Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Wyznaczanie ogniskowej soczewki cienkiej metodą graficzną i analityczną, Ćwiczenia z Fisica

Teoria do ćwiczeń laboratoryjnych

Typologia: Ćwiczenia

2019/2020

Załadowany 22.09.2020

Henryka
Henryka 🇵🇱

4.5

(154)

405 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Wyznaczanie ogniskowej soczewki cienkiej metodą graficzną i analityczną i więcej Ćwiczenia w PDF z Fisica tylko na Docsity! WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ METODĄ GRAFICZNĄ I ANALITYCZNĄ I. Cel ćwiczenia: wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej i rozpraszającej, zapoznanie z metodą graficzną i analityczną wyznaczania wielkości fizycznych. II. Przyrządy: ława optyczna z podziałką milimetrową, przedmiot świecący w postaci strzał- ki, soczewki, ekran. III. Literatura: 1. H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboratorium fizyczne. 2. S. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna t.IV, Optyka IV. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwiema powierzchniami zakrzywionymi lub jedną powierzchnią płaską i jedną zakrzywioną. Najczęściej powierzchnie soczewek są powierzch- niami kulistymi. Przyjmując kształt soczewki jako kryterium klasyfikacji, dzielimy je na dwuwypukłe, dwuwklęsłe, płaskowklęsłe, płaskowypukłe, płaskowklęsłe, wypukłowklęsłe. Soczewkę nazywamy cienką, kiedy odległość powierzchni ograniczających ją jest bardzo mała w porównaniu z promieniem krzywizny tych powierzchni. Promieniem krzywizny nazywamy promień kuli, której wycinkiem jest powierzch- nia ograniczająca soczewkę. Środek tej kuli jest środkiem krzywizny. Soczewka posiada dwa środki krzywizny O1 i O2. Linię łączącą środki krzywizny nazywamy główną osią optyczną soczewki. Środ- kiem optycznym soczewki nazywamy punkt połoŜony na jej osi optycznej i mający tę własność, Ŝe promienie przechodzące przez niego mają ten sam kierunek przed wejściem do soczewki i po wyjściu z niej. Środek optyczny soczewki cienkiej leŜy w przybliŜeniu w środku geometrycznym soczewki. Ogniskiem głównym nazywamy punkt, w którym soczewka skupia promienie równoległe do głównej osi optycznej biegnące ku niej. Dwa ogniska główne F znajdują się w równych odległościach po obu stronach soczewki. Ogniskową f soczewki nazywamy odległość od ogniska do środka optycznego soczewki. Wierz- chołkami soczewki nazywamy punkty przecięcia powierzchni łamiących soczewki z jej osią optyczną. Promienie padające pod niewielkimi kątami (prawie prostopadle) na powierzchnię soczewki w pobli- Ŝu soczewki nazywamy promieniami przyosiowymi. Z wyjątkiem promieni biegnących wzdłuŜ głów- nej osi optycznej, kaŜdy promień przechodzący przez soczewkę ulega dwukrotnie załamaniu na obu powierzchniach soczewki. Bieg dowolnego promienia moŜemy wykreślić korzystając z prawa zała- • • r1 F F r2 O1 O2 f Rys. 1 Bieg promieni równoległych do głównej osi soczewki, promienie krzywizn r1 i r2, środki krzywizn O1 i O2, ogniska soczewki F, ogniskowa f Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA2 mania światła. JeŜeli promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę odchylają się ku osi, soczewka nosi nazwę skupiającej; jeśli odchylają się od osi, soczewka nosi na- zwę rozpraszającej. Gdy względny współczynnik załamania n12 jest większy od jedności, to soczewki dwuwypukłe, płaskowypukłe i wklęsłowypukłe (ogólnie te których środek jest grubszy od brzegów) są soczewkami skupiającymi, a soczewki dwuwklęsłe, płaskowklęsłe, wypukłowklęsłe soczewkami rozpraszającymi. Gdy współczynnik n12 jest mniejszy od jedności sytuacja jest odwrotna. Względny współczynnik załamania n12 jest to współczynnik załamania materiału 1 soczewki względem otaczającego ją ośrodka 2 2 1 12 n n n = gdzie n1 - bezwzględny współczynnik załamania materiału soczewki względem próŜni, n2 - bez- względny współczynnik załamania otaczającego ośrodka względem próŜni. Odległość x przedmiotu od soczewki, odległość y obrazu od soczewki oraz ogniskowa f są związa- ne równaniem soczewkowym (wyprowadzenie w Uzupełnieniu): yxf 111 += (1) Jak juŜ wspomniano wyŜej dla soczewek skupiających promienie równoległe do głównej osi optycznej skupiają się po przejściu przez soczewkę w jej ognisku. Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów połoŜonych w odległości x > f na głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów połoŜonych w odległości x < f. W soczewce rozpraszającej promienie równoległe do głównej osi optycznej odchylają się po przej- ściu przez soczewkę tak, Ŝe ich przedłuŜenia przecinają się w ognisku pozornym - punkcie połoŜonym na głównej osi optycznej przed soczewką. Ogniskowej f soczewki rozpraszającej przypisujemy umowną wartość ujemną, ujemna jest równieŜ wartość odległości y obrazu od soczewki. Soczewka rozpraszająca wytwarza obraz pozorny przedmiotów na głównej osi optycznej. Odległość przedmiotu x oraz obrazu y od soczewki spełnia równieŜ równanie (1). Powiększenie liniowe obrazu definiujemy jako stosunek rozmiarów liniowych obrazu do rozmia- rów liniowych przedmiotu Rys. 2 Konstrukcja obrazów w soczewkach: a) soczewka sku- piająca, obraz rzeczywisty pomniejszony; b) soczewka skupiająca, obraz pozorny, powiększony; c) soczewka rozpraszająca, obraz pozorny, pomniejszony. hp ho A A' F F ' +, B' B O a) F 'F A A' B B' b) O F 'F A A' B B' c) O Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA5 Z równania (4) otrzymujemy: f2 = ff lff − − 1 1 )( (10) Jeśli l ≈ 0, wzór (10) przyjmie postać f2 = ff ff −1 1 (10a) VI. Układ pomiarowy Zestaw do ćwiczenia składa się z przedmiotu świecącego (źródła światła ze szczeliną w postaci strzałki, ekranu, soczewki na statywie, ławy optycznej z podziałką milimetrową. Koniki przedmiotu, soczewki i ekranu posiadają prostopadłe wskaźniki uła- twiające odczyt połoŜenia na ławie optycznej. Rys. 6 Schemat układu po- miarowego. VII. Sposób przeprowadzenia pomiarów Zadanie 1 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą I 1. Ustaw na ławie optycznej przedmiot świecący w odległości ok. 100 cm od ekranu (patrz rys.6). 2. Między przedmiotem świecącym i ekranem umieść soczewkę. 3. Ustaw soczewkę tak, aby obraz na ekranie był ostry i pomniejszony. Zanotuj w tabeli pomiarów połoŜenia wskaźników przedmiotu, soczewki i ekranu na podziałce ławy optycznej. Przykład tabeli pomiarów poniŜej ( lp - połoŜenie wskaźnika przedmiotu, ls - połoŜenie wskaźnika soczewki, le - połoŜenie wskaźnika ekranu). Tabela1 Lp lp [cm] ls [cm] le [cm] x = ls - lp [cm] y = le - ls [cm] Ml = y/x 1 2 4. Przesuń soczewkę o 10 cm w stronę przedmiotu* (jeśli pomiary rozpoczęto od obrazów pomniej- szonych) a następnie przesuwając ekran uzyskaj ostry obraz świecącej strzałki. Wyniki zapisz w tabeli (jak w punkcie 3). 5. Zmieniając połoŜenie soczewki powtórz kilkakrotnie punkt 4. * MoŜna zmieniać połoŜenie przedmiotu przy stałej pozycji soczewki. Zadanie 2 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą II 1. Wyznacz w przybliŜeniu ogniskową soczewki przez znalezienie punktu przecięcia promieni rów- noległych światła słonecznego lub światła odległej Ŝarówki na kartce papieru lub maksymalnie od- dalając przedmiot świecący od soczewki poszukaj punktu przecięcia promieni równoległych na ekranie. 2. Ustaw przedmiot za ogniskiem soczewki w odległości bliskiej f, ekran maksymalnie oddalony od soczewki. Jeśli nie jest moŜliwe uzyskanie na ekranie ostrego obrazu naleŜy nieznacznie zwiększyć odległość między soczewką a przedmiotem. 3. Zanotuj w tabeli pomiarów połoŜenia wskaźników przedmiotu, soczewki i ekranu na podziałce ła- wy optycznej (lp, ls, le). Przykład tabeli pomiarów poniŜej, oznaczenia jak wyŜej. soczewka lub układ soczewek ekran przedmiot świecący koniki Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA6 4. Odsuwaj soczewkę od przedmiotu początkowo co 1 cm (5÷6 punktów pomiarowych), potem co 2 cm (10 punktów pomiarowych) a następnie co 5 cm (6 lub więcej punktów pomiarowych). Prze- suwając ekranem, uzyskaj za kaŜdym razem ostry obraz strzałki. Uwaga: Informacje dotyczące ilości punktów pomiarowych dotyczą soczewki o ogniskowej rzędu dwudziestu kilku cm. Tabela 2 Lp ls [cm] lp [cm] le [cm] x = ls - lp [cm] z = x + y = le - lp [cm] 1 2 Zadanie 3 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą III (Bessela) 1. Ustaw przedmiot i ekran w odległości rzędu jednego metra. Wyznacz tę odległość d, odczytując połoŜenia le i lp wskaźników ekranu i soczewki (d = le - lp) . 2. Między ekranem i przedmiotem świecącym ustaw soczewkę. Przesuń ją w połoŜenie, w którym obraz na ekranie jest powiększony i najwyraźniejszy. Wyznacz połoŜenie 'sl wskaźnika soczewki na podziałce ławy optycznej kilka razy. 3. Przesuń soczewkę w połoŜenie, w którym otrzymany na ekranie obraz zmniejszony jest najwyraź- niejszy. Wyznacz połoŜenie ''sl wskaźnika soczewki na podziałce ławy optycznej kilka razy. Wszystkie wyniki zapisz w tabeli pomiarów 3. 4. Pomiary z punktów 2 - 3 wykonaj dla kilku np. pięciu róŜnych odległości d. Tabela 3 Lp lp [cm] le [cm] d = le - lp 'sl [cm] '' sl [cm] ''' ss lla −= a 1 2 Zadanie 4 Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej 1. Dokonaj pomiaru ogniskowej f1 soczewki skupiającej jedną z opisanych metod np. metodą Bessela (pomiary jak w zadaniu 3). 2. Ustaw na ławie optycznej układ złoŜony z soczewki skupiającej o ogniskowej f1 i soczewki rozpra- szającej o ogniskowej f2. 3. Wyznacz ogniskową f tego układu soczewek metodą zastosowaną w punkcie 1. VIII. Opracowanie wyników Dla zadania 1 1. Wyznacz powiększenie liniowe x y M l = dla wszystkich punktów pomiarowych. Wykonaj wykres powiększenia Ml w funkcji odległości y obrazu od soczewki: Ml = f(y). Punkty doświadczalne po- winny ułoŜyć się w przybliŜeniu na linii prostej. 2. Ekstrapolując prostą Ml = f(y) aŜ do przecięcia z osią odciętych, wyznacz punkt A (rys. 3). Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA7 3. Odczytaj z wykresu wartość f. Ogniskowa jest równa wartości odcinków OA lub ½ OB, gdzie OB - odcięta punktu prostej o rzędnej Ml = 1 (patrz rys. 3). 4. Oceń niepewności pomiarowe ∆ls, ∆lp, ∆le. Zaznacz na wykresie niepewności pomiarowe ∆Ml i ∆y; 22 es lly ∆+∆±=∆ , 22 ps llx ∆+∆±=∆ ,     ∆+∆⋅±=∆ y y x x MM ll . Oceń niepewność ∆f wyzna- czenia ogniskowej soczewki; Przy wyznaczaniu ogniskowej najlepiej posłuŜyć się metodą analityczną: 1. Przedstaw zaleŜność powiększenia liniowego Ml w funkcji odległości y obrazu od soczewki. Ko- rzystając z metody najmniejszych kwadratów wyznacz parametry prostej Ml = ay + b , gdzie f a 1= i b są parametrami prostej. Prostą o wyznaczonych parametrach narysuj na wykresie. 2. Wyznacz ogniskową soczewki: a f 1= . 3. Oblicz niepewność pomiarową ogniskowej ∆f: a a ff ∆±=∆ , gdzie ∆a - niepewność wyznaczenia parametru a w metodzie najmniejszych kwadratów. Dla zadania 2 1. Wykonaj wykres zaleŜności odległości z przedmiotu od jego obrazu w funkcji odległości x przed- miotu od soczewki: z = f(x), gdzie z = x + y . 2. Zaznacz na wykresie asymptotę pionową i ukośną. 3. Wyznacz z wykresu ogniskową f soczewki. 4. Wyznacz niepewności pomiarowe ∆x i ∆z. Niepewności pomiarowe ∆x i ∆z związane są z niepewnościami połoŜenia ∆lp, ∆ls, ∆le, które nale- Ŝy ocenić; ( ) ( )22 ps llx ∆+∆±=∆ oraz ( ) ( )22 pe llz ∆+∆±=∆ Zaznacz niepewności ∆x i ∆z na wykresie (jeśli pozwala na to przyjęta skala wykresu). 5. Oszacuj niepewność ∆f korzystając z zaznaczonych na wykresie niepewności ∆x i ∆z. Wykorzystując metodę analityczną: 1. Przekształć wzór (7) do postaci Z = x - f, gdzie z x Z 2 = . Wyznacz metodą najmniejszych kwadra- tów parametry a i b = - f prostej Z = ax + b. 2. Korzystając z obliczonego parametru b wyznacz ogniskową soczewki f = - b. 3. Oblicz niepewność pomiarową ∆f : b b ff ∆±=∆ , gdzie ∆b jest niepewnością wyznaczenia para- metru b prostej. Dla zadania 3 1. Oblicz odległości d przedmiotu od ekranu oraz średnie przesunięcie a soczewki dla danej odległo- ści d . 2. Oblicz wartość ogniskowej f ze wzoru (8 ) dla kaŜdej serii pomiarowej. Przy pięciu seriach, tj. gdy n = 5, będzie to 5 wartości. 3. Oblicz wartość średnią f . 4. Oblicz niepewność ∆f korzystając z relacji ∆f = ),( ktS f α⋅ , gdzie f S - średni błąd kwadratowy średniej ogniskowej (wzór poniŜej), t(α,k) - współczynnik rozkładu Studenta-Fishera (szukaj w ta- blicach tego rozkładu np. w Uzupełnieniu „I pracownia fizyczna” J Kacperski , K Niedźwiedziuk), k - ilość stopni swobody, k = n - 1, α - współczynnik ufności (przyjąć α = 0,95). Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA10 c). Promień krzywizny danej powierzchni ograniczającej soczewkę jest dodatni, jeŜeli powierzchnia ta jest wypukła na zewnątrz; ujemny, jeśli ta powierzchnia jest wklęsła na zewnątrz. Wzór na ogniskową f soczewki Kąt odchylenia ϑ promienia padającego na soczewkę w odległości h od środka soczewki ze wzoru (11) i wzoru na kąt odchylenia promieni w pryzmacie jest równy:       +−=−= 21 1212 )1()1( r h r h nn ϕϑ ( 12) gdzie n12 jest to względny współczynnik załamania materiału 1 soczewki względem otaczającego ją ośrodka 2: 2 1 12 n n n = . Bezwzględny współczynnik załamania materiału soczewki względem próŜni jest równy n1 = c/v1, bezwzględny współczynnik załamania otaczającego ośrodka względem próŜni równa się n2 = c/v2 (c - prędkość światła w próŜni, v1 - prędkość światła w materiale soczewki, v2 - prędkość światła w otaczającym soczewkę środowisku). Z drugiej strony, kąt ten moŜna powiązać z odległością, w jakiej promień równoległy do głównej osi optycznej przecina tę oś po przejściu przez soczewkę ϑ f h=≈ ϑtg ( 13 ) Korzystając, Ŝe mamy do czynienia z małymi kątami dla których ϑϑϑ tgsin ≈≈ i porównując wzory (12) i (13) otrzymujemy zaleŜność       +−= 21 12 11 )1( 1 rr n f ( 14 ) We wzorze tym nie występuje w ogóle odległość h promienia od głównej osi optycznej, a więc wszystkie równoległe do osi optycznej promienie przyosiowe przecinają oś optyczną w tej samej od- ległości f . Równanie soczewki. Rys. 8 Powstawanie obrazu punktu świecącego Kąt odchylenia ϑ promienia wysłanego przez punkt A, połoŜony na osi optycznej, jako kąt zewnętrz- ny trójkąta APB, równy jest ϑ = ∠ PAB + ∠ PBA Kąty PAB i PBA moŜemy przybliŜyć przez ich tangensy; otrzymujemy wtedy ϑ = y h x h + Porównując ten wzór ze wzorem ( 13 ) otrzymujemy tzw. równanie soczewkowe fyx 111 =+ (15) A O1 S O2 B ϑ h P Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA11 We wzorze tym nie występuje h. Dowodzi to, Ŝe wszystkie promienie przyosiowe rozchodzące się z punktu A po przejściu przez soczewkę przetną oś optyczną w tym samym punkcie B, a więc Ŝe punkt B jest rzeczywistym obrazem punktu A. W tabeli 4 i 5 zestawiono własności obrazów otrzymywanych w soczewkach skupiającej i rozprasza- jącej . Tabela 4 x y Ml Soczewki skupiające x = ∞ y = f Ml = 0 Wiązka promieni równoległych do osi optycznej so-czewki skupia się w ognisku . x > 2f f < y < 2f Ml < 1 Obraz rzeczywisty, zmniejszony, odwrócony x = 2f y = 2f Ml = 1 Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu, odwrócony f < x < 2f y > 2f Ml >1 Obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony x = f y = ∞ Ml = ∞ Promienie wychodzące z ogniska po przejściu przez soczewkę są równoległe 0 < x < f y < 0 Ml > 1 Obraz, pozorny, powiększony, prosty x < 0 0 < y < f Ml < 1 Obraz rzeczywisty przedmiotu pozornego, zmniejszo- ny prosty Tabela 5 x y Ml Soczewki rozpraszające x > 0 - f < y < 0 Ml < 1 Obraz pozorny przedmiotu rzeczywistego, zmniejszo- ny prosty - f < x < 0 y > 0 Ml > 1 Obraz rzeczywisty przedmiotu pozornego, powięk- szony prosty x = - f y = ∞ Ml = ∞ Wiązka promieni zbieŜnych do ogniska po przejściu przez soczewkę staje się równoległa -2f < x <- f y < -2f Ml > 1 Obraz pozorny przedmiotu pozornego, powiększony, odwrócony x = -2f y = -2f Ml = 1 Obraz pozorny przedmiotu pozornego, odwrócony, wielkości przedmiotu pozornego x < -2f -2f < y < - f Ml < 1 Obraz pozorny przedmiotu, zmniejszony, odwrócony x = ∞ y = - f Ml = 0 Wiązka promieni równoległych staje się rozbieŜna poprzejściu przez soczewkę Przebieg zmienności funkcji fx x z − = 2 , gdzie z = x + y (16) Dziedziną funkcji z = f(x) (rys 9) jest zbiór D∈(- ∞ ; f ) ∪ ( f ; + ∞ ). Nie rozpatrujemy przypadku x < f tak, więc nie zajmujemy się zbiorem wartości x w przedziale (-∞ ; f ). +∞= − = ++ →→ fx x xf fxfx 2 lim)(lim Stąd wynika, Ŝe prosta x = f jest asymptotą pionową wykresu danej funkcji f(x). Ponadto 1 2 = − = +∞→+∞→ xfx x x xf xx )( lim )( lim i fx fx x xxf xx =      − − =− +∞→+∞→ 2 lim])([lim Tak więc prosta z = x + f jest asymptotą ukośną wykresu funkcji. Funkcja (16) jest równaniem hiperboli i posiada asymptoty x = f i z = x + f (patrz rys 9). Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA12 Ekstremum funkcji (16) znajduje się w punkcie, w którym jej pierwsza pochodna przybiera wartość zero 0 22 22 2 = − −= − −−= )( )( )( )( fx fxx fx xfxx dx dz Przy x ≠ 0 i x - f ≠ 0 zachodzi to dla x – 2f = 0, stąd x = 2f. PoniewaŜ z’ > 0 dla x ∈ (2f ; +∞ ) i z’ < 0 dla x ∈(f ; 2f ), więc dana funkcja jest ma- lejąca w przedziale ( f ; 2f ) , rosnąca w przedziale ( 2f , +∞ ) Z powyŜszego rozumowania wynika, Ŝe funkcja (16) ma minimum w punkcie x = 2f. Z równania (15) wynika, Ŝe gdy x = 2f, to równieŜ y = 2f, więc x + y = 4f Z wykresu znajdujemy f = OB 2 1 lub OAf 4 1= .Rys. 9 Wykres funkcji fx x z − = 2 z 4f 2f f f O B A x x = f z = x + f