Wyznaczanie modułu sztywności , Laboratoria z Fizyka

Pobierz Wyznaczanie modułu sztywności i więcej Laboratoria w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ

DYNAMICZNĄ

ĆWICZENIE

Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych.

Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo Hooke’a, moduł sztywności, sprężyste drgania obrotowe (wahadło torsyjne), druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, moment bezwładności, moment kierujący, związek kąta obrotu (wychylenia) z momentem sił; związek modułu sztywności z momentem kierującym

1. Wprowadzenie

Związane z tym ćwiczeniem zagadnienia takie jak naprężenie, odkształcenie sprężyste, rodzaje odkształceń zostały omówione we wprowadzeniu do ćwiczenia nr 10. Rozpatrzony zostanie szczególny przypadek sprężystego odkształcenia ścinającego, tzn. odkształcenia spowodowanego siłami przyłożonymi stycznie do powierzchni, na którą działają (czyli wywołującymi naprężenie ścinające) i które to odkształcenie znika po ustaniu działania tych sił (czyli jest sprężyste).

Rozpatrujemy pionowy drut o sztywno zamocowanym górnym końcu, a dolnym złączonym z płaskim krążkiem - tarczą, za pomocą której dokonujemy skręcenia drutu wokół jego osi symetrii.

Sytuacja ta jest schematycznie przedstawiona na rysunku 1. Obróceniu tarczy o kąt 𝜃 odpowiada

skręcenie drutu o kąt 𝛼. Powstałe naprężenie wynika z działania sił na dolną powierzchnię drutu.

Jeśli odkształcenia są małe, to związek między naprężeniem, a odkształceniem – zgodnie z prawem Hooke’a – jest liniowy i przyjmuje postać:

gdzie τ jest naprężeniem, 𝐺 - modułem sztywności, α – kątem skręcenia. Gdy na układ przestanie

działać siła zewnętrzna (w istocie zewnętrzny moment sił), to powstałe w wyniku odkształcenia naprężenie wewnętrzne spowoduje powrót do stanu początkowego. Jednak układ powracając do tego stanu zyska energię kinetyczną, dzięki której następnie skręci się w drugą stronę. Takie zjawisko będzie się powtarzać, a zatem jest to przykład ruchu drgającego, który wykonuje wahadło torsyjne. Dynamikę wahadła torsyjnego wykorzystuje się w tym ćwiczeniu.

Analizowany układ będzie mógł być traktowany jako wykonujący kątowy ruch harmoniczny (przykład realizacji wahadła torsyjnego zwanego również wahadłem skrętnym), jeśli działający moment sił będzie postaci:

𝑴 = − 𝜿 𝜽 , (2)

gdzie M – wypadkowy moment sił przyłożony do rozważanego układu, κ – moment kierujący, 𝜃 – kąt obrotu tarczy. W równaniu (2) zakładamy, że działający na układ moment sił jest proporcjonalny do kąta wychylenia, ale kierunek jego działania jest przeciwny do tego wychylenia. Za pomocą pełnej analogii dynamiki rozważanego układu i liniowego oscylatora harmonicznego, co przedstawia poniższa tabela, można zapisać wzór na okres drgań wahadła torsyjnego:

𝑻 = 𝟐𝝅√ 𝑰 𝜿 , (3)

gdzie 𝐼 jest momentem bezwładności układu.

Liniowy oscylator harmoniczny Kątowy oscylator harmoniczny Postać działającej siły 𝐹 = −𝑘𝑥

Postać działającego momentu sił 𝑀 = − 𝜅 𝜃 Druga zasada dynamiki dla ruchu postępowego 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 𝑑^2 𝑥 𝑑𝑡^2

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego 𝐼𝜀 = − 𝜅 𝜃 𝑑^2 𝜃 𝑑𝑡^2

Częstość drgań układu

𝜔 = √^

Częstość drgań układu

Rys. 1. Schemat skręconego drutu

∆𝑭𝒘 = 𝝉 ∙ ∆𝑺 ≅ 𝝉 ∙ 𝝆∆𝝆∆𝝋 = 𝑮𝜶 ∙ 𝝆∆𝝆∆𝝋 = 𝑮

𝝆 𝒍 𝜽 ∙ 𝝆∆𝝆∆𝝋 = 𝑮^

𝝆𝟐 𝒍 𝜽∆𝝆∆𝝋^.^ (5)

(Pole zaznaczonego elementu powierzchni ∆𝑆 jest w przybliżeniu równe iloczynowi szerokości pierścienia i długości wyciętego łuku, czyli iloczynowi ∆𝜌 oraz 𝜌∆𝜑, gdzie ∆𝜑 jest kątem mierzonym w radianach.)

Ponieważ wektor siły skierowany jest prostopadle do wektora promienia, to wartość odpowiedniego momentu siły przyłożonego do wybranego fragmentu powierzchni drutu, jest równa:

∆𝑴 = ∆𝑭𝒘 ∙ 𝝆 = 𝑮 𝝆𝟑 𝒍 𝜽∆𝝆∆𝝋.^ (6)

Dla każdego elementu powierzchni składającego się na pierścień o promieniu 𝜌 i szerokości ∆𝜌 moment siły co do wartości będzie taki sam, zatem można posumować elementy powierzchni 𝜌∆𝜌∆𝜑 po całym pierścieniu i w powyższym równaniu zastąpić je jego polem równym 2𝜋𝜌∆𝜌 (co odpowiada wykonaniu całkowania po 𝜑 w granicach od 0 do 2π):

∆𝑴𝒑 = 𝑮 𝟐𝝅𝝆𝟑 𝒍 𝜽∆𝝆^.^ (7)

Jak widać wkład do całkowitego momentu sił ∆𝑀𝑝 przyłożonego do pierścienia o promieniu  zależy od tej wielkości. Zatem w celu wyliczenia całkowitego momentu sił przyłożonego do drutu należy wykonać całkowanie po 𝜌 w granicach od 0 do 𝑟:

𝑴 = 𝑮 𝟐𝝅𝜽 𝒍 ∫ 𝝆

𝟑𝒅𝝆 = 𝑮𝝅𝒓𝟒 𝟐𝒍 𝜽

𝒓 𝟎.^ (8)

Wartość momentu sił wewnętrznych – jak pokazuje wzór (8) – zależy liniowo od kąta wychylenia 𝜃. Ponadto równanie należy uzupełnić o znak minus, co najprościej uzasadnić w ten sposób, że wewnętrzny moment sił przeciwdziała wzrostowi kąta wychylenia.

1.2 Związek modułu sztywności z momentem kierującym

Ostatecznie związek między kątem wychylenia 𝜃 a wewnętrznym momentem sił 𝑀 uwzględniający moduł sztywności 𝐺 drutu jest następujący:

𝑀𝑤 = − 𝐺𝜋𝑟^4 2𝑙 𝜃^ ,^ (9)

z którego wynika, że moment kierujący

𝜅 = 𝐺𝜋𝑟^4 /2𝑙 , (10)

a zatem na podstawie równania (3) okres drgań wahadła torsyjnego jest równy:

𝑻 = 𝟐𝝅√ 𝟐𝒍𝑰 𝝅𝒓𝟒𝑮

. (11)

Powyższy wzór jest podstawą zasady pomiarów opisanych w następnym punkcie.

2. Zasada pomiaru i układ pomiarowy

Układ pomiarowy przedstawiony jest na rysunku 3, na którym widoczne są złączone dwie tarcze. Układ najpierw z jedną tarczą, a następnie z dwiema wprawiany jest w kątowy ruch harmoniczny polegający na ruchu obrotowym w jedną i drugą stronę wokół osi symetrii układu. Dzięki pomiarom okresów drgań obu wahadeł torsyjnych można wyeliminować z równań trudną do wyznaczenia wielkość momentu bezwładności układu 𝐼𝑢 (bez dodatkowej tarczy), natomiast moment bezwładności dodatkowej tarczy można wyznaczyć przyjmując, że jest to jednorodny

krążek o promieniu R i masie m, wtedy 𝐼 = 12 𝑚𝑅^2 [kg·m^2 ]. Równanie (11) podniesione do kwadratu

i zapisane dla obu przypadków przyjmie formy:

𝑻𝟏𝟐^ = 𝟖𝝅

𝒍∙𝑰𝒖

𝒓𝟒𝑮 ,^ (12)

𝑻𝟐𝟐^ = 𝟖𝝅

𝒍(𝑰𝒖+𝑰)

𝒓𝟒𝑮.^ (13)

Eliminując z powyższych równań moment bezwładności 𝐼𝑢 oraz wstawiając formułę na moment bezwładności dodatkowej tarczy otrzymuje się ostatecznie wzór na moment sztywności:

Podczas wykonywania ćwiczenia mierzone będą nie promienie, lecz średnice 𝑑 i 𝑠 (rys.3), zatem

wzór ( 14 ) przyjmie postać:

Rys. 3. Schemat układu pomiarowego

𝒅 – średnica drutu

𝒍 – długość drutu

A – tarcza stała układu B – tarcza dodatkowa 𝑠 – średnica tarczy B