Pobierz Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego i więcej Laboratoria w PDF z Mechanika tylko na Docsity! INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M-6 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI DRUTU ZA POMOCĄ WAHADŁA TORSYJNEGO Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 2 I. Zagadnienia do przestudiowania 1. Odkształcanie ciał stałych. 2. Zależności pomiędzy odkształceniami a naprężeniami. 3. Wahadło torsyjne. 4. Metody wyznaczania modułu Younga i modułu sztywności na skręcanie. 5. Rachunek błędu metodą Gaussa i metodą różniczki zupełnej. II. Wprowadzenie teoretyczne 1. Odkształcenia i naprężenia w ciałach stałych Ciała stałe, pod działaniem sił zewnętrznych, mogą ulegać nie tylko przemieszczeniu, ale również odkształceniu. Pod pojęciem odkształcenia rozumie się chwilową lub trwałą zmianę kształtu lub(i) objętości ciała jako całości albo jego dowolnych części. Stopień odkształcenia ciała zależy od wielkości użytych sił zewnętrznych i własności mechanicznych ciał charakteryzowanych przez siły wewnętrzne. Zarówno jedne, jak i drugie siły przyjęto w teorii sprężystości odnosić do jednostki powierzchni, na jaką działają, i określać pojęciem naprężenia. Naprężenie można więc wyrazić poprzez działające siły F na element powierzchni S jako S F S F S d d 0 lim (1) W ogólnym przypadku wektor naprężenia może być zorientowany dowolnie w stosunku do wybranej powierzchni S (rys. 1). Rozkłada się go wówczas na składową prostopadłą do powierzchni skierowaną wzdłuż wersora n (naprężenie normalne n) i składową styczną (naprężenie ścinające ). Składowa normalna, w zależności od zwrotu wektora , może być ciągnieniem (naprężenie dodatnie) lub ciśnieniem (naprężenie ujemne). Naprężenie ścinające może być rozłożone na powierzchni S ma kolejne dwie składowe x i y wzdłuż wzajemnie prostopadłych kierunków scharakteryzowanych wersorami wzdłuż osi x i y. W ogólnym przypadku naprężenia w ciele stałym charakteryzowane są poprzez tensor naprężeń, którego składowe tworzą macierz zzzyzx yzyx yy xzxyxx = (2) Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 5 Przy opisie odkształceń i naprężeń celowym jest wspomnieć również o zasadzie superpozycji. W myśl tej zasady, jeśli w wyniku działania pewnych sił zewnętrznych powstają określone naprężenia i odpowiadające im odkształcenia, a w wyniku działania innych sił powstają dodatkowe odkształcenia tego samego typu, to odkształcenie wypadkowe będzie sumą odkształceń, które wystąpiłyby, gdyby siły powodujące je działały od siebie niezależnie. 2. Zależności między odkształceniami a naprężeniami Odkształcenia uwarunkowane są odpowiednimi własnościami fizycznymi materiału, które z kolei zależą od jego struktury. Naprężenia zależą od wzajemnego położenia atomów w sieci ciała poddanego działaniu sił zewnętrznych. Tak więc odkształcenia i naprężenia zależą od struktury krystalicznej ciała stałego i mogą być powiązane między sobą pewnymi zależnościami funkcyjnymi. Charakter funkcji zależy od wielkości naprężeń oraz odpowiadających im odkształceń i określa się go na podstawie wyników prób wytrzymałościowych. Przebieg uzyskanej w próbie wytrzymałościowej zależności funkcyjnej pozwala wyodrębnić przedziały, w których odkształcenia mogą być opisane jednolitą funkcją z naprężeniem jako zmienną niezależną. Omówienie wszystkich przedziałów odnosi się do teorii wytrzymałości materiałów w szerokim ujęciu i wychodzi poza zakres tematyczny danego ćwiczenia. Tu zostanie ono ograniczone do zakresu odkształceń sprężystych, a w szczególności do przedziału liniowej proporcjonalności funkcji = f(). Przedział liniowej proporcjonalności pokrywa się praktycznie z zakresem sprężystości, chociaż dla pewnych ciał można wyodrębnić jeszcze niewielki zakres odkształceń sprężystych w pobliżu dolnej granicy plastyczności, w którym obserwowane są odchylenia od liniowej zależności pomiędzy odkształceniem a naprężeniem. W przedziale proporcjonalności zależność między odkształceniem a naprężeniem ujmuje prawo Hooke’a, w myśl którego, w ogólnym przypadku ciał anizotropowych, składowe tensora odkształceń są liniowymi jednorodnymi funkcjami składowych tensora naprężeń. Można to matematycznie zapisać jako 6 1= c= i iikkε (3) gdzie k jest zwykle odkształceniem względnym, natomiast współczynniki cik są tzw. uogólnionymi modułami sprężystości. Ilość współczynników cik (od 3 do 21, uwzględniając warunek cik = cki) zależy od symetrii struktury odkształcanego ciała. Dla prostszego przypadku ciał izotropowych prawo Hooke’a może być zapisane jako = c. W zależności od rodzaju odkształcenia c jest zwykle zastępowane przez odwrotność współczynnika odpowiadającego danemu odkształceniu. Dla odkształceń objętościowych, w których zmiana naprężenia jest proporcjonalna do naprężeń wynikających np. z ciśnienia wywieranego przez ciecz, w której odkształcane ciało się znajduje, współczynnik c jest definiowany jako odwrotność modułu ściśliwości K. Natomiast w przypadku odkształceń objętościowo- Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 6 postaciowych, których przykładem może być jednostronne rozciąganie lub ściskanie ciała, rolę współczynnika proporcjonalności spełnia odwrotność modułu sprężystości podłużnej E, znanego też jako moduł Younga. Przyłożenie siły zewnętrznej w określonym kierunku, powodującej wydłużenie l ciała, prowadzi do równoczesnego jego zwężenia d w kierunku prostopadłym do działającej siły. Zwężenie względne d d jest proporcjonalne do wydłużenia względnego l l , a współczynnikiem proporcjonalności jest stała Poissona . Matematycznie można to ująć jako d d = l l . Wartość stałej Poissona jest zazwyczaj dodatnia i mniejsza od 0,5. W przypadku ściskania obserwowane jest skrócenie ciała oraz rozszerzenie przekroju poprzecznego. Zależność między modułem ściśliwości K a modułem Younga E i współczynnikiem Poissona wyrażana jest jako )21(3 E K (4) W przypadku odkształceń postaci, które powstają w wyniku działania naprężeń ścinających, współczynnik proporcjonalności c określany jest jako odwrotność modułu sztywności G. Wyznaczanie modułu sztywności G jest celem tego ćwiczenia, w związku z czym zostanie on omówiony szerzej. 3. Moduł sztywności Moduł sztywności G nazywany jest również modułem (lub współczynnikiem) sprężystości postaciowej lub poprzecznej, a także współczynnikiem ścinania lub skręcania. Odkształcenia charakteryzowane przez moduł sztywności G rozpatruje się zazwyczaj na przykładzie prostopadłościanu poddawanego naprężeniom ścinającym lub pręta skręcanego wzdłuż osi podłużnej. Rozpatrzmy pokrótce odkształcanie prostopadłościanu, a następnie skręcanie pręta. Przyłożenie naprężenia ścinającego do górnej ściany prostopadłościanu, którego dolna ściana przytwierdzona jest do podstawy, prowadzi do odkształcenia postaci opisywanego przez zmianę przekątnych d ścian bocznych lub, częściej, przez kąt , o jaki prostopadłościan zostanie skręcony (rys. 3). Naprężenie ścinające jest tu określane jako stosunek przyłożonej siły zewnętrznej do powierzchni ściany górnej BCDE. Odkształcenie polega w tym przypadku na przesuwaniu się względem siebie poziomych warstw prostopadłościanu. Zgodnie z prawem Hooke’a zależność pomiędzy naprężeniem a odkształceniem dla jednorodnego prostopadłościanu o izotropowej strukturze można zapisać jako G (5) Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 7 Rys. 3. Odkształcenie prostopadłościanu wywołane naprężeniem ścinającym t Podobnie jak w przypadku prostopadłościanu, odkształcenie pręta o długości l i prze- kroju kołowym o promieniu R, poddanego skręcaniu za pomocą siły zewnętrznej F, polega na przesuwaniu się względem siebie poziomych warstw (przekrojów prostopadłych do osi) pręta, przy czym przesunięcie jest tu proporcjonalne do odległości danej warstwy od nieruchomo zamontowanej górnej jego części. Odkształcenie opisywane jest poprzez kąt , a jego wielkość zależy od własności mechanicznych pręta i momentu siły powodującej skręcenie. Dla znalezienia zależności pomiędzy tymi wartościami rozpatrzmy pręt przedstawiony na rysunku 4. Długość łuku EA może być z jednej strony określona jako tglAE , a z drugiej jako rAE , czyli l r tg (6) gdzie jest kątem skręcenia mierzonym na dolnej powierzchni przekroju poprzecznego pręta. Przy rozpatrywaniu długiego pręta o małej średnicy z równania (6) wynika, że wartość kąta jest mała nawet dla znacznych wartości i można przyjąć z dobrym przybliżeniem, że tg . Wyrażenie (6) można więc zapisać l r (7) Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 10 gdzie 0 oznacza amplitudę drgań, - prędkość kątową i - fazę początkową ruchu, którą przy odpowiednim doborze chwili początkowej pomiaru czasu t można przyjąć równą zeru. Obliczając drugie pochodne z wyrażenia (15) i wraz z tym wyrażeniem wstawiając je do równania (14) oraz zastępując prędkość kątową przez okres drgań T ( = T 2 ), po prostych przekształceniach otrzymamy 02 I T D (16) Należy podkreślić, że zależność (16) jest słuszna dla odkształcenia nieprzekraczającego granicy proporcjonalności, zdefiniowanej w prawie Hooke’a. W tym zakresie drgania są izochroniczne, niezależnie od ich amplitudy. Klasyczne wahadło torsyjne stanowi drut sprężysty, którego jeden koniec zamocowany jest w nieruchomym uchwycie, a na drugim końcu zawieszone jest ciało, zazwyczaj w postaci bryły o regularnych kształtach, umożliwiających łatwe określenie momentu bezwładności I0. Moment kierujący D takiego wahadła, na podstawie wyrażenia (12), jest równy 4 2 R G D l (17) W niniejszym ćwiczeniu drgania torsyjne wykonuje wibrator osadzony pomiędzy dwoma napiętymi drutami. Jest to więc pewnego rodzaju „dwustronne wahadło torsyjne”. Moment kierujący, pochodzący od dwóch drutów o tych samych własnościach mechanicznych, długościach l1, l2 i średnicach 2R1 i 2R2, może być określony jako suma momentów kierujących od obydwu drutów (D = D1 + D2) i w oparciu o wzór (17) zapisany jako 4 41 2 2 1 1 2 G 2 D R l R l l l (18) Ze wzoru (18) można wyznaczyć moduł sztywności G, jeśli zostanie określona wartość D. Znając moment bezwładności wibratora I0 i mierząc okres drgań T, można wartość D wyliczyć bezpośrednio ze wzoru (16). W przypadku wahadła z niniejszego ćwiczenia wibrator składa się z ramy o momencie bezwładności Ior i dwóch krążków o momentach bezwładności Iok względem osi OO przechodzącej przez środek mas ramy i krążków. Wypadkowy moment bezwładności względem osi OO można oznaczyć jako I0 = Ior + 2Iok, którego wartość nie jest znana. Odległość krążków od osi obrotu można zmieniać. Dla odległości r od osi obrotu i masy m każdego z krążków całkowity moment bezwładności, określony na podstawie twierdzenia Steinera, wynosi 2 0 2I I mr (19) Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 11 Po uwzględnieniu równania (19) wzór (16) przyjmuje postać 2 0 22 I m r T D (20) Aby wyeliminować nieznaną wartość I0 i obliczyć D, należy zmierzyć okres T dla dwóch położeń krążków, tzn. T1 dla r1 i T2 dla r2 . Otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, rozwiązanie którego względem D prowadzi do wyrażenia 2 2 2 2 1 2 2 2 1 8 r r D m T T dla r2 > r1 (21) Przyrównując wzory (18) i (21) oraz przyjmując R1 = R2 = R, otrzymamy wyrażenie na moduł sztywności, które w ogólnej postaci można zapisać jako 2 2 1 2 4 2 2 1 2 16 (l l ) j i ij j i r rm l l G R T T (22) Pierwszy człon wyrażenia (22) zawiera parametry konkretnego układu pomiarowego i można go traktować jako stałą aparaturową 1 2 4 1 2 16 ( ) m l l A R l l (23) Równanie (22) można wówczas zapisać w uproszczonej postaci jako 2 2 j i 2 2 j i ij r r G A T T (24) Dla wartości l1 = 0,174 m, l2 = 0,190 m, R = 0,4 · 10 –3 m i m = 0,190 kg, charakteryzujących dany układ, stała A = 3,4 · 10 13 kg · m –3 . IV. Zestaw pomiarowy Dwustronne wahadło torsyjne wyposażone w układ pozwalający na zliczanie liczby drgań oraz czasu ich trwania. Ćwiczenie M-6: Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego 12 V. Przebieg ćwiczenia 1. Ustawić krążki w pozycji maksymalnie zsuniętej (środek masy w odległości r1 = 2 cm od osi obrotu). 2. Sprawdzić, czy ustawienie wahadła w położeniu równowagi odpowiada zeru na skali kątowej i przeprowadzić, w razie potrzeby, korektę. 3. Włączyć przyrząd do sieci i wcisnąć przycisk СЕТЬ (SIEĆ). 4. Wychylić wahadło o kąt około 10° z położenia równowagi i zmierzyć czas 10 pełnych drgań. Układ pokazuje liczbę i czas trwania pełnych okresów. Aby odliczanie zostało przerwane automatycznie po 10 drganiach, należy wcisnąć przycisk STOP w momencie wyświetlania cyfry 9 na liczniku drgań. 5. Odczytać wskazania milisekundomierza, obliczyć okres T1 i wyniki wpisać do tabeli. 6. Wyzerować przyrząd, wciskając przycisk СБРОС. 7. Pomiary powtórzyć 10-krotnie dla tego samego ustawienia krążków, za każdym razem odchylając wahadło od położenia równowagi o kąt około 10°. 8. Ustawić krążki na odległość ich środka masy od osi obrotu równą r2 = 6 cm. UWAGA: Należy czynność tę wykonywać ostrożnie, aby nie uszkodzić drutu stalowego wahadła, na którym jest ono zawieszone. 9. Powtórzyć czynności od punktu 4 do 7 dla pomiaru okresu T2. 10. Analogiczne pomiary okresu T3 wykonać dla przypadku r3 = 9 cm.