Wyznaczanie Przyspieszenia Ziemskiego Wahadłem Matematycznym, Prezentacje z Fizyka

Pobierz Wyznaczanie Przyspieszenia Ziemskiego Wahadłem Matematycznym i więcej Prezentacje w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą

wahadła matematycznego

Wprowadzenie Przeczytaj Wirtualne laboratorium WL-I Sprawdź się Dla nauczyciela

Czy to nie ciekawe?

Grawimetr to urządzenie służące do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego. Dokładny pomiar przyspieszenia grawitacyjnego potrzebny jest np. w geodezji, sejsmologii, a także przy badaniach gruntu i poszukiwaniu złóż mineralnych. Jak zmierzyć przyspieszenie ziemskie? Metod jest wiele, ale od XVI wieku do lat czterdziestych XX wieku podstawowym przyrządem używanym do tego celu było wahadło.

W tym e‐materiale poznasz jedną z metod pomiaru przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego.

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą

wahadła matematycznego

Przeczytaj

Warto przeczytać

Zależność między długością wahadła i okresem jego drgań

Wahadło matematyczne jest to ciężarek o małych rozmiarach zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, który może się wahać. Teoretycznie w wahadle matematycznym ciężarek powinien być masą punktową, czyli powinien być nieskończenie mały. W praktyce wystarczy, żeby jego rozmiar był dużo mniejszy niż długość linki.

Okres drgań wahadła matematycznego można obliczyć ze wzoru:

gdzie jest długością wahadła, zaś jest wartością przyspieszenia grawitacyjnego. Należy pamiętać, że powyższy wzór daje precyzyjne wyniki jedynie wtedy, gdy drgania wahadła mają amplitudę dużo mniejszą niż długość wahadła. W praktyce warunek ten oznacza, że wychylenie wahadła od pionu powinno być niewielkie.

Ze wzoru tego wynika, że wydłużanie wahadła powoduje zwiększanie się okresu jego drgań. Z kolei, im większe przyspieszenie grawitacyjne, tym mniejszy jest okres. Dokładnie mówiąc, czterokrotny wzrost długości wahadła powoduje podwojenie okresu, zaś jeśli przyspieszenie grawitacyjne stanie się cztery razy większe, okres powinien zmaleć dwukrotnie.

Spróbujmy teraz zobrazować tę zależność na wykresach oraz zrozumieć, jak z tych wykresów można odczytać wartość przyspieszenia ziemskiego. Przekształćmy powyższy wzór, aby otrzymać funkcję długości wahadła od okresu , czyli. Przekształcając wzór na okres wahadła dostajemy:

.

Gdybyśmy wykonali wykres długości wahadła od okresu, , otrzymalibyśmy ramię paraboli mającej wierzchołek w początku układu współrzędnych. Jest tak, ponieważ powyższy wzór ma taką samą postać, co. Rolę wartości pełni długość wahadła , a rolę argumentu pełni okres. Z kolei czynnik przy jest stałą, tzn. nie zależy od okresu. Fizyczny sens mają tylko dodatnie okresy, stąd wykres stanowi tylko prawe ramię paraboli. Jest to przedstawione na Rys. 1.

T = 2π√^

l g

l g

l T l(T )

T 2 = 4π^2 gl ⇒ l = 4 gπ 2 T 2

l(T )

y = ax^2 y l

x T T 2

Rys. 1. Zależność długości wahadła matematycznego od okresu jego drgań.

Im większa jest wartość stałej , tym większa będzie wartość współczynnika przy. To spowoduje podobny efekt, jak zwiększenie współczynnika w funkcji. Funkcja będzie przyjmować większe wartości i dlatego ramię paraboli będzie bardziej strome.

Możesz teraz czuć dyskomfort z tego powodu, że robimy wykres , nie zaś. Przecież to długość wahadła możemy bezpośrednio modyfikować, jest ona więc zmienną niezależną. Na okres nie mamy bezpośredniego wypływu, bo zależy on od długości wahadła. Jest on więc zmienną zależną. To jest oczywiście prawda i nic nie stoi na przeszkodzie, żeby użyć wykresu. Jednak, jak za chwilę zauważysz zabieg, który przed chwilą wykonaliśmy, ma ukryty cel.

Podczas analizy danych pomiarowych najwygodniej jest pracować z funkcją liniową, a tutaj mamy do czynienia z funkcją kwadratową. Czy zależność można w jakiś sposób zamienić na liniową, tak by móc używać metod (zob. e‐materiał pt. Na ile dokładnie można dopasować prostą do wyników pomiarów?), które znamy z analizy zależności liniowych? Okazuje się, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca. Wystarczy wykonać wykres. Chociaż zmienna zależy od zmiennej kwadratowo, to jej zależność od zmiennej jest liniowa. Inaczej mówiąc, gdybyśmy wprowadzili nową zmienną , wówczas

dostalibyśmy:. Zatem nowa funkcja jest funkcją liniową przechodzącą

przez początek układu współrzędnych. Wykres długości wahadła od kwadratu okresu jest przedstawiony na Rys. 2.

g T 2

a y = ax^2

l(T ) T (l)

l T

T (l)

l(T )

l(T 2 )

l T T 2

x = T 2

l(x) =

g

4 π^2

x l(x)

Rys.3. Zależność długości wahadła od kwadratu jego okresu z zaznaczonymi punktami pomiarowymi. Niebieska linia reprezentuje prostą będącą "najlepszym dopasowaniem" do punktów pomiarowych. Z nachylenia tej prostej można wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego. Szczegółowy opis tego rysunku zamieszczono w tekście.

Opisane powyżej postępowanie jest oczywiście poprawne, ale zauważ, że wyznaczona wartość może się różnić od jej wartości rzeczywistej g (w dalszej części tego tekstu, dla odróżnienia rzeczywistej wartości przyspieszenia ziemskiego i wartości tego parametru uzyskanej w wyniku pomiarów, tą drugą wartość będziemy oznaczać dolnym indeksem d - jak „doświadczenie”). Podczas pomiarów różnych wielkości fizycznych takie różnice są nieuniknione i zrozumiałe. Co w takiej sytuacji można zrobić? Oprócz podania wyniku pomiaru:

można jeszcze oszacować przedział, w którym rzeczywista wartość znajduje się „na pewno”:

,

nawet przy uwzględnieniu najmniej korzystnego splotu okoliczności.

W analizowanym przypadku postępowanie takie sprowadza się do tego, że podczas wyznaczania wartości powinniśmy uwzględnić niepewności pomiarowe tych wielkości, które zostały przez nas zmierzone bezpośrednio. Z tego powodu, przy każdym z punktów pomiarowych, należy na wykresie dorysować odpowiednie odcinki niepewności, w taki sposób, jak zrobiono to na Rys. 4.

gd

g ≃ gd

g ∈ (gmin , gmax )

g

Rys.3. Zależność długości wahadła od kwadratu jego okresu z zaznaczonymi punktami pomiarowymi i ich odcinkami niepewności. Znaczenie linii przedstawionych na wykresie opisano w tekście.

Gdy teraz porównamy Rys. 3 i Rys. 4 zauważymy, że dodanie odcinków niepewności zmieniło nieco sytuację: Istnieje wiele prostych, o różnych nachyleniach, które można narysować w taki sposób, by przebiegały w pobliżu punktów pomiarowych, przecinając ich wszystkie (!) odcinki niepewności, i równocześnie przechodziły przez początek (!) układu współrzędnych. Na Rys. 4. zaznaczono kilka takich prostych. Kolorem niebieskim zaznaczono tą samą prostą, która widnieje na Rys. 3. Ta prosta zdaje się być tzw. „najlepszym dopasowaniem” do punktów pomiarowych. Kolorem czerwonym zaznaczono natomiast proste „graniczne”, które pomagają oszacować wspomniany przedział. Zauważ, że prostych o nachyleniu wykraczającym poza zakres wyznaczony przez czerwone linie nie należy uwzględniać podczas określania granic tego przedziału, ponieważ są one zbyt odległe od punktów pomiarowych (nie przecinają wszystkich odcinków niepewności).

Spróbujemy teraz opisać powyższe rozważania w sposób ilościowy. Jeśli nachylenia przedstawionych na wykresie (Rys. 4.) prostych będą odpowiednio równe:

niebieskiej prostej: , dolnej, czewrwonej prostej: , górnej, zielonej prostej: ,

to podstawiając ich wartości do wzoru , będziemy mogli wyznaczyć odpowiadające im wartości przyspieszeń: , i. Z analizy dopuszczalnych nachyleń wynika, że rzeczywista wartość jest bliska wartości, która została wyznaczona doświadczalnie:

,

(gmin, gmax)

ad amin amax

g = 4π^2 a

gd gmin gmax g

g ≃ gd

Wirtualne laboratorium WL-I

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła

matematycznego

W dołączonym do tego e‐materiału wirtualnym laboratorium możesz wykonać pomiary, dzięki którym samodzielnie wyznaczysz wartość ziemskiego przyspieszenia grawitacyjnego

. W tym celu, dla kilku różnych długości wahadła , zmierzysz czas trwania jego jednego okresu , a uzyskane wyniki przedstawisz w postaci wykresu:

.

Polecenie 1

Zanim rozpoczniesz pracę w laboratorium proponujemy Ci obejrzenie filmu nagranego podczas rzeczywistych pomiarów. Podczas tego filmu nauczyciel fizyki wykonuje pomiary czasu trwania jednego okresu drgań dla różnych długości wahadła.

Film dostępny pod adresem hps://zpe.gov.pl/a/DuCYb1DLn

Wykorzystaj wykonane podczas nagrania pomiary i przygotuj wykres zależności długości wahadła od kwadratu jego okresu.

Do punktów pomiarowych umieszczonych na tym wykresie dopasuj prostą, a następnie oblicz jej nachylenie. Czy wiesz, że analizując nachylenie tej prostej można nie tylko wyznaczyć wartość przyspieszenia grawitacyjnego? Można też oszacować można jeszcze oszacować przedział , w którym rzeczywista wartość znajduje się „na pewno”, nawet przy uwzględnieniu najmniej korzystnego splotu okoliczności. Wykonaj odpowiednie analizy. Jeśli masz wątpliwości co do tego, jak powinna wyglądać taka analiza, skorzystaj z zamieszczonej poniżej „Podpowiedzi” lub zajrzyj do „Wyjaśnienia”.

g l T

l(T 2 ) = 4 gπ 2 T 2

g

(gmin, gmax)

Uzupełnij

Polecenie 2

Wyjaśnij, dlaczego standardowa niepewność pomiarowa kwadratu okresu nie jest równa kwadratowi niepewności okresu, czyli

ale należy ją wyznaczać ze wzoru

Polecenie 3

Skorzystaj z wirtualnego laboratorium, by samodzielnie wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Postępuj zgodnie z instrukcją dołączoną do laboratorium.

u(T 2 )

u(T 2 ) ≠ (u(T ))^2

u(T 2 ) = 2T u(T )

Uzupełnij

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Który z poniższych rysunków przedstawia poprawne wykresy funkcji T(l) i T (l) dla wahadła matematycznego?

2

W pewnym doświadczeniu zmierzono, że wahadło matematyczne o długości l = 1,5 m drga z okresem T = 2,54 s. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź: m/s 2

Na Ziemi, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi , pewne wahadło ma okres

. Na Jowiszu ma ono okres. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na Jowiszu. Wynik podaj z dokładnością do czterech cyfr znaczących.

gz = 9, 81 m s^2 Tz = 1, 25s Tj = 0, 79s

gj m s^2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Uczniowie mierzyli przyspieszenie ziemskie za pomocą wahadła matematycznego. Dla trzech długości wahadła, zmierzyli oni okres drgań. Poniższa tabela przestawia wyniki pomiarów.

Uzupełnij dwie ostatnie kolumny tabeli. Wykonując odpowiedni wykres, oblicz maksymalną i minimalną wartość przyspieszenia ziemskiego zgodną z pomiarami uczniów.

Nr pomiaru

Długość wahadła, [cm]

Niepewność długości wahadła, [cm]

Okres, [s]

Niepewność okresu, [s]

Kwadrat okresu, [s ]

Niepewność kwadratu okresu, [s ]

W pionowo lecącej rakiecie zamontowano wahadło matematyczne o długości 130 cm i zmierzono, że jego okres wynosi 2,02 s. Oblicz przyspieszenie rakiety. Przyjmij, że. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

a =.

g = 10

m s^2

m s^2

l

u(l)

T

u(T ) T 2 2

u(T 2 ) 2

Uzupełnij

Uzupełnij

Dla nauczyciela

Scenariusz lekcji

Imię i nazwisko autora: Krzysztof Lorek

Przedmiot: Fizyka

Temat zajęć: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

III. Planowanie i przeprowadzanie obserwacji lub doświadczeń oraz wnioskowanie na podstawie ich wyników.

Zakres rozszerzony Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:

9. dopasowuje prostą do danych przedstawionych w postaci wykresu; interpretuje nachylenie tej prostej i punkty przecięcia z osiami;
10. przeprowadza wybrane obserwacje, pomiary i doświadczenia korzystając z ich opisów; planuje i modyfikuje ich przebieg; formułuje hipotezę i prezentuje kroki niezbędne do jej weryfikacji;
11. posługuje się pojęciem niepewności pomiaru wielkości prostych i złożonych; zapisuje wynik pomiaru wraz z jego jednostką oraz z uwzględnieniem informacji o niepewności; uwzględnia niepewności przy sporządzaniu wykresów.

V. Drgania. Uczeń:

8. doświadczalnie: e) wyznacza wartość przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

Nauczyciel poprzez wykład wyprowadza i wyjaśnia kształt wykresów i dla wahadła matematycznego. Nauczyciel wyjaśnia przebieg doświadczenia opisanego w części „Przeczytaj” tego e‐materiału oraz rysuje na tablicy tabelkę taką, jak w części „Wirtualne laboratorium WL‐I” tego e‐materiału. Najpierw nauczyciel, a potem uczniowie – ochotnicy wykonują pomiary z rzeczywistym wahadłem dla dwóch jego długości. Nauczyciel zapisuje wyniki w tabeli. Z pomocą klasy nauczyciel wypełnia ostatnie kolumny tabeli oraz oblicza otrzymaną wartość przyspieszenia ziemskiego wraz z niepewnością i błędem względnym. Procedura powinna wyglądać podobnie do tej w zad. 7 z tego e‐materiału.

Faza podsumowująca:

Nauczyciel przypomina wykonane kroki, by zmierzyć wartość przyspieszenia ziemskiego i komentuje fakt, że wynik zgadza się z podręcznikową wartością.

Praca domowa:

Nauczyciel zadaje uczniom do domu eksperyment w wirtualnym laboratorium i prosi, aby wykonali oni swoją pracę na kartkach. Kartki te zostaną zebrane i ocenione.

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium:

Doświadczenie w wirtualnym laboratorium uczniowie powinni wykonać samodzielnie. Doświadczenie w wirtualnym laboratorium może również zostać wykonane na lekcji.

l(T ) l(T 2 )