Pobierz Wytrzymałość Materiałów i Konstrukcji PRZ i więcej Notatki w PDF z Inżynieria materiałowa tylko na Docsity!

Momenty statyczne i Momenty bezwładności figur płaskich W podstawowych obliczeniach elementów konstrukcyjnych występują pewne wielkości pomocnicze zależące od:

• Kształtu lini ograniczającej pole powierzchni
• Wielkości pola powierzchni -Położenia pola powierzchni względem przyjętego układu odniesienia Wielkości te nosza nazwę momentów pierwszego i drugiego stopnia. Do momentów pierwszego stopnia zaliczamy:
• Momenty statyczne Do momentów drugiego stopnia zaliczamy:
• Momenty bezwładności i Momenty odśrodkowe (dewiacji lub zboczenia) Momenty statyczne pól figur płaskich: L- krzywa ograniczająca pole powierzchni A- pole powierzchni dA- pole elementarne ro - odległość dA od początku układu odniesienia największy wymiar liniowy figury wiążemy z osia x układu odniesienia definicja: Moment statyczny Sy to całka ograniczona polem powierzchni przekroju figury ze zmiennej z po polu elementarnym Momenty statyczne posiadają wymiar [L] podaje się go np. w m lub cm Momenty statyczne Ocenociobie (^) 00,5T

03.10.2022r.^ BEM! ZDAWAI w PIERWSZYM :B prowadzacy :^ Piotr^ Lis^1

2 3 Literatura: (^) kazdaksiopka a (^) wytrymki 3 nieobeonosci Charaktaystyki (^) geometryRne^ pot^ piaskich^.

• zazwyooj pnedstawiane^ jocko pnekroje^ . Konsuttage wt^

" 2

s y (^) y 5g = §zdA

Jayant } 3 3 3

Z powyższych zależności wynika że momenty bezwładności mogą przyjmować tylko wartości dodatnie Czemu nie może przyjmować wartości 0? Wynika to z tego, że jego pole istnieje. Nie da się wyzerować tych poszczególnych momentów elementarnych Biegunowy moment bezwładności (Moment bezwładności wobec punktu)(Oznaczany literami I lub J) cenna zależność Moment odśrodkowy (dewiacji lub zboczenia): Posiada wymiar [L ], np. m lub cm Jednak w odróżnieniu od momentu bezwładności względem osi, momenty dewiacji mogą być dodatnie ujemne lub równe 0 W przypadku, gdy jedna z osi prostokątnego układu współrzędnych jest jednocześnie osia symetrii figury, wówczas moment dewiacji wynosi 0 Momenty dewiacji są addytywne

÷

is 0 0 To = ¢92, . 82=92+

qawqogm•*m

Mr Jo =(y2+z2)dA=§y2dAtfidA=]y+]z •• ]yz=§yzdA 4 4 12 A

A=A,tA2 , 1-1=1-2 A-^ 21-1=21-

An Az

☐ ☐ (^) ^ 2 v (^) > -y , tyr Jyz =/^ ftp.dtt/yzdA=O An A

Twierdzenie Steinera- zależności pomiędzy osiowymi momentami i momentami bezwładności oraz momentami dewiacji względem osi równoległych Twierdzenie Steinera dla Momentu dewiacji: co roku do wyprowadzenia ma egzaminie Punkt 6. Momenty bezwładności względem osi obróconej METODA ANALITYCZNA ZE 2

^ (^) a {

F- Yitb

μ • Érodekoiézkosii Yi (^2) 2=21+ a u b × (^9). (^) Y L (^7) y

Jyi Iasyé OFA

]y= (^) .fi/A=af(z+aTdA=f.z.2dAt2afzdAtoiifdA-isJy--Jyeta?A Jz=fy2dA=f( yntbtdt-fyidd-i-Hyidti-afdt-Jzoi.UA A A^ A

qp&Hqgm••••

Mr •• ]yz=fyzdA= it^ b) (^) lato .to/A--fyRadAtf.yiadAtafbz,dAtafbadA=Jyiyp,t0tOtabAA

2. ^^ 2 " K *

± 791

a)

7g

Z powyższego związku otrzymujemy dwie wartości określające kat alfa zero. Ponieważ tangens jest funkcją o okresie pi. Ostatecznie można stwierdzić, że istnieją dwie osie określone katami alfa zero oraz alfa zero + pi/2 względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności pola figury płaskiej, zaś momenty bezwładności względem głównych osi nazywamy głównymi momentami bezwładności. Chcąc wyznaczyć wartości głównych momentów bezwładności należy wykorzystać dwa pierwsze związki wyrażenia 1 podstawiając znane zależności na funkcje trygonometryczne Po podstawieniu powyższych wyrażen do zaleznosci jeden i wykonaniu przeksztalcen otrzymuje sie zaleznosci pozwalajace ma okreslenie wartosci glownych momentow bezwladnosci. Wartość maksymalnej momentu bezwładności oznaczamy indeksem 1 zaś minimalnego indeksem 2 Definicje: Głównymi osiami bezwładności pola figury płaskiej nazywamy takie dwie osie względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości ekstremalne oraz moment dewiacji jest równy 0 Głównymi momentami bezwładności pola figury płaskiej nazywamy momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności. Jeżeli obie główne osie bezwładności przechodzą przez środek ciężkości figury to nazywamy je głównymi centralnymi osiami bezwładności METODA WYKREŚLNA - koło Mohra S

sinaco to

a co

cos260 =

co I2. (^) Jy2 I(Jy

• J) sin2ax43g2*

cos2noF

543y

3,=^ Smax-

552 ++3y 3 I 32: Jmin=52-3y " C 31

• Tausze (^) po stronic dodatrie R

Jy

L J T

-( I #Je Y (^) E I sai I

Przykład nieobowiązujący Określić momenty Jyc, Jzc, Jy, Jz, J0, Jyz pola prostokąta o długości podstawy b i wysokości h Dzielimy pole figury na paski o szerokości b i wysokości dzc Wartości osiowych momentów bezwładności można również wyznaczyć wykorzystując tw. Steinera Moment dewiacji na dwa sposoby. Zadanie to można rozwiązać dwoma sposobami. Pierwszy sposób dzieląc pole figury na elementy o długości podstawy b i wysokości dz: Sytuajo,^

1) Dane: Jy

, Jz^ , Jyz

25kg

tight

Big J,^ = §

- J

2.^ -^ -^ -^ ]z=^

.^.^ _^.

2. Dane^ : 311121 £ yy = 3M¥ +^ 7-2-32 cos (^22) igy = 7+32--31-31 cos^22 Jyz = 31+21 sin^

2 ^

• " ^ t.ff.TT " " y 2C

6

• (^) )

g

• hk^ +^ H

Jyc

= f. zhdt-b-dzc-fzi.b.dzc-b.nfzzfdzc-btz.se?nf.--b-bEg^ -1¥ bʰÉ^ = 4 ¥ be = (^) %É dlatejosiylwpioniepaskildt-b.dzh Jy = f. 2201A = fz2.b.dz#z2dz--b.13z3J=bY- A 0 To = 3ytJz=b¥-+h;I = ¥ .ch?b2)Jy--Jyc+oi.A=biY-t(F)?h.b=tosamo...Jya--fyzdd-

dt-b.dz

g-

U

h Jyi-fk-z.b.dz = I (^) ifzdz = ÷. % /^!^ =%ʰ÷

Wyznaczenie w sposób analogiczny do powyższego momentu dewiacji figury w układzie yc zc Wyznaczenia kata obrotu alfa oraz momentów maksymalnego i minimalnego Zaznaczenie osi głównych dla I1 i I Koło Mohra Jai ʰj¥^ 1- Ally,

• yup + (^) %ff-ttzlyz-y.cl?6jY- +1211-1,512+33=+413- = 1713 Jyczc = / Jypn^

yn-ysdky-2.sc)^ 1- Jyzzz

Aaliya

• ysc ) (^) (22-4)=0+1211-15113-2, "

• (^) 0+413-1,519=-451-- skied minus^? znakiwspsinednychdlaosicentralnejsqnaminus.ie

• t

tg 2< = 2- Jyczc

• Jgc = 2%- 17,33-49,3- =^ = ¥ ✗ =^ Olktg 0, 2 = 18,43° Try d-^ Tac^

• (^) p(É)É Ji (^) 53,

ostry (^) rorwarty 32--13, (^0) > Mdeukeigi

0 wigkszo.odleyto.si (^001) Osi Zhang 1

joidi ildeuiuyi^

, wownas^05 maksymodnego momenta^ twang kqtostny $^ Osip '

yo

' Mdew > (^0) kqt rrwoity normalnie^ do^ osi^ go

3yd , A

Ja 53,

s 32=13, i /

2-18,43^ Jgcidzo ) ' ' Jyiz - 3-17-13} 9 Jg= 49, Lad (^). 2 21 i % . " 3 Yo 0 , ,5^É- ✗ 2 1 g 95 ¥ , I 3 ¥^.^. 7g I 2 I i. + 6 wspitrgdnes.cipikos.ci yi-

yj-

95-2 23--1^ 1-5-

24.10.2022. ^ 72 Ya

Moment bezwiadnisci

wsglpdem 2C To = Jan 1- (^) An Cy (^) ,

• ysc ↑^ - 322-1- - ysÑ=§¥t 611-1,212-0,114-1,^ - 1,212--2, Dyck = Jyp, 1- (^) An /

Yn

• ysdl4-2.sc/-Jyz2z-tz(yz-ysc)l22-2sc)-- 0, tg 2in = }?? = 2961

= <= arctg) =

si . %yoμÉF=≈

3B$

]2=.... ±

• • (^) - -^ I^ 1,

1^

③

• -^ A^ - 2C
• (^) ② go ① (^) - -

Y , 5rodekciez-kos.ci

ysc

= =

2sc= E÷= (^) 5.015+3.451-3.45=2, 11 momenty stotynne Jyc= 1-1-^

• 2sc)ʰ + Byz 1-1-2122-2$^ + +1-3/25* = 2 ¥ 21 - 510,5-2,1412+9%23=+36, -2,1414-77%+3445- = (^) 33, Jzc= J2^ , it 3221- -_ %zt ¥2T^ ¥ 2 -_ 12, Tyre

D

2-- JyÉh

]zc=]

· (^) · / 1 EA R^48 2p^ s^ x < 2 s^ >^ > ** L 2EA 2,(x1 (^) (9) (^) xix(3 <(x) 4 IN11111110.111111119) < s N(x) 3p ①(81*.^ P B(x)

• 1f ⑦

④

1(()

E

• 18

A ⑦ * * * E

IP

· [Pix =^0 R- 4P +^ 2p+^ p = 0 R=^ P

901x1KL

R ( N(x,) 3 2

X (^1) SYNERFpR R ushoysi gose

N(x) =

• R + 4p = 3p 2E A

A(X,)(x,=^0

= 0 2 A

1(x)(x,=^ t^ =

ItA

SCICYMlEz = =-1- 2 - 90249-2 (^) ⑭ N(xz) = 3p gN(z)=

5. (^) (y) = SIA,Ct^

• SIA CMT re s((y3)(xz= 2 = PL + E) = e s((y3)(xz= 2 = p + (*) = 5

Zadarrie 2 R=^ P^ / EA q=

• R^2 · xxxp)>> > M

2xy

P 2EA Y" 1 x ) (3 (^) 2) I x (^2) > s Na 111111101111111111111111111(11) 1)(1,81((^

5(x)

111111111111p(((((((((((((( 11(1), S(Q)

.. (^).. (^).. 1(1)0n1, ((((((01) 1/ I /

① MLX,E( 20EX,<h^ ③^0 X9 =2h

N(x,) =^ R=^ P^ N(x)=^1 +^ P- gx

N(xg)(xz=^0 =^ 2p

SSST-l (^) NCYMl=SIFARE N(xy)(xy= 2) = 2p-^ 3.2) = 0 S(z) =^ p)

1((x))(x,=^0

= 0 1((X))kxz=^0 = (^1) G(x3))xz= 0 = 21 1((x1)/xn =^1 = 1 1((xz)(yi=^1 =

z A S(z)(xz= 2 = 0

seclining-

① (^) 0x,zL R ③ N(x) =Ri= 5P (^) N(x) = 11 - PAP

• NC,el=- S(y)) =^5 S(X)ForR E SL()Ix-

1(x,) =^ pL^

gpt=^0 1(()(x = 0 = Pt AL(y)X = 0 = 1

Zaoanie 4

Prst niewyanucing

a site, ratozions,

/2EA EA R1 ↑ & " ⑨ > ceir.."**

P

• 2 " otepuoniro. ee Y g^ = 28 zv x Xc^ *
• naleglineto^

allaparado

N(x) L (^) b 2

• -- s((X0) = 0X N(xl.x. NCxAl.e t E A G(x) ! NexIx-orREREitript.A ↑ 1L(x) EA 289

·Ry + Rip + 481 - 48 -

4p)

= 0 ⑨ 285 zgodne kiennkicosia,^ a nonalgodne has 6Rn-P-N^20

• R

+ p +

• R

1 pl+EqLtpl-Re= Reza Sprowolnomy

do

o ① (^) 0ZX =L^ ②

0<xz)

⑬.0zx^

N(x) = Ry = al N(x) =^21 -^ p^ =^030

• 70)=Eq)N(z) =

Rn-p^ - 0x

= E*-

0x

N(xy)(x 2

= - Ed

S(x)Fzm

3 occEORGE a N(xy)/x=^0

= Ezih

f((x))(x=^1

ot occoliand^

1(x) = z

A((43)2)

= 0

LEA 2EA

• Ri +^ P+^ 2P^ - p + R2=^0

EA EA R

• R1 =^ 2p

1((x) =^0

<Rr

: p

20 s (^) < P Y R c NxUxn<NCxd.x

I

(x, (^) sif /xy. >(xy^ + Nxal.xaNxul. O

21 =p f^

1((((11011(11(1)^ ·, ,18, jfP^ N(x)^

Ry

NG 11/01/((11111110111114)

N(tR.-^ P

p (^) N(x) =

3 R,-^ 3p

G()

-p

111(((1011)16(55),.....^ of N(xy) = R1 -^ 2P

3. N(x,).L^ + N(x(2) +N(,).2) + &P A(()

#127.= R e 111()((f))(), (15....

① 0x EL

⑫01x12)^ B 0X(2) = 18 N(x1) = Ry -P^ N(xz) = R,p = Ep N(xy) =

• Ep 12(x,) = F Sixelwoexa

G(x,) =

R1 = ↑P SUxy

• 887 +18y^ -^5 EPOCCEEEEEEEE EPR - -- xLEPL^ st &PL xi = 0 = 0 1((xz)x^ =^0 =^ 10EA ④ 0xL N(xy) =^ Ri-^ 2p=^ =p
• P G(x,) = 18 A 1((x)) = N(xy) . x4 (^) + 18 2EA 10EA Scoil to an

A =^0 ↑