Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa, Laboratoria z Mechanika materiałów

Pobierz Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa i więcej Laboratoria w PDF z Mechanika materiałów tylko na Docsity! Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z tematyką ćwiczenia — Budowa wewnętrzna ciał stałych, — właściwości sprężyste ciał stałych, — mechanika punktu materialnego i bryły sztywnej. M13.3. Literatura [1] Halliday D., Resnick R., Walker J.: Podstawy fizyki, cz. 1, PWN, Warszawa. [2] Massalski J., Massalska M.: Fizyka dla inżynierów, cz. 1, WNT, Warszawa. [3] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz. 1, PWN, Warszawa. [4] Metody wykonywania pomiarów i szacowania niepewności pomiarowych, http://ftims.pg.edu.pl/documents/10673/20436990/wstep.pdf M13.4. Przebieg ćwiczenia i zadania do wykonania Układ doświadczalny Rysunek M13.1 zdjęcie układu pomiarowego z zaznaczonymi elementami. W skład zestawu wchodzą: 1 – badany drut, 2 – wsporniki drutów, 3 – wspornik krzyżakowy pierścienia - obciążnika oscylatora, 4 – pierścień - obciążnik oscyla- tora, 5 – stoper, 6 – śruba mikrometryczna. 182 Ćwiczenie M13 Rysunek M13.1. Zdjęcie układu pomiarowego Przebieg doświadczenia Moduł sztywności τ jest związany z tzw. odkształceniem przesunięcia proste- go, które powstaje po przyłożeniu do ciała ścinającej siły stycznej. Jeśli na ciało w kształcie prostopadłościanu działa siła ~Ft, styczna do po- wierzchni górnej podstawy S, to następuje wzajemne przesuwanie się sąsiednich warstw i w rezultacie skręcenie płaszczyzn prostopadłych do S o pewien kąt Ψ (rysunek M13.2). W skali mikroskopowej odkształcenie przesunięcia prostego tłumaczy się skrzy- wieniem komórek siatki krystalicznej. Jeśli w kierunku AB działa siła ~Ft, wów- czas komórka elementarna przekształca się np. z sześcianu w romboid, przy czym Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa 185 krawędzie równoległe do BA zajmują położenie równoległe do BA′. To oznacza, że element dV ulega względnemu przesunięciu prostemu: Ψ = AA′ L . (M13.4) Ponieważ AA′ = ϕρ, ze wzoru (M13.3) wynika, że naprężenie styczne działające na element powierzchni dS wynosi: pt = τϕρ L , (M13.5) co odpowiada elementarnemu momentowi siły: dM ′ = τϕ L ρ2dS. (M13.6) Całkowity moment M ′ otrzymuje się, całkując wyrażenie (M13.6) po całym polu przekroju o promieniu r: M ′ = τϕ L ∫ S ρ2dS, (M13.7) gdzie Is = ∫ S ρ2dS, (M13.8) stanowi tzw. powierzchniowy moment bezwładności pręta (względem osi O′O). Wzór (M13.7) można zapisać w postaci: M ′ = Kϕ, (M13.9) gdzie wielkość K = τIs L (M13.10) nosi nazwę momentu kierującego danego pręta. Przy skręceniu pręta o kąt ϕ (spowodowanym przyłożeniem zewnętrznego mo- mentu siły M ′) pojawia się wewnętrzny moment siły M , równy co do wartości M ′, lecz przeciwnie skierowany, tzn. M = −M ′. Jeżeli dolny koniec pręta zostanie obciążony ciałem o kształcie symetrycznym względem osi pręta, to swobodny ruch skrętny tego ciała w płaszczyźnie prostopadłej do wspólnej osi symetrii (ciała i pręta) jest opisany, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, równaniem: M = I d2ϕ dt2 , (M13.11) 186 Ćwiczenie M13 w którym I jest momentem bezwładności ciała względem osi symetrii. Biorąc pod uwagę, że M = –Kϕ równanie (M13.11) daje się przedstawić w postaci: d2ϕ dt2 + K I ϕ = 0. (M13.12) Równanie to określa ruch drgający prosty o częstości: ω = √ K I (M13.13) a więc o okresie drgań T = 2π √ I K . (M13.14) Jak widać, mierząc okres drgań skrętnych ciała zawieszonego na pręcie oraz uwzględniając zależność (M13.10), można wyznaczyć moduł sztywności materia- łu, z którego wykonany jest pręt. W ciele stałym pod wpływem zewnętrznych sił mogą się pojawić miejscowe naprężenia mające charakter elementarnych odkształceń przesunięcia prostego. Sprężyste oddziaływania międzyatomowe prowadzą wtedy do powstania w nim fal poprzecznych, których prędkość rozchodzenia się v jest ściśle związana z modułem sztywności τ i jest opisana wzorem: v = √ τ ρc (M13.15) gdzie ρc jest gęstością ciała stałego. Wyznaczenie modułu sztywności τ metodą dynamiczną Gaussa polega na po- miarze okresów drgań wibratora nieobciążonego (T0) oraz wibratora obciążonego ciałem o prostych kształtach geometrycznych (Ti). Na ogół jest sprawą kłopotli- wą wyznaczenie momentu bezwładności wibratora z uwagi na jego kształt, za- mocowania itd., dlatego w metodzie dynamicznej postępuje się tak, by moment bezwładności wibratora nieobciążonego I0 nie występował we wzorze na τ . Okres drgań opisany zależnością (M13.14) wynosi dla wibratora nieobciążonego: T0 = 2π √ I0 K . (M13.16) oraz dla wibratora obciążonego ciałem o znanym momencie bezwładności Ii: Ti = 2π √ I0 + Ii K . (M13.17) Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa 187 Z równań (M13.16) i (M13.17) po elementarnych przekształceniach otrzymuje się: K = 4π2 Ii T 2i − T 20 , (M13.18) a po uwzględnieniu zależności (M13.10): τ = 4π2 LIi Is ( T 2i − T 20 ) . (M13.19) W pracowni pomiary wyznaczenia modułu sztywności przeprowadza się dla dru- tów o przekroju kołowym, dla których powierzchniowy moment bezwładności: Is = πd4 32 , (M13.20) zaś ciałem o prostych kształtach geometrycznych jest obręcz, której moment bez- władności: Ii = 1 8 mi ( D21 +D 2 2 ) , (M13.21) gdzie mi jest masą obręczy, D1 i D2 – wewnętrzną i zewnętrzną średnicą obręczy. Wartość τ oblicza się ze wzoru (M13.19) po uwzględnieniu zależności (M13.20) i (M13.21). Ostatecznie otrzymuje się: τ = 16π miL d4 ( D21 +D 2 2 )( T 2i − T 20 ) . (M13.22) Zadania do wykonania M13.1. Za pomocą śruby mikrometrycznej wykonać pomiary długości i średnicy danych drutów– pomiary powtórzyć kilkakrotnie. M13.2. Zmierzyć średnice wewnętrzną i zewnętrzną dwu obręczy. M13.3. Wyznaczyć okresy drgań: T0 – wibratora nieobciążonego oraz T1 i T2 – wibratora obciążonego. M13.4. Obliczyć wartość modułu sztywności materiału drutu dla różnych obcią- żeń wibratora. Do obliczeń przyjąć wartości średnie wyników pomiarowych otrzymanych w zadaniach M13.1 - M13.3. M13.5. Określić niepewność standardową pomiaru modułu sztywności. M13.6. Obliczyć prędkość rozchodzenia się fali poprzecznej w drucie i ocenić do- kładność jej wyznaczenia.