Pobierz Wytrzymałość Materiałów. Równania fizyczne i więcej Publikacje w PDF z Materials Physics tylko na Docsity!

7. RÓWNANIA FIZYCZNE

7.1. Zwi ą zki mi ę dzy stanem odkształcenia i napr ęż enia. I i II posta ć równa ń Hooke’a

Zależność deformacji bryły od obciążeń zewnętrznych narzuca istnienie zależności między odkształceniami i naprężeniami. Będziemy się starali ustalić te zależności dla przestrzennych stanów odkształcenia i naprężenia. Jest rzeczą powszechnie znaną, że konstrukcje o tej samej geometrii, obciążeniach i więzach, wykonane z różnych materiałów, doznają różnych deformacji więc jest oczywiste, że poszukiwane zależności muszą być oparte na doświadczeniach. Wyobraźmy sobie dowolnie mały sześcian o ściankach równoległych do płaszczyzn układu współrzędnych i poddajmy go działaniu naprężenia normalnego σ (^) x , równomiernie rozłożonego na dwóch przeciwległych ściankach. Doświadczenia pokazują, że w przypadku materiału sprężystego i izotropowego naprężenia te nie wywołają żadnych odkształceń kątowych sześcianu, a odkształcenia liniowe będą miały wartości:

E E

x y z x

x x

gdzie: E oraz ν stałe materiałowe noszące odpowiednio nazwy moduł sprężystości (moduł Younga) i liczba Poissona.

Jeżeli nasz sześcian poddamy działaniu jedynie naprężenia normalnego σ y , równomiernie

rozłożonego na dwóch przeciwległych ściankach to wywoła ono jedynie odkształcenia liniowe:

E E

y x z y

y y

σ ε ε νε ν

σ ε = , = =− =−.

I analogicznie, przy działaniu równomiernie rozłożonego naprężenia normalnego σ (^) z ,

otrzymamy:

E E

z x y z

z z

Nasuwa się teraz pytanie, czy w przypadku jednoczesnego działania tych trzech naprężeń liniowe odkształcenia w danym kierunku będzie można przedstawić jako sumę algebraiczną odkształceń przy oddzielnym działaniu tych naprężeń (tzn. jako dodanie do siebie efektów trzech jednoosiowych stanów naprężenia). Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna, potwierdzają ją doświadczenia i formułuje zasada superpozycji: skutek w okre ś lonym kierunku, wywołany przez zespół przyczyn działaj ą cych równocze ś nie jest równy algebraicznej sumie skutków wywołanych w tym kierunku przez ka ż d ą z przyczyn działaj ą cych oddzielnie. Należy w tym miejscu podkreślić, że stosowalność zasady superpozycji ograniczona jest dwoma warunkami:

σ z

σ x

σ x X

Z

Y

σ y^ σ y

σ z

Rys. 7.

• warunkiem proporcjonalności – wymagającym, aby poszczególne skutki były liniowo zależne od przyczyn, które je wywołały,
• warunkiem niezależności działania – wymagającym, aby żaden ze skutków nie wpływał na sposób działania pozostałych przyczyn. Przyjęte przez nas założenia odnośnie materiału oraz małości przemieszczeń i odkształceń prowadzą do spełnienia tych warunków. Tak więc, wykorzystując zasadę superpozycji możemy zapisać:

[ ( )]

[ ( )]

z [^ z^ (^ x y )]

y y x z

x x y z

E

E

E

ε σ νσ σ

ε σ νσ σ

ε σ νσ σ

= − +

= − +

= − +

1

1

1

Powyższe równania pokazują, że związki między odkształceniami liniowymi i naprężeniami normalnymi określone są poprzez dwie stałe materiałowe E i ν. Do określenia związków między odkształceniami kątowymi i naprężeniami stycznymi mogą również służyć te same stałe. Aby tego dowieść rozważmy stan naprężenia określony macierzą :

σ

σ σ 0 0

T.

Jest to płaski stan naprężenia w płaszczyźnie ( Y, Z ) i - jak pokazano na rys. 7.2 - na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 do osi ( Y, Z ) występują jedynie naprężenia styczne

τ = σ (por. przykład 5.4.2).

Odkształcenia liniowe w kierunkach osi układu wynoszą:

E

E

z

y

=−

a kątowe jest rowne zeru.

Odkształcenie kątowe γ osi

obróconych o kąt 45° wynoszą:

γ^ ε^ ε ν E

= − y^^ −^ z sin− 90 =^1 + 2 2

o (^) ,

ale τ = σ stąd:

E

Oznaczając przez

E

G , ostatecznie możemy

zapisać związek między odkształceniem kątowym i naprężeniem stycznym w formie:

Y

ε z 2

ε z 2

90 o− γγγγ

Y Y

Z

1

ε y

ε y

1

Rys. 7.

Y

Y

( ) 

x =^ x x y z

E

i postępując analogicznie z następnymi naprężeniami

normalnymi dostajemy równania wiążące je z odkształceniami liniowymi.

II postać równań fizycznych Hooke’a :

( ) 

x =^ x x y z

E

( ) 

y =^ y x y z

E

( ) 

z =^ z x y z

E

τ xy = G γ xy , τ yz = G γ yz , τ zx = G γ zx

7.2. III posta ć równa ń Hooke’a - prawo zmiany obj ę to ś ci i prawo zmiany postaci

Przyjmijmy na mocy definicji:

x y z m def

=

x y z m def

=

jako odkształcenie średnie i naprężenie średnie. Przy tych oznaczeniach wzór (7.4) możemy zapisać w formie:

σ m = 3 K ε m (7.7)

gdzie: 3 ( 1 − 2 ν)

E

K jest stałą materiałową i nazywana jest modułem objętościowej

ściśliwości sprężystej lub modułem Helmholtza. Dokonajmy rozkładu macierzy naprężeń na dwie części

Τσ = Ασ + D σ

zx zy z

yx y yz

x xy xz

m

m

m

zx zy z m

yx y m yz

x m xy xz

gdzie:

Ασ - aksjator naprężeń, D σ - dewiator naprężeń;

i analogicznie macierzy odkształceń:

Τ ε = Αε + D ε

zx zy z

yx y yz

x xy xz

2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1

m

m

m





















−

−

−

zx zy z m

yx y m yz

x m xy xz

γ γ ε ε

γ ε ε γ

ε ε γ γ

2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1

gdzie:

Αε - aksjator odkształceń, D ε - dewiator odkształceń.

Łatwo sprawdzić, że zachodzą poniższe związki między aksjatorami i dewiatorami naprężeń i odkształceń:

Ασ = 3 K Α ε, (7.8)

D σ (^) = 2 GD ε, (7.9)

które stanowią III postać równań Hooke’a i noszą nazwy prawa zmiany objętości i prawa zmiany postaci. Uzasadnienie tych nazw nie jest trudne. Działanie aksjatora naprężeń wywołuje jedynie zmianę objętości, a odkształcenia postaciowe są równe zeru. Natomiast pod działaniem dewiatora naprężeń powstają odkształcenia postaciowe, a suma odkształceń liniowych na przekątnej dewiatora odkształceń jest równa zeru, co dowodzi, że nie ma zmiany objętości. Wróćmy jeszcze do równania (7.7). Wykorzystując, że zmiana objętości jest równa:

D = ε x +ε y +ε z = 3 ε m ,

możemy zapisać:

m E

D σ

Jeśli σ m > 0 , to oczywiście D>0, a więc musi zachodzić: 1-2 ν > 0, czyli

νν^ νν^ ≤.

Maksymalna zmiana objętości będzie zachodzić dla materiału którego νννν = 0 , materiał

którego 2

ν = jest nieściśliwy. Guma ma liczbę Poissona bliską 0.5, a korek bliską 0.

7.3. Przykłady

Przykład 7.3.1. Jakie obciążenie sześcianu o boku a wykonanego z materiału spełniającego równania Hooke’a, powoduje przemieszczenia dowolnego jego punktu określone funkcjami:

w C z

v Cy

u Cx

jeśli stałe materiałowe są równe E i ν.

X^ a

a

a

Z

Y

= ( 0. 1 − 0. 1 ) * 10 −^4 =− 0. 3 * 10 −^4 ∂

= x y x

v y

u γ (^) xy ,

= 2 * 10 −^4 =− 2. 0 * 10 −^4

= x x

w w

u γ (^) xz , (^) ∂ = 0

y

w z

v γ (^) yz.

Macierz odkształceń ma postać:

4

2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1

• 10

1. 0 0 2. 0

− 

zx zy z

yx y yz

x xy xz T γ γ ε

γ ε γ

ε γ γ ε.

Naprężenia wyznaczymy korzystając z II postaci równań Hooke’a:

( ) = 

x =^ x x y z

E

( 0. 2 1. 1 2. 0 ) * 10 5. 125 1 2 * 0. 3

 =^ −

= −^ MPa,

( ) = 

y =^ y x y z

E

( 0. 2 1. 1 2. 0 ) * 10 9. 067 1 2 * 0. 3

^ =

= −^ MPa,

( ) = 

z =^ x x y z

E

( 0. 2 1. 1 2. 0 ) * 10 39. 817 1 2 * 0. 3

 =^ −

= −^ MPa,

( )

( 0. 3 ) * 10 2. 365 21 0. 3

τ xy = G γ xy = − MPa,

( )

( 2. 0 ) * 10 15. 769 21 0. 3

τ xz = G γ xz = − MPa, τ yz = G γ yz = 0.

Macierz naprężeń przedstawia się więc następująco:





















− −

−

− − −





















15. 769 0 39. 817

16. 365 9. 067 0

17. 125 2. 365 15. 769

zx zy z

yx y yz

x xy xz T τ τ σ

τ σ τ

σ τ τ σ MPa.