemy, że N ′′ spełnia warunki (i), (ii) twierdzenia 2.3.5. (i) 1 ∈ N ′′ – oczywiste. (ii) Niech n ∈ N ′′. Pokażemy, że n + 1 ∈ N ′′. Istotnie, n ∈ N, więc n + 1 ∈ N oraz (n+ 1)− 1 = n ∈ N. Zatem n+ 1 ∈ A i w konsekwencji n+ 1 ∈ N ′′. Reasumując N ′′ = N. Ponadto warunki n = 1, n− 1 ∈ N wykluczają się, więc mamy (b). Ad (c) Niech N ′′′ = {n ∈ N : nie istnieje m ∈ N, że n < m < n+ 1}. Zauważmy, że 1 ∈ N ′′′. Istotnie, gdyby dla pewnego m ∈ N zachodziło 1 < m < 1+ 1, to wobec części (b) mielibyśmy m − 1 ∈ N oraz m − 1 < 1, co przeczy tezie własności 2.3.6. W konsekwencji 1 ∈ N ′′′. Niech n ∈ N ′′′. Pokażemy, że n + 1 ∈ N ′′′. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje m ∈ N takie, że n + 1 < m < (n + 1) + 1. Wówczas m > 1 + 1 > 1, więc m 6= 1 i z części (b) mamy m − 1 ∈ N. Stąd mamy n < m − 1 < n + 1, co przeczy temu, że n ∈ N ′′′. Zatem n+ 1 ∈ N ′′′. Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N ′′′ = N. Ad. (d) Część (d) wynika natychmiast z części (c). Ad (e) Niech N IV = {m ∈ N : dla każdego n ∈ N takiego, że n > m mamy n−m ∈ N}. Z części (b) dostajemy 1 ∈ N IV . Załóżmy, że m ∈ N IV . Weźmy dowolny n ∈ N takie, że n > m + 1. Wówczas n 6= 1, zatem n − 1 ∈ N oraz n − 1 > m, więc n − (m + 1) = (n − 1) − m ∈ N. Stąd i z dowolności n > m + 1 mamy m + 1 ∈ N IV . Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N IV = N.  Udowodnimy, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Za- cznijmy od definicji i dwóch lematów. Definicja . Dla dowolnego n ∈ N określamy Fn = {k ∈ N : k 6 n}. Piszemy również Fn = {1, ..., n} oraz k = 1, ..., n zamiast k ∈ Fn. Lemat 2.3.8. Dla dowolnego n ∈ N, Fn = {k ∈ N : k < n+ 1}. Dowód. Oznaczmy F′n = {k ∈ N : k < n + 1}. Oczywiście Fn ⊂ F′n. Pokażemy, że F′n ⊂ Fn. Weźmy dowolny k ∈ F′n. Wówczas k < n+ 1, więc z z własności 2.3.7(c) mamy k 6 n. To daje, że k ∈ Fn i w konsekwencji, że F′n ⊂ Fn. Reasumując Fn = F′n.  Lemat 2.3.9. Dla dowolnego n ∈ N, Fn+1 = Fn ∪ {n+ 1}. Dowód. W myśl lematu 2.3.8, dla n ∈ N mamy Fn+1 = {k ∈ N : k 6 n + 1} = {k ∈ N : k < n+ 1} ∪ {n+ 1} = Fn ∪ {n+ 1}.  22 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Twierdzenie 2.3.10. (zasada minimum). Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje niepusty zbiór A ⊂ N który nie ma ele- mentu najmniejszego. Połóżmy N = {n ∈ N : Fn ∩ A = ∅}. Pokażemy, że N = N. Istotnie: (i) 1 ∈ N , gdyż w przeciwnym razie {1} = F1 ∩ A i wobec własności 2.3.6 liczba 1 byłaby elementem najmniejszym zbioru A, co jest sprzeczne z przypuszczeniem. (ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n+1 ∈ N . Przypuśćmy, że n+1 6∈ N , czyli Fn+1∩A 6= ∅. Ponieważ n ∈ N , więc Fn ∩A = ∅, zatem, wobec lematu 2.3.9 mamy n+ 1 ∈ A. Ponadto z własności 2.3.7(d) dla każdego k ∈ A mamy k > n + 1. W konsekwencji n + 1 jest elementem najmniejszym zbioru A, wbrew przypuszczeniu. Reasumując n+ 1 ∈ N . Z (i), (ii) oraz zasady indukcji (twierdzenie 2.3.5) dostajemy N = N. Oczywiście dla każdego n ∈ N mamy n ∈ Fn, więc z określenia zbioru N dostajemy A = ∅. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.  Twierdzenie 2.3.11. (zasada indukcji o innym początku). Niech n0 ∈ N oraz Nn0 = {n ∈ N : n > n0}. Jeśli zbiór N ⊂ Nn0 spełnia warunki: (i) n0 ∈ N , (ii) jeśli n ∈ N , to n+ 1 ∈ N , to N = Nn0. Dowód. Niech N będzie zbiorem spełniającym (i) i (ii) oraz A = Nn0 \ N . Pokaże- my, że A = ∅. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że A 6= ∅. Wówczas z zasady minimum (twierdzenie 2.3.10) w zbiorze A istnieje element najmniejszy. Oznaczmy go przez m0. Wówczas, z określenia zbioru Nn0 mamy m0 > n0 oraz m0 ∈ A. Ponieważ z (i), n0 ∈ N , więc n0 6∈ A, zatem m0 > n0 i m0 6= 1. Stąd mamy m0− 1 ∈ N (patrz własności 2.3.7 (b) i (d)). To jest jednak niemożliwe, gdyż wtedy z (ii) mamy m0 = (m0 − 1) + 1 ∈ N .  Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 dowodzimy następujące Twierdzenie 2.3.12. (zasada indukcji skończonej). Niech n0,m0 ∈ N, n0 6 m0 oraz Nn0,m0 = {n ∈ N : n0 6 n 6 m0}. Jeśli zbiór N ⊂ Nn0,m0 spełnia warunki: (i) n0 ∈ N , (ii) dla każdego n < m0, jeśli n ∈ N , to n+ 1 ∈ N , to N = Nn0,m0. Z twierdzenia 2.3.10 dostajemy natychmiast Twierdzenie 2.3.13. (zasada indukcji). Niech N ⊂ N. Jeśli N spełnia warunki: (i) 1 ∈ N , (ii) jeśli Fn ⊂ N , to n+ 1 ∈ N , to N = N. 2.4. LICZBY CAŁKOWITE I LICZBY WYMIERNE 23 Definicja liczb parzystych i nieparzystych. Mówimy, że liczba naturalna n jest pa- rzysta, gdy istnieje k ∈ N, że n = 2k; w przeciwnym przypadku mówimy, że n jest liczbą nieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2N. Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy 2N− 1. ZADANIA Zadanie 2.3.1. Wykazać, że 2N = {2n : n ∈ N} oraz 2N− 1 = {2n− 1 : n ∈ N}. Zadanie 2.3.2. Jeśli n,m ∈ N oraz nm ∈ 2N, to n ∈ 2N lub m ∈ 2N. 2.4 Liczby całkowite i liczby wymierne Definicja liczby całkowitej. Każdą liczbę rzeczywistą, która jest różnicą dwóch liczb naturalnych nazywamy liczbą całkowitą. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy Z. Dowody poniższych dwóch prostych własności pozostawiamy czytelnikowi. Własność 2.4.1. N ⊂ Z. Własność 2.4.2. (a) Jeśli a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0. (b) Z ∩ R+ = N, Z ∩ R− = −N. (c) Dla dowolnych a, b ∈ Z mamy a+ b ∈ Z, ab ∈ Z, a− b ∈ Z. (d) Dla dowolnego a ∈ Z mamy −a ∈ Z. (e) 1/2 6∈ Z. Z własnoći 2.3.7 dostajemy Własność 2.4.3. (a) Dla każdego a ∈ Z nie istnieje b ∈ Z, że a < b < a+ 1. (b) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to a+ 1 6 b. (c) Dla dowolnych a, b ∈ Z, jeśli a < b, to b− a ∈ N. Twierdzenie 2.4.4. (zasada minimum dla liczb całkowitych). Każdy niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb całkowitych ma element najmniejszy. Dowód. Niech A ⊂ Z, A 6= ∅ będzie zbiorem ograniczonym z dołu i niech M ∈ R będzie jego dowolnym ograniczeniem dolnym. Na mocy zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2) istnieje liczba n0 ∈ N taka, że n0 > −M . Wówczas {n0} + A ⊂ N. Istotnie, dla a ∈ A mamy n0 + a ∈ Z oraz n0 + a > −M + a > 0, więc z własności 2.4.2(a) mamy n0 + a ∈ N. W konsekwencji {n0} + A ⊂ N. Zatem z twierdzenia 2.3.10 zbiór {n0} + A ma element najmniejszy. Oznaczmy go x0. Pokażemy, że x0−n0 jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, n0+(x0−n0) = x0 ∈ {n0} + A, więc x0 − n0 ∈ A. Ponadto dla każdego a ∈ A mamy n0 + a > x0, więc a > x0 − n0.  Analogicznie jak twierdzenie 2.3.11 (stosując twierdzenie 2.4.4 zamiast 2.3.10), dosta- jemy następujące dwie wersje zasady indukcji. 26 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Definicja określania funkcji przez indukcję. Niech X będzie niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × N→ X. Funkcję ϕ : N→ X spełniającą warunki (j) ϕ(1) = x, (jj) ϕ(n+ 1) = f(ϕ(n), n) dla każdego n ∈ N, nazywamy określoną indukcyjnie przez x i f . Twierdzenie 2.5.2. Jeśli X jest niepustym zbiorem, x ∈ X oraz f : X × N → X, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ określona indukcyjnie przez x i f . (4) Jako przykład definiowania przez indukcję podamy następującą definicję. Definicja silni. Niech X = N, x = 1 oraz f : N× N→ N będzie określona wzorem f(a, n) = a · (n+ 1) dla n ∈ N Wtedy funkcję ϕ : N→ N określoną indukcyjnie przez x i f nazywamy funkcją silnia i dla n ∈ N piszemy ϕ(n) = n!. Liczbę n! nazywamy n-silnia. Dodatkowo przyjmujemy 0! = 1. Uwaga 2.5.3. W literaturze dla n ∈ N, liczbę n-silnia określa się również następująco: n! = 1, gdy n = 1 oraz (n+ 1)! = n!(n+ 1). W świetle twierdzenia 2.5.2, jest to definicja równoważna powyższej. Ponadto dla każdego n ∈ N istnieje dokładnie jedna liczba n! oraz n! ∈ N. Definicja symbolu Newtona. Symbolami Newtona nazywamy liczby( m n ) = m! n!(m− n)! gdzie n, m ∈ Z, 0 6 n 6 m. ZADANIA spełniająca warunki (i′) ϕm(1) = x, (ii′) ϕm(k + 1) = f(ϕm(k), k) dla każdego k ∈ Fm−1 (przyjmujemy tutaj F0 = ∅). Z (i′) oraz (ii′) mamy 1 ∈ N . Niech teraz m ∈ N , m < n. Wówczas istnieje funkcja ϕm : Fm → X spełniająca (i′), (ii′). Biorąc ϕm+1 : Fm+1 → X określona̧ wzorami ϕm+1(n) = ϕm(n) dla n ∈ Fm oraz ϕm+1(m+1) = f(ϕm(m),m) dostajemy, że ϕm+1 spełnia (i′), (ii′) dla m+1. W konsekwencji m+1 ∈ N . Reasumując, z zasady indukcji skończonej mamy N = Fn. Przyjmując teraz ϕ = ϕn dostajemy tezę.  4Dowód twierdzenia 2.5.2. Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (j), (jj), to zbiór A = {n ∈ N : ϕ(n) 6= ψ(n)} jest niepusty. Zatem istnieje k = minA. Ponadto k > 1, bo z (j) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy k − 1 ∈ N oraz ϕ(k − 1) = ψ(k − 1). Zatem z (jj) mamy ϕ(k) = ψ(k), co jest niemożliwe, bo k ∈ A. Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Na mocy twierdzenia 2.5.1 dla każdego n ∈ N, zbiór funkcji określonych indukcyjnie przez x i f |X×Fn jest niepusty. Zatem, stosując aksjomat wyboru, istnieje zbiór funkcji ϕn : Fn → X, n ∈ N, spełniających warunki (i), (ii) definicji określania funkcji przez indukcję skończoną. Ponadto dla każdego n ∈ N mamy ϕn+1|Fn = ϕn. Określmy funkcję ϕ : N → X wzorem ϕ(n) = ϕn(n), n ∈ N. Funkcja ϕ spełnia warunki (j), (jj). Istotnie, mamy ϕ(1) = ϕ1(1) = x, czyli zachodzi (j). Weźmy n ∈ N. Wtedy ϕ(n) = ϕn+1(n), ϕ(n+ 1) = ϕn+1(n+ 1), zatem z (ii) mamy ϕ(n+ 1) = ϕn+1(n+ 1) = f(ϕn+1(n), n) = f(ϕ(n), n). To daje, że ϕ spełnia (jj) i kończy dowód.  2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE 27 Zadanie 2.5.1. Dla dowolnych n,m ∈ N, n 6 m zachodzi ( m n ) ∈ N. 2.6 Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne Definicja równoliczności. Dwa zbiory X, Y nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bi- jekcja zbioru X na zbiór Y . Dodatkowo przyjmujemy, że zbiór pusty jest równoliczny tylko ze zbiorem pustym. Uwaga 2.6.1. Relacja równoliczności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (5). Definicja zbioru skończonego, nieskończonego. Zbiór X nazywamy skończonym, gdy jest pusty lub równoliczny z pewnym zbiorem Fn = {k ∈ N : k 6 n}, gdzie n ∈ N. Jeśli X jest równoliczny z Fn, gdzie n ∈ N, to mówimy, że zbiór X jest n-elementowy.@ n-elementowy Zbiór X nazywamy nieskończonym, gdy nie jest on skończony. Definicja zbioru n-elementowego jest poprawna. Mamy bowiem następującą własność. Własność 2.6.2. Jeśli zbiory Fn i Fm są równoliczne, to n = m. Dowód. Zauważmy najpierw, że dla m ∈ N, m > 1 oraz k ∈ Fm zbiory Fm \ {k} i Fm−1 są równoliczne. Istotnie, funkcja ϕ : Fm \ {k} → Fm−1 określona wzorem ϕ(j) = j dla j < k, ϕ(j) = j − 1 dla j > k jest bijekcją (6). Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że zbiór N = {n ∈ N : Fn nie jest równo- liczny z Fm dla m ∈ N, m 6= n} jest równy N. Zastosujemy twierdzenie 2.3.5. (i) 1 ∈ N . Istotnie, F1 = {1} oraz dla m ∈ N, m 6= 1 mamy m > 1, więc 1, 2 ∈ Fm, a więc zbiory F1 i Fm nie mogą być równoliczne. (ii) Niech n ∈ N . Pokażemy, że n + 1 ∈ N . Przypuśćmy przeciwnie, że n + 1 6∈ N , czyli, że istnieje m 6= n+ 1 dla którego Fn+1 jest równoliczny z Fm. Ponieważ n+ 1 > 1, więc z części (i) dowodu mamy, że m > 1. Niech ψ : Fn+1 → Fm będzie bijekcją. Wtedy, Fn jest równoliczny z Fm \ {ψ(n + 1)} (patrz lemat 2.3.9). Z obserwacji poczynionej na początku dowodu mamy, że Fm \ {ψ(n+1)} jest równoliczny z Fm−1. W konsekwencji Fn jest równoliczny z Fm−1 oraz m− 1 6= n. To przeczy temu, że n ∈ N . Zatem n+ 1 ∈ N . Reasumując na mocy zasady indukcji matematycznej mamy, że N = N.  Własność 2.6.3. Jeśli zbiory A, B są skończone i rozłączne, to ilość elementów zbioru A ∪B jest sumą ilości elementów zbioru A i zbioru B. 5to znaczy: każdy zbiór X jest równoliczny ze zbiorem X (zwrotność), jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y , to zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem X (symetria), jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y i zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem Z, to zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Z (przechodniość). 6Funkcja ϕ jest różnowartościowa, gdyż jest różnowartościowa na A = {j ∈ Fm : j < k} oraz na B = {j ∈ Fm : j > k} oraz, wobec własności 2.3.7(d), ϕ(A)∩ϕ(B) = ∅. Ponadto ϕ(Fm \{k}) ⊂ Fm−1, bo dla 1 6 j < k mamy 1 6 ϕ(j) < k 6 m oraz dla k < j 6 m mamy k 6 ϕ(j) < m (własność 2.3.7). Mamy również Fm−1 ⊂ ϕ(Fm \ {k}), gdyż dla 1 6 j < k mamy j = ϕ(j) ∈ ϕ(Fm \ {k}) oraz dla k 6 j 6 m− 1 mamy k < j + 1 6 m i wtedy j = ϕ(j + 1) ∈ ϕ(Fm \ {k}). W konsekwencji ϕ(Fm \ {k}) = Fm−1, co wobec różnowartościowości ϕ daje, że ϕ jest bijekcją. 28 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Niech n będzie ilością elementów zbioru A oraz m – ilością elementów zbioru B. Niech ϕ : Fn → A, ψ : Fm → B będą bijekcjami. Kładąc f : Fn+m → A ∪B, wzorami: f(j) = ϕ(j) dla 1 6 j 6 n oraz f(j) = ψ(j−n) dla n+1 6 j 6 n+m, łatwo sprawdzamy, że f jest bijekcją. To daje tezę.  Twierdzenie 2.6.4. Każdy skończony i niepusty zbiór A ⊂ R ma minimum i maksimum. Dowód. Wystarczy pokazać, że N pokrywa się ze zbiorem N = {n ∈ N : każdy podzbiór n-elementowy zbioru R ma minimum i maksimum}. Mamy kolejno: (i) 1 ∈ N . Istotnie, niech A ⊂ R będzie równoliczny z F1. Wówczas istnieje bijekcja ϕ : F1 → A. Zatem A = {ϕ(1)} i maxA = minA = ϕ(1). To daje, że 1 ∈ N . (ii) Niech n ∈ N . Weźmy dowolny zbiór n+1-elementowy A ⊂ R i niech ϕ : Fn+1 → A będzie bijekcją. Wówczas zbiór A \ {ϕ(n + 1)} jest n-elementowy. Ponieważ n ∈ N , więc A \ {ϕ(n + 1)} ma maksimum i minimum. Niech x = min(A \ {ϕ(n + 1)}) oraz y = max(A \ {ϕ(n + 1)}). W myśl własności 2.1.7 istnieje z = min{x, ϕ(n + 1)} oraz t = max{y, ϕ(n+1)}. W konsekwencji minA = z oraz maxA = t. To daje, że n+1 ∈ N . Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N.  Definicja zbioru przeliczalnego, nieprzeliczalnego. Mówimy, że zbiór X jest prze- liczalny, gdy jest on równoliczny ze zbiorem N. Zbiór X nazywamy co najwyżej prze- liczalnym, gdy jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór, który nie jest skończony ani przeliczalny nazywamy nieprzeliczalnym. Z twierdzenia 2.6.4 i własności 2.3.3 dostajemy natychmiast Wniosek 2.6.5. Zbiór N jest nieskończony. W szczególności każdy zbiór przeliczalny jest nieskończony. Twierdzenie 2.6.6. Niech A ⊂ N. Wówczas zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest skończony. Dowód. (⇒) Pokażemy najpierw, że każdy ograniczony podzbiór zbioru N jest skoń- czony. Weźmy dowolny zbiór ograniczony A ⊂ N. Wówczas istnieje x ∈ R, że k 6 x dla wszystkich k ∈ A. Biorąc, w myśl zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2), n ∈ N takie, że n > x dostajemy, że A ⊂ Fn. Do zakończenia dowodu wystarczy więc pokazać, że N pokrywa się ze zbiorem N = {n ∈ N : każdy podzbiór zbioru Fn jest skończony}. Mamy kolejno: (i) 1 ∈ N , bo F1 = {1} i jedynymi podzbiorami F1 są ∅ i {1}. (ii) Niech n ∈ N . Weźmy dowolny podzbiór A ⊂ Fn+1. Jeśli n + 1 6∈ A, to A ⊂ Fn, a więc A jest skończony, bo n ∈ N . Jeśli n+ 1 ∈ A, to A \ {n+ 1} ⊂ Fn, więc A \ {n+ 1} jest skończony, powiedzmy równoliczny z Fm lub A \ {n + 1} = ∅ i wtedy A = {n + 1}. Jeśli A = {n + 1}, to A jest zbiorem skończonym. Załóżmy więc, że A \ {n + 1} 6= ∅. Zatem istnieje bijekcja ϕ : Fm → A \ {n + 1}. Kładąc ψ(j) = ϕ(j) dla j ∈ Fm oraz ψ(m + 1) = n + 1 dostajemy, że ψ jest bijekcją Fm+1 na A, czyli że A jest zbiorem skończonym. Z dowolności wyboru zbioru A dostajemy, że n+ 1 ∈ N . Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N. Pokazaliśmy więc, że każdy ograniczony podzbiór zbioru N jest skończony. 2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE 31 Wniosek 2.6.14. Jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi, to zbiór A×B jest przeliczalny. Dowód. Ponieważ A i B są równoliczne z N, więc A × B jest równoliczny z N × N. Wystarczy więc pokazać, że N×N jest zbiorem przeliczalnym. Z wniosku 2.6.7 dostajemy łatwo, że N × N jest nieskończony (istotnie, {1} × N ⊂ N × N i zbiór {1} × N jest nieskończony, jako równoliczny z N). Na mocy twierdzenia 2.6.10 wystarczy więc pokazać, że N×N jest zbiorem równolicznym z pewnym podzbiorem zbioru N. Inaczej, wystarczy pokazać, że istnieje funkcja różnowartościowa ϕ : N× N→ N. Połóżmy ϕ(n,m) = (n + m)(n + m − 1) + n. Oczywiście ϕ przekształca N × N w N. Pokażemy różnowartościowość ϕ. Weźmy dowolne (n,m), (n′,m′) ∈ N × N takie, że (n,m) 6= (n′,m′). Jeśli n+m = n′ +m′, to n 6= n′, więc ϕ(n,m) = (n′ +m′)(n′ +m′ − 1) + n 6= (n′ +m′)(n′ +m′) + n′ = ϕ(n′,m′). Jeśli n+m 6= n′ +m′, to można założyć, że n+m 6 n′ +m′ − 1, wówczas ϕ(n,m) < ϕ(n,m) +m = (n+m)(n+m) 6 (n′ +m′)(n′ +m′ − 1) < ϕ(n′,m′). To daje różnowartościowość ϕ i kończy dowód.  Udowodnimy teraz zasadnicze twierdzenie tego punktu. Twierdzenie 2.6.15. Zbiór Q jest przeliczalny. Dowód. Ponieważ Q = (Q∩R+)∪{0}∪ (Q∩R−) i zbiory Q∩R+, Q∩R− są równo- liczne, więc wobec wniosku 2.6.13, wystarczy pokazać, że zbiór Q ∩ R+ jest przeliczalny. Odwzorowanie ϕ : N×N→ Q∩R+ określone wzorem ϕ(n,m) = n/m jest odwzorowaniem na cały zbiór Q ∩R+. Zatem, z wniosku 2.6.11 wynika, że Q ∩R+ jest co najwyżej prze- liczalny. Ponieważ N ⊂ Q ∩R+, więc Q ∩R+ jest zbiorem nieskończonym (patrz wniosek 2.6.7 i 2.6.5), a więc jest zbiorem przeliczalnym.  Wniosek 2.6.16. Każda rodzina przedziałów parami rozłącznych jest co najwyżej przeli- czalna. Dowód. Biorąc dowolną rodzinę P przedziałów parami rozłącznych, z aksjomatu wy- boru dostajemy, że istnieje zbiór E ⊂ Q zawarty w sumie przedziałów rodziny P który ma po jednym punkcie wspólnym z każdym przedziałem rodziny P . W konsekwencji P jest równoliczny z E. Ponieważ E ⊂ Q, więc z twierdzenia 2.6.15 zbiór E jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru N, a więc z twierdzenia 2.6.10, E co najwyżej przeliczalny.  Wykażemy teraz, że R jest zbiorem nieprzeliczalnym. Zacznijmy od lematu. Lemat 2.6.17. Niech Pn, n ∈ N będzie rodziną przedziałów domkniętych taką, że Pn+1 ⊂ Pn dla n ∈ N. Wówczas część wspólna ⋂ n∈N Pn jest niepusta. 32 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Stosując zasadę indukcji o innym początku (twierdzenie 2.3.11), pokazujemy że dla każdych k, l ∈ N, (2.3) Pk ⊂ Pl, jeśli l 6 k. Niech Pn = [an, bn], n ∈ N. Zauważmy, że dla każdego n,m ∈ N zachodzi (2.4) an 6 bm. Istotnie, jeśli n 6 m, to z (2.3) mamy Pm ⊂ Pn, więc an 6 bm, jeśli zaś n > m, to z (2.3) mamy Pn ⊂ Pm, więc an 6 bm. Pokazaliśmy więc (2.4). Oznaczmy A = {an : n ∈ N}. Zbiór ten jest niepusty i ograniczony z góry na przykład przez b1 (patrz wzór (2.4)). Zatem, na mocy twierdzenia 2.2.5 istnieje kres górny zbioru A. Oznaczmy ten kres przez c. Pokażemy, że c ∈ ⋂n∈N Pn. Istotnie, z określenia kresu górnego mamy an 6 c dla wszystkich n ∈ N. Z (2.4) mamy, że każdy bn jest ograniczeniem górnym zbioru A, zatem c 6 bn dla wszystkich n ∈ N. Reasumując c ∈ Pn dla wszystkich n ∈ N i w konsekwencji c ∈ ⋂n∈N Pn.  Twierdzenie 2.6.18. Zbiór R jest nieprzeliczalny. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że R nie jest nieprzeliczalny. Stąd, ponieważ R jest nieskończony (co wynika z faktu, że N ⊂ R, wniosku 2.6.7 i 2.6.5) dostajemy, że R jest przeliczalny. Niech więc ϕ : N→ R będzie bijekcją. Weźmy dowolny przedział domknięty P1 taki, że ϕ(1) 6∈ P1. Stosując własność 2.1.10 dostajemy, że istnieje przedział P2 ⊂ P1 taki, że ϕ(2) 6∈ P2. Postępując dalej indukcyjnie znajdziemy rodzinę przedziałów Pn, n ∈ N takich, że Pn+1 ⊂ Pn oraz ϕ(n) 6∈ Pn dla wszystkich n ∈ N (7). Z lematu 2.6.17 istnieje x ∈ ⋂n∈N Pn, z wyboru Pn zaś, że x 6= ϕ(n) dla n ∈ N. To daje, że x 6∈ ϕ(N). Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że ϕ jest bijekcją N na R.  Z twierdzeń 2.6.18, 2.6.15 i wniosku 2.6.13 dostajemy natychmiast Wniosek 2.6.19. Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny. Powtarzając dowód twierdzenia 2.6.18, przy zastosowaniu twierdzenia 2.6.15 dostaje- my natychmiast Wniosek 2.6.20. Każdy przedział jest zbiorem nieprzeliczalnym. W szczególności w każ- dym przedziale istnieją liczby niewymierne. Definicja zbioru mocy continuum. O zbiorze, który jest równoliczny z R mówimy, że jest mocy continuum. 7Dokładniej, ciąg przedziałów (Pn)n∈N można określić indukcyjnie przy pomocy przedziału P1, gdzie ϕ(1) 6∈ P1, i funkcji f([a, b], n) = [a, a + b−a3 ], gdy ϕ(n) > a+b 2 oraz f([a, b], n) = [b − b−a 3 , b], gdy ϕ(n) < a+b2 . 2.7. CIĄGI SKOŃCZONE 33 ZADANIA Zadanie 2.6.1. (a) Zbiór Z jest przeliczalny. (b) Zbiór wszystkich przedziałów o końcach wymiernych jest przeliczalny. (c) Zbiór wszystkich funkcji f : N→ {0, 1} jest nieprzeliczalny. Zadanie 2.6.2. (Dirichleta). Niech A, B1, . . . , Bk będą zbiorami, przy czym niech A będzie zbiorem n elementowym. Jeśli A ⊂ B1 ∪ . . .∪Bk oraz n > k, to istnieje Bj taki, że A ∩Bj jest zbiorem co najmniej 2-elementowym. Zadanie 2.6.3. Jeśli zbiory An, n ∈ N, są przeliczalne, to zbiór ⋃ n∈NAn jest przeliczalny. 2.7 Ciągi skończone Definicja ciągu skończonego. Niech X, Y będą zbiorami niepustymi oraz n ∈ N. Funkcję a : Fn → X nazywamy ciągiem skończonym, Parę uporządkowaną (k, a(k)), gdzie k ∈ Fn, nazywamy k–tym wyrazem ciągu, k – wskaźnikiem tego wyrazu, a(k) – wartością tego wyrazu. Piszemy ak zamiast a(k). Ciąg a : Fn → X zapisujemy również (a1, ..., an) lub (ak)nk=1 lub ak, k = 1, ..., n. Pisząc a1, ..., an ∈ Y rozumiemy, że wszystkie wartości ciągu (a1, ..., an) należą do Y . Jeśli a1, ..., an ∈ R, to ciąg (a1, ..., an) nazywamy ciągiem liczbowym. Zbiór wszystkich ciągów liczbowych n-wyrazowych oznaczamy Rn. Inaczej Rn = {(a1, ..., an) : a1, ..., an ∈ R}. Definicja sumy ciągu skończonego. Niech (a1, ..., an), n > 1, będzie skończonym cią- giem liczbowym. Niech X = R, x = a1 oraz f : R × Fn−1 → R będzie funkcją określoną wzorem f(a, k) = a+ ak+1 dla a ∈ R, k ∈ Fn−1 Oznaczmy przez ϕ : Fn → R funkcję określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończo- nej. Sumą ciągu (a1, ..., an) nazywamy liczbę ϕ(n) i oznaczamy a1 + · · · + an lub n∑ k=1 ak lub ∑n k=1 ak. Dodatkowo przyjmujemy 1∑ k=1 ak = a1, gdy n = 1. Definicja iloczynu ciągu skończonego. Niech (a1, ..., an), n > 1 będzie skończony, ciągiem liczbowym. Niech X = R, x = a1 oraz f : R×Fn−1 → R będzie funkcją określona wzorem f(a, k) = a · ak+1 dla a ∈ R, k ∈ Fn−1. Oznaczmy przez ϕ : Fn → R funkcję określoną przez x i f przy pomocy indukcji skoń- czonej. Iloczynem ciągu (a1, ..., an) nazywamy liczbę ϕ(n) i oznaczamy a1 · · · an lub n∏ k=1 ak lub ∏n k=1 ak. Dodatkowo przyjmujemy 1∏ k=1 ak = a1, gdy n = 1. 36 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Udowodnimy teraz pierwszą część (2.6). Jeśli A jest zbiorem 2-elementowym, to teza jest oczywista. Załóżmy, że teza zachodzi dla n − 1 > 2 i niech A będzie zbiorem n-elementowym oraz a : A → R. Niech A = B ∪ C, gdzie B,C są zbiorami niepustymi i rozłącznymi. Wtedy jeden ze zbiorów B,C jest co najmniej 2-elementowy. Niech na przykład B bądzie zbiorem co najmniej 2-elementowym. Weźmy dowolny x0 ∈ B. Biorąc bijekcję ϕ : Fn → A taką, że ϕ(n) = x0 (istnienie takiej bijekcji dostajemy z dowolnej bijekcji przez złożenie z transpozycją), dostajemy, że ∑ x∈A a(x) = ∑ x∈A\{x0} a(x)+ a(x0). Zatem z założenia indukcyjnego mamy∑ x∈A a(x) = ∑ x∈A\{x0} a(x) + a(x0) = ∑ x∈B\{x0} a(x) + a(x0)+ ∑ x∈C a(x) = ∑ x∈B a(x)+ ∑ x∈C a(x). To daje pierwszą część (2.6) i kończy dowód.  Indukcyjnie łatwo dowodzimy następującej własności: Własność 2.7.4. Niech A 6= ∅ będzie zbiorem skończonym oraz a, b : A → R. Jeśli dla każdego x ∈ A zachodzi a(x) 6 b(x), to ∑ x∈A a(x) 6 ∑ x∈A b(x). Ponadto równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a(x) = b(x) dla wszystkich x ∈ A. ZADANIA Zadanie 2.7.1. Jeśli m,n ∈ N, 1 6 m < n oraz (a1, ..., an) jest ciągiem liczbowym, to n∑ k=1 ak = m∑ k=1 ak+ n∑ k=m+1 ak. 2.8 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych W punkcie 1.1, aksjomatycznie wprowadziliśmy zbiór liczb rzeczywistych. Teraz aksjoma- tycznie określimy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Zakładamy, że istnieją elementy +∞ oraz −∞ zwane odpowiednio plus nieskończono- ścią, V. Aksjomaty rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych. 1. −(−∞) = +∞, −(+∞) = −∞, +(−∞) = −∞. 2. (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞. 3. (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(+∞) = −∞, (+∞)(−∞) = −∞. 4. Dla każdego x ∈ R, x+ (+∞) = +∞, (+∞) + x = +∞, x+ (−∞) = −∞, (−∞) + x = −∞. 5. Dla każdego x ∈ R, x/(+∞) = 0, x/(−∞) = 0. 6. −∞ < +∞ i dla każdego x ∈ R, −∞ < x < +∞. 7. Dla każdego x ∈ R takiego, że x > 0, x(+∞) = +∞, (+∞)x = +∞, x(−∞) = −∞, (−∞)x = −∞. Definicja rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych. Rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiór R ∪ {+∞,−∞}, który oznaczamy R. Uwaga 2.8.1. Wprost z aksjomatów widzimy, że nie wprowadziliśmy działań + i · w R. Na przykład nie określamy (+∞) + (−∞), czy 0(+∞). Takie symbole będziemy nazywać nieoznaczonymi. Często piszemy ∞ zamiast +∞. 2.8. ROZSZERZONY ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH 37 Uwaga 2.8.2. W R wprowadzamy relacje 6 i > w analogiczny sposób jak w R. Definicja kresów w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych. Niech E ⊂ R. Mówimy, że M ∈ R jest kresem górnym zbioru E, gdy (i) dla każdego x ∈ E zachodzi x 6 M , (ii) dla każdego M ′ < M istnieje x ∈ E takie, że x > M ′. Kres górny zbioru E oznaczamy supE. Mówimy, że m ∈ R jest kresem dolnym zbioru E, gdy (i) dla każdego x ∈ E zachodzi x > m, (ii) dla każdego m′ > m istnieje x ∈ E takie, że x < m′. Kres dolny zbioru E oznaczamy inf E. Uwaga 2.8.3. Wprost z definicji kresów zbiorów niepustych i ograniczonych mamy, że definicja powyższa jest zgodna z wprowadzonymi wcześniej. Bezpośrednio z definicji dostajemy następujące dwie własności: Własność 2.8.4. Niech E ⊂ R. (a) Jeśli E nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to supE = +∞. (b) Jeśli E nie jest zbiorem ograniczonym z dołu, to inf E = −∞. Własność 2.8.5. Niech E ⊂ R. (a) Jeśli +∞ ∈ E, to supE = +∞. (b) Jeśli −∞ ∈ E, to inf E = −∞. Z własności 2.8.4, 2.8.5 i twierdzeń 2.2.5, 2.2.6 dostajemy Wniosek 2.8.6. Jeśli E ⊂ R i E 6= ∅, to istnieją inf E, supE oraz inf E 6 supE. Definicja przedziału nieskończonego. Niech a ∈ R. Przedziałami nieskończonymi na- zywamy następujące zbiory: (a,+∞) = {x ∈ R : a < x}, [a,+∞) = {x ∈ R : a 6 x}, (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R : x 6 a}, (−∞,+∞) = R. Dla odróżnienia, przedziały wcześniej określone nazywamy przedziałami skończonymi. ZADANIA Zadanie 2.8.1. Udowodnić, że w R istnieją kresy sup ∅ i inf ∅ i że sup ∅ < inf ∅.