Pobierz Wyznaczanie ogniskowej soczewki cienkiej metodą graficzną i analityczną i więcej Ćwiczenia w PDF z Fisica tylko na Docsity! WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ METODĄ GRAFICZNĄ I ANALITYCZNĄ I. Cel ćwiczenia: wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej i rozpraszającej, zapoznanie z metodą graficzną i analityczną wyznaczania wielkości fizycznych. II. Przyrządy: ława optyczna z podziałką milimetrową, przedmiot świecący w postaci strzał- ki, soczewki, ekran. III. Literatura: 1. H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboratorium fizyczne. 2. S. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna t.IV, Optyka IV. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwiema powierzchniami zakrzywionymi lub jedną powierzchnią płaską i jedną zakrzywioną. Najczęściej powierzchnie soczewek są powierzch- niami kulistymi. Przyjmując kształt soczewki jako kryterium klasyfikacji, dzielimy je na dwuwypukłe, dwuwklęsłe, płaskowklęsłe, płaskowypukłe, płaskowklęsłe, wypukłowklęsłe. Soczewkę nazywamy cienką, kiedy odległość powierzchni ograniczających ją jest bardzo mała w porównaniu z promieniem krzywizny tych powierzchni. Promieniem krzywizny nazywamy promień kuli, której wycinkiem jest powierzch- nia ograniczająca soczewkę. Środek tej kuli jest środkiem krzywizny. Soczewka posiada dwa środki krzywizny O1 i O2. Linię łączącą środki krzywizny nazywamy główną osią optyczną soczewki. Środ- kiem optycznym soczewki nazywamy punkt połoŜony na jej osi optycznej i mający tę własność, Ŝe promienie przechodzące przez niego mają ten sam kierunek przed wejściem do soczewki i po wyjściu z niej. Środek optyczny soczewki cienkiej leŜy w przybliŜeniu w środku geometrycznym soczewki. Ogniskiem głównym nazywamy punkt, w którym soczewka skupia promienie równoległe do głównej osi optycznej biegnące ku niej. Dwa ogniska główne F znajdują się w równych odległościach po obu stronach soczewki. Ogniskową f soczewki nazywamy odległość od ogniska do środka optycznego soczewki. Wierz- chołkami soczewki nazywamy punkty przecięcia powierzchni łamiących soczewki z jej osią optyczną. Promienie padające pod niewielkimi kątami (prawie prostopadle) na powierzchnię soczewki w pobli- Ŝu soczewki nazywamy promieniami przyosiowymi. Z wyjątkiem promieni biegnących wzdłuŜ głów- nej osi optycznej, kaŜdy promień przechodzący przez soczewkę ulega dwukrotnie załamaniu na obu powierzchniach soczewki. Bieg dowolnego promienia moŜemy wykreślić korzystając z prawa zała- • • r1 F F r2 O1 O2 f Rys. 1 Bieg promieni równoległych do głównej osi soczewki, promienie krzywizn r1 i r2, środki krzywizn O1 i O2, ogniska soczewki F, ogniskowa f Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA2 mania światła. JeŜeli promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę odchylają się ku osi, soczewka nosi nazwę skupiającej; jeśli odchylają się od osi, soczewka nosi na- zwę rozpraszającej. Gdy względny współczynnik załamania n12 jest większy od jedności, to soczewki dwuwypukłe, płaskowypukłe i wklęsłowypukłe (ogólnie te których środek jest grubszy od brzegów) są soczewkami skupiającymi, a soczewki dwuwklęsłe, płaskowklęsłe, wypukłowklęsłe soczewkami rozpraszającymi. Gdy współczynnik n12 jest mniejszy od jedności sytuacja jest odwrotna. Względny współczynnik załamania n12 jest to współczynnik załamania materiału 1 soczewki względem otaczającego ją ośrodka 2 2 1 12 n n n = gdzie n1 - bezwzględny współczynnik załamania materiału soczewki względem próŜni, n2 - bez- względny współczynnik załamania otaczającego ośrodka względem próŜni. Odległość x przedmiotu od soczewki, odległość y obrazu od soczewki oraz ogniskowa f są związa- ne równaniem soczewkowym (wyprowadzenie w Uzupełnieniu): yxf 111 += (1) Jak juŜ wspomniano wyŜej dla soczewek skupiających promienie równoległe do głównej osi optycznej skupiają się po przejściu przez soczewkę w jej ognisku. Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów połoŜonych w odległości x > f na głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów połoŜonych w odległości x < f. W soczewce rozpraszającej promienie równoległe do głównej osi optycznej odchylają się po przej- ściu przez soczewkę tak, Ŝe ich przedłuŜenia przecinają się w ognisku pozornym - punkcie połoŜonym na głównej osi optycznej przed soczewką. Ogniskowej f soczewki rozpraszającej przypisujemy umowną wartość ujemną, ujemna jest równieŜ wartość odległości y obrazu od soczewki. Soczewka rozpraszająca wytwarza obraz pozorny przedmiotów na głównej osi optycznej. Odległość przedmiotu x oraz obrazu y od soczewki spełnia równieŜ równanie (1). Powiększenie liniowe obrazu definiujemy jako stosunek rozmiarów liniowych obrazu do rozmia- rów liniowych przedmiotu Rys. 2 Konstrukcja obrazów w soczewkach: a) soczewka sku- piająca, obraz rzeczywisty pomniejszony; b) soczewka skupiająca, obraz pozorny, powiększony; c) soczewka rozpraszająca, obraz pozorny, pomniejszony. hp ho A A' F F ' +, B' B O a) F 'F A A' B B' b) O F 'F A A' B B' c) O Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA5 Z równania (4) otrzymujemy: f2 = ff lff − − 1 1 )( (10) Jeśli l ≈ 0, wzór (10) przyjmie postać f2 = ff ff −1 1 (10a) VI. Układ pomiarowy Zestaw do ćwiczenia składa się z przedmiotu świecącego (źródła światła ze szczeliną w postaci strzałki, ekranu, soczewki na statywie, ławy optycznej z podziałką milimetrową. Koniki przedmiotu, soczewki i ekranu posiadają prostopadłe wskaźniki uła- twiające odczyt połoŜenia na ławie optycznej. Rys. 6 Schemat układu po- miarowego. VII. Sposób przeprowadzenia pomiarów Zadanie 1 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą I 1. Ustaw na ławie optycznej przedmiot świecący w odległości ok. 100 cm od ekranu (patrz rys.6). 2. Między przedmiotem świecącym i ekranem umieść soczewkę. 3. Ustaw soczewkę tak, aby obraz na ekranie był ostry i pomniejszony. Zanotuj w tabeli pomiarów połoŜenia wskaźników przedmiotu, soczewki i ekranu na podziałce ławy optycznej. Przykład tabeli pomiarów poniŜej ( lp - połoŜenie wskaźnika przedmiotu, ls - połoŜenie wskaźnika soczewki, le - połoŜenie wskaźnika ekranu). Tabela1 Lp lp [cm] ls [cm] le [cm] x = ls - lp [cm] y = le - ls [cm] Ml = y/x 1 2 4. Przesuń soczewkę o 10 cm w stronę przedmiotu* (jeśli pomiary rozpoczęto od obrazów pomniej- szonych) a następnie przesuwając ekran uzyskaj ostry obraz świecącej strzałki. Wyniki zapisz w tabeli (jak w punkcie 3). 5. Zmieniając połoŜenie soczewki powtórz kilkakrotnie punkt 4. * MoŜna zmieniać połoŜenie przedmiotu przy stałej pozycji soczewki. Zadanie 2 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą II 1. Wyznacz w przybliŜeniu ogniskową soczewki przez znalezienie punktu przecięcia promieni rów- noległych światła słonecznego lub światła odległej Ŝarówki na kartce papieru lub maksymalnie od- dalając przedmiot świecący od soczewki poszukaj punktu przecięcia promieni równoległych na ekranie. 2. Ustaw przedmiot za ogniskiem soczewki w odległości bliskiej f, ekran maksymalnie oddalony od soczewki. Jeśli nie jest moŜliwe uzyskanie na ekranie ostrego obrazu naleŜy nieznacznie zwiększyć odległość między soczewką a przedmiotem. 3. Zanotuj w tabeli pomiarów połoŜenia wskaźników przedmiotu, soczewki i ekranu na podziałce ła- wy optycznej (lp, ls, le). Przykład tabeli pomiarów poniŜej, oznaczenia jak wyŜej. soczewka lub układ soczewek ekran przedmiot świecący koniki Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA6 4. Odsuwaj soczewkę od przedmiotu początkowo co 1 cm (5÷6 punktów pomiarowych), potem co 2 cm (10 punktów pomiarowych) a następnie co 5 cm (6 lub więcej punktów pomiarowych). Prze- suwając ekranem, uzyskaj za kaŜdym razem ostry obraz strzałki. Uwaga: Informacje dotyczące ilości punktów pomiarowych dotyczą soczewki o ogniskowej rzędu dwudziestu kilku cm. Tabela 2 Lp ls [cm] lp [cm] le [cm] x = ls - lp [cm] z = x + y = le - lp [cm] 1 2 Zadanie 3 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą III (Bessela) 1. Ustaw przedmiot i ekran w odległości rzędu jednego metra. Wyznacz tę odległość d, odczytując połoŜenia le i lp wskaźników ekranu i soczewki (d = le - lp) . 2. Między ekranem i przedmiotem świecącym ustaw soczewkę. Przesuń ją w połoŜenie, w którym obraz na ekranie jest powiększony i najwyraźniejszy. Wyznacz połoŜenie 'sl wskaźnika soczewki na podziałce ławy optycznej kilka razy. 3. Przesuń soczewkę w połoŜenie, w którym otrzymany na ekranie obraz zmniejszony jest najwyraź- niejszy. Wyznacz połoŜenie ''sl wskaźnika soczewki na podziałce ławy optycznej kilka razy. Wszystkie wyniki zapisz w tabeli pomiarów 3. 4. Pomiary z punktów 2 - 3 wykonaj dla kilku np. pięciu róŜnych odległości d. Tabela 3 Lp lp [cm] le [cm] d = le - lp 'sl [cm] '' sl [cm] ''' ss lla −= a 1 2 Zadanie 4 Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej 1. Dokonaj pomiaru ogniskowej f1 soczewki skupiającej jedną z opisanych metod np. metodą Bessela (pomiary jak w zadaniu 3). 2. Ustaw na ławie optycznej układ złoŜony z soczewki skupiającej o ogniskowej f1 i soczewki rozpra- szającej o ogniskowej f2. 3. Wyznacz ogniskową f tego układu soczewek metodą zastosowaną w punkcie 1. VIII. Opracowanie wyników Dla zadania 1 1. Wyznacz powiększenie liniowe x y M l = dla wszystkich punktów pomiarowych. Wykonaj wykres powiększenia Ml w funkcji odległości y obrazu od soczewki: Ml = f(y). Punkty doświadczalne po- winny ułoŜyć się w przybliŜeniu na linii prostej. 2. Ekstrapolując prostą Ml = f(y) aŜ do przecięcia z osią odciętych, wyznacz punkt A (rys. 3). Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA7 3. Odczytaj z wykresu wartość f. Ogniskowa jest równa wartości odcinków OA lub ½ OB, gdzie OB - odcięta punktu prostej o rzędnej Ml = 1 (patrz rys. 3). 4. Oceń niepewności pomiarowe ∆ls, ∆lp, ∆le. Zaznacz na wykresie niepewności pomiarowe ∆Ml i ∆y; 22 es lly ∆+∆±=∆ , 22 ps llx ∆+∆±=∆ , ∆+∆⋅±=∆ y y x x MM ll . Oceń niepewność ∆f wyzna- czenia ogniskowej soczewki; Przy wyznaczaniu ogniskowej najlepiej posłuŜyć się metodą analityczną: 1. Przedstaw zaleŜność powiększenia liniowego Ml w funkcji odległości y obrazu od soczewki. Ko- rzystając z metody najmniejszych kwadratów wyznacz parametry prostej Ml = ay + b , gdzie f a 1= i b są parametrami prostej. Prostą o wyznaczonych parametrach narysuj na wykresie. 2. Wyznacz ogniskową soczewki: a f 1= . 3. Oblicz niepewność pomiarową ogniskowej ∆f: a a ff ∆±=∆ , gdzie ∆a - niepewność wyznaczenia parametru a w metodzie najmniejszych kwadratów. Dla zadania 2 1. Wykonaj wykres zaleŜności odległości z przedmiotu od jego obrazu w funkcji odległości x przed- miotu od soczewki: z = f(x), gdzie z = x + y . 2. Zaznacz na wykresie asymptotę pionową i ukośną. 3. Wyznacz z wykresu ogniskową f soczewki. 4. Wyznacz niepewności pomiarowe ∆x i ∆z. Niepewności pomiarowe ∆x i ∆z związane są z niepewnościami połoŜenia ∆lp, ∆ls, ∆le, które nale- Ŝy ocenić; ( ) ( )22 ps llx ∆+∆±=∆ oraz ( ) ( )22 pe llz ∆+∆±=∆ Zaznacz niepewności ∆x i ∆z na wykresie (jeśli pozwala na to przyjęta skala wykresu). 5. Oszacuj niepewność ∆f korzystając z zaznaczonych na wykresie niepewności ∆x i ∆z. Wykorzystując metodę analityczną: 1. Przekształć wzór (7) do postaci Z = x - f, gdzie z x Z 2 = . Wyznacz metodą najmniejszych kwadra- tów parametry a i b = - f prostej Z = ax + b. 2. Korzystając z obliczonego parametru b wyznacz ogniskową soczewki f = - b. 3. Oblicz niepewność pomiarową ∆f : b b ff ∆±=∆ , gdzie ∆b jest niepewnością wyznaczenia para- metru b prostej. Dla zadania 3 1. Oblicz odległości d przedmiotu od ekranu oraz średnie przesunięcie a soczewki dla danej odległo- ści d . 2. Oblicz wartość ogniskowej f ze wzoru (8 ) dla kaŜdej serii pomiarowej. Przy pięciu seriach, tj. gdy n = 5, będzie to 5 wartości. 3. Oblicz wartość średnią f . 4. Oblicz niepewność ∆f korzystając z relacji ∆f = ),( ktS f α⋅ , gdzie f S - średni błąd kwadratowy średniej ogniskowej (wzór poniŜej), t(α,k) - współczynnik rozkładu Studenta-Fishera (szukaj w ta- blicach tego rozkładu np. w Uzupełnieniu „I pracownia fizyczna” J Kacperski , K Niedźwiedziuk), k - ilość stopni swobody, k = n - 1, α - współczynnik ufności (przyjąć α = 0,95). Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA10 c). Promień krzywizny danej powierzchni ograniczającej soczewkę jest dodatni, jeŜeli powierzchnia ta jest wypukła na zewnątrz; ujemny, jeśli ta powierzchnia jest wklęsła na zewnątrz. Wzór na ogniskową f soczewki Kąt odchylenia ϑ promienia padającego na soczewkę w odległości h od środka soczewki ze wzoru (11) i wzoru na kąt odchylenia promieni w pryzmacie jest równy: +−=−= 21 1212 )1()1( r h r h nn ϕϑ ( 12) gdzie n12 jest to względny współczynnik załamania materiału 1 soczewki względem otaczającego ją ośrodka 2: 2 1 12 n n n = . Bezwzględny współczynnik załamania materiału soczewki względem próŜni jest równy n1 = c/v1, bezwzględny współczynnik załamania otaczającego ośrodka względem próŜni równa się n2 = c/v2 (c - prędkość światła w próŜni, v1 - prędkość światła w materiale soczewki, v2 - prędkość światła w otaczającym soczewkę środowisku). Z drugiej strony, kąt ten moŜna powiązać z odległością, w jakiej promień równoległy do głównej osi optycznej przecina tę oś po przejściu przez soczewkę ϑ f h=≈ ϑtg ( 13 ) Korzystając, Ŝe mamy do czynienia z małymi kątami dla których ϑϑϑ tgsin ≈≈ i porównując wzory (12) i (13) otrzymujemy zaleŜność +−= 21 12 11 )1( 1 rr n f ( 14 ) We wzorze tym nie występuje w ogóle odległość h promienia od głównej osi optycznej, a więc wszystkie równoległe do osi optycznej promienie przyosiowe przecinają oś optyczną w tej samej od- ległości f . Równanie soczewki. Rys. 8 Powstawanie obrazu punktu świecącego Kąt odchylenia ϑ promienia wysłanego przez punkt A, połoŜony na osi optycznej, jako kąt zewnętrz- ny trójkąta APB, równy jest ϑ = ∠ PAB + ∠ PBA Kąty PAB i PBA moŜemy przybliŜyć przez ich tangensy; otrzymujemy wtedy ϑ = y h x h + Porównując ten wzór ze wzorem ( 13 ) otrzymujemy tzw. równanie soczewkowe fyx 111 =+ (15) A O1 S O2 B ϑ h P Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA11 We wzorze tym nie występuje h. Dowodzi to, Ŝe wszystkie promienie przyosiowe rozchodzące się z punktu A po przejściu przez soczewkę przetną oś optyczną w tym samym punkcie B, a więc Ŝe punkt B jest rzeczywistym obrazem punktu A. W tabeli 4 i 5 zestawiono własności obrazów otrzymywanych w soczewkach skupiającej i rozprasza- jącej . Tabela 4 x y Ml Soczewki skupiające x = ∞ y = f Ml = 0 Wiązka promieni równoległych do osi optycznej so-czewki skupia się w ognisku . x > 2f f < y < 2f Ml < 1 Obraz rzeczywisty, zmniejszony, odwrócony x = 2f y = 2f Ml = 1 Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu, odwrócony f < x < 2f y > 2f Ml >1 Obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony x = f y = ∞ Ml = ∞ Promienie wychodzące z ogniska po przejściu przez soczewkę są równoległe 0 < x < f y < 0 Ml > 1 Obraz, pozorny, powiększony, prosty x < 0 0 < y < f Ml < 1 Obraz rzeczywisty przedmiotu pozornego, zmniejszo- ny prosty Tabela 5 x y Ml Soczewki rozpraszające x > 0 - f < y < 0 Ml < 1 Obraz pozorny przedmiotu rzeczywistego, zmniejszo- ny prosty - f < x < 0 y > 0 Ml > 1 Obraz rzeczywisty przedmiotu pozornego, powięk- szony prosty x = - f y = ∞ Ml = ∞ Wiązka promieni zbieŜnych do ogniska po przejściu przez soczewkę staje się równoległa -2f < x <- f y < -2f Ml > 1 Obraz pozorny przedmiotu pozornego, powiększony, odwrócony x = -2f y = -2f Ml = 1 Obraz pozorny przedmiotu pozornego, odwrócony, wielkości przedmiotu pozornego x < -2f -2f < y < - f Ml < 1 Obraz pozorny przedmiotu, zmniejszony, odwrócony x = ∞ y = - f Ml = 0 Wiązka promieni równoległych staje się rozbieŜna poprzejściu przez soczewkę Przebieg zmienności funkcji fx x z − = 2 , gdzie z = x + y (16) Dziedziną funkcji z = f(x) (rys 9) jest zbiór D∈(- ∞ ; f ) ∪ ( f ; + ∞ ). Nie rozpatrujemy przypadku x < f tak, więc nie zajmujemy się zbiorem wartości x w przedziale (-∞ ; f ). +∞= − = ++ →→ fx x xf fxfx 2 lim)(lim Stąd wynika, Ŝe prosta x = f jest asymptotą pionową wykresu danej funkcji f(x). Ponadto 1 2 = − = +∞→+∞→ xfx x x xf xx )( lim )( lim i fx fx x xxf xx = − − =− +∞→+∞→ 2 lim])([lim Tak więc prosta z = x + f jest asymptotą ukośną wykresu funkcji. Funkcja (16) jest równaniem hiperboli i posiada asymptoty x = f i z = x + f (patrz rys 9). Ćwiczenie O-9 I PRACOWNIA FIZYCZNA12 Ekstremum funkcji (16) znajduje się w punkcie, w którym jej pierwsza pochodna przybiera wartość zero 0 22 22 2 = − −= − −−= )( )( )( )( fx fxx fx xfxx dx dz Przy x ≠ 0 i x - f ≠ 0 zachodzi to dla x – 2f = 0, stąd x = 2f. PoniewaŜ z’ > 0 dla x ∈ (2f ; +∞ ) i z’ < 0 dla x ∈(f ; 2f ), więc dana funkcja jest ma- lejąca w przedziale ( f ; 2f ) , rosnąca w przedziale ( 2f , +∞ ) Z powyŜszego rozumowania wynika, Ŝe funkcja (16) ma minimum w punkcie x = 2f. Z równania (15) wynika, Ŝe gdy x = 2f, to równieŜ y = 2f, więc x + y = 4f Z wykresu znajdujemy f = OB 2 1 lub OAf 4 1= .Rys. 9 Wykres funkcji fx x z − = 2 z 4f 2f f f O B A x x = f z = x + f