Wytrzymałość materiałów: całość przedmiotu, Skrypty z Materials Physics

Pobierz Wytrzymałość materiałów: całość przedmiotu i więcej Skrypty w PDF z Materials Physics tylko na Docsity! 2 WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW 2.1 WIADOMOŚCI WSTĘPNE 2.1.1 Podstawowe założenia i hipotezy wytrzymałości materiałów Doświadczenia praktyczne uczą, że każde ciało pod wpływem działających na nie obciążeń ulega odkształceniu. Jeśli obciążenia osiągną odpowiednio duże wartości mogą spowodować, że ciało (element konstrukcyjny) ulega zniszczeniu lub nadmiernemu, nieodwracalnemu odkształceniu. W efekcie traci on swe własności użytkowe, co pociąga za sobą znaczne straty ekonomiczne, a w szczególnych przypadkach może stanowić zagrożenie dla zdrowia i życia jego użytkowników. Zadaniem wytrzymałości materiałów jest opracowanie metod oceny zachowania spotykanych w praktyce inżynierskiej typowych elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu obciążeń. Przez ocenę odporności, czyli sprawdzenie (kontrolę) nośności istniejących lub projektowanych elementów konstrukcyjnych należy rozumieć: ocenę wytrzymałości (obliczenie wartości i rodzaju naprężeń) oraz ocenę odkształceń (określanie wartości i rodzaju odkształceń), w stosunku do ustalonych (zwykle narzucanych normami, zaleceniami producenta lub przepisami odpowiednich służb dozoru technicznego) wymagań praktycznych, gwarantujących dostateczne bezpieczeństwo i dostateczną sztywność elementu. Odkształcenia i naprężenia występujące w elementach konstrukcyjnych zależą od wielu czynników, przy czym za najważniejsze zwykło uważać się: • Rodzaj materiału i jego stan, • Kształt i wymiary elementu, • Rodzaj oraz wartości sił obciążających. W związku z tym metody obliczeniowe stosowane w wytrzymałości muszą wiązać zasady mechaniki ciała stałego (równania równowagi) z matematycznym opisem jego zachowaniem pod wpływem obciążeń. W szczególności koniecznym jest zdefiniowanie stanu odkształceń i naprężeń ciała oraz wzajemnych związków pomiędzy nimi a własności materiału(równania konstytutywne), z którego wykonany jest element konstrukcyjny. Dla potrzeb zagadnień rozpatrywanych w niniejszym skrypcie, wprowadza się następujące założenia dotyczące materiału, z jakiego wykonany jest element konstrukcyjny: • Ciągłość materiału. W materiale nie występują mikropęknięcia, pustki. Rozpatrywane materiały można uważać za continuum materialne. • Jednorodność materiału. Właściwości mechaniczne materiału nie są funkcjami położenia, czyli są jednakowe w każdym punkcie elementu konstrukcyjnego. • Izotropowość materiału. Właściwości mechaniczne materiału nie zależą od orientacji rozpatrywanej objętości elementarnej ciała. • Liniowa sprężystość materiału. Zakłada się, że do pewnej granicy obciążenia ciało zachowuje ciągłość struktury oraz, że istnieje jednoznaczny, bez naprężeniowy stan ciała, do którego badane ciało powraca, ilekroć zostaną usunięte siły zewnętrzne. Powyższe założenia pozwalają w konsekwencji na ustalenie wzajemnych zależności matematycznych (równań konstytutywnych) pomiędzy odkształceniami ciała a obciążeniami zewnętrznymi, w oparciu o mechaniczne własności materiału. Należy sobie zdawać sprawę z faktu, że poczynione założenia umożliwiają analizę jedynie pewnej klasy materiałów (liniowo sprężystych) poddanych obciążeniom nieprzekraczających wartości powodujących powstanie odkształceń trwałych. Stosowanie wzorów obliczeniowych uzyskanych przy tych założeniach do innych zagadnień (materiał ulegający uplastycznieniu, materiały kompozytowe itp.) prowadzi do znacznych błędów na etapie projektowania a w konsekwencjami do zniszczenia konstrukcji w czasie jej eksploatacji. Jest oczywistym, że opis matematyczny wymaga informacji na temat własności mechanicznych materiału. Powyższe informacje uzyskuje się przez odpowiednie badania wytrzymałościowe, w szczególności określające odkształcenia materiału w funkcji obciążeń przy różnych warunkach zewnętrznych. Tak uzyskane wartości opisują w sposób uśredniony właściwości mechaniczne materiału i opisują z pewną dokładnością zjawiska, jakie zachodzą w materiale rzeczywistym. Podstawowe założenie wytrzymałości materiałów mówi, że ciało materialne pod wpływem obciążeń ulega odkształceniom. Rozróżnia się dwa rodzaje odkształceń: odkształcenia sprężyste, ustępujące po usunięciu obciążenia, oraz odkształcenia trwałe, zwane plastycznymi, pozostające w materiale po usunięciu ich przyczyny. Należy zaznaczyć, że odkształcenia trwałe towarzyszą procesowi obciążenia od samego początku, ale ich wartość zaczyna mieć praktyczne znaczenie (w przypadku materiałów liniowo sprężystych) dopiero po przekroczeniu wielkości, zwanej granicą sprężystości. Dodatkowo przyjmuje się, że w większości przypadków wszelkie odkształcenia w stosunku do wymiarów ciała są znikomo małe, co zresztą odpowiada praktycznym warunkom eksploatacji elementów konstrukcyjnych. W zależności od mechanizmu odkształceń wywołanych obciążeniem, materiały konstrukcyjne można podzielić na trzy grupy podstawowe: materiały sprężysto-plastyczne (metale konstrukcyjne), lepko-sprężyste (tworzywa sztuczne, szkliwa, betony), materiały sprężysto-kruche (kryształy). Proces analizy stanu odkształceń i naprężeń elementu konstrukcyjnego wymaga prawidłowego opisu zarówno własności mechanicznych materiału jak i kształtu elementu. Taki model nosi nazwę schematu obliczeniowego, na który nakłada się układ obciążeń, przez co powstaje pełny model statyczno-wytrzymałościowy układu (konstrukcji, urządzenia). Można powiedzieć, że model statyczno-wytrzymałościowy jest schematem lub zbiorem schematów poszczególnych elementów konstrukcji lub urządzenia, zapisanych znakami umownymi i zawierającymi wiadomości o podstawowych wymiarach, sposobach podparcia lub wzajemnych połączeniach oraz obciążeniach zewnętrznych. Mimo złożoności problemów do rozwiązywania, metody rachunkowe ilościowej oceny stanu odkształceń i naprężeń elementów konstrukcyjnych są stosunkowo proste. Wytrzymałość materiałów jest, bowiem nauką zastosowań praktycznych, w której dla ułatwienia analizy zależności między działającymi z zewnątrz siłami a pracą elementu godzimy się bardzo często na stosowanie pewnych założeń upraszczających lub metod przybliżonych, których słuszność weryfikuje się z zwykle w oparciu o wyniki badań eksperymentalnych i teorię sprężystości. 2.1.2 Rodzaje obciążeń Jednym z podstawowych zadań elementów konstrukcyjnych jest zrównoważenie obciążeń zewnętrznych lub wykonanie określonej pracy, sprowadzonej do przemieszczania w kierunkach wyznaczonych działaniem działających sił. W tym rozumieniu obciążenia zewnętrzne są równe ciężarowi własnemu konstrukcji, obciążeniom użytkowym oraz wpływom zewnętrznym związanym z użytkowaniem urządzenia. Zwykle obciążenia działające na konstrukcję dzielimy na: • Obciążenia stałe. Do obciążeń tych zalicza się ciężar własny konstrukcji oraz ciężar własny elementów podtrzymywanych przez konstrukcję. Obciążenie to w okresie eksploatacji na niezmienną wartość. • Obciążenia użytkowe (zmienne). Jest to grupa zasadniczych obciążeń, dla których projektuje się daną konstrukcję. Do obciążeń tych należą m.in.: obciążenia od wyposażenia technologicznego, siły bezwładności wynikające z pracy urządzeń, wpływ prędkości odkształceń, wpływ czasu obciążenia, wpływ obciążeń wielokrotnych. Zakres tych obciążeń jest bardzo szeroki a ich oszacowanie należy do najbardziej istotnych fragmentów budowy modelu statycznego. ε3' =−=∆ V VV V V (2.6) Rys.2.3 Ilustracja odkształceń czysto objętościowych 2.1.3.2 Odkształcenie czysto postaciowe Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby odkształcenia miały charakter czysto postaciowy jest: 0 0 1cos ,cos ,cos =++ =∆→ zyx zxyzxy Vczyli εεε γγγ (2.7) Należy zauważyć, że niespełnienie któregokolwiek z warunków (2.5) i (2.7) świadczy, że występuje odkształcenie mieszane: objętościowo-postaciowe (rys.2.4). Rys.2.4. Odkształcenia mieszane objętościowo-postaciowe. 2.1.4 Naprężenia Z kursu mechaniki wynika, że miarą mechanicznego oddziaływania na siebie ciał są wektory sił iP ρ i wektory momentów siły iM ρ . Mówiąc, że jakieś ciało znajduje się w równowadze pod wpływem działających na niego układu sił i par sił (momentów), rozumie się, że układ sił iP ρ i momentów iM ρ jest układem zrównoważonym. W wytrzymałości przyjmuje się ponadto, że rozpatrywane ciało znajduje się w równowadze dzięki odpowiedniemu doborowi więzów w postaci reakcji jR ρ . Układ sił czynnych (do przenoszenia, których służy dany element konstrukcyjny) oraz układ sił reakcji (równoważący układ sił czynnych) nazywa się obciążeniem. W obliczeniach statyczno- wytrzymałościowych bardzo często stosuje się izolację układu, polegającą na odpowiednim rozczłonkowaniu elementów z zachowaniem wzajemnego oddziaływania, co ułatwia prowadzenie rachunków. Jest to celowo przeprowadzona myślowa metoda przecięć. Na rys.2.5 pokazano przykładowo podział ramy na trzy belki, które mogą być analizowane oddzielnie. Rys.2.5 Podział złożonej konstrukcji na proste podukłady. Tę samą metodę przecięć stosuje się do ujawniania sił wewnętrznych w ciele M (znajdującym się w równowadze) izolowanym z rozpatrywanego układu i obciążonego układem sił czynnych i biernych (rys.2.6). Jeśli poprowadzimy myślowo pewną zamkniętą powierzchnię A wewnątrz obszaru ciała, to oddziaływanie części zewnętrznej na materiał ograniczony tą powierzchnią obejmuje siły wewnętrzne bez możliwości ich dokładnego określenia. Wydzielenie na powierzchni A elementu powierzchniowego ∆A z wektorem ψ ρ prostopadłym do ∆A i skierowanym na zewnątrz powierzchni A, orientuje ∆A. Rys.2.6 Metoda przecięć W obszarze ciała M materiał leżący po dodatniej stronie wektora ψ ρ wywiera siłę pρ∆ na część ciała przylegającą do ∆A, ale leżącą po ujemnej stronie ψ ρ . Równocześnie )(Afp =∆ρ . Gdy ∆A dąży do zera, to granica ilorazu Ap ∆∆ /ρ dąży do granicy dApd /ρ , przy czym zanika moment sił działających na powierzchni ∆A z uwagi na 0→rρ . Wektor graniczny o kierunku ∆P równy: dA pdp ρ ρ =ψ (2.8) nazywa się wektorem naprężenia lub krótko naprężeniem. Należy zaznaczyć, że definiowanie naprężeń jako wektora w otoczeniu danego punktu ciała jest dopuszczalne tylko wtedy, gdy myślowy przekrój traktujemy jako stały. Odmienność naprężenia w otoczeniu punktu B ciała w zależności od przeprowadzonego przekroju obrazuje rys.2.7 ( ψψ 'pp ρρ ≠ ), mimo, że chodzi tu o ten sam punkt B ciała M. Rys.2.7 Wpływ orientacji wektora ψ ρ na wektor naprężenia ψp ρ . Rys. 2.10 Wykres rozciągania próbki z materiału a) sprężysto-plastycznego, b)spręzysto- kruchego Z wykresów wynika, że funkcja f jest nieliniowa, co wynika z zachowania się materiału podczas próby. Poszczególne liniowości i nieliniowości różnych typów rozdzielają umowne punkty, którym odpowiadają wartości charakterystyczne σ lub ε : • Granica proporcjonalności RH (punkt A). Jest to naprężenie, przy którym występuje jeszcze praktycznie liniowość między odkształceniem a naprężeniem. • Granica sprężystości Rsp (punkt A'). Odpowiada naprężeniom, przy których brak jest liniowości między σ i ε , ale po odciążeniu próbka wraca do swojego kształtu pierwotnego (brak wyraźnego odkształcenia trwałego). Oznacza to, że nagromadzona podczas odkształcenia energia sprężysta (praca sił wewnętrznych) przy odciążeniu zostaje w całości zwrócona. Zwykle punkty A i A' są położone bardzo blisko siebie i często przyjmowane jako wspólne. • Granica plastyczności Re (punkt B). Jest naprężeniem, przy którym uwidaczniają się znaczne odkształcenia plastyczne (wzrost ε przy praktycznie stałym eR=σ ). Samo zjawisko w obszarze B-B', zwane płynięciem materiału, wiąże się ze zmianami mikrostruktury materiału w postaci mikroskopijnych poślizgów nieznikających po odciążeniu i dających odkształcenia trwałe. Trzeba wyjaśnić, że gdy spR<σ istnieją również poślizgi strukturalne, co zawsze wiąże się z pewnymi, chociaż bardzo małymi odkształceniami trwałymi. Są one jednak rzadkie i dopiero liczba ich gwałtownie, a nawet lawinowo wzrasta, gdy eR→σ . Zatem granica sprężystości spR jest pojęciem umownym i zależy od dokładności pomiarów i z reguły nie występuje w tablicach własności mechanicznych materiałów. Natomiast wartości eR , podawane są powszechnie. Jeśli jednak punkt eR nie zaznacza się wyraźnie w czasie badań, wprowadza się pojęcie umownej granicy plastyczności 2,0eR przyjmując taki punkt wykresu, w którym odkształcenia trwałe osiągają wartość 0,2%. Uzasadnieniem takiej umowy jest to, że przy takim odkształceniu trwałym obraz zmian mikrostruktury jest podobny do obrazu zmian w materiale z wyraźną granicą eR . • Umocnienie materiału (punkt B'). Punkt, w którym tworzenie się poślizgów doznaje pewnego zahamowania. Od tego punktu w celu zwiększenia ε trzeba zwiększyć σ (choć już nie tak szybko jak w pierwszej fazie obciążenia). • Wytrzymałość doraźna Rm (punkt C). Jest punktem stanu, przy którym naprężenia przestają być jednorodne. W badanych próbkach pojawia się koncentracja poślizgów w jednym miejscu, uwidoczniona w postaci lokalnego przewężenia (szyjki). Punkt ten służy do określenia umownej (nie fizycznej) wielkości A PRm max= (A - początkowe pole przekroju). W przedziale me RR <<σ występuje ciekawe zjawisko podniesienia granicy plastyczności. Jeśli proces obciążenia przerwać np. w punkcie E, to proces odciążenia przebiegnie po linii prostej EF, równoległej do OA. Całkowitemu odciążeniu )0( =σ odpowiada trwałe odkształcenie OF. Powtórne obciążenie spowoduje zmianę odkształceń po linii FE, po czym dalszy przebieg )(εσ f= będzie odbywał się po linii EC. Gdyby obciążenie przerwać w punkcie E, to okaże się, że po zdjęciu obciążenia materiał wraca znowu do stanu F. W przedziale naprężeń Eσ→0 materiał zachowuje się jak materiał sprężysty. Zjawisko to jest szeroko wykorzystywane w technice. Z badań zależności )(εσ f= odczytuje się pewne własności materiału zwane cechami wytrzymałości materiału, jeśli odnoszą się do całości próby, lub cechami sprężystości materiału, jeśli odnoszą się do obszaru odkształceń sprężystych. 2.1.5.1 Cechy sprężystości materiału • Moduł sprężystości podłużnej (moduł Young’a) E określa proporcjonalność między σ i ε w obszarze HR→0 , i definiowany jest jako: ε σα == )(tgE (2.13) Moduł Young’a charakteryzuje opór, jaki materiał stawia wydłużeniu sprężystemu. Zależność (2.13) z reguły przedstawiana jest w postaci prawa Hooke'a E σε = . • Liczba (współczynnik) Poisson’a ν określa proporcjonalność wzajemnie do siebie prostopadłych wydłużeń liniowych: x z x y ε ε ε ε ν −=−= (2.14) Zależność (2.14) jest częściej podawana w postaci E x xzy νσνεεε −=−== . • Moduł sprężystości postaciowej (sprężystości, poprzecznej, moduł Kirchoff’a) G określa proporcjonalność między γ i τ : γ τ =G (2.15) Moduł sprężystości postaciowej G charakteryzuje opór, jaki materiał stawia sprężystej zmianie postaci. Zależność (2.15) z reguły przedstawiana jest w postaci prawa Kirchhoffa G τγ = . 2.1.5.2 Cechy wytrzymałości materiału Wytrzymałość materiału opisywana jest następującymi wielkościami: • Granica plastyczności eR . • Wytrzymałość doraźna mR . • Wydłużalność materiału. Zwyczajowo wydłużenie plastyczne oznacza się przez rA i oblicza wg wzoru: %100)( 1 ⋅−= o o r L LLA (2.16) w którym oL oznacza pomiarowy (przed odkształceniem) odcinek próbki przyjmowany jako wielokrotność jej średnicy )5.10,20( ooooo dddLd = , 1L długość pomiarowego odcinka po zerwaniu podczas gdy indeks r podaje krotność średnicy, np. 5A . Opisane właściwości materiału na ogół charakteryzują większość materiałów konstrukcyjnych. Nie należy jednak tych sformułowań generalizować, gdyż istnieją lub pojawiają się materiały, których cechy zarówno wytrzymałości jak i sprężystości odbiegają od wyżej opisanych (np. materiały kompozytowe, piezoceramiczne, materiały z pamięcią kształtu). Należy zaznaczyć, że podane zależności (2.13-2.15) między odkształceniami a naprężeniami są prawami konstytutywnymi obowiązującymi w obszarze liniowej proporcjonalności funkcji )(εσ f= i pozwalają na stosowanie zasady superpozycji obciążeń i skutków ich działania. Tablica 2.1 Składowe odkształceń w funkcji naprężeń xσ yσ zσ xyτ xzτ yzτ xε E xσ E yσν− E zσν− yε E xσν− E yσ E zσν− zε E xσν− E yσν− E zσ xyγ G xyτ xzγ G xzτ yzγ G yzτ Dzięki zasadzie superpozycji (rozkładu złożonego stanu naprężenia na składowe - tablica 2.1) można znaleźć wspólne wartości odkształceń materiałów liniowo-sprężystych, w przypadku obciążenia ich w układzie trójwymiarowym: wiadomości o gęstości, przewodności elektrycznej i cieplnej, o właściwościach magnetycznych materiału. W tablicy 2.2 podano wybrane własności mechaniczne oraz wytrzymałościowe najbardziej popularnych materiałów konstrukcyjnych. Ogólne wiadomości o własnościach materiałów należy czerpać z odpowiednich danych atestowych produkcji materiałów z informatorów lub norm. Tablica 2.2 Własności mechaniczne wybranych materiałów konstrukcyjnych. Wytrzymałość Materiał ][ 10 5 MPa E ⋅ ][ 105 MPa G ⋅ ][− ν ][MPa Re ][MPa Rmr ][MPa Rmc [%] 5A Stal St 3S 2,06 0,80 0,29 235 370-460 370-460 25 Stal sprężynowa 60SGH 2,08 0,80 0,30 ~1250 ~1400 ~1400 7 Żeliwo zwykłe 1,20 0,47 0,27 80-100 120-200 700-850 5 Aluminium 0,72 0,27 0,34 50 90-100 90-100 8-13 Cyna 0,55 0,21 0,33 40 20-40 - 40 Cynk 1,30 0,49 0,33 100 110-150 - 5-20 Miedź 1,15 0,43 0,34 70 220 - 60 Ołów 0,17 0,06 0,42 5 20 20 50 Wolfram 4,20 1,80 0,17 750 ~1300 - - Stop Al-Cu D16 0,70 0,26 0,34 320 460 460 17 Stop Cu-Sn (brąz) 1,05 0,40 0,32 350 480 480 11 Sosna (wzdłuż włókien) 0,10 - 0,05 - 80 45 - Dąb (wzdłuż włókien) 0,15 - 0,05 - 96 55 - Beton 0,30 0,13 0,17 - 2-3 20-40 - Szkło potasowe 0,62 0,25 0,24 - 2-3 70-90 ~0 Bakelit 0,04 0,01 0,37 - - 80 - Kauczuk miękki 5104 −⋅ 5103,1 −⋅ 0,49 - 20 - (>200) Również wiadomości o własnościach technologicznych, takich obrabialność, tłoczność, spawalność, hartowność itp. są bardzo istotne, gdyż narzucają sposób obróbki elementów lub wybór materiału z uwagi na warsztatowe możliwości wykonania. Wybór materiału konstrukcyjnego zależy także od jego ceny. Celem wybrania możliwie najodpowiedniejszego materiału na projektowany element konstrukcyjny należy porównać przewidywane warunki jego pracy z odpowiadającymi im własnościami materiałów. Należy przy tym zwrócić uwagę na szereg wymagań zestawionych w tablicy 2.3. Tablica 2.3 Cechy materiału w zależności od rodzaju projektowanego elementu Element projektowany Poszukiwane cechy materiałowe Rodzaj obciążenia i naprężeń Wytrzymałość, twardość, odporność na ścieranie, naprężenia dopuszczalne Rodzaj odkształceń Moduły sprężystości E i G , liczba Poissona ν Środowisko pracy Odporność korozyjna Temperatura pracy Ciepło odporność, pełzanie, relaksacja Kształt elementu Warunki obróbki Funkcje elektryczne Oporność, przewodność elektryczna Funkcje cieplne Przewodność cieplna Liczba produkowanych sztuk Ekonomia produkcji i koszty nabycia 2.2.2. Zasady ogólne obliczeń konstrukcyjnych Projektant przy kształtowaniu konstrukcji musi wypełnić różne sprzeczne ze sobą postulaty, do których można zaliczyć: • Nadanie konstrukcji najodpowiedniejszej formy pod względem użytkowym. • Zapewnienie maksymalnego bezpieczeństwa, niezawodności i trwałości. • Przeprowadzenie realizacji projektu przy minimalnym nakładzie kosztów. Przez wiele wieków pojęcie bezpieczeństwa konstrukcji było praktycznie nieokreślone. Wymiary konstrukcji ustalano na podstawie nawyków i doświadczenia przekazywanego z pokolenia na pokolenie. Dopiero w XX wieku pojawiło się pojęcie naprężeń dopuszczalnych k jako granicy, której naprężenia rzeczywiste w elemencie konstrukcyjnym nie mogą przekroczyć. Wartość naprężeń dopuszczalnych k ustalono jako pewien ułamek naprężeń uznawanych za niebezpieczne, przyjmowanych na podstawie różnych hipotez wytrzymałościowych. Z reguły za stan niebezpieczny przyjmowano wytrzymałość doraźną materiału mR lub też nadmierne odkształcenia trwałe, co prowadziło do uznania granicy plastyczności eR za stan niebezpieczny. Wobec tego definiowano dwa rodzaje naprężeń dopuszczalnych: e e e X Rk = , m m m X Rk = (2.18) gdzie liczby eX i mX są większe od jedności i noszą nazwę współczynników bezpieczeństwa odniesionymi odpowiednio do eR lub mR . Współczynniki bezpieczeństwa zwykle są podawane w odpowiednich przepisach i normach państwowych dla poszczególnych, rodzajów konstrukcji i materiałów konstrukcyjnych. Z wartością k wiąże się także ekonomiczna opłacalność i koszty. Liczbowa wartość X zależy od dokładności, z jaką znane są obciążenia zewnętrzne, od stopnia jednorodności materiału, charakteru obciążeń (stałe czy zmienne w czasie), warunków użytkowania itp. W związku z tym wartości liczbowe X ustalane są z dużą dozą niepewności i często opiera się przy tym na intuicji i doświadczeniu inżynierskim. Metoda naprężeń dopuszczalnych jest oparta na istotnym założeniu, że o bezpieczeństwie całej konstrukcji decyduje wartość naprężenia w jednym jej miejscu. Założenie to jest najbardziej dyskusyjne, gdyż ścisłe trzymanie się jego prowadzi z reguły do niepotrzebnego przewymiarowania konstrukcji. 2.3 MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR We wzorach dotyczących wytrzymałości materiałów wykorzystywane są statyczne momenty powierzchniowe wyższego rzędu, które przez analogię do pojęć znanych ze statyki nazywamy momentami bezwładności powierzchni. Momenty bezwładności powierzchni w wytrzymałości materiałów nazywa się skrótowo momentami bezwładności. Miarą momentów bezwładności są ][ 4m . Dla potrzeb wytrzymałości materiałów, dla osi przechodzących przez środek ciężkości powierzchni C, definiuje się następujące rodzaje momentów bezwładności (dla oznaczeń przyjętych jak na rys.2.13): Rys.2.13 Oznaczenia wykorzystane w definicji momentów bezwładności • Moment bezwładności względem osi y i z: ∫ ∫ = = A z A y dAyI dAzI 2 2 , (2.19) • Biegunowy moment bezwładności O: ∫ +== A zyo IIdArI 2 (2.20) • Moment dewiacji (odśrodkowy): ∫= A yz yzdAI (2.21) Dla osi przesuniętych równolegle w stosunku do osi przechodzących przez środek ciężkości powierzchni C, można udowodnić, że słuszne jest twierdzenie Steinera (dla oznaczeń przyjętych jak na rys.2.14): 2 1 2 1 AcII AbII zz yy += += (2.22) AbcII yzzy +=11 (2.23) 4 80 3 b 20 3b II) 12 2bh 5 4115,0 a 3189,0 a 33 625.08/5 aa = 6 4 4 5413,0 16/35 a a ≈ 3 3 5413,0 16/35 a a ≈ 7 32 4dπ 16 3dπ 4 4 0491.0 64 dd ≈π 3 3 0982.0 32 dd ≈π 8 12 )( 33 hHb − H hHb 6 )( 33 − 9 32 )( 44 dD −π 16 )( 33 dD −π 64 )( 44 dD −π D dD 32 )( 44 −π 10 11 12 12 33 bhBH − H bhBH 6 33 − 2.4 ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTÓW PROSTYCH 2.4.1 Założenia podstawowe Pręty proste statycznie wyznaczalne to pręty, w których wartości reakcji od obciążeń zewnętrznych można określić z równań statyki, a naprężenia w każdym dowolnie pomyślanego przekroju pręta można wyznaczyć metodą przecięć. Z badań eksperymentalnych wynika, że przy rozciąganiu (ściskaniu) pręta siłami niepowodującymi odkształceń trwałych oś pręta pozostaje prosta, pręt zwiększa swoją długość (rys.2.16) a narysowana na bocznej powierzchni pręta prostokątna siatka, zostaje w dalszym ciągu prostokątna, choć zmieniają się jej wymiary. Rys.2.16 Rozciąganie pręta pryzmatycznego Pozwala to na postawienie hipotez, że dla prętów z materiałów liniowo sprężystych: • Naprężenie normalne w każdym, pomyślanym przekroju prostopadłym do osi pręta i wzdłuż całego pręta (z wyjątkiem krótkich odcinków przy jego końcach, co można praktycznie pominąć) jest proporcjonalne do wartości wektora siły P i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta A : A P x =σ (2.29) • Wydłużenie względne w kierunku osi pręta (odkształcenie normalne) jest proporcjonalne do naprężeń normalnych xσ , a odwrotnie proporcjonalne do stałej materiałowej zwanej modułem, Younga E : EA P EL L x x == ∆ = σε (2.30) • Odkształcenie w kierunku poprzecznym do osi pręta (przewężenie w przypadku rozciągania, spęczenie w przypadku ściskania) yε jest proporcjonalne do naprężeń normalnych xσ i liczby Poissona ν , a odwrotnie proporcjonalne do modułu Young’a E : E x xy σννεε −=−= (2.31) Na podstawie powyższych założeń można dla osiowego rozciągania (ściskania) sformułować prawo Hooke’a (równanie konstytutywne) w postaci: xx Eεσ = (2.32) Wartości modułu Young’a i liczby Poisson’a dla typowych materiałów konstrukcyjnych podano w tablicy 2.2. 2.4.2 Naprężenia dopuszczalne Projektant wykonując obliczenia wytrzymałościowe może w praktyce wykonywać tzw. obliczenia sprawdzające, polegające na określeniu naprężeń i odkształceń oraz współczynnika bezpieczeństwa konstrukcji o znanych wymiarach i obciążeniu, lub obliczenia projektowe polegające na określeniu wymiarów konstrukcji przy znanych obciążeniach tak, aby naprężenia dopuszczalne były mniejsze od dopuszczalnych. Obciążenia elementu konstrukcyjnego mogą doprowadzić do powstania takiego stanu naprężeń, który prowadzi do powstania w nim stałych odkształceń, lub jego zniszczenia. Z próby rozciągania wynika, że gdy naprężenia osiąganą wartość graniczną mR próbka ulegnie zerwaniu. Równie niekorzystnym może być powstanie odkształceń trwałych przy przekroczeniu przez naprężenia granicy plastyczności 2,0, ee RR . W celu zabezpieczenia się przed taką sytuacją należy określić graniczną wartość naprężenia, nieprzekraczalną w danych warunkach pracy elementu. Tę wartość naprężenia nazywamy naprężeniem dopuszczalnym. W przypadku rozciągania, naprężenia dopuszczalne oznacza się symbolem rk . W obliczeniach projektowych przy rozciąganiu musi być spełniony następujący warunek: rkA P ≤=σ (2.33) gdzie: m m r X Rk = (2.34) e r e e r X R k X Rk 2,0 , == (2.35) Współczynniki em XX , nazywamy współczynnikami bezpieczeństwa odpowiednio w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie mR lub w odniesieniu do granicy plastyczności 2,0, RRe . Przy ustalaniu wartości współczynnika bezpieczeństwa należy uwzględnić warunki pracy, rodzaj materiału, rodzaj obciążeń, niedokładność obliczeń wytrzymałościowych, wielkość elementu. Przyjęto, że współczynniki mX stosuje się dla materiałów sprężysto-kruchych (bez wyraźnej granicy plastyczności) a współczynniki eX dla materiałów sprężysto-plastycznych (z wyraźną lub umowną granicą plastyczności). W tablicy 2.5. przedstawiono przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa, którymi można się posługiwać przy obliczeniach wytrzymałościowych, a w tablicy 2.6 orientacyjne wartości naprężeń dopuszczalnych rk w funkcji wartości granicy plastyczności eR i wytrzymałości doraźnej mR . Również spoiny pachwinowe (rys.2.20) oblicza się na ścinanie technologiczne. Naprężenia ścinające występują wzdłuż wysokości trójkąta spoiny. Ponieważ dla spoin pachwinowych wysokość najmniejszego przekroju wynosi aas 7,0= , wobec tego długość spoiny potrzebna do przeniesienia siły tnącej T obliczana jest z zależności: ststs s ak T ka Tl 7.0 == (2.40) gdzie stk oznacza naprężenie dopuszczalne w spoinie (zwykle przyjmuj się stk = 0,65 rk materiału łączonego). Rys.2.20 Wymiary spoiny pachwinowej. 2.6 SKRĘCANIE PRĘTÓW KOŁOWYCH Typowym przykładem pracy pręta na skręcanie jest praca wału przekazującego napęd z silnika na element roboczy, np. koło, wirnik itp. (rys.2.21). Moc nP silnika zostaje przekazana przez wał na pokonanie oporów ruchu elementu roboczego. Wektory momentów skręcających (napędowego nM ρ i oporowego oM ρ ) leżą wzdłuż osi x, są wzajemnie równe i przeciwnie skierowane. Wartość momentu napędowego nM wynosi: n PM nn 55,9= (2.41) gdzie nP oznacza moc silnika ][W , n jest prędkością obrotową wału silnika min]/[obr . Rys.2.21 Skręcanie wału napędowego 2.6.1 Wyznaczanie momentu skręcającego Momentem skręcającym sM ρ nazywamy parę sił P ρ leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do osi x pręta (rys.2.21). Wewnętrznym momentem skręcającym sM ρ , nazywamy algebraiczną sumę momentów skręcających po lewej lub prawej stronie przekroju pręta. Przyjmujemy przy tym, że wartość wektora sM ρ uważamy za dodatnią, gdy jego zwrot jest skierowany na zewnątrz badanego przekroju pręta (rys.2.22). Rys.2.22 Konwencja znaków momentu skręcającego Sposób wyznaczania wewnętrznych momentów skręcających saM ρ i sdM ρ , wywołanych zewnętrznymi momentami skręcającymi sBM ρ i sCM ρ pokazano na rys.2.23. Rys.2.23 Wykres momentów skręcających w pręcie 2.6.2 Naprężenia i odkształcenia skręcanego pręta o przekroju kołowym Zależność pomiędzy wartością wektora momentu skręcającego sM a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami poszukiwana jest na drodze analizy odkształceń na zewnętrznej powierzchni pręta. Okazuje się, że obraz odkształceń jest różny dla różnych kształtów przekrojów poprzecznych. Najprostszy, a tym samym najłatwiejszy do interpretacji obraz odkształceń przekroju, otrzymuje się dla prętów kołowych (rys.2.24). Rys.2.24 Odkształcenia pręta skręcanego 2.7 ZGINANIE BELEK Umownie dla prętów zginanych przyjmuje się prawoskrętny układ osi współrzędnych. Początek układu współrzędnych przyjmuje się nad lewą podporą pręta, w jego środku ciężkości przekroju, oś x wzdłuż długości pręta, osie zy, pokrywają się z głównymi osiami bezwładności przekroju pręta. Pod pojęciem czystego zginania rozumiemy występowanie w rozpatrywanym przekroju pręta tylko momentu gnącego o wartości gM prostopadłego do osi x pręta (rys.2.27). Rys.2.27 a) Czyste zginanie względem osi y, b) zginanie ze ścinaniem. W praktyce momentowi gnącemu gM ρ towarzyszy zwykle siła T ρ , zwana siłą tnącą, także prostopadła do osi x pręta (rys.2.27.b). Przypadek wspólnego działania momentu gnącego gM ρ i siły tnącej T ρ nazywamy zginaniem poprzecznym. Należy on do zagadnień tzw. wytrzymałości złożonej. Pręty zginane nazywamy belkami. Z punktu widzenia mechaniki belka jest płaskim ciałem sztywnym lub sztywnym prętem podpartym dla zachowania równowagi trzema więzami, z których najczęściej występują: podpora przegubowo-przesuwna, podpora przegubowo-nieprzesuwna lub podpora utwierdzona. Istnieją jeszcze inne, bardziej złożone typy podpór, np. podpory utwierdzono-przesuwne, podpory sprężyste. Ponieważ dla płaskiego dowolnego układu sił można napisać trzy warunki równowagi statycznej: 0,0,0 111 === ∑∑∑ === n i oi n i zi n i xi MPP ρρρ , liczba niewiadomych wartości na podporach nie powinna być większa od trzech (belka statycznie wyznaczalna). Jeśli liczba niewiadomych wartości podporowych jest większa od trzech, to belka staje się statycznie niewyznaczalna. 2.7.1 Naprężenia w belce zginanej Belka pokazana na rys.2.28 jest statycznie wyznaczalna. W oparciu o warunki równowagi statycznej płaskiego dowolnego układu sił możemy wyznaczyć reakcje AR ρ i BR ρ , równoważące układ sił czynnych iP ρ . Stosując metodę przecięć możemy określić siły wewnętrzne np. w punkcie C belki. Na lewą część AB belki działają siły: 11 WPRA ρρρ =+ (rys.2.28.a-b). Siłę 1W ρ można przenieść do punktu C (rys.2.28.c-e), i wówczas otrzymamy w nim siłę NTW ρρρ +=1 oraz 1WrM g ρρρ ×= . Rys.2.28 Obciążenia w przekroju belki Ogólnie, na dowolny punkt osi belki działają (rys.2.28.e-f): • Siła poprzeczna T ρ . Prostopadła do osi belki, jako algebraiczna suma składowych prostopadłych od osi belki wszystkich sił obciążenia, działających po lewej lub prawej stronie rozpatrywanego przekroju belki. • Siła normalna N ρ . Równoległa do osi belki, jako algebraiczna suma składowych równoległych do osi belki wszystkich sił obciążenia, działających po lewej lub prawej stronie rozpatrywanego przekroju belki; • Moment gnący gM ρ . Algebraiczna suma momentów sił, działających po lewej lub prawej stronie rozpatrywanego przekroju belki. Siły T ρ i N ρ oraz gM ρ są siłami panującymi wewnątrz przekroju. Umowa znakowania przedstawiona została na (rys.2.29). Przyjmujemy, że: • Wartość T siły poprzecznej ma znak dodatni, gdy usiłuje obrócić rozpatrywana część belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. • Wartość N siły normalnej ma znak dodatni, gdy powoduje oddalanie się od siebie myślowo przeciętych części belki. • Wartość gM momentu gnącego ma znak dodatni, gdy powoduje obrót lewego przekroju belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Rys.2.29 Umowa znakowania sił i momentów w pręcie zginanym 2.7.2 Analiza belki przy czystym zginaniu Czyste zginanie belki zachodzi, gdy na całej długości lub na pewnym jej odcinku wartość wektora momentu gnącego constxM g =)( oraz wartość wektora siły tnącej 0)( =xT (w belce nie działają siły poprzeczne). Związek między wartością momentu gnącego gM a wywołanymi przez to obciążenie naprężeniami wynika z analizy odkształceń zewnętrznych powierzchni belki. W wyniku odkształceń, narysowana na bokach belki siatka prostokątna przyjmuje kształt pokazany na rys.2.30. Linie pionowe 1-3, 2-4 obracają się i pozostają proste, a kontur przekroju pozostaje płaski. Ponadto można zauważyć, że na skutek obrotu przekrojów wzdłużne włókna belki po stronie wklęsłej belki ulegają skróceniu a po stronie wypukłej wydłużeniu. Rys.2.30 Odkształcenia belki zginanej. gdzie maxz I W yy = nosi nazwę wskażnika przekroju na zginanie względem osi y. Ze związku (2.56) wynika, że materiał belki jest w pełni wykorzystany tylko w tym miejscu, w którym występuje maxgM . W każdym innym przekroju, w którym maxgg MM < materiał nie jest w pełni wykorzystany. Chcąc temu zapobiec, należy optymalizować kształtu przekroju poprzecznego belki, zakładając zmienną wartość wskaźnika wytrzymałości )(xWy w funkcji położenia x przekroju. Postulat ten sprowadza się do rozwiązania równania: g g y k xM xW )( )( = (2.57) Belkę ukształtowaną wg. zależności (2.57) nazywamy belką o stałej wytrzymałości na zginanie. Powyższy warunek nie określa kształtu przekroju poprzecznego belki, który trzeba dobrać odpowiednio do warunków rzeczywistej pracy belki, co na ogół nie jest zbyt łatwe i często zadowalamy się rozwiązaniami przybliżonymi. Rys.2.32 Belki o stałej wytrzymałości o zmiennej szerokości b(x) i zmiennej wysokości h(x) Dla belki pokazanej na rys.2.32 możemy zależność (2.57) zapisać jako: gg g y k Px k xM xW == )( )( (2.58) Zakładając 6 )()( 2hxbxWy = , czyli przyjmując wzdłuż długości belki stałą wysokość h przy zmiennej szerokości belki )(xb , znajdujemy: l xB kh Pxxb g == 2 6)( (2.59) gdzie gkh PlB 2 6 = określa szerokość belki w środku jej rozpiętości. Jeśli z kolei przyjmiemy stałą szerokość belki constb = a zmienną wysokość )(xh to zgodnie z zależnością (2.57) otrzymamy związek: gkb Pxxh 2 6)( = (2.60) wskazujący na to, że wysokość )(xh belki zmienia się wg. paraboli. 2.7.3 Wyznaczenie linii ugięcia belki Aby określić odkształcenia osi obojętnej ACB belki (rys.2.33) wykorzystujemy z geometrii różniczkowej, wzór na krzywiznę linii, oraz z wytrzymałości materiałów, wzór (2.54) wyrażający krzywiznę belki poprzez lokalną wartość momentu gnącego )(xM g . . Rys.2.33 Linia ugięcia belki Wiążąc wzajemnie obie zależności, przy założeniu małych ugięć, znajdujemy uproszczoną postać równania różniczkowego krzywizny belki: y g EI xM x xw )()( 2 2 = ∂ ∂ (2.61) gdzie )(xw oznacza przemieszczenie poprzeczne przekrojów belki wzdłuż osi z . Wyznaczenie funkcji opisującej przemieszczenia poprzeczne )(xw dla rozpatrywanego odcinka belki, w którym constEI y = oraz moment gnący )(xM g jest opisany jednym równaniem algebraicznym (belka jednoprzedziałowa), sprowadza się do dwukrotnego scałkowania stronami równania (2.61): DdxCdxxMxwEI CdxxM x xwEI l l gy l gy ∫ ∫ ∫ +      += += ∂ ∂ )()( )()( (2.62) gdzie: xxtgx xw ϑϑ ≈= ∂ ∂ )( oznacza kąt ugięcia (mierzony w radianach), l jest długością przedziału belki. Stałe całkowania C i D wyznacza się z warunków w brzegowych w miejscu podparcia. Dla typowych podpór możemy zapisać następujące warunki brzegowe: • Podpora przegubowa oraz przesuwna. W miejscu podpory zakłada się zerowe przemieszczenie poprzeczne: 0=w (2.63) • Wspornik. W miejscu utwierdzenia przyjmuje się zerowe przemieszczenie poprzeczny oraz zerowy kąt obrotu: 0 0 = = ∂ ∂ w x w (2.64) • Koniec swobodny. Na końcu swobodnym zakładamy, że moment gnący i siła tnąca są równe zeru: 0 0 3 3 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ x w x w (2.65) W belce o n przedziałach wzdłuż całej jej długości rozwiązanie równania (2.61) prowadzi do układu 2 n równań z których każde posiada stałe całkowania. Stałe Ci wyznacza się na podstawie równości kątów ugięcia belki oraz Di na podstawie równości przemieszczeń belki na brzegach sąsiadujących ze sobą przedziałów. Liczba warunków brzegowych w miejscach podparcia oraz ciągłości na granicach przedziałów musi być równa liczbie szukanych stałych całkowania. Wzory obliczeniowe gnących, strzałek ugięcia i kątów obrotu dla typowych schematów obciążenia belek podano w tablicy 2.7. • Hipoteza największych naprężeń tnących ( maxτ ) Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu materiału nie decyduje osiągnięcie przez naprężenia rozciągające granicy plastyczności, lecz osiągnięcie przez naprężenia styczne wartości krytycznej. W przypadku rozciągania kryterium wytrzymałościowe przyjmuje postać: rz k≤== 1max 2 1στσ (2.67) zaś w trójosiowym stanie naprężeń rz k≤−== )(2 1 31max σστσ (2.68) Oznacza to, że naprężenie 1σ może być większe od granicy plastyczności (rys.2.35), zanim powstanie w materiale krytyczny stan zapoczątkowujący jego płynięcie. Hipoteza daje wyniki najbardziej zgodne z doświadczeniem dla materiałów plastycznych (stale niskowęglowe). Rys.2.35 Ilustracja hipotezy największych naprężeń stycznych maxτ • Hipoteza największego wydłużenia względnego ( maxε ) O wytężeniu materiału decyduje wartość największego wydłużenia lub skrócenia względnego, które nie może przekraczać wartości dopuszczalnych dla prostego rozciągania. Kryterium wytrzymałościowe myśl tej hipotezy przyjmuje postać: rz k≤           +− +− +− = )( )( )( max 213 312 321 σσνσ σσνσ σσνσ σ (2.69) Hipoteza ta ma dziś praktycznie znaczenie historyczne. • Hipoteza Hubera Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu próbki decyduje nie ta część energii, która idzie na odkształcenie objętościowe, lecz jedynie ta część, która idzie na odkształcenie postaci. Kryterium wytrzymałościowe myśl tej hipotezy przyjmuje postać: [ ] rz k≤−+−+−= 213232221 )()()(2 1 σσσσσσσ (2.70) Hipoteza Hubera jest powszechnie stosowana przy analizie wytrzymałościowej elementów konstrukcyjnych wykonanych z materiałów sprężysto-plastycznych. Znaczenie hipotez jest ogromne, gdyż redukują one liczbę niezbędnych doświadczeń, jakie należałoby wykonać, aby dla danego materiału i całej mnogości stanów naprężenia (niektórych wręcz niemożliwych do realizacji) ustalić kryteria stanu niebezpiecznego. 2.8.1 Zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem Rozpatrzmy belkę zginaną dwiema parami sił o momentach gM , działających w dowolnej płaszczyźnie głównej i jednocześnie rozciąganej lub ściskającymi siłami osiowymi P (rys.2.36). W dowolnym przekroju belki będą działały naprężenia normalne pochodzące od rozciągania (ściskania) i zginania: y g g cr I zM A P A P =      −= σ σ )( (2.71) Rys.2.36 Jednoczesne zginanie i rozciąganie (ściskanie) belki W skrajnych włóknach belki naprężenia całkowite będą wynosiły: y g y g W M A P W M A P −±= +±= 2 1 σ σ (2.72) Maksymalne naprężenia będą panowały we włóknach skrajnych, które są jednocześnie rozciągane siłą osiową i siłami pochodzącymi od momentu zginającego. Warunek wytrzymałościowy przyjmuje, więc postać: r y g z kW M A P ≤+==σσmax (2.73) 2.8.2 Zginanie ze skręcaniem Zginanie występuje ze skręcaniem w przypadku pracy wszelkiego rodzaju wałów napędowych (rys.2.37). Rys.2.37 Zginanie ze skręcaniem W dowolnym przekroju wału występują naprężenia od zginania gσ oraz od skręcania sτ . Naprężenia te przyjmują maksymalne wartości w skrajnych włóknach. Na podstawie podanych hipotez wytrzymałościowych można napisać następujące związki na naprężenia zredukowane (przyjmując oznaczenia ττσσ == sg , ): • Hipoteza największych naprężeń normalnych maxσ ( ) rz k≤++= 22 42 1 τσσσ (2.74) • Hipoteza największych naprężeń tnących ( maxτ ) rz k≤+= 22 4τσσ (2.75) • Hipoteza największego wydłużenia względnego ( maxε ) rz k≤      +−−      ++= 2222 4 2 1 2 4 2 1 2 τσσντσσσ (2.76) Dla stali konstrukcyjnych 3.0=ν i zależność (2.70) przyjmuje postać: rz k≤++= 22 465.035.0 τσσσ (2.77) • Hipoteza Hubera rz k≤+= 22 3τσσ (2.78) 2.9.2 Wytrzymałość zmęczeniowa przy cyklach symetrycznych i niesymetrycznych Podobnie, jaki i przy obciążeniach statycznych (granica plastyczności eR lub wytrzymałość na rozciąganie mR ) do obliczeń uwzględniających zmęczenie materiału potrzebna jest pewna własność zwana wytrzymałością zmęczeniową Z . Wytrzymałością zmęczeniową Z (lub granicą zmęczenia) nazywamy maksymalne naprężenie maxσ dla danego cyklu naprężeń, przy którym element nie ulegnie zniszczeniu po osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli naprężeń (dla stali 61010 ⋅=N ). Przeprowadzając badania na próbkach poddanych obciążeniom zmiennym w czasie otrzymamy wykres Wöhlera (rys.2.39). Z wykresu tego można odczytać wartość wytrzymałości zmęczeniowej Z dla przyjętego cyklu obciążeń. Rys.2.39 Wykres Wöhlera. Wytrzymałość zmęczeniową przy cyklach symetrycznych rozciągająco-ściskających oznacza się symbolem rcZ , przy obustronnym skręcaniu symbolem soZ a przy obustronnym zginaniu goZ . Przy cyklach niesymetrycznych, zmieniając na przykład amplitudę naprężenia aσ przy stałej wartości naprężeń średnich mσ , można otrzymać krzywą Wöhlera odpowiadającą danej wartości mσ . Dla cykli jednostronnych wytrzymałość zmęczeniową oznaczamy symbolami: dla rozciągania rjZ , dla ściskania cjZ , dla zginania gjZ , dla skręcania sjZ . Przybliżone zależności pomiędzy wytrzymałością zmęczeniową przy obustronnym zginaniu goZ a wytrzymałością doraźną mR podano w tablicy 2.8, a przykładowe zależności między wytrzymałością zmęczeniową goZ a wytrzymałością zmęczeniową dla różnych przypadków obciążenia podano w tablicy 2.9. Tablica 2.8 Przybliżone zależności pomiędzy goZ a mR . Materiał Zależność Przeciętnie Stal goZ =(0,36-0,6) mR goZ =0,47 mR Żeliwo szare goZ =(0,35-0,45) mR goZ =0,4 mR Stopy aluminium i miedzi goZ =(0,25-0,5) mR goZ =0,35 mR Tablica 2.9 Wytrzymałość zmęczeniową w różnych przypadkach obciążenia w funkcji goZ Materiał rcZ soZ rjZ sjZ gjZ Stal węglowa (0,7-0,8) goZ 0,55 goZ (1,12-1,28) goZ (0,99-1,1) goZ 1,7 goZ Stal stopowa 0,7 goZ 0,6 goZ (1,05-1,12) goZ (1,08-1,2) goZ 1,6 goZ Żeliwo (0.6-0.7) goZ (0,75-0,9) goZ 1,5 goZ (0,9-1,17) goZ (1,2-1,5) goZ Stopy miedzi (0,7-0,8) goZ (0,5-0,6) goZ (1,19-1,36) goZ (0,7-1,2) goZ 1,7 goZ Stopy aluminium (0,7-0,8) goZ (0,55-0,58) goZ (1,19-1,36) goZ (0,77-1,16) goZ (1,7-1,8) goZ Przy obliczeniach zmęczeniowych elementów maszyn należy znać wytrzymałość zmęczeniową Z dla różnorodnych cykli (nie tylko podstawowych). W tym celu sporządza się dla danego materiału i dla danego rodzaju obciążeń wykresy zmęczeniowe Smitha lub Haigha. Przykładowo wykres Smitha (rys.2.40) dla zginania konstruowany jest w następujący sposób. Jako pierwszy wyznaczany jest punkt A odpowiadający wytrzymałości zmęczeniowej dla obustronnego zginania. Następnie wyznacza się punkt B o współrzędnych       gjgj ZZ ,2 1 i prowadzi się przez punkty AB prostą do przecięcia z prostą poziomą odpowiadającą granicy plastyczności eR . W ten sposób otrzymujemy współrzędne punktu C. W celu wyznaczenia punktu D z początku układu prowadzimy prostą pod kątem 045 do przecięcia z prostą poziomą odpowiadającą granicy plastyczności eR . Otrzymana w ten sposób górna gałąź wykresu Smitha umożliwia przeprowadzenie obliczeń dla materiałów sprężysto-plastycznych (stal, stopy metali nieżelaznych). Rys.2.40 Uproszczony wykres Smitha 2.9.3 Czynniki wpływające na zmianę wytrzymałości zmęczeniowej Wytrzymałość zmęczeniowa (wykresy zmęczeniowe) jest ustalana doświadczalnie dla znormalizowanych próbek wytrzymałościowych. Rzeczywisty element może mieć inne właściwości i wytrzymałość zmęczeniowa części maszyny może być inna niż wytrzymałość próbki z tego samego materiału. Wytrzymałość zmęczeniowa danego elementu będzie zależała od jej wielkości, kształtu i stanu powierzchni. 2.9.3.1 Wpływ kształtu przedmiotu Współczynnik kształtu kα definiujemy jako stosunek teoretycznego naprężenia maxσ (nie uwzględnia on wpływu materiału) do naprężenia nominalnego nσ (rys.2.41) obliczonego dla najbardziej osłabionego przekroju bez uwzględnienia spiętrzenia naprężenia. Rys.2.41 Rozkład naprężeń w pręcie płaskim z karbem (pręt rozciągany, materiał doskonale sprężysty) Rozkład naprężeń w obszarze karbu zależy od geometrii karbu związanej z wymiarami elementu. Wartość współczynnika )/,/( rRrfk ρα = zależy od stosunku promienia krzywizny dna ρ karbu do promienia lub połowy szerokości przekroju r w elementach płaskich w płaszczyźnie karbu oraz od stosunku promienia (połowy szerokości) elementu R w miejscu nieosłabionym karbem do promienia r . Wartość współczynnika kształtu kα dla najczęściej spotykanych w praktyce karbów konstrukcyjnych można odczytać z wykresów. Promień dna karbu ρ w przypadku ostrych podcięć oblicza się ze wzoru mk ρρρ += , w którym kρ jest promieniem rzeczywistym (konstrukcyjnym) dna karbu, zaś mρ jest promieniem minimalnym dna karbu,. Jeśli mmk 5>ρ , można przyjąć kρρ = . 2.9.3.2 Wpływ działania karbu Współczynnik kα obowiązuje dla ciała doskonale sprężystego (liniowego), od którego oczywiście odbiega materiał rzeczywisty. Dlatego działanie karbu jest inne w przedmiocie rzeczywistym aniżeli w przyjęty modelu i jest wyrażone przez współczynnik działania karbu kβ . Współczynnik 1>kβ określa wielkość obniżenia wytrzymałości zmęczeniowej na skutek działania karbu i jest ustalony ze stosunku wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej glZ do wytrzymałości zmęczeniowej próbki z karbem kZ , czyli k gl k Z Z =β . 2.9.4.2 Dla cyklu niesymetrycznego W przypadku niesymetrycznych cykli naprężeń 0≠mσ sprawdzamy warunek: w am Z δ βγσσ δ ≥ + = (2.87) Aby wyznaczyć występującą w powyższym wzorze wytrzymałość zmęczeniową Z odpowiadającą danemu cyklowi wzrostu naprężeń zastosujemy metodę analityczno-wykreślną w oparciu o uproszczony wykres Smitha (rys.2.43). Rys.2.43 Wyznaczanie współczynnika bezpieczeństwa dla cyklu niesymetrycznego przy pomocy uproszczonego wykresu Smitha. Aby wyznaczyć występującą w powyższym wzorze wytrzymałość zmęczeniową Z odpowiadającą danemu cyklowi wzrostu naprężeń zastosujemy metodę analityczno-wykreślną w oparciu o uproszczony wykres Smitha (rys.2.46). W tym celu prowadzimy prostą EG dla constm =σ oraz prostą OH dla const m a = σ σ . Punkt F pracy elementu scharakteryzowany jest przez naprężenie: amm γσβσσ +=max (2.88) Wyznaczenie wytrzymałości zmęczeniowej 1Z lub 2Z odpowiadającej danemu cyklowi zmian naprężeń zależy od tego, jak zmieniać się będzie naprężenie średnie mσ i amplituda naprężenia βγσ a w miarę wzrostu obciążeń działających na obliczany element. Jeżeli weźmiemy pod uwagę typ zmian obciążeń o stałym naprężeniu średnim constm =σ (gdy amplituda aσ zmian naprężeń pochodzi od drgań układu), to wytrzymałość zmęczeniowa 1Z odpowiadająca punktowi F określona jest punktem G, zaś współczynnik EF EG =δ . Inny typ zmian obciążeń scharakteryzowany przez const m a = σ σ , to wytrzymałość zmęczeniowa 2Z odpowiadająca punktowi H i współczynnikowi OF OH =δ . W przypadku, gdy punkt F znajdzie się w obszarze trójkąta CDI, to niezależnie od typu zmian obciążeń, wytrzymałość zmęczeniowa jest jednakowa i równa granicy plastyczności, czyli w obu powyższych przypadkach musi być spełniony warunek: w am eR δ βγσσ δ ≥ + = (2.89) We wszystkich przypadkach, gdy brak jest bliższych danych dotyczących typu zmian obciążeń, należy korzystać ze wzoru odpowiadającemu przypadkowi constm =σ (większe wymagania), sprawdzając warunek określony wzorem (2.87). Przykład 9.1 Sprawdzić współczynnik bezpieczeństwa pręta okrągłego z odsadzeniem o wymiarach jak na rys.2.44, wykonanego z ulepszonej cieplnie stali 45.Właściwości wytrzymałościowe stali, określane doświadczalnie: MPa540=eR , MPa810=mR , MPa380=goZ . Pręt jest obciążony wahadłowym zginaniem, przy czym największy moment zginający (moment nominalny) w przekroju osadzenia wynosi Nm680 . Element jest szlifowany. Rys. 2.44 Wymiary pręta z przykładu 9.1 Rozwiązanie: Na początku wyliczamy nominalna amplitudę naprężenia MPa100 40 3210628 32 3 3 3 maxmax ≈ ⋅⋅ === ππ σ d M W M g y g a (2.90) Współczynnik bezpieczeństwa dla cyklu symetrycznego wyraża się: a goZ γσβ δ = (2.91) gdzie 1−+= pk βββ (2.92) oznacza łączny współczynnik działania karbu kβ i stanu powierzchni pβ , podczas gdy γ jest współczynnikiem wielkości przedmiotu. Wartości kβ , pβ i ε wyznaczamy na podstawie wykresów. Aby to zrobić na podstawie wykresu 2.1 określamy współczynnik kształtu kα ( ( )rrRfk ρα ,= . Dla 5.1=rR oraz 15.0=rρ odczytujemy 8.1=kα . Następnie z wykresu 2.2 odczytujemy 65.1=kβ a z wykresu 2.3 06.1=pβ . Ostatecznie 71.1=β . Wartość współczynnika wielkości przekroju 33.1=γ , odczytujemy z wykresu 2.4. Podstawiając powyższe wartości do zależności Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. otrzymujemy 67.1 10033.171.1 360 = ⋅⋅ =δ , co odpowiada warunkom praktycznym [ ]7.1,5.1∈δ . 0 0.08 0.16 0.24 0.32 0.4 0.48 ρ/r 1.2 1.6 2 2.4 2.8 αk R/r=6 3 2 1.5 1.2 1.01 Wykres 2.1 Współczynnik kształtu kα przy zginaniu próbki okrągłej z odsadzeniem. [wg. Kocańda St., Szala J., Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN 1997] 22max mm114mm 70 8000 ≈=≥ rck P F . Stąd średnica mm12≥d . Przyjmując mm12=d ( 2mm114=F ), wyznaczamy amplitudę naprężeń w cyklu: MPa70maxmax ==== rca kF P σσ (2.94) Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa obliczamy dla cyklu symetrycznego wg: a rcZ σγβ δ = (2.95) MPa210=rcZ Do wyznaczenia β i γ potrzebne będą dodatkowe współczynniki: ( )[ ] pk βαηβ 11 −+= (2.96) Na podstawie wykresu 2.5, przyjmując powierzchnię starannie toczoną, oraz stal 45 o [ ]MPa730,610∈mR otrzymujemy współczynnik stanu powierzchni 13.1=pβ . Współczynnik kształtu ( )ddDfk ρα ,= odczytamy z wykresu 2.1, przyjmując promień obliczeniowy mk ρρρ += . Wartość mm1=kρ wynika z geometrii analizowanego przykładu, natomiast mm57.0=mρ jest promieniem granicznym dla stali 45 o wytrzymałości [ ]MPa730,610∈mR odczytanym z wykresu 2.6. Ostatecznie z wykresu 2.7 odczytujemy ( ) ( ) 6.113.0,25.1, === fddDfk ρα . Mając kα znajdujemy z wykresu 2.4 73.0=η (stal 45, MPa280=goZ ), oraz 03.1=γ (stal 45, MPa280=goZ , mm12=d ). Podstawiając do Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. dostajemy: ( )[ ] 62.113.116.173.01 =−+=β , Z Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. otrzymujemy 8.1 7003.162.1 210 = ⋅⋅ =δ . Ponieważ 6.18.1 =>= zxδ wymiary z rysunku można uznać za wystarczające. 400 800 1200 1600 Rr MPa 1 1.1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.7 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.5 3 3.5 βp βps 5 4 3 2 1 Wykres 2.5 Współczynnik stanu powierzchni dla stalowych części rozciąganych i zginanych pβ oraz skręcanych psβ : 1 - szlifowane, 2 - staranna obróbka, 3 – zgrubna obróbka, 4 - ostry karb, 5 - pokrycie naskórkiem walcowniczym. [ wg. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe maszyn, PWN 1973] 300 500 700 900 1100 Rr MPa 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ρm mm Wykres 2.6 Promień minimalny (graniczny) mρ dla stali konstrukcyjnych. [ wg. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe maszyn, PWN 1973] 0.01 0.10.02 0.03 0.05 0.2 0.3 0.5 ρ/d 1 1.5 2 2.5 3 3.5 αk D/d=21.25 1.05 1.01 Wykres 2.7 Współczynnik kα kształtu przy rozciąganiu próbki okrągłej z odsadzeniem. [ wg. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Obliczenia zmęczeniowe maszyn, PWN 1973] Przykład 9.3 Sprawdzić wytrzymałość zmęczeniową walcowanej belki o przekroju prostokątnym mm2090× , wykonanej ze stali 45, obciążonej jak na rys.2.46 siłą [ ]N2000,300∈P . Wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa 0.2=zx . Rys.2.46 Dane geometryczne do przykładu 9.3 Rozwiązanie Wyznaczamy zakres zmienności momentu gnącego: Badaniem mechanizmu dekohezji zajmuje się dyscyplina naukowa, zwana mechaniką pękania, której podstawy zostały opracowane przez Griffith’a w latach dwudziestych XX wieku. Szybki rozwój mechaniki pękania obserwuje się od lat pięćdziesiątych ubiegłego stulecia, gdy Irwin zmodyfikował teorię Griffitha w taki sposób, aby można ją było zastosować do materiałów konstrukcyjnych. Według założeń Griffitha (rys.2.48 - obszar zakreskowany pozbawiony jest zakumulowanej energii odkształcenia sprężystego) w nieograniczonej, rozciąganej tarczy o grubości jednostkowej, obciążonej naprężeniem σ , a posiadającej szczelinę o długości a2 , wystąpi zmniejszenie zgromadzonej energii sprężystej o wartość: E aUs 2 2 σπ=∆ (2.97) Aby szczelina mogła powstać, potrzebna jest energia powierzchniowa: auU p 4=∆ (2.98) gdzie u jest jednostkową energią powierzchniową. Różnica energii powierzchniowej i odkształcenia sprężystego posiada ekstremum wyrażone wzorem: E au a UU ps 224 )( σπ−= ∂ ∆−∆∂ (2.99) Z zależności (2.99) możemy wyznaczyć warunek pozwalający znaleźć maksymalną długość pęknięcia której przekroczenie powoduje dalszy jego wzrost: 2 42 πσ uEa < (2.100) Jeżeli długość pęknięcia jest mniejsza od wartości danej zależnością (2.100) nie ma możliwości jego wzrostu pod wpływem danego naprężenia σ , i praktycznie pozostanie bez wpływu na wytrzymałość materiału. Ze związku (2.100) wyznaczyć można krytyczną wartość naprężenia które będzie odpowiadało za mechanizm dekohezji: a uE k π σ 2> (2.101) Praktyczna przydatność równań (2.100-101) jest ograniczona ze względu na występowanie jednostkowej energii powierzchniowej u , której określenie napotyka na duże trudności doświadczalne. Aby ominąć tą trudność Irwin modyfikując teorię Griffitha, wprowadził pojęcie współczynnika intensywności naprężenia na dnie szczeliny: aK πσ= (2.102) który wiąże się z jednostkową energią sprężystą G , niezbędną do rozwoju pęknięcia zależnością: E K E a a UG s 22 )2( )( == ∂ ∆∂ = σπ (2.103) W chwili, gdy współczynnik intensywności naprężeń K osiągnie wartość krytyczną cK zwaną wytrzymałością na pękanie następuje dalszy samoistny wzrost długości pęknięcia. Wytrzymałość na pękanie cK jest, więc wskaźnikiem wytrzymałościowym analogicznym do eR czy mR . Stanowi on podstawę oceny podatności materiału na pękanie, jak i wyznaczenia krytycznej długości pęknięcia kra : 2 2 πσ c kr Ka = (2.104) Krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń cK jest określana eksperymentalnie według wytycznych podanych w polskiej normie PN-87/H-04335. Pomiary wykonuje się w trzech możliwych kierunkach rozwoju pęknięcia. Stąd trzy schematy prób i trzy wartości krytycznego współczynnika intensywności naprężeń IIIcIIcIc KKK ,, (rys.2.49): Rys.2.49 Trzy podstawowe przypadki rozwoju pęknięcia Pierwszy przypadek rozwoju pęknięcia (rys.2.49.a) charakteryzuje się rozwarciem jego powierzchni w kierunku osi y i odpowiada pęknięciom powstającym w elementach rozciąganych lub zginanych. Drugi przypadek (rys.2.49.b) przedstawia poślizg powierzchni pęknięcia w kierunku osi x i, w praktyce występuje przy ścinaniu oraz skręcaniu. Trzeci przypadek (rys.2.49.c) dotyczy przemieszczenia płaszczyzny pęknięcia w kierunku osi z i występuje przy skręcaniu. Przesunięcie powierzchni pęknięcia wywołuje pole naprężeń w najbliższym otoczeniu wierzchołka pęknięcia. Pole to może być opisane odpowiednimi równaniami, które w układzie biegunowym dla płaskiego stanu naprężeń przyjmują postać (rys.2.50): Rys.2.50 Pole naprężeń wokół wierzchołka pęknięcia. 2 3cos 2 cos 2 sin 2 2 3sin 2 sin1 2 cos 2 2 3sin 2 sin1 2 cos 2 ϕϕϕ π τ ϕϕϕ π σ ϕϕϕ π σ r K r K r K I xy I y I x =       +=       −= (2.105) Model Irwina dobrze opisuje mechanizm pękania w materiałach kruchych. Tą część mechaniki pękania określa sie mianem liniowo-sprężystej. Przydatna jest ona do badań stali w niskiej temperaturze oraz dla materiałów o dużej wytrzymałości ( eR powyżej 1000 MPa). Dla materiałów o granicy plastyczności poniżej 1000 MPa przydatność liniowo-sprężystej mechaniki pękania zależy od wymiarów (szerokości b i wysokości h ) przekroju poprzecznego elementu konstrukcyjnego: 2 5,2       ≥ e Ic R Kh , 2 5       ≥ e Ic R Kb (2.106) Przykładowo dla stali o eR = 240 MPa w celu spełnienia powyższych warunków grubość próbki powinna wynosić ok. 300 mm. Ograniczenie określone wzorem (2.106) oznacza, że dla każdego materiału w zależności od grubości i granicy plastyczności istnieje maksymalna wartość IcK ważna w liniowo-sprężystej mechanice pękania: hRK eIc 4,0≤ (2.107) W przypadkach, gdy w okolicy wierzchołka pęknięcia pojawiają się odkształcenia plastyczne do obliczeń należy stosować związki nieliniowo-sprężystej mechaniki pękania. W nieliniowo-spreżystej mechanice pękania rozróżnia się trzy etapy rozwoju pęknięcia (rys.2.51): inicjacja pęknięcia o charakterze stabilnym, stabilny rozwój pęknięcia oraz przejście pęknięcia w stan niestabilny, prowadzący do dekohezji. Tablica 2.11 Wartości cG i cK dla typowych materiałów konstrukcyjnych Lp. Materiał     2m kJGc       2 3m kJKc 1 Metale czyste, plastyczne (np. Cu, Ni, Ag) 100-1000 100-350 2 Stale o wysokiej wytrzymałości 15-118 50-154 "i Stale miękkie 100 140 4 Stale średnio węglowe 13 51 5 Zwykłe drewno, pęknięcie równolegle do włókna 0,5-2 0,5-1 6 Zwykłe drewno, pęknięcie prostopadłe do włókna 8-20 11-13 7 Stopy tytanu (Ti6 A 14V) 26-114 50-115 8 Żywice epoksydowe wzmacniane włóknem szklanym 40-100 42-60 9 Żywice epoksydowe 0,1-0,3 0,3-0,5 10 Żywice epoksydowe wzmacniane włóknem boru 17 46 11 Stopy aluminium (wysokiej wytrzymałości -niskiej wytrzymałości) 8-30 23-45 12 Polipropylen 8 i 13 Polietylen (małej gęstości) 6-7 1 14 Polietylen (dużej gęstości) 6-7 2 15 Nylon 2-4 •3 16 Cement wzmacniany stalą 0,2-4 10-15 17 Beton niezbrojony 0,03 0,2 18 Żeliwo 0,2-3 6-20 19 Węgliki spiekane (W w osnowie Co) 0,3-0,5 14-16 20 Poliester 0,1 0,5 21 Kalcyt (marmur, wapień) 0,02 0,9 22 Szkło sodowe 0,01 0,7-0,8 23 Porcelany elektrotechniczne 0,01 1 24 Lód 0,003 0,2 Krytyczną wartość całki cJJ = , występującą w momencie inicjacji pęknięcia, wyznacza się na podstawie norm: E-813-89 i PN-88/H-04336 dla warunków liniowo- i nieliniowo-sprężystej mechaniki pękania. Przedstawione dotychczasowe rozważania o zagadnieniach mechaniki pękania dotyczą obciążeń statycznych. W tych warunkach, jeżeli krytyczna wartość wady przy danym naprężeniu nie zostanie przekroczona, to nie należy obawiać się rozwoju dekohezji. Jeżeli natomiast występują obciążenia zmienne (przemienne, udarowe lub impulsowe), to podkrytyczne pęknięcie rozwija się bardzo szybko, aż do uzyskania krytycznej wartości wady kra i gwałtownej dekohezji. W przypadku obciążeń przemiennych, chcąc ocenić bezpieczny czas eksploatacji należy określić liczbę cykli przemienności obciążenia do momentu gwałtownej dekohezji. Z danych doświadczalnych odnośnie wzrostu pęknięć przy cyklicznym obciążeniu próbki (rys.2.53) wynika, że współczynnik intensywności naprężeń cyklicznie zmiennych rośnie z czasem. Rys.2.53 Wzrost współczynnika intensywności naprężeń dla obciążeń zmiennych Paris założył, że dla cykli o stałej amplitudzie obciążenia przyrost długości pęknięcia podczas jednego cyklu obciążenia dN da skorelowany jest z K∆ w sposób następujący: mKC dN da ∆= (2.112) gdzie C i m są stałymi materiałowymi. Stąd, jeśli jest znana początkowa długość pęknięcia oa oraz końcowa długość ka , przy której pęknięcie staje się niestabilne (następuje gwałtowna dekohezja), to wówczas bezpieczną liczbę cykli obciążenia można oszacować przez całkowanie: ∫ ∫ ∆== N a a m k KC dadNN 0 0 (2.113) W przypadkach obciążeń udarowych, szczególnie w dużych współczesnych konstrukcjach spawanych (mosty, statki, platformy wiertnicze itp.), charakteryzujących się obecnością pęknięć, niezbędna jest znajomość parametrów charakteryzujących odporność na pękanie w podobnych dynamicznie warunkach: IdK i IdJ . Pomiar tych wielkości jest znacznie trudniejszy niż w warunkach statycznych. Można te parametry wyznaczyć na oprzyrządowanych młotach udarowych, gdzie z szybkozmiennych przebiegów siła-czas lub siła-ugięcie ocenia się krytyczne wartości dynamicznego współczynnika intensywności naprężeń IdK lub całki dynamicznej Rice'a IdJ . Procedura wyznaczania tych parametrów jest przedmiotem licznych badań, a o trudności problemu niech świadczy fakt, iż istnieją dotąd jedynie propozycje norm ich wyznaczania 2.11 PYTANIA DO ROZDZIAŁU 2 1. Co to jest wytrzymałość? 2. Czym zajmuje się wytrzymałość materiałów? 3. Wymień podstawowe materiały konstrukcyjne. 4. Omów podstawowe założenia wytrzymałości materiałów. 5. Co to są odkształcenia, sklasyfikuj rodzaje odkształceń? 6. Co to są naprężenia, podaj ich rodzaje? 7. Co to są równania konstytutywne? 8. Podaj zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami w trójosiowym stanie naprężeń. 9. Omów znane rodzaje obciążeń. 10. Podaj i omów zasadę de Saint-Venanta. 11. Jaka jest różnica pomiędzy jednorodnością a izotropią materiału? 12. Co to są stałe materiałowe? 13. Na czym polega liniowa sprężystość materiału? 14. Wymień podstawowe stałe materiałowe dla materiału liniowo sprężystego. 15. Podaj definicje: momentów statycznych przekroju oraz promieni bezwładności. 16. Co to jest moment dewiacji? 17. Co to jest biegunowy moment bezwładności przekroju? 18. Podaj twierdzenia Steinera dla momentów statycznych i momentów bezwładności przekroju. 19. Scharakteryzuj stan naprężenia w pręcie rozciąganym. 20. Podaj wzór na naprężenia normalne w pręcie rozciąganym. 21. Scharakteryzuj stan odkształcenia w pręcie rozciąganym. 22. Podaj interpretację fizykalną liczby Poissona. 23. Podaj wzór na wydłużenie pręta rozciąganego stałą siłą. 24. Czym różni się czyste ścinanie od ścinania technologicznego? 25. Podaj warunki wytrzymałościowe do projektowania nitów jedno i dwuciętych. 26. Z jakiego warunku wyznaczamy długość spoiny pachwinowej? 27. Jaka jest zależność jednostkowego kąta skręcania od momentu skręcającego? 28. Podaj wzór na moment bezwładności na skręcanie. 29. Określ rozkład naprężeń stycznych przy skręcaniu. 30. Podaj warunki projektowania przekroju przy skręcaniu. 31. Podaj definicję kąta skręcenia i jednostkowego kąta skręcenia. 32. Co wiesz o stanie naprężenia i rozkładzie naprężeń przy skręcaniu? 33. Co to jest moment bezwładności na skręcanie? 34. Scharakteryzuj stan naprężenia przy czystym zginaniu. 35. Podaj wzór na naprężenia normalne przy czystym zginaniu. 36. Określ rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym przy czystym zginaniu. 37. Opisz położenie osi obojętnej przy czystym zginaniu. 38. Gdzie występują największe naprężenia w przekroju przy czystym zginaniu? 39. Scharakteryzuj stan odkształcenia przy czystym zginaniu. 40. Co wiesz o deformacji przekroju poprzecznego przy czystym zginaniu? 41. Co to jest wskaźnik wytrzymałości? 42. Jaki przekrój najlepiej pracuje na zginanie? 43. Jak zaprojektować optymalny przekrój zginany? 44. Jak określić naprężenia w dowolnym punkcie przekroju? 45. Podaj założenia technicznej teorii zginania. 46. Co to są ugięcia i kąty obrotu? 47. Jak zależność różniczkowa istnieje pomiędzy ugięciami a momentem zginającym? 48. Omów warunki brzegowe dla równania różniczkowego opisujące ugięcie belki. 49. Opisz metodę analityczną obliczania ugięć. 50. Opisz metodę Clebscha obliczania ugięć.