Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne, Publikacje z Materials Physics

Pobierz Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne i więcej Publikacje w PDF z Materials Physics tylko na Docsity! Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne. 60 7. RÓWNANIA FIZYCZNE 7.1. Związki między stanem odkształcenia i naprężenia. I i II postać równań Hooke’a Zależność deformacji bryły od obciążeń zewnętrznych narzuca istnienie zależności między odkształceniami i naprężeniami. Będziemy się starali ustalić te zależności dla przestrzennych stanów odkształcenia i naprężenia. Jest rzeczą powszechnie znaną, że konstrukcje o tej samej geometrii, obciążeniach i więzach, wykonane z różnych materiałów, doznają różnych deformacji więc jest oczywiste, że poszukiwane zależności muszą być oparte na doświadczeniach. Wyobraźmy sobie dowolnie mały sześcian o ściankach równoległych do płaszczyzn układu współrzędnych i poddajmy go działaniu naprężenia normalnego xσ , równomiernie rozłożonego na dwóch przeciwległych ściankach. Doświadczenia pokazują, że w przypadku materiału sprężystego i izotropowego naprężenia te nie wywołają żadnych odkształceń kątowych sześcianu, a odkształcenia liniowe będą miały wartości: EE x xzy x x σ νενεε σ ε −=−=== , gdzie: E oraz ν stałe materiałowe noszące odpowiednio nazwy moduł sprężystości (moduł Younga) i liczba Poissona. Jeżeli nasz sześcian poddamy działaniu jedynie naprężenia normalnego yσ , równomiernie rozłożonego na dwóch przeciwległych ściankach to wywoła ono jedynie odkształcenia liniowe: EE y yzx y y σ νενεε σ ε −=−=== , . I analogicznie, przy działaniu równomiernie rozłożonego naprężenia normalnego zσ , otrzymamy: EE z zyx z z σ νενεε σ ε −=−=== , . Nasuwa się teraz pytanie, czy w przypadku jednoczesnego działania tych trzech naprężeń liniowe odkształcenia w danym kierunku będzie można przedstawić jako sumę algebraiczną odkształceń przy oddzielnym działaniu tych naprężeń (tzn. jako dodanie do siebie efektów trzech jednoosiowych stanów naprężenia). Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna, potwierdzają ją doświadczenia i formułuje zasada superpozycji: skutek w określonym kierunku, wywołany przez zespół przyczyn działających równocześnie jest równy algebraicznej sumie skutków wywołanych w tym kierunku przez każdą z przyczyn działających oddzielnie. Należy w tym miejscu podkreślić, że stosowalność zasady superpozycji ograniczona jest dwoma warunkami: zσ xσ xσ X Z Y yσyσ zσ Rys. 7.1 Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne. 61 • warunkiem proporcjonalności – wymagającym, aby poszczególne skutki były liniowo zależne od przyczyn, które je wywołały, • warunkiem niezależności działania – wymagającym, aby żaden ze skutków nie wpływał na sposób działania pozostałych przyczyn. Przyjęte przez nas założenia odnośnie materiału oraz małości przemieszczeń i odkształceń prowadzą do spełnienia tych warunków. Tak więc, wykorzystując zasadę superpozycji możemy zapisać: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]yxzz zxyy zyxx E E E σσνσε σσνσε σσνσε +−= +−= +−= 1 1 1 (7.1) Powyższe równania pokazują, że związki między odkształceniami liniowymi i naprężeniami normalnymi określone są poprzez dwie stałe materiałowe E i ν. Do określenia związków między odkształceniami kątowymi i naprężeniami stycznymi mogą również służyć te same stałe. Aby tego dowieść rozważmy stan naprężenia określony macierzą :           − = σ σσ 00 00 000 T . Jest to płaski stan naprężenia w płaszczyźnie (Y, Z) i - jak pokazano na rys. 7.2 - na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 do osi (Y, Z) występują jedynie naprężenia styczne στ = (por. przykład 5.4.2). Odkształcenia liniowe w kierunkach osi układu wynoszą: σ ν ε σ ν ε E E z y + −= + = 1 1 , a kątowe jest rowne zeru. Odkształcenie kątowe γ osi obróconych o kąt 45° wynoszą: ( ) σνεεγ E zy + =− − −= 1 90sin 22 o , ale στ = stąd: ( ) τ ν γ E + = 12 . Oznaczając przez ( )ν+ = 12 E G , ostatecznie możemy zapisać związek między odkształceniem kątowym i naprężeniem stycznym w formie: σ Y 2zε 2zε γ−o90 στ = σ Y Y Z 1 2 yε 2 yε 1 Rys. 7.2 σ Y σ Y Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne. 64           zzyzx yzyyx xzxyx εγγ γεγ γγε 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1           = m m m ε ε ε 00 00 00           − − − + mzzyzx yzmyyx xzxymx εεγγ γεεγ γγεε 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 gdzie: εΑ - aksjator odkształceń, εD - dewiator odkształceń. Łatwo sprawdzić, że zachodzą poniższe związki między aksjatorami i dewiatorami naprężeń i odkształceń: εσ ΑΑ K3= , (7.8) εσ DGD 2= , (7.9) które stanowią III postać równań Hooke’a i noszą nazwy prawa zmiany objętości i prawa zmiany postaci. Uzasadnienie tych nazw nie jest trudne. Działanie aksjatora naprężeń wywołuje jedynie zmianę objętości, a odkształcenia postaciowe są równe zeru. Natomiast pod działaniem dewiatora naprężeń powstają odkształcenia postaciowe, a suma odkształceń liniowych na przekątnej dewiatora odkształceń jest równa zeru, co dowodzi, że nie ma zmiany objętości. Wróćmy jeszcze do równania (7.7). Wykorzystując, że zmiana objętości jest równa: mzyxD εεεε 3=++= , możemy zapisać: m E D σ ν21 3 − = . Jeśli 0>mσ , to oczywiście D>0, a więc musi zachodzić: 1-2ν > 0, czyli 2 1 ≤ν . Maksymalna zmiana objętości będzie zachodzić dla materiału którego 0=ν , materiał którego 2 1 =ν jest nieściśliwy. Guma ma liczbę Poissona bliską 0.5, a korek bliską 0. 7.3. Przykłady Przykład 7.3.1. Jakie obciążenie sześcianu o boku a wykonanego z materiału spełniającego równania Hooke’a, powoduje przemieszczenia dowolnego jego punktu określone funkcjami: , , , zCw yCv xCu −= −= −= jeśli stałe materiałowe są równe E i ν. a X a a Z Y Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne. 65 Rozwiązanie Z równań Cauchy’ego łatwo wyznaczyć, że odkształcenia liniowe są równe Czyx −=== εεε a odkształcenia kątowe równają się zeru 0=== zyxzxy γγγ Odpowiadające im współrzędne tensora naprężeń są równe 0=== −=== zyxzxy zyx BC τττ σσσ gdzie : ( )ν21− = E B . Obciążenie ścianek sześcianu wyznaczymy ze statycznych warunków brzegowych. Ścianki 2ax ±= , współrzędne wersora normalnego zewnętrznego 0,1 ==±= nml . 0, === vzvyvx qqBCq m . Ścianki 2ay ±= , współrzędne wersora normalnego zewnętrznego 0,1 ==±= nlm . 0, === vzvxvy qqBCq m . Ścianki 2az ±= , współrzędne wersora normalnego zewnętrznego 0,1 ==±= mln . 0, === vyvxvz qqBCq m . Tak więc ścianki sześcianu obciążone są równomiernie rozłożonym obciążeniem ściskającym o intensywności BC. Przykład 7.3.2. Dane są funkcje przemieszczeń w konstrukcji wykonanej z materiału liniowo sprężystego: ( ) 410*1.05 −+= xyu m, ( ) 410*1.0 −−= xyyv m, ( ) 422 10* −−= zxw m, wyznaczyć macierz odkształceń i naprężeń w punkcie ( )1,2,1−A m, jeśli moduł Younga E = 205 GPa i liczba Poissona ν = 0.3. Rozwiązanie Z równań geometrycznych Cauchy’ego wyznaczymy funkcje odksztaceń a po wstawieniu do nich wspólrzędnych punktu A otrzymamy wartości występujących w nim odkształceń: 44 10*2.010*1.0 −− == ∂ ∂ = y x u xε , ( ) 44 10*1.110*1.00.1 −− =−= ∂ ∂ = x y v yε , 44 10*0.210*2 −− −=−= ∂ ∂ = z z w zε , Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne. 66 ( ) 44 10*3.010*1.01.0 −− −=−= ∂ ∂ + ∂ ∂ = yx x v y u xyγ , 44 10*0.210*2 −− −== ∂ ∂ + ∂ ∂ = x x w w u xzγ , 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ = y w z v yzγ . Macierz odkształceń ma postać: 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 10* 0.200.1 01.115.0 0.115.02.0 −           −− − −− =           = zzyzx yzyyx xzxyx T εγγ γεγ γγε ε . Naprężenia wyznaczymy korzystając z II postaci równań Hooke’a: ( ) =      ++ − + + = zyxxx E εεε ν ν ε ν σ 211 ( ) 125.510*0.21.12.0 3.0*21 3.0 2.0 3.01 10*205 4 9 −=      −+ − + + = − MPa, ( ) =      ++ − + + = zyxyy E εεε ν ν ε ν σ 211 ( ) 067.910*0.21.12.0 3.0*21 3.0 1.1 3.01 10*205 4 9 =      −+ − + + = − MPa, ( ) =      ++ − + + = zyxxz E εεε ν ν ε ν σ 211 ( ) 817.3910*0.21.12.0 3.0*21 3.0 0.2 3.01 10*205 4 9 −=      −+ − +− + = − MPa, ( ) ( ) 365.210*3.0 3.012 10*205 4 9 −=− + == −xyxy Gγτ MPa, ( ) ( ) 769.1510*0.2 3.012 10*205 4 9 −=− + == −xzxz Gγτ MPa, 0== yzyz Gγτ . Macierz naprężeń przedstawia się więc następująco:           −− − −−− =           = 817.390769.15 0067.9365.2 769.15365.2125.5 zzyzx yzyyx xzxyx T σττ τστ ττσ σ MPa.