Wyznaczanie długości fali światła diody laserowej i stałej siatki dyfrakcyjnej, Ćwiczenia z Ottica

Pobierz Wyznaczanie długości fali światła diody laserowej i stałej siatki dyfrakcyjnej i więcej Ćwiczenia w PDF z Ottica tylko na Docsity!

INSTYTUT FIZYKI

WYDZIAŁ IN ś YNIERII PROCESOWEJ,

MATERIAŁOWEJ I FIZYKI

STOSOWANEJ

POLITECHNIKA CZ Ę STOCHOWSKA

PRACOWNIA OPTYKI

Ć W I C Z E N I E N R O-

WYZNACZANIE DŁUGO Ś CI FALI Ś WIATŁA

DIODY LASEROWEJ

I STAŁEJ SIATKI DYFRAKCYJNEJ

I. Zagadnienia do przestudiowania

1. Zjawisko dyfrakcji i interferencji światła.
2. Otrzymywanie widma za pomocą siatki dyfrakcyjnej.
3. Zasada pomiaru stałej siatki dyfrakcyjnej.
4. Laser półprzewodnikowy.
5. Rachunek błędu metodą róŜniczki zupełnej.

II. Wprowadzenie teoretyczne

Zjawiska zarówno dyfrakcji fal (lub inaczej ugięcie fal), jak i interferencji (czyli nakładanie się fal) naleŜą do zjawisk, dla wyjaśnienia których zawodzą metody optyki geometrycznej. Zjawiska te wyraźnie ujawniają się przy przechodzeniu światła przez dostatecznie wąskie (w porównaniu z długością fali światła) szczeliny i otwory, a takŜe przy oświetlaniu małych, nieprzeźroczystych przeszkód. RozwaŜmy na przykład źródło światła umieszczone przed małym otworem. Z punktu widzenia optyki geometrycznej na ekranie umieszczonym za otworem powinniśmy otrzymać odwrócony wyraźny obraz źródła, tym ostrzejszy, im otwór jest mniejszy. JednakŜe wykonując ten eksperyment, przekonamy się, Ŝe w miarę zmniejszania otworu obraz staje się coraz mniej ostry, a w jego otoczeniu pojawiają się jasne i ciemne prąŜki, co jest efektem wyraźnego odchylenia prostoliniowości rozchodzenia się światła.

Warunek określający stosowalność optyki geometrycznej, a mianowicie a >> λ (średnica otworu jest

bardzo duŜa w porównaniu z długością fali λ), nie jest w tym przypadku spełniony. Tam, gdzie według

optyki geometrycznej powinien być cień, pojawia się światło i odwrotnie. Mamy tu do czynienia z typowym zjawiskiem ugięcia i interferencji fal świetlnych. Efekt dyfrakcji światła jest tym silniejszy, im mniejsze są rozmiary ciał, na krawędzi których zjawisko to występuje, lub im mniejsze są odległości

między tymi krawędziami w porównaniu z długością fali światła λ.

Dyfrakcja fal jest to zespół zjawisk towarzyszący rozchodzeniu się fal w ośrodkach niejednorodnych, związany z odstępstwami od praw optyki geometrycznej. W wyniku dyfrakcji mogą pojawić się nowe, nieprzewidziane przez optykę geometryczną kierunki rozchodzenia się fal (rys. 1). Zjawisko dyfrakcji dotyczy wszystkich rodzajów fal. Zjawisko uginania się światła zostało po raz pierwszy zaobserwowane w 1665 roku (ogłoszone pośmiertnie) przez włoskiego jezuitę Francesco Marię Grimaldiego (1618-1663). Newton (1642-1727) próbował je wyjaśnić bez powodzenia z punktu widzenia korpuskularnej teorii światła. Pierwsze falowe ujęcie zagadnienia dyfrakcji fal podał w roku 1807 Thomas Young (1773-1829), a uzupełnił je w 1815 roku Augustin Fresnel (1788-1827). Young oprócz zasady Huygensa, zgodnie z którą kaŜdy element powierzchni, do którego dotarła w danym momencie fala, staje się źródłem fal elementarnych, wprowadził zasadę bezpośredniego poprzecznego przekazywania amplitudy drgań wzdłuŜ czoła fali. Zgodnie z tą zasadą ugięcie fali ma

ZałóŜmy, Ŝe mamy punktowe źródło światła A. Światło obserwujemy w punkcie B. Pomiędzy A i B umieszczona jest przysłona P, w której znajduje się otwór. Odległość punktu A od przysłony oznaczamy przez a, natomiast odległość punktu B przez b. Dokoła punktu B kreślimy szereg kul o kolejnych promieniach róŜniących się o połowę długości fali: b, b + λ/2, b + λ itd. Natomiast za czoło fali moŜna uwaŜać powierzchnię kuli zakreślonej promieniem a dokoła punktu A. Kule zakreślone dokoła punktu B wytną na powierzchni czoła fali szereg koncentrycznych pierścieni. Promień DC k -tego pierścienia oznaczmy przez rk. Z trójkąta ACD (rys. 2) oblicza-my:

rk^2 = a^2^ − (^) ( a − x (^) )^2 = 2 ax − x^2 (1)

PoniewaŜ x jest małe, to moŜna przyjąć, Ŝe

rk^2 ≈ 2 ax (1a)

Podobnie z trójkąta BCD mamy

rk^2 = (^) ( b + k λ/2 (^) ) 2 − (^) ( b + x (^) )^2 ≈ kb λ − 2 bx (2)

gdyŜ λ i x są bardzo małe.

Porównując prawe strony wzorów (1) i (2), otrzymujemy

2 ax = kb λ− 2 bx (3)

stąd

x kb a b = λ

• (^) (4)

co po podstawieniu do (1) daje

r k^2 k ab = (^) a + b λ (5)

Natomiast powierzchnia Sk k -tego pierścienia, czyli k -tej strefy jest równa

rk^2^1 rk^2^ ab a b π (^) + − π = π λ

• (^) (6)

co oznacza, Ŝe powierzchnie wszystkich stref są prawie takie same (przy dokładnej analizie zaobserwujemy powolny wzrost ze wzrostem liczby k ). RóŜnica faz fal wy- chodzących z sąsiadujących ze

sobą stref i dochodzących do punktu B wynosi λ/2, jak to wynika z konstrukcji stref. Fale te są spójne

i w wyniku interferencji amplitudy sąsiednich stref kolejno wzmacniają się i osłabiają. Wypadkowa amplituda w punkcie B wyniesie

A = A 1 − A 2 + A 3 − A 4 + ... (7)

Jednocześnie ze wzrostem numeru strefy wzrasta kąt α k pomiędzy zewnętrzną prostopadłą do powierzchni

strefy w jakimkolwiek jej punkcie i prostą łączącą ten punkt z punktem B i, zgodnie z zasadą Huygensa- Fresnela, maleje natęŜenie promieniowania strefy, w kierunku punktu B, czyli maleje amplituda Ak. Maleje ona równieŜ ze wzrostem k i w następstwie zwiększania się odległości od strefy do punktu B. A zatem

A 1 (^) > A 2 (^) > A 3 (^) > ... > Ak > ... (8)

Całkowita liczba N stref Fresnela znajdujących się na półkuli o powierzchni S = 2 π a^2 jest bardzo

duŜa. JeŜeli powierzchnie wszystkich stref uwaŜać w pierwszym przybliŜeniu za równe, to na przykład

dla a = b = 0,1 m i λ = 5 · 10 –7^ m otrzymamy

(^2 ) 10 k

N S^ a a b S ab

π = = (^) π + ≈ (9)

WyraŜenie (7) moŜna zapisać w innej postaci, a mianowicie

(^1 1 2 3 3 4 5) ... 1 2 2 2 2 2 2 A = A^ + ^ A^ − A +^ A^ ^ + ^ A^ − A + A + = A     (^) (10)

poniewaŜ we wzorze (10) wszystkie wyraŜenia znajdujące się w nawiasach są równe zeru. Wzór (10) pokazuje, Ŝe działanie wszystkich stref Fresnela daje amplitudę równą połowie działania pierwszej

(skutecznej) strefy, której promień r 1 jest stosunkowo mały (dla a = b = 0,1 m i λ = 5 · 10 –7^ m wartość

r l = 160 μm). Z przedstawionych powyŜej rozwaŜań Fresnel wyciągnął następujący wniosek: Jeśli na drodze promieni pomiędzy punktami A i B ustawimy ekran zaopatrzony w otworek przepuszczający tylko pierwszą strefę, zaobserwujemy w punkcie B amplitudę dwukrotnie większą, gdyŜ będzie działać cała pierwsza strefa, dająca amplitudę A 1. Otrzymamy wtedy natęŜenia światła czterokrotnie większe niŜ bez uŜycia ekranu (natęŜenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy wektora świetlnego). Jeśli zwiększymy średnicę otworka tak, aby pokrywał pierwsze dwie strefy, działania tych stref skompensują się niemal dokładnie i w punkcie B zaobserwujemy ciemność. Przy dalszym zwiększaniu rozmiarów otworka zaobserwujemy kolejne maksima i minima o natęŜeniach stopniowo malejących i gdy otwór będzie bardzo duŜy, otrzymamy natęŜenie światła takie, jak bez uŜycia ekranu. Z konstrukcji Fresnela wynika moŜliwość znacznego zwiększania natęŜenia światła w punkcie B. JeŜeli odległość przesłony od źródła jest dość duŜa, moŜemy uwaŜać z wystarczającym przybliŜeniem, Ŝe strefy Fresnela leŜą w płaszczyźnie przesłony. MoŜna wówczas zastosować tzw. płytkę strefową - szklaną płytkę, na powierzchni której naniesiona jest nieprzezroczysta warstwa w ten sposób, Ŝe zasłania wszystkie parzyste strefy Fresnela,

Rys. 3. Ugi ę cie promieni w siatce dyfrakcyjnej

Wyobraźmy sobie, Ŝe na siatkę dyfrakcyjną pada prostopadle fala płaska o długości λ. W kaŜdej ze

szczelin światło ulega ugięciu i w myśl zasady Huygensa, kaŜdy punkt szczeliny staje się źródłem nowej fali kulistej, rozchodzącej się we wszystkich kierunkach. Ugięte fale na róŜnych szczelinach są spójne i interferują ze sobą, dając w pewnych kierunkach wzmocnienie natęŜenia, w innych natomiast osłabienie, uwidocznione na ekranie w postaci szeregu jasnych prąŜków. Fale wychodzące z dwu sąsiednich szczelin (rys. 3) spotkają się w fazach zgodnych, to znaczy nastąpi wzmocnienie, gdy róŜnica dróg optycznych jest wielokrotnością długości fali

d sin ϕ (^) n = n λ (13)

gdzie ϕ n oznacza kąt ugięcia, a n jest liczbą całkowitą.

Dla n = 0 otrzymujemy prąŜek zerowy odpowiadający wiązce nieugiętej, dla n –1, 2, ... otrzymujemy prąŜki ugięte pierwszego, drugiego, n -tego rzędu rozłoŜone symetrycznie po obu stronach prąŜka centralnego (zerowego). Stosując światło niemonochromatyczne, uzyskamy prąŜki barwne, nakładające się częściowo na siebie w miarę wzrostu rzędu n. RóŜnica dróg skrajnych promieni wynosi Nd sin ϕ (^) n = Nn λ (14)

a więc jest proporcjonalna do liczby szczelin N. Dzieląc całą szerokość siatki na dwie części i biorąc pod uwagę odpowiadające sobie punkty połoŜone symetrycznie w tych dwóch częściach siatki, moŜna określić połoŜenie pierwszego minimum bocznego. Odległość dwóch takich odpowiadających sobie punktów jest

równa Nd /2, a róŜnica dróg promieni ugiętych pod kątem ϕ i wychodzących z tych punktów jest równa

Nd /2sin ϕ n. Warunek na minimum, to znaczy całkowite wygaszanie, następuje wtedy, gdy

(^1) sin 1 2 Nd^^ ϕ^ n^ = 2 n λ (15)

skąd

sin ϕ (^) n = Nd^ λ (16)

Dla następnych kolejnych minimów otrzymamy:

sin ϕ (^) n =^ n Nd^ λ (17)

Rys. 4. Rozkład nat ęŜ e ń w maksimach i minimach przy liczbie szczelin: a) N = 2, b) N = 4, c) N = 8

Dla n = N zgodnie z (13) otrzymamy pierwsze maksimum. Zatem pomiędzy kolejnymi maksimami występuje N –1 minimów oraz N –2 maksimów wtórnych, w których natęŜenia są bardzo małe (rys. 4). PołoŜenie maksimum głównego n -tego rzędu określone jest wzorem (13), natomiast najbliŜsze minimum

odpowiada kątowi α ' n określonemu przez wzór

sin (^) n^ '^ n d Nd α = λ^ + λ (18)

W związku z tym moŜna określić tzw. zdolność rozdzielczą siatki Z. Dwie linie widmowe λ + δλ i λ

moŜemy rozróŜnić wtedy, gdy ich obrazy ugięciowe są rozsunięte przynajmniej tak, Ŝe maksimum jednej linii przypadnie na minimum drugiej, czyli

d^ n^^ (^ λ^ +^ δλ)=^ nd^ λ^ + Nd λ (19)

Zdolność rozdzielczą siatki Z definiujemy jako

δλ Z = λ (20)

b) podłączyć laser do zasilacza i przycisnąć przycisk zamykający obwód (znajdujący się na tarczy spektrometru), c) wyregulować szerokość wiązki lasera tak, aby widmo pierwszego rzędu było widoczne, d) odczytać połoŜenie prąŜków, a wyniki wpisać do tabeli 1.

2. Wyznaczanie stałej siatki a) zamontować siatkę dyfrakcyjną o nieznanej ilości linii na jeden milimetr, b) podłączyć laser do zasilacza i przycisnąć przycisk zamykający obwód (znajdujący się na tarczy spektrometru), c) wyregulować szerokość wiązki lasera tak, aby widmo pierwszego rzędu było widoczne, odczytać połoŜenia kątowe prąŜków, a wyniki wpisać do tabeli 2, d) poszerzać szerokość wiązki lasera aŜ do otrzymania prąŜka kolejnego rzędu, odczytać połoŜenia prąŜków, a wyniki wpisać do tabeli 2, e) identyczne pomiary wykonać dla drugiej siatki.

V. Tabele pomiarowe

TABELA 1. Wyznaczanie długo ś ci fali ś wiatła diody laserowej z wykorzystaniem stałej siatki wzorcowej dw PołoŜenie kątowe Rząd pierwszego prąŜka widma n na prawo ϕ 1 [deg]

na lewo ϕ 2 [deg]

Średnia wartość ugięcia ϕ = (ϕ 1 + ϕ 2 )/ [deg]

Wyznaczona długość λ [10–6^ m]

|∆λ| [10–6^ m]

TABELA 2. Wyznaczanie stałych siatek badanych z wykorzystaniem długo ś ci fali λλλλ wyznaczonej w cz ęś ci pierwszej ć wiczenia PołoŜenie kątowe Numer n-tego prąŜka siatki

Rząd widma n

na prawo ϕ 1 [deg]

na lewo ϕ 2 [deg]

Średnia wartość kąta ugięcia ϕ = (ϕ 1 + ϕ 2 )/

d [10–6^ m]

|∆d| [10–6^ m]

dśr [10–6^ m]

a  mm^1 

I

VI. Opracowanie ć wiczenia

1. Obliczyć średnią wartość kąta ugięcia ϕ dla siatki dyfrakcyjnej o znanej ilości linii na jeden milimetr

jako średnią arytmetyczną kąta ugięcia z prawej ϕ 1 i z lewej ϕ 2 strony wiązki nieugiętej.

2. Na podstawie wyników z tabeli 1 obliczyć długość światła laserowego za pomocą wzoru: λ = d sin ϕ

oraz błąd bezwzględny |∆ λ| z wykorzystaniem metody róŜniczki zupełnej. Do tabeli 1 wpisać

obliczone wartości |∆ λ| i λ po zaokrągleniu zgodnie z obowiązującymi normami.

3. Obliczyć średnie wartości kątów ugięcia ϕ dla siatek dyfrakcyjnych o nieznanych ilościach linii na jeden

milimetr jako średnią arytmetyczną kąta ugięcia z prawej ϕ 1 i z lewej ϕ 2 strony wiązki nieugiętej.

4. Na podstawie wyników z tabeli 2 obliczyć stałe siatki dyfrakcyjnej d ze wzoru (^) sin n

d^ n^ λ = (^) ϕ dla kaŜdego

wyznaczonego kąta ϕ, oraz błędy bezwzględne |∆ d |.

5. Dokonać zgodnych z normami zaokrągleń wartości |∆ d | i d , a wyniki wpisać do tabeli 2.
6. Dla kaŜdej siatki obliczyć wartość średnią stałej siatki d ś r.
7. Obliczyć błędy względne.
8. Dla kaŜdej z siatek obliczyć liczbę linii na jeden milimetr (^) a = (^) d^1.

VII. Rachunek bł ę du

1. Błąd bezwzględny długości światła laserowego |∆ λ| (tab. 1) obliczyć metodą róŜniczki zupełnej

∆ λ = ∂ ∂^ λ ϕ ∆ ϕ= d cosϕ ⋅ ∆ϕ

gdzie |∆ ϕ | = 1° = ............. rad

2. Błąd bezwzględny stałej siatki dyfrakcyjnej |∆ d | obliczyć metodą róŜniczki zupełnej:

∆ d =∂∂λ d ∆λ+∂∂ϕ d ∆ ϕ

2

cos sin (^) n sin n

d^ n^ λ n^ λ^ ϕ ϕ

W wyniku przekształceń uzyskujemy bardziej wygodną postać na |∆ d |:

∆ d = d ^ ∆λλ^ +ctgϕ n ∆ ϕ 

gdzie |∆ ϕ | = 1° = ............. rad.