Wyznaczanie dyspersji optycznej pryzmatu metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia , Publikacje z Fizyka

Pobierz Wyznaczanie dyspersji optycznej pryzmatu metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia i więcej Publikacje w PDF z Fizyka tylko na Docsity! 1.Podstawy fizyczne. Dyspersją optyczną Dn materiału nazywamy właściwość polegającą na istnieniu róŜnej wartości współczynnika załamania światła n dla róŜnych częstotliwości fali świetlnej ν (niekiedy, korzystając z zaleŜności ν = c/λ , mówi się o zaleŜności n od długości fali λ, ale trzeba pamiętać, Ŝe długość fali zaleŜy od ośrodka w którym się ona przemieszcza, natomiast częstotliwość jest cechą charakterystyczną danej fali): n = f(ν) lub n = f(λ) (1) AŜeby powyŜszą definicję dyspersji w pełni rozumieć, naleŜy wiedzieć: co to jest współczynnik załamania światła, dlaczego zaleŜy on od częstotliwości fali światła, oraz co jest miarą dyspersji materiału. Temat ćwiczenia wymaga ponadto wiadomości, co to jest i jak działa pryzmat oraz na czym polega metoda znajdowania kąta najmniejszego odchylenia. Rys.1. Załamanie i odbicie promieni na granicy dwóch ośrodków izotropowych. Zjawisko załamania światła przejawia się w zmianie kierunku biegu wiązki światła (w języku optyki geometrycznej), lub zmianie kierunku rozchodzenia się fali świetlnej (w języku optyki falowej) przy przejściu światła przez granicę dwóch ośrodków. Zjawiskiem tym oraz związanym z nim zjawiskiem odbicia światła rządzą prawa znane jako prawa optyki geometrycznej. Przypomnijmy ich treść: Gdy światło pada na granicę dwóch izotropowych ośrodków materialnych∗) pojawia się fala przechodząca (załamana) oraz fala odbita. Trzy wektory opisujące kierunek rozchodzenia się fal: padającej, przechodzącej i odbitej leŜą w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną padania (patrz rys.1), a kierunki rozchodzenia się tych fal spełniają następujące zaleŜności: 1. kąt odbicia α0 równy jest kątowi padania α: α = α0 (2) ∗ Ośrodkiem izotropowym nazywamy ośrodek posiadający jednakowe własności fizyczne we wszystkich kierunkach. W ośrodkach anizotropowych własności zaleŜą od rozwaŜanego kierunku; w szczególności współczynnik załamania światła ma róŜną wartość w zaleŜności od orientacji kierunku padania światła względem osi optycznej ośrodka, co jest przyczyną zjawiska zwanego podwójnym załamaniem. Anizotropię ośrodka moŜna wywołać sztucznie np. poprzez nacisk siłą zewnętrzną – zjawisko to jest podstawą duŜego zakresu zastosowań praktycznych tzw. elastooptyki (modele rzeczywistych konstrukcji, czujniki). β 1 2 α αο Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Laboratorium Fizyki I „P” Joanna Konwerska - Hrabowska WYZNACZANIE DYSPERSJI OPTYCZNEJ PRYZMATU METODĄ POMIARU KĄTA NAJMNIEJSZEGO ODCHYLENIA 26 Wyznaczanie dyspersji optycznej metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia 2 2. stosunek sinusa kąta padania α do sinusa kąta załamania β równy jest stosunkowi wartości prędkości v1 i v2 światła w danych dwóch ośrodkach i jest dla danej pary ośrodków i dla danej długości fali światła λ wielkością stałą n2/1 zwaną współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego: 1/2 2 1 sin sin n V V == β α , (3) gdzie α, β i α0 są kątami zawartymi pomiędzy kierunkami odpowiednio fali padającej, załamanej i odbitej, a normalną do powierzchni rozdziału ośrodka 1 i 2 (patrz rys.1). Prawo opisane wzorem (3) znane jest jako prawo Snelliusa. JeŜeli fala świetlna o długości λ przechodzi z próŜni, w której prędkość światła ma znaną wartość c niezaleŜną od częstości fali, do ośrodka, w którym prędkość światła jest równa V(λ), to wzór (3) moŜemy podać w postaci wyraŜającej definicję bezwzględnego współczynnika załamania światła n(λ): )( )( λ λ V c n = (3a) Wyjaśnienie zjawiska załamania i odbicia światła oraz wyprowadzenie praw rządzących tymi zjawiskami (praw optyki geometrycznej) moŜe być dokonane w róŜny sposób, a to np.: - w oparciu o zasadę Fermata, - w oparciu o zasadę Huygensa, - w oparciu o teorię elektromagnetyzmu Maxwella. We wszystkich tych rozwaŜaniach istotne jest załoŜenie, Ŝe prędkość rozchodzenia się światła w sąsiednich ośrodkach jest róŜna. Ze względu na trudności techniczne długo nie moŜna było sprawdzić doświadczalnie, czy załoŜenie to jest prawdziwe. Wykazał to dopiero w roku 1850 Foucault. W niniejszym opracowaniu prawa optyki geometrycznej wyprowadzimy w oparciu o zasadę Fermata. Zasadę Fermata wyraŜamy często w następujący sposób: promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba zuŜyć w porównaniu z innymi sąsiednimi drogami, minimum albo maksimum czasu, albo tę samą ilość czasu (w przypadku stacjonarnym). Zasada Fermata jest szczególnym przypadkiem bardzo ogólnej zasady obowiązującej w przyrodzie, według której wszystkie naturalne procesy przebiegają po drogach optymalnych. W odniesieniu do biegu promieni, powyŜsze moŜna ująć wzorem: ∫ = extremumnds (4) gdzie: n – współczynnik załamania światła dla danego ośrodka, s – droga geometryczna. Iloczyn L=n·s nazywamy drogą optyczną. A zatem, zgodnie z zasadą Fermata, przy poruszaniu się wiązki światła optymalizowana jest droga optyczna. Za pomocą prostych konstrukcji geometrycznych moŜna wykazać, Ŝe drogi optyczne przebyte przez promień podlegający odbiciu czy załamaniu w ośrodku jednorodnym, są najkrótszymi z moŜliwych dróg łączących dane dwa punkty A i B. Prześledźmy to na przykładzie prawa załamania (patrz rys.2). Mamy dwa punkty A i B w dwóch ośrodkach 1 i 2 oraz łączący je promień APB. Na podstawie znanych wzorów z mechaniki moŜemy napisać, Ŝe czas t potrzebny na przebycie drogi A-P-B, jest dany wzorem: 2 2 1 1 V s V s t += . (5) Po wprowadzeniu pojęcia drogi optycznej oraz uwzględnieniu zaleŜności (3a), wzór (5) przybiera postać: c L c snsn t = ⋅+⋅ = 2211 , (5a) Wyznaczanie dyspersji optycznej metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia 5 2. Opis ćwiczenia Ćwiczenie polega na wyznaczeniu wartości kąta łamiącego badanego pryzmatu, oraz wyznaczeniu dyspersji optycznej i zdolności rozdzielczej tegoŜ pryzmatu metodą najmniejszego odchylenia. 2.1. Wyznaczanie kąta łamiącego pryzmatu. Metoda wyznaczania kąta łamiącego pryzmatu, stosowana w opisywanym ćwiczeniu, polega na wykorzystaniu prawa optyki geometrycznej dotyczącego zjawiska odbicia światła (patrz wzór 2). Zasada metody zilustrowana jest na rys. 3. Rys. 3. Wyznaczanie kąta pryzmatu: a) odbicie promieni od ścian pryzmatu; b) ilustracja rozwaŜań geometrycznych. Pryzmat ustawiamy tak, by kąt łamiący φ znalazł się naprzeciwko kolimatora i był oświetlony wiązką równoległą. Obserwujemy dwie wiązki światła odbite od ścianek pryzmatu i określamy połoŜenia kątowe lunety a i b odpowiadające tym wiązkom. Jak widać na rys.3b: 2ϕ L L K a) a b) b ϕ β β ϕ2 2β 2α a-b ϕ1 ϕ2 ϕ1 α α ϕ1 Wyznaczanie dyspersji optycznej metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia 6 a – b = 360˚ - 2α - 2β , α = 90˚ - φ1, β = 90˚ - φ2 . Stąd otrzymujemy a – b = 360˚ - 2(90˚- φ1) – 2(90˚ - φ2) , a następnie: a – b = 2φ1 + 2φ2 = 2φ , czyli: 2 ba −=ϕ . (10) Zastosowanie wzoru (10) pozwala na określenie wartości kąta łamiącego φ pryzmatu przy znanych połoŜeniach kątowych a i b lunety przez którą obserwujemy wiązki odbite od ścian pryzmatu. 2.2 Wyznaczanie współczynnika załamania światła metodą najmniejszego odchylania. ZaleŜność wielkości kąta odchylenia ε wiązki światła przechodzącej przez pryzmat od wielkości kąta padania α wiązki światła na ścianę pryzmatu wyprowadza się na podstawie następującego rozumowania (patrz rys.4a) RozwaŜamy zachowanie się wiązki równoległej światła monochromatycznego (jednobarwnego) przy przejściu przez pryzmat. Przejście to wystarczy zobrazować w przekroju pionowym. Promień pada na ścianę boczną I pryzmatu pod kątem α1, załamuje się pod kątem β1 (patrz wzór (3)), pada na ścianę boczną II pod kątem β2 i wychodzi z pryzmatu pod kątem α2 względem prostopadłej do ściany II, tworząc z kierunkiem promienia padającego na pryzmat kąt ε. Ten kąt ε zawarty pomiędzy początkowym kierunkiem biegu wiązki, a kierunkiem po przejściu przez pryzmat nazywamy kątem odchylenia wiązki przez pryzmat. Rys.4. Bieg wiązki światła monochromatycznego w pryzmacie prostym: a) rozwaŜania geometryczne; b) ustawienie lunety pod kątem najmniejszego odchylenia εmin. a) C L K A B D I II ϕ ε α2 β2 90o 90o ϕ β1 α1 K b) ϕ εmin Wyznaczanie dyspersji optycznej metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia 7 Mając na uwadze fakt, Ŝe kąt zewnętrzny w trójkącie ABD jest równy kątowi łamiącemu pryzmatu φ (kąt ten ma ramiona prostopadłe do ścian pryzmatu) – łatwo wyprowadzimy następujące zaleŜności geometryczne: φ = β1 + β2 (11a) ε = (α1 – β1) + (α2 – β2) (11b) ε = α1 + α2 – φ (11c) Kąt odchylenia ε zaleŜy od wartości kąta padania α1. JeŜeli obserwować będziemy plamkę światła odchylonego przez pryzmat i obracać pryzmatem zmieniając kąt α1, to zauwaŜymy, Ŝe plamka świetlna dochodzi do połoŜenia najbardziej zbliŜonego do tego, które zajęłaby, gdyby pryzmatu nie było. Następnie plamka cofa się pomimo, Ŝe pryzmat skręcamy w tym samym kierunku. Istnieje zatem taki kąt padania α1, przy którym kąt odchylenia wiązki ε jest najmniejszy – zachodzi to wtedy [2] (patrz – dodatek), gdy mamy tzw. „przebieg symetryczny”, dla którego: ε1 = α2 = α oraz β1 = β2 = β. Dla przebiegu „symetrycznego”, na podstawie związków (11) moŜemy napisać: ; 2 ;2 minmin ϕεαϕαε +=⇒−= 2 ;2 ϕββϕ =⇒= (12) Podstawiając powyŜsze zaleŜności do wzoru (3) otrzymujemy waŜny dla prezentowanej metody wzór: 2 sin 2 sin min ϕ ϕε + =n (13) Wzór ten pozwala wyznaczyć współczynnik załamania, gdy znamy kąt łamiący pryzmatu φ i kąt najmniejszego odchylenia εmin dla danej długości fali λ. Wielkości te moŜemy zmierzyć posługując się spektrometrem. 3. Wykonanie ćwiczenia 3.1. Przygotowanie spektrometru do pomiarów. Przed przystąpieniem do pomiarów właściwych naleŜy wyregulować spektrometr według wskazówek zawartych w instrukcji umieszczonej przy stanowisku pomiarowym lub według wskazówek asystenta. 3.2. Pomiar kąta łamiącego pryzmatu. Ustawiamy pryzmat tak, aby kąt łamiący znalazł się naprzeciw kolimatora i obserwujemy w lunecie L obrazy szczeliny wytworzone przez promienie odbite od ścianek pryzmatu (rys.3a). Kąt między kierunkami L wiązek światła odbitego będzie równy 2φ. Aby więc wyznaczyć kąt łamiący pryzmatu ustawimy lunetę na obserwację wiązki odbitej od jednej ściany pryzmatu i odczytujemy połoŜenie lunety „a” stopni, następnie obserwujemy obraz promieni odbitych od drugiej ściany i notujemy połoŜenie „b”. Kąt łamiący jest równy połowie róŜnicy tych odczytów. Przy pomiarze naleŜy zwrócić uwagę na to, by skrzyŜowanie z nici pajęczych przechodziło przez środek szerokości obrazu szczeliny, która powinna być moŜliwie wąska. Wyniki notujemy w tabeli 1 – odpowiednio przygotowanej w protokole pomiarów. Dokładności pomiarów naleŜy określać w trakcie ich prowadzenia, gdyŜ są one niezbędne przy opracowaniu danych pomiarowych i określaniu dokładności wyników obliczeń. Oprócz dokładności przyrządu naleŜy wziąć pod uwagę błędy popełnione przez obserwatora przy nastawieniu krzyŜa z nici pajęczych na środek obrazu szczeliny. Błąd bezwzględny pomiaru kąta łamiącego pryzmatu oszacowujemy jako: |∆φ| = dokładność odczytu + ½ szerokości kątowej obrazu szczeliny. Wyniki oszacowań (w radianach) notujemy w protokole pomiarów. 3.3. Pomiar kąta najmniejszego odchylenia promieni przez pryzmat. Manipulując stolikiem i lunetą nastawiamy lunetę na połoŜenie najmniejszego odchylenia prąŜka „czerwonego” (rys.4b) dla kąta łamiącego φ, który wyznaczyliśmy uprzednio. Obracamy Wyznaczanie dyspersji optycznej metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia 10 0 2 2 1 1 =+ α β α β d d d d (D2) Ale sinα1 = n·sinβ1 oraz sinα2 = n· sinβ2 (patrz wzór (3)). RóŜniczkując te zaleŜności względem α1 znajdujemy: (a) 1 1 11 coscos α ββα d d n ⋅= oraz (b) 1 2 22 coscos α ββα d d n ⋅= . (D3) Z zaleŜności (D1) i (D2) mamy: 1 1 2 −= α α d d oraz 1 1 1 2 α β α β d d d d −= . (D4) Podstawiając otrzymane zaleŜności (D4) do wzoru (D3(b)) znajdujemy: 1 1 22 coscos α ββα d d n ⋅= . (D5) Dzieląc stronami otrzymaną zaleŜność (D5) i (D3(a)) otrzymujemy: 1 2 1 2 cos cos cos cos β β α α = , (D6) skąd po podniesieniu obu stron do kwadratu mamy: 1 2 2 2 1 2 2 2 sin1 sin1 sin1 sin1 β β α α − − = − − . (D7) Przekształcając równanie (D7) z uwzględnieniem zaleŜności (3) mamy: 2 2 1 22 1 2 2 22 sinsinsinsin αααα +=+ nn , (D8) skąd po przekształceniu otrzymujemy: 1 2 2 2 sinsin αα = . (D9) Oba kąty α są dodatnie i ostre. Wynika stąd: 21 αα = oraz 21 ββ = (D10) Dzieląc stronami przez siebie wzory (D3), przy uwzględnieniu (D10), mamy: = 1 2 α α d d 21 12 coscos coscos αβ αβ ⋅ ⋅ − (D11) Obliczając drugą pochodną wyraŜenia (D11) względem α1 i uwzględniając (D3) oraz (12c) znajdujemy, Ŝe dla α1 = α2 oraz β1 = β2 – druga pochodna 02 1 2 2 〉 α α d d co oznacza, Ŝe mamy do czynienia z minimum odchylenia ε promienia świetlnego przez pryzmat. Zdolność rozdzielcza pryzmatu Rλ t.j. zdolność rozseparowania blisko siebie połoŜonych linii widmowych o długości fali λ i λ +δλ, definiowana jako: δλ λ λ =R , (D12) uwarunkowana jest zjawiskiem dyfrakcji. Wyznaczanie dyspersji optycznej metodą pomiaru kąta najmniejszego odchylenia 11 Wiadomo, Ŝe jeśli wiązka światła pada na szczelinę to ulega ona dyfrakcji. Gdy wiązka padająca na szczelinę jest równoległa, wówczas dla długości fali λ kąt ugięcia ϕ, pod którym wystąpi pierwsze minimum dany jest wzorem: d λϕ =sin , (D13) gdzie d jest szerokością szczeliny. Rys.D.2. Konstrukcja do określenia zdolności rozdzielczej pryzmatu: L – źródło światła, S1, S2 – soczewki , Pr – pryzmat , E – ekran Rozpatrzmy wiązkę światła padającego na pryzmat pod kątem najmniejszego odchylenia (rys.D2). Wiązka ta ma wymiary ograniczone wymiarami pryzmatu, szerokość wiązki d odgrywa rolę szczeliny, na której następuje ugięcie. Przypomnijmy dalej, Ŝe światło padające na pryzmat składa się z dwóch wiązek: jednej o długości fali λ i współczynniku załamania n, oraz drugiej o długości fali λ + δλ i współczynniku załamania n + δn. Dla promieni biegnących w pobliŜu podstawy pryzmatu róŜnica dróg optycznych przez te dwie wiązki wynosi δs = h·δ·n , gdzie h – jest długością podstawy pryzmatu. Czoła fali odpowiadające tym wiązkom utworzą ze sobą kąt τ, przy czym, jak widać z rys.D.2, zachodzi związek: d nh d s δδτ −==sin (D14) Znak „minus” pojawia się, gdyŜ δn<0. Obrazy szczeliny dawane przez te dwie wiązki zostaną rozdzielone wówczas, gdy kąt τ będzie co najmniej równy kątowi υ, określającemu odległość między maksimum centralnym i pierwszym minimum uzyskanymi dzięki dyfrakcji światła na pryzmacie, stanowiącym diafragmę o szerokości d. Stąd teŜ warunek na rozdzielenie dwóch obrazów otrzymamy porównując (D13) i dd nh λδ =− , (D15) skąd znajdujemy wzór na zdolność rozdzielczą pryzmatu R (patrz D12): h n hR −=−== δλ δ δλ λ λ nD⋅ (D16) Z (D16) wynika, Ŝe zdolność rozdzielcza pryzmatu Rλ jest proporcjonalna do długości podstawy pryzmatu h i szybkości zmiany współczynnika załamania wraz ze zmianą długości fali, czyli tzw. dyspersji ośrodka lub dyspersji materiałowej Dn . h d λ λ+δλ τ ϕ Pr L E