Wyznaczanie Modułu Sztywności Materiału za Pomocą Wahadła Torsyjnego, Laboratoria z Fizyka

Pobierz Wyznaczanie Modułu Sztywności Materiału za Pomocą Wahadła Torsyjnego i więcej Laboratoria w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Zad. M 1 0 B

I PRACOWNIA FIZYCZNA Instytut Fizyki US

Temat :

Wyznaczanie modułu sztywności

za pomocą wahadła torsyjnego*

• metoda nosi też nazwę metody dynamicznej.

Cel : Praktyczne zapoznanie się z drganiami wahadła torsyjnego (skrętnego) i analizą jego ruchu. Wyznaczenie wartości modułu sztywności materiału drutu za pomocą wahadła torsyjnego. Kształcenie samodzielności w posługiwaniu się aparaturą pomiarową oraz umiejętności analizy i interpretacji wy- ników pomiarów. Przyrządy : Wahadło torsyjne (tzw. wibrator krzyżakowy) z dodatkowymi krążkami (obciążniki), mi- krometr cyfrowy o dokładności 0,001 mm, suwmiarka cyfrowa, miarka zwijana, waga elektroniczna, stoper.

1. ZAGADNIENIA

1. Prawa dynamiki bryły sztywnej. Moment siły. Moment bezwładności. Twierdzenie Ste-

inera.

2. Własności sprężyste ciał stałych, prawo Hooke’a, moduł sztywności.
3. Oscylator harmoniczny. 2. OPIS ZAGADNIENIA

Na podstawie literatury zapoznać się z zagadnieniem i wyprowadzeniami wzoru (1) i (3).

3. PRZEBIEG WYKONANIA ĆWICZENIA

A. Metoda pomiarów.

Moduł sztywności G wyznaczany jest z badania drgań harmonicznych pręta wywołanych przez siły sprężystości – naprężenia ścinające. Ko- nieczna jest więc znajomość związku pomiędzy modułem sztywności i momentem działających sił. Rozważmy jednorodny pręt o przekroju kołowym, którego jeden koniec

jest unieruchomiony, a drugi skręcony o kąt  pod wpływem momentu siły

M (rys. 1). W przypadku, gdy ograniczymy się do rozważań idealnie sprężystych

odkształceń pręta, związek między momentem siły M a kątem skręcenia 

można zapisać w postaci: M = D ,

gdzie D jest momentem kierującym:

L

Gr D 2

π 4  , (1)

gdzie G – moduł sztywności (też: moduł Kirchhoffa) materiału z jakiego wykonany jest pręt, r – promień pręta, L – długość pręta. Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego dostajemy równanie wahadła torsyjnego w postaci:

  D t

I 2 

2

d

d (2)

gdzie I jest momentem bezwładności obciążonego wahadła.

Rys. 1. Schemat skręconego drutu

Opisuje ono drgania harmoniczne o okresie

4

8 π 2 π Gr

IL

D

I

T  . (3)

Klasyczne wahadło torsyjne stanowi drut sprężysty, którego jeden koniec zamocowany jest w nieruchomym uchwycie, a na drugim końcu zawieszone jest ciało, zazwyczaj w postaci bryły o regularnych kształtach. W tym doświadczeniu drgania torsyjne wykonuje wibrator – rys. 2, któ- ry składa się z ramy – 4 jednakowe ramiona, na których zawieszane są symetrycznie krążki (na ogół po jednym na każdym z ramion krzyżaka), których odległość od osi obrotu wibratora można zmieniać. Na moment bezwładności I wahadła składają się momenty bezwładności samej ra- my – I 0 i obciążających go krążków (walców) – I 1. Jeżeli cztery jednakowe krążki (walce), każdy o masie m , znajdują się w odległości d od osi obrotu wahadła, to z twierdzenia Steinera ich moment bezwładności możemy wyrazić jako

I 1 = 4( I w + md^2 ), (4)

gdzie I w = mR^2 /2 jest momentem bezwładności jednego walca o masie m i promieniu R względem osi przechodzącej przez oś symetrii walca. Uwaga : faktycznie krążek ma kształt pierścienia – rys. 2 o promieniu promieniem zewnętrzmym R z i wewnętrznym R w. Wówczas moment bezwładności krążka o masie m wynosi

k ^ z^2 w^2 

R R

m I   , (5)

Zwrócmy uwagę, że

2

z

2 w z

2 w

2 z (^1) R

R

R R R. (6)

Zatem jeśli stosunek R w/ R z jest odpowiednio mały to ze względu, że jest w kwadracie w (6) człon ten można pominąć. Zatem (3) możemy zapisać

4 ^04 w^42 

8 π I I md Gr

L

T    , (7)

lub w postaci

2 4 0

2 2 4

2 32 π^16 π T Gr

mLR d Gr

mL T    , (8)

gdzie

4 0

2 0

8 π I Gr

L

T . (9)

W przypadku, gdy wahadło jest bez dodatkowych krążków wówczas w ( 8 ) należy wstawić za m = 0 i d = 0. W tym przypadku T = T 0. Znając okres T 0 możemy obliczyć z ( 8 ) wartość modułu sztywności G :

2 0

2

2 2 w

2 z 4

8 π 4 T T

R R d r

mL G 

Zwróćmy uwagę, że (8) jest funkcją liniową kwadratu okresu drgań od kwadratu odległo- ści krążków od osi obrotu wahadła torsyjnego. Do tego wyrażenia można dopasowć zależność

Rys. 2.

4. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW A. Wyznaczenie wartości pomiarowych. Obliczenie niepewności pomiaru.

1. Obliczyć wartości średnie wielkości L , r , m , R z i R w, d 1 , d 2 i d 3 , T 0 , T 1 , T 2 i T 3.
2. Obliczyć wartość modułu sztywności dla wszystkich rozpatrywanych przypadków, korzy- stając ze wzoru (10).
3. Obliczyć wartość średnią modułu sztywności.
4. Przedstawić na wykresie zależność T^2 = f ( d^2 ) – na papierze milimetrowym z zaznacze- niem odcinków niepewności o ile będzie to możliwe. Z wykresu wyznaczyć wartość a.
5. Stosując metodę regresji liniowej – komputerowo, wyznaczyć współczynnik nachylenia prostej a we wzorze (11).
6. Korzystając ze wspołczynnika a regresji oblicz z (12) wartość modułu sztywności stali z której wykonano drut.

B. Niepewności pomiaru.

1. Obliczyć niepewności pomiaru wartości średnich wielkości z p. A.1.
2. Oszacuj niepewność pomiaru wartości G obliczonej w p. A.3. Skorzystaj z metody eleme- tarnej obliczenia złożonej niepewności standardowej.
3. Oszacuj niepewność pomiaru wartości G na podstawie wykresu odręcznego.

C. Zestawienie wyników i niepewności pomiaru.

5. Przeanalizować wyniki, porównać wartości dla G otrzymane w p. A; zapisać wnioski i uwagi dotyczące doświadczenia.

1. Porównać uzyskane wartości – z p. A.3 i z p. A.6 oraz z danymi tablicowymi. Skorzystać z kryterium zgodności.
2. Przeanalizować źródła ewentualnych rozbieżności.
3. Zapisać wnioski i uwagi dotyczące przebiegu doświadczenia i jego realizacji.

LITERATURA

1. A. Magiera (red.): I Pracownia fizyczna. Wyd. IV, IF UJ 2014, s. 67 – 70, http://www.1pf.if.uj.edu.pl/documents/5046939/5227638/skrypt.pdf (dostęp maj 2017)
2. Wyznaczanie modułu sztywności drutu za pomocą wahadła torsyjnego. http://www.fizyka.wip.pcz.pl/docs/labs/mechanika/M-6.pdf
3. Wyznaczanie modułów sztywności. http://www.itcmp.pwr.wroc.pl/~jwach/lab/Wyznaczanie%20sztywnosci%20-%20instrukcja.pdf
4. Zadania doświadczalne z II st. olimpiady fizycznej z wykorzystaniem wahadła torsyjnego, np.: Wyznaczanie modułu sztywności miedzi – 48 OF; Wyznaczanie gęstości piasku – 33 OF; Wyznaczanie modułu sztywności drutu stalowego – 40 OF. Zadania dostępne ze strony: www.of.szc.pl zakładka: Zadania.

***** Złożoną niepewność standardową u c ( y ) można obliczyć z zalecanego przez Przewodnik GUM wzoru:

  ,..., ( ),...,   ,..., ( ),..., . 2

1 Z (^) i  f x 1 xi  uxi xN  f x 1 xi  uxi xN

Wówczas  

n

i

u y Zi 1

2 2 c ( ).